Conjunto difuso

Conjuntos cuyos elementos tienen grados de pertenencia

En matemáticas , los conjuntos difusos (también conocidos como conjuntos inciertos ) son conjuntos cuyos elementos tienen grados de pertenencia. Los conjuntos difusos fueron introducidos independientemente por Lotfi A. Zadeh en 1965 como una extensión de la noción clásica de conjunto. ^{[1] [2]} Al mismo tiempo, Salii (1965) definió un tipo de estructura más general llamada "L-relación", que estudió en un contexto algebraico abstracto ; las relaciones difusas son casos especiales de L -relaciones cuando L es el intervalo unitario [0, 1]. Ahora se utilizan en toda la matemática difusa , teniendo aplicaciones en áreas como la lingüística (De Cock, Bodenhofer y Kerre 2000), la toma de decisiones (Kuzmin 1982) y la agrupación (Bezdek 1978).

En la teoría clásica de conjuntos , la pertenencia de los elementos a un conjunto se evalúa en términos binarios de acuerdo con una condición bivalente : un elemento pertenece o no al conjunto. Por el contrario, la teoría de conjuntos difusos permite la evaluación gradual de la pertenencia de los elementos a un conjunto; esto se describe con la ayuda de una función de pertenencia valorada en el intervalo unitario real [0, 1]. Los conjuntos difusos generalizan los conjuntos clásicos, ya que las funciones indicadoras (también conocidas como funciones características) de los conjuntos clásicos son casos especiales de las funciones de pertenencia de los conjuntos difusos, si estos últimos solo toman valores 0 o 1. ^[3] En la teoría de conjuntos difusos, los conjuntos bivalentes clásicos suelen denominarse conjuntos nítidos . La teoría de conjuntos difusos se puede utilizar en una amplia gama de dominios en los que la información es incompleta o imprecisa, como la bioinformática . ^[4]

Definición

Un conjunto difuso es un par donde es un conjunto (que a menudo se requiere que no esté vacío ) y una función de pertenencia. El conjunto de referencia (a veces denotado por o ) se llama universo de discurso y para cada uno el valor se llama grado de pertenencia de en . La función se llama función de pertenencia del conjunto difuso . ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m\colon U\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle m(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m=\mu _{A}}$ ${\displaystyle A=(U,m)}$

Para un conjunto finito, el conjunto difuso se denota a menudo por ${\displaystyle U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},}$ ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle \{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.}$

Sea . Entonces se llama ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle x}$

• no incluido en el conjunto difuso si (ningún miembro), ${\displaystyle (U,m)}$ ${\displaystyle m(x)=0}$
• totalmente incluido si (miembro pleno), ${\displaystyle m(x)=1}$
• parcialmente incluido si (miembro difuso). ^[5] ${\displaystyle 0<m(x)<1}$

El conjunto (nítido) de todos los conjuntos difusos de un universo se denota con (o a veces simplemente ). ^[6] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle SF(U)}$ ${\displaystyle F(U)}$

Conjuntos nítidos relacionados con un conjunto difuso

Para cualquier conjunto difuso se definen los siguientes conjuntos nítidos: ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$se llama su corte α (también conocido como conjunto de nivel α )
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$se llama su corte α fuerte (también conocido como conjunto de nivel α fuerte )
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$se llama su soporte
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$se llama su núcleo (o a veces kernel ). ${\displaystyle \operatorname {Kern} (A)}$

Tenga en cuenta que algunos autores entienden "kernel" de una manera diferente; vea a continuación.

Otras definiciones

• Un conjunto difuso está vacío ( ) si y solo si) ${\displaystyle A=(U,m)}$ ${\displaystyle A=\varnothing }$

${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• Dos conjuntos difusos y son iguales ( ) si y solo si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• Un conjunto difuso se incluye en un conjunto difuso ( ) si y solo si ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• Para cualquier conjunto difuso , cualquier elemento que satisfaga ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x\in U}$

${\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

se llama punto de cruce .

• Dado un conjunto difuso , cualquier , para el cual no está vacío, se llama nivel de A. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$
• El conjunto de niveles de A es el conjunto de todos los niveles que representan cortes distintos. Es la imagen de : ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• Para un conjunto difuso , su altura viene dada por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

donde denota el supremo , que existe porque no está vacío y está acotado superiormente por 1. Si U es finito, podemos simplemente reemplazar el supremo por el máximo. ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle \mu _{A}(U)}$

• Se dice que un conjunto difuso está normalizado si y solo si ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

En el caso finito, donde el supremo es un máximo, esto significa que al menos un elemento del conjunto difuso tiene plena pertenencia. Un conjunto difuso no vacío se puede normalizar con el resultado de dividir la función de pertenencia del conjunto difuso por su altura: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

Además de las similitudes, esto difiere de la normalización habitual en que la constante normalizadora no es una suma.

• Para conjuntos difusos de números reales con soporte acotado , el ancho se define como ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

En el caso cuando es un conjunto finito, o más generalmente un conjunto cerrado , el ancho es simplemente ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

En el caso n -dimensional lo anterior puede reemplazarse por el volumen n -dimensional de . ${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

En general, esto se puede definir dada cualquier medida en U , por ejemplo, mediante la integración (por ejemplo, la integración de Lebesgue ) de . ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

• Se dice que un conjunto difuso real es convexo (en el sentido difuso, que no debe confundirse con un conjunto convexo nítido ), si y solo si ${\displaystyle A(U\subseteq \mathbb {R} )}$

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x ≤ y , lo que da la formulación equivalente

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Esta definición se puede extender a una para un espacio topológico general U : decimos que el conjunto difuso es convexo cuando, para cualquier subconjunto Z de U , se cumple la condición ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

se cumple, donde denota el límite de Z y denota la imagen de un conjunto X (aquí ) bajo una función f (aquí ). ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$ ${\displaystyle \partial Z}$ ${\displaystyle \mu _{A}}$

Operaciones de conjuntos difusos

Aunque el complemento de un conjunto difuso tiene una única definición más común, las otras operaciones principales, unión e intersección, tienen cierta ambigüedad.

• Para un conjunto difuso dado , su complemento (a veces denotado como o ) se define mediante la siguiente función de pertenencia: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \neg {A}}$ ${\displaystyle A^{c}}$ ${\displaystyle cA}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$.

• Sea t una t-norma y s la s-norma correspondiente (también conocida como t-conorma). Dado un par de conjuntos difusos , su intersección se define por: ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\cap {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$,

y su unión se define por: ${\displaystyle A\cup {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$.

Por la definición de la norma t, vemos que la unión y la intersección son conmutativas , monótonas , asociativas y tienen un elemento nulo y un elemento identidad . Para la intersección, estos son ∅ y U , respectivamente, mientras que para la unión, estos son inversos. Sin embargo, la unión de un conjunto difuso y su complemento puede no dar como resultado el universo completo U , y la intersección de ellos puede no dar el conjunto vacío ∅. Dado que la intersección y la unión son asociativas, es natural definir la intersección y la unión de una familia finita de conjuntos difusos de forma recursiva. Cabe destacar que los operadores estándar generalmente aceptados para la unión y la intersección de conjuntos difusos son los operadores max y min:

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$y . ^[7] ${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$

• Si el negador estándar se reemplaza por otro negador fuerte , la diferencia del conjunto difuso se puede generalizar mediante ${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• El triple de intersección, unión y complemento difusos forma un triplete de De Morgan . Es decir, las leyes de De Morgan se extienden a este triplete.

Se pueden derivar ejemplos de pares de intersección/unión difusa con negador estándar de los ejemplos proporcionados en el artículo sobre normas t .

La intersección difusa no es idempotente en general, porque la norma t estándar min es la única que tiene esta propiedad. De hecho, si se utiliza la multiplicación aritmética como norma t, la operación de intersección difusa resultante no es idempotente. Es decir, tomar iterativamente la intersección de un conjunto difuso consigo mismo no es trivial. En cambio, define la potencia m de un conjunto difuso, que se puede generalizar canónicamente para exponentes no enteros de la siguiente manera:

• Para cualquier conjunto difuso , la potencia ν-ésima de está definida por la función de pertenencia: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

El caso del exponente dos es lo suficientemente especial como para que se le dé un nombre.

• Para cualquier conjunto difuso la concentración está definida ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

Tomando , tenemos y ${\displaystyle 0^{0}=1}$ ${\displaystyle A^{0}=U}$ ${\displaystyle A^{1}=A.}$

• Dados conjuntos difusos , la diferencia de conjuntos difusos , también denotada , puede definirse directamente a través de la función de pertenencia: ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\setminus B}$ ${\displaystyle A-B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

Lo que significa , por ejemplo: ${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^[8]

Otra propuesta para una diferencia de conjuntos podría ser:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^[8]

• Dubois y Prade (1980) han propuesto diferencias de conjuntos difusos simétricos, ya sea tomando el valor absoluto , dando

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

o usando una combinación de solo max , min y negación estándar, obteniendo

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^[8]

Vemur et al. (2014) propusieron axiomas para la definición de diferencias simétricas generalizadas análogos a los de las t-normas, t-conormas y negadores, con predecesores de Alsina et al. (2005) y Bedregal et al. (2009). ^[8]

• A diferencia de los conjuntos nítidos, las operaciones de promedio también se pueden definir para conjuntos difusos.

Conjuntos difusos disjuntos

En contraste con la ambigüedad general de las operaciones de intersección y unión, hay claridad para los conjuntos difusos disjuntos: dos conjuntos difusos son disjuntos si y solo si ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

que es equivalente a

${\displaystyle \nexists }$ ${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

y también equivalente a

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

Tenemos en cuenta que min / max es el par at/s-norm y que cualquier otro también funcionará aquí.

Los conjuntos difusos son disjuntos si y sólo si sus soportes son disjuntos según la definición estándar para conjuntos nítidos.

Para conjuntos difusos disjuntos, cualquier intersección dará ∅, y cualquier unión dará el mismo resultado, que se denota como ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

con su función de pertenencia dada por

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

Nótese que sólo uno de ambos sumandos es mayor que cero.

Para conjuntos difusos disjuntos se cumple lo siguiente: ${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

Esto se puede generalizar a familias finitas de conjuntos difusos de la siguiente manera: dada una familia de conjuntos difusos con un conjunto índice I (por ejemplo, I = {1,2,3,..., n }), esta familia es disjunta (en pares) si y solo si ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

Una familia de conjuntos difusos es disjunta, solo si la familia de soportes subyacentes es disjunta en el sentido estándar para familias de conjuntos nítidos. ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$

Independientemente del par t/s-norma, la intersección de una familia disjunta de conjuntos difusos dará ∅ nuevamente, mientras que la unión no tiene ambigüedad:

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

con su función de pertenencia dada por

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

Nuevamente sólo uno de los sumandos es mayor que cero.

Para familias disjuntas de conjuntos difusos se cumple lo siguiente: ${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

Cardinalidad escalar

Para un conjunto difuso con soporte finito (es decir, un "conjunto difuso finito"), su cardinalidad (también conocida como cardinalidad escalar o conteo sigma ) viene dada por ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$.

En el caso de que U mismo sea un conjunto finito, la cardinalidad relativa viene dada por

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$.

Esto se puede generalizar para que el divisor sea un conjunto difuso no vacío: para conjuntos difusos con G ≠ ∅, podemos definir la cardinalidad relativa mediante: ${\displaystyle A,G}$

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$,

que parece muy similar a la expresión de probabilidad condicional . Nota:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$aquí.
• El resultado puede depender de la intersección específica (norma t) elegida.
• Porque el resultado es inequívoco y se asemeja a la definición anterior. ${\displaystyle G=U}$

Distancia y similitud

Para cualquier conjunto difuso, la función de pertenencia puede considerarse como una familia . Esta última es un espacio métrico con varias métricas conocidas. Una métrica puede derivarse de una norma (norma vectorial) mediante ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \|\,\|}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$.

Por ejemplo, si es finito, es decir , dicha métrica puede definirse mediante: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$donde y son secuencias de números reales entre 0 y 1. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Para el infinito , el máximo puede reemplazarse por un supremo. Debido a que los conjuntos difusos se definen de manera inequívoca mediante su función de pertenencia, esta métrica se puede utilizar para medir distancias entre conjuntos difusos en el mismo universo: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$,

que en el ejemplo anterior se convierte en:

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$.

Nuevamente, para el infinito, el máximo debe reemplazarse por un supremo. Otras distancias (como la 2-norma canónica) pueden divergir si los conjuntos difusos infinitos son demasiado diferentes, por ejemplo, y . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle U}$

Las medidas de similitud (aquí indicadas por ) pueden entonces derivarse de la distancia, por ejemplo, siguiendo una propuesta de Koczy: ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$si es finito, de lo contrario, ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

o según Williams y Steele:

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$Si es finito, de lo contrario ${\displaystyle d(A,B)}$ ${\displaystyle 0}$

donde es un parámetro de pendiente y . ^[6] ${\displaystyle \alpha >0}$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$

Beg y Ashraf también ofrecen otra definición para medidas de similitud con valores de intervalo (más bien "difusas") . ^[6] ${\displaystyle \zeta }$

yo-conjuntos difusos

A veces, se utilizan variantes más generales de la noción de conjunto difuso, con funciones de pertenencia que toman valores en un álgebra (fija o variable) o estructura de un tipo dado; por lo general, se requiere que sea al menos un conjunto poset o red . Estos suelen llamarse conjuntos L -difusos , para distinguirlos de los que tienen valores en el intervalo unitario. Las funciones de pertenencia habituales con valores en [0, 1] se denominan entonces funciones de pertenencia con valores [0, 1]. Este tipo de generalizaciones fueron consideradas por primera vez en 1967 por Joseph Goguen , que era un estudiante de Zadeh. ^[9] Un corolario clásico puede ser indicar valores de verdad y pertenencia mediante {f, t} en lugar de {0, 1}. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Atanassov ha proporcionado una extensión de los conjuntos difusos . Un conjunto difuso intuicionista (IFS) se caracteriza por dos funciones: ${\displaystyle A}$

1. – grado de pertenencia de x ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. – grado de no pertenencia de x ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

con funciones con . ${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

Esto se parece a una situación como la de una persona designada por votación. ${\displaystyle x}$

• para una propuesta : ( ), ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$
• en contra de ello: ( ), ${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$
• o abstenerse de votar: ( ). ${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$

Después de todo, tenemos un porcentaje de aprobaciones, un porcentaje de negaciones y un porcentaje de abstenciones.

Para esta situación, se pueden definir negadores "difusos intuitivos" especiales, normas t y s. Con y combinando ambas funciones, esta situación se asemeja a un tipo especial de conjuntos L -difusos. ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$ ${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$

Una vez más, esto se ha ampliado definiendo conjuntos difusos de imágenes (PFS) de la siguiente manera: Un PFS A se caracteriza por tres funciones que asignan U a [0, 1]: , "grado de membresía positiva", "grado de membresía neutral" y "grado de membresía negativa" respectivamente y una condición adicional Esto amplía la muestra de votación anterior con una posibilidad adicional de "rechazo de votación". ${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$ ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$

Con negadores especiales de "imagen difusa", normas t y s, esto se parece simplemente a otro tipo de conjuntos L -difusos. ^{[10] [11]} ${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$

Conjuntos difusos neutrosóficos

Algunos avances clave en la introducción de conceptos de conjuntos difusos. ^[12]

El concepto de SFI se ha ampliado a dos modelos principales: los conjuntos difusos neutrosóficos y los conjuntos difusos pitagóricos. ^[12]

Los conjuntos difusos neutrosóficos fueron introducidos por Smarandache en 1998. ^[13] Al igual que IFS, los conjuntos difusos neutrosóficos tienen las dos funciones anteriores: una para la pertenencia y otra para la no pertenencia . La principal diferencia es que los conjuntos difusos neutrosóficos tienen una función más: para indeterminación . Este valor indica el grado de indecisión de que la entidad x pertenece al conjunto. Este concepto de tener un valor indeterminado puede ser particularmente útil cuando no se puede estar muy seguro de los valores de pertenencia o no pertenencia para el elemento x . ^[14] En resumen, los conjuntos difusos neutrosóficos están asociados con las siguientes funciones: ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$ ${\displaystyle i_{A}(x)}$ ${\displaystyle i_{A}(x)}$

1. —grado de pertenencia de x ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

2. —grado de no pertenencia de x ${\displaystyle \nu _{A}(x)}$

3. —grado de indeterminación del valor de x ${\displaystyle i_{A}(x)}$

Conjuntos difusos pitagóricos

La otra extensión de IFS es lo que se conoce como conjuntos difusos pitagóricos. Los conjuntos difusos pitagóricos son más flexibles que los IFS. Los IFS se basan en la restricción , que puede considerarse demasiado restrictiva en algunas ocasiones. Es por esto que Yager propuso el concepto de conjuntos difusos pitagóricos. Tales conjuntos satisfacen la restricción , que recuerda al teorema de Pitágoras. ^{[15] [16] [17]} Los conjuntos difusos pitagóricos pueden aplicarse a aplicaciones de la vida real en las que la condición previa de no es válida. Sin embargo, la condición menos restrictiva de puede ser adecuada en más dominios. ^{[12] [14]} ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$

Lógica difusa

Como una extensión del caso de la lógica multivaluada , las valoraciones ( ) de variables proposicionales ( ) en un conjunto de grados de pertenencia ( ) pueden considerarse como funciones de pertenencia que asignan predicados a conjuntos difusos (o más formalmente, a un conjunto ordenado de pares difusos, llamado relación difusa). Con estas valoraciones, la lógica multivaluada puede extenderse para permitir premisas difusas de las que se pueden extraer conclusiones graduadas. ^[18] ${\displaystyle \mu :{\mathit {V}}_{o}\to {\mathit {W}}}$ ${\displaystyle {\mathit {V}}_{o}}$ ${\displaystyle {\mathit {W}}}$

Esta extensión a veces se denomina "lógica difusa en sentido estricto" en contraposición a "lógica difusa en sentido más amplio", que se originó en los campos de ingeniería del control automatizado y la ingeniería del conocimiento , y que abarca muchos temas que involucran conjuntos difusos y "razonamiento aproximado". ^[19]

Las aplicaciones industriales de los conjuntos difusos en el contexto de la "lógica difusa en el sentido más amplio" se pueden encontrar en lógica difusa .

Número difuso

Un número difuso ^[20] es un conjunto difuso que satisface todas las condiciones siguientes:

• A está normalizado;
• A es un conjunto convexo;
• La función de pertenencia alcanza el valor 1 al menos una vez; ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$
• La función de pertenencia es al menos segmentariamente continua. ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

Si no se cumplen estas condiciones, entonces A no es un número difuso . El núcleo de este número difuso es un singleton ; su ubicación es:

${\displaystyle \,C(A)=x^{*}:\mu _{A}(x^{*})=1}$

Los números difusos se pueden comparar con el juego de feria "adivina tu peso", donde alguien adivina el peso del concursante, siendo las conjeturas más cercanas más correctas, y donde el que adivina "gana" si adivina lo suficientemente cerca del peso del concursante, siendo el peso real completamente correcto (asignado a 1 por la función de pertenencia).

El núcleo de un intervalo difuso se define como la parte "interna", sin las partes "salientes", donde el valor de pertenencia es constante hasta el infinito. En otras palabras, el subconjunto más pequeño de donde es constante fuera de él, se define como el núcleo. ${\displaystyle K(A)=\operatorname {Kern} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$

Sin embargo, existen otros conceptos de números difusos e intervalos, ya que algunos autores no insisten en la convexidad.

Categorías difusas

El uso de la pertenencia a conjuntos como componente clave de la teoría de categorías se puede generalizar a los conjuntos difusos. Este enfoque, que comenzó en 1968 poco después de la introducción de la teoría de conjuntos difusos, ^[21] condujo al desarrollo de las categorías de Goguen en el siglo XXI. ^{[22] [23]} En estas categorías, en lugar de utilizar la pertenencia a conjuntos de dos valores, se utilizan intervalos más generales, y pueden ser retículos como en los conjuntos L -difusos. ^{[23] [24]}

Ecuación de relación difusa

La ecuación de relación difusa es una ecuación de la forma A · R = B , donde A y B son conjuntos difusos, R es una relación difusa y A · R representa la composición de A con  R ^{[ cita requerida ]} .

Entropía

Una medida de borrosidad para conjuntos difusos del universo debe cumplir las siguientes condiciones para todos : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U}$

1. ${\displaystyle d(A)=0}$Si es un conjunto nítido: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)\in \{0,\,1\}}$
2. ${\displaystyle d(A)}$tiene un máximo único si y solo si ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0.5}$
3. ${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\iff }$

${\displaystyle \mu _{A}\leq \mu _{B}\leq 0.5}$

${\displaystyle \mu _{A}\geq \mu _{B}\geq 0.5}$

lo que significa que B es "más nítido" que A.

1. ${\displaystyle d(\neg {A})=d(A)}$

En este caso se llama entropía del conjunto difuso A . ${\displaystyle d(A)}$

Para finito la entropía de un conjunto difuso está dada por ${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle d(A)=H(A)+H(\neg {A})}$,

${\displaystyle H(A)=-k\sum _{i=1}^{n}\mu _{A}(x_{i})\ln \mu _{A}(x_{i})}$

o simplemente

${\displaystyle d(A)=-k\sum _{i=1}^{n}S(\mu _{A}(x_{i}))}$

¿Dónde está la función de Shannon (función de entropía natural)? ${\displaystyle S(x)=H_{e}(x)}$

${\displaystyle S(\alpha )=-\alpha \ln \alpha -(1-\alpha )\ln(1-\alpha ),\ \alpha \in [0,1]}$

y es una constante que depende de la unidad de medida y de la base logarítmica utilizada (aquí hemos utilizado la base natural e ). La interpretación física de k es la constante de Boltzmann k ^B . ${\displaystyle k}$

Sea un conjunto difuso con una función de pertenencia continua (variable difusa). Entonces ${\displaystyle A}$

${\displaystyle H(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \ln \operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace \,dt}$

y su entropía es

${\displaystyle d(A)=-k\int _{-\infty }^{\infty }S(\operatorname {Cr} \lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.}$^{[25] [26]}

Extensiones

Existen muchas construcciones matemáticas similares o más generales que los conjuntos difusos. Desde que se introdujeron los conjuntos difusos en 1965, se han desarrollado muchas construcciones y teorías matemáticas nuevas que tratan la imprecisión, la inexactitud, la ambigüedad y la incertidumbre. Algunas de estas construcciones y teorías son extensiones de la teoría de conjuntos difusos, mientras que otras intentan modelar matemáticamente la imprecisión y la incertidumbre de una manera diferente. ^[27]

Véase también

• Teoría de conjuntos alternativos
• Desfuzzificación
• Concepto difuso
• Matemáticas difusas
• Operaciones de conjuntos difusos
• Subálgebra difusa
• Elemento finito de intervalo
• Información parcial lineal
• Conjunto múltiple
• Neuro-difuso
• Hibridación difusa áspera
• Conjunto preliminar
• Índice de similitud de Sørensen
• Conjuntos y sistemas difusos de tipo 2
• Incertidumbre

Referencias

1. LA Zadeh (1965) "Conjuntos difusos" Archivado el 13 de agosto de 2015 en Wayback Machine . Información y control 8 (3) 338–353.
2. Klaua, D. (1965) Über einen Ansatz zur mehrwertigen Mengenlehre. Monatsb. Alemán. Akád. Wiss. Berlín 7, 859–876. Gottwald, S. (2010) proporcionó un análisis en profundidad reciente de este artículo . "Un enfoque temprano hacia la identidad graduada y la membresía graduada en la teoría de conjuntos". Conjuntos y sistemas difusos . 161 (18): 2369–2379. doi :10.1016/j.fss.2009.12.005.
3. D. Dubois y H. Prade (1988) Conjuntos y sistemas difusos. Academic Press, Nueva York.
4. Liang, Lily R.; Lu, Shiyong; Wang, Xuena; Lu, Yi; Mandal, Vinay; Patacsil, Dorrelyn; Kumar, Deepak (2006). "FM-test: Un enfoque basado en la teoría de conjuntos difusos para el análisis de datos de expresión génica diferencial". BMC Bioinformatics . 7 (Supl 4): S7. doi : 10.1186/1471-2105-7-S4-S7 . PMC 1780132 . PMID  17217525. 
5. "AAAI". Archivado desde el original el 5 de agosto de 2008.
6. Ismat Beg, Samina Ashraf: Medidas de similitud para conjuntos difusos, en: Applied and Computational Mathematics, marzo de 2009, disponible en Research Gate desde el 23 de noviembre de 2016
7. Bellman, Richard; Giertz, Magnus (1973). "Sobre el formalismo analítico de la teoría de conjuntos difusos". Ciencias de la Información . 5 : 149–156. doi :10.1016/0020-0255(73)90009-1.
8. NR Vemuri, AS Hareesh, MS Srinath: Diferencia de conjuntos y diferencia simétrica de conjuntos difusos, en: Fuzzy Sets Theory and Applications 2014, Liptovský Ján, República Eslovaca
9. Goguen, Joseph A. , 196, " Conjuntos L -difusos". Revista de análisis matemático y aplicaciones 18 : 145–174
10. Bui Cong Cuong, Vladik Kreinovich, Roan Thi Ngan: Una clasificación de operadores de norma t representables para conjuntos difusos de imágenes, en: Informes técnicos departamentales (CS). Artículo 1047, 2016
11. Tridiv Jyoti Neog, Dusmanta Kumar Sut: Complemento de un conjunto difuso extendido, en: International Journal of Computer Applications (097 5–8887), Volumen 29 N.º 3, septiembre de 2011
12. Yanase J, Triantaphyllou E (2019). "Un estudio sistemático del diagnóstico asistido por ordenador en medicina: desarrollos pasados ​​y presentes". Sistemas expertos con aplicaciones . 138 : 112821. doi :10.1016/j.eswa.2019.112821. S2CID  199019309.
13. Smarandache, Florentin (1998). Neutrosofía: probabilidad neutrosófica, conjunto y lógica: síntesis analítica y análisis sintético . American Research Press. ISBN 978-1879585638.
14. Yanase J, Triantaphyllou E (2019). "Los siete desafíos clave para el futuro del diagnóstico asistido por computadora en medicina". Revista internacional de informática médica . 129 : 413–422. doi :10.1016/j.ijmedinf.2019.06.017. PMID  31445285. S2CID  198287435.
15. Yager, Ronald R. (junio de 2013). "Subconjuntos difusos pitagóricos". Congreso Mundial Conjunto de la IFSA y Reunión Anual de la NAFIPS de 2013 (IFSA/NAFIPS) . págs. 57–61. doi :10.1109/IFSA-NAFIPS.2013.6608375. ISBN 978-1-4799-0348-1.S2CID36286152  .​ {{cite book}}: |journal=ignorado ( ayuda )
16. Yager, Ronald R (2013). "Grados de pertenencia pitagóricos en la toma de decisiones multicriterio". IEEE Transactions on Fuzzy Systems . 22 (4): 958–965. doi :10.1109/TFUZZ.2013.2278989. S2CID  37195356.
17. Yager, Ronald R. (diciembre de 2015). Propiedades y aplicaciones de los conjuntos difusos pitagóricos . Springer, Cham. pp. 119–136. ISBN 978-3-319-26302-1.
18. Siegfried Gottwald , 2001. Tratado sobre lógicas polivalentes . Baldock, Hertfordshire, Inglaterra: Research Studies Press Ltd., ISBN 978-0-86380-262-1 
19. "El concepto de variable lingüística y su aplicación al razonamiento aproximado", Ciencias de la Información 8 : 199–249, 301–357; 9 : 43–80.
20. "Conjuntos difusos como base para una teoría de la posibilidad", Conjuntos y sistemas difusos
21. JA Goguen "Categorías de conjuntos difusos: aplicaciones de la teoría de conjuntos no cantoriana" Tesis doctoral Universidad de California, Berkeley, 1968
22. Michael Winter "Categorías de Goguen: un enfoque categórico de las relaciones L-difusas" 2007 Springer ISBN 9781402061639 
23. Michael Winter "Teoría de la representación de las categorías de Goguen" Fuzzy Sets and Systems Volumen 138, Número 1, 16 de agosto de 2003, páginas 85-126
24. Goguen, JA, "Conjuntos difusos L". Revista de análisis matemático y aplicaciones 18(1):145–174, 1967
25. Xuecheng, Liu (1992). "Entropía, medida de distancia y medida de similitud de conjuntos difusos y sus relaciones". Fuzzy Sets and Systems . 52 (3): 305–318. doi :10.1016/0165-0114(92)90239-Z.
26. Li, Xiang (2015). "Entropía cruzada difusa". Revista de análisis de incertidumbre y aplicaciones . 3 . doi : 10.1186/s40467-015-0029-5 .
27. Burgin y Chunihin 1997; Kerré 2001; Deschrijver y Kerre 2003.

Bibliografía

• Alkhazaleh, S. y Salleh, AR Fuzzy Soft Multiset Theory, Abstract and Applied Analysis, 2012, artículo ID 350600, 20 p.
• Atanassov, KT (1983) Conjuntos difusos intuicionistas, VII Sesión del ITKR, Sofía (depositado en la Biblioteca Científica y Técnica Central de la Academia Bulga de Ciencias, 1697/84) (en búlgaro)
• Atanassov, Krassimir T. (1986). "Conjuntos difusos intuicionistas". Conjuntos difusos y sistemas . 20 : 87–96. doi :10.1016/S0165-0114(86)80034-3.
• Baruah, Hemanta K. (2011) La teoría de los conjuntos difusos: creencias y realidades, Revista internacional de energía, información y comunicaciones, vol. 2, número 2, 1-22.
• Baruah, Hemanta K. (2012) Introducción a la teoría de conjuntos imprecisos: las matemáticas de la presencia parcial, Revista internacional de ciencias computacionales y matemáticas, vol. 2, n.º 2, 110 – 124.
• Bezdek, JC (1978). "Particiones y relaciones difusas y base axiomática para el agrupamiento". Fuzzy Sets and Systems . 1 (2): 111–127. doi :10.1016/0165-0114(78)90012-X.
• Blizard, Wayne D. (1989). "Multiconjuntos de valores reales y conjuntos difusos". Fuzzy Sets and Systems . 33 : 77–97. doi :10.1016/0165-0114(89)90218-2.
• Brown, Joseph G. (1971). "Una nota sobre conjuntos difusos". Información y control . 18 : 32–39. doi :10.1016/S0019-9958(71)90288-9.
• Brutoczki Kornelia: Lógica difusa (Diploma) – Aunque este guión tiene muchas rarezas e inconvenientes debido a su estado incompleto, puede usarse como plantilla para ejercitar la eliminación de estos problemas.
• Burgin, M. Teoría de conjuntos nombrados como base fundamental para las matemáticas, en Estructuras en teorías matemáticas, San Sebastián, 1990, págs. 417–420
• Burgin, M.; Chunihin, A. (1997). "Conjuntos con nombre en el análisis de la incertidumbre". Problemas metodológicos y teóricos de las matemáticas y las ciencias de la información . Kiev: 72–85.
• Gianpiero Cattaneo y Davide Ciucci, "Álgebras de Heyting Wajsberg como un entorno abstracto que vincula conjuntos difusos y aproximados" en JJ Alpigini et al. (Eds.): RSCTC 2002, LNAI 2475, págs. 77–84, 2002. doi :10.1007/3-540-45813-1_10
• Chamorro-Martínez, J. et al.: Una discusión sobre la cardinalidad difusa y la cuantificación. Algunas aplicaciones en el procesamiento de imágenes, SciVerse ScienceDirect: Fuzzy Sets and Systems 257 (2014) 85–101, 30 de mayo de 2013
• Chapin, EW (1974) Teoría de conjuntos con valores de conjunto, I, Notre Dame J. Formal Logic, v. 15, págs. 619–634
• Chapin, EW (1975) Teoría de conjuntos con valores de conjunto, II, Notre Dame J. Formal Logic, v. 16, págs. 255–267
• Cornelis, Chris; De Cock, Martine; Kerre, Etienne E. (2003). "Conjuntos aproximados difusos intuicionistas: en la encrucijada del conocimiento imperfecto". Expert Systems . 20 (5): 260–270. doi :10.1111/1468-0394.00250. S2CID  15031773.
• Cornelis, C., Deschrijver, C., y Kerre, EE (2004) Implicación en la teoría de conjuntos difusos intuicionistas y de valores de intervalo: construcción, clasificación, aplicación, International Journal of Approximate Reasoning, v. 35, págs. 55–95
• De Cock, Martine; Bodenhofer, Ulrich; Kerre, Etienne E. (1–4 de octubre de 2000). Modelado de expresiones lingüísticas mediante relaciones difusas . Actas de la 6.ª Conferencia internacional sobre informática blanda. Iizuka, Japón. págs. 353–360. CiteSeerX  10.1.1.32.8117 .
• Demirci, Mustafa (1999). "Conjuntos genuinos". Conjuntos y sistemas difusos . 105 (3): 377–384. doi :10.1016/S0165-0114(97)00235-2.
• Descripción, G.; Kerre, EE (2003). "Sobre la relación entre algunas extensiones de la teoría de conjuntos difusos". Fuzzy Sets and Systems . 133 (2): 227–235. doi :10.1016/S0165-0114(02)00127-6.
• Didier Dubois, Henri M. Prade, ed. (2000). Fundamentos de los conjuntos difusos . Serie Manuales de conjuntos difusos. Vol. 7. Springer. ISBN 978-0-7923-7732-0.
• Feng F. Conjuntos difusos generalizados aproximados basados ​​en conjuntos blandos, Soft Computing, julio de 2010, volumen 14, número 9, págs. 899-911
• Gentilhomme, Y. (1968) Les ensembles flous en linguistique, Cahiers Linguistique Theoretique Appliqee, 5, págs. 47–63
• Gogen, JA (1967) Conjuntos difusos L, Journal Math. Analysis Appl., v. 18, págs. 145–174
• Gottwald, S. (2006). "Universos de conjuntos difusos y axiomatizaciones de la teoría de conjuntos difusos. Parte I: Enfoques axiomáticos y basados ​​en modelos". Studia Logica . 82 (2): 211–244. doi :10.1007/s11225-006-7197-8. S2CID  11931230.. Gottwald, S. (2006). "Universos de conjuntos difusos y axiomatizaciones de la teoría de conjuntos difusos. Parte II: Enfoques teóricos de categorías". Studia Logica . 84 : 23–50. doi :10.1007/s11225-006-9001-1. S2CID  10453751.preimpresión..
• Grattan-Guinness, I. (1975) Pertenencia difusa asignada a intervalos y cantidades multivaluadas. Z. Math. Logik. Grundladen Math. 22, págs. 149–160.
• Grzymala-Busse, J. Aprendizaje a partir de ejemplos basados ​​en multiconjuntos aproximados, en Actas del 2º Simposio Internacional sobre Metodologías para Sistemas Inteligentes, Charlotte, Carolina del Norte, EE. UU., 1987, págs. 325–332
• Gylys, RP (1994) Conjuntos y haces cuánticos sobre quantales, Liet. Matem. Rink., v. 34, núm. 1, págs. 9–31.
• Ulrich Höhle, Stephen Ernest Rodabaugh, ed. (1999). Matemáticas de conjuntos difusos: lógica, topología y teoría de la medida . Serie Manuales de conjuntos difusos. Vol. 3. Springer. ISBN 978-0-7923-8388-8.
• Jahn, K.-U. (1975). "Intervall-wertige Mengen". Mathematische Nachrichten . 68 : 115-132. doi :10.1002/MANA.19750680109.
• Kaufmann, Arnold . Introducción a la teoría de subconjuntos difusos. Vol. 2. Academic Pr, 1975.
• Kerre, EE (2001). "Una primera visión de las alternativas de la teoría de conjuntos difusos". En B. Reusch; KH. Temme (eds.). Inteligencia computacional en teoría y práctica . Heidelberg: Physica-Verlag. págs. 55–72. doi :10.1007/978-3-7908-1831-4_4. ISBN 978-3-7908-1357-9.
• George J. Klir; Bo Yuan (1995). Conjuntos difusos y lógica difusa: teoría y aplicaciones . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-101171-7.
• Kuzmin, VB (1982). "Construcción de decisiones grupales en espacios de relaciones binarias estrictas y difusas" (en ruso). Nauka, Moscú.
• Lake, J. (1976) Conjuntos, conjuntos difusos, multiconjuntos y funciones, J. London Math. Soc., II Ser., v. 12, págs. 323–326
• Meng, D., Zhang, X. y Qin, K. Conjuntos difusos suaves y rugosos y conjuntos difusos suaves y rugosos, 'Computers & Mathematics with Applications', v. 62, número 12, 2011, págs. 4635–4645
• Miyamoto, Sadaaki (2001). "Multiconjuntos difusos y sus generalizaciones". Procesamiento de conjuntos múltiples . Apuntes de clase en informática. Vol. 2235. págs. 225-235. doi :10.1007/3-540-45523-X_11. ISBN 978-3-540-43063-6.
• Molodtsov, O. (1999) Teoría de conjuntos blandos: primeros resultados, Computers & Mathematics with Applications, v. 37, n.º 4/5, págs. 19-31
• Moore, RE Interval Analysis, Nueva York, Prentice-Hall, 1966
• Nakamura, A. (1988) Conjuntos aproximados difusos, 'Notas sobre lógica de valores múltiples en Japón', v. 9, págs. 1–8
• Narinyani, AS Conjuntos subdeterminados: un nuevo tipo de datos para la representación del conocimiento, Preimpresión 232, Proyecto VOSTOK, número 4, Novosibirsk, Centro de Computación, Academia de Ciencias de la URSS, 1980
• Pedrycz, W. Conjuntos sombreados: representación y procesamiento de conjuntos difusos, IEEE Transactions on System, Man, and Cybernetics, Parte B, 28, 103–109, 1998.
• Radecki, T. Level Fuzzy Sets, 'Revista de cibernética', volumen 7, número 3-4, 1977
• Radzikowska, AM y Etienne E. Kerre, EE Sobre conjuntos aproximados difusos L, inteligencia artificial y computación blanda – ICAISC 2004, 7.ª conferencia internacional, Zakopane, Polonia, 7 al 11 de junio de 2004, Actas; 01/2004
• Salii, VN (1965). "Relaciones L binarias" (PDF) . Izv. Vysh. Uchebn. Zaved. Matematika (en ruso). 44 (1): 133-145.
• Ramakrishnan, TV y Sabu Sebastian (2010) 'Un estudio sobre conjuntos multidifusos', Int. J. Appl. Math. 23, 713–721.
• Sabu Sebastian y Ramakrishnan, TV(2010) Conjuntos multidifusos, Int. Math. Forum 50, 2471–2476.
• Sabu Sebastian y Ramakrishnan, TV(2011) Conjuntos multidifusos: una extensión de los conjuntos difusos, Fuzzy Inf.Eng. 1, 35–43.
• Sabu Sebastian y Ramakrishnan, TV(2011) Extensiones multidifusas de funciones, Advance in Adaptive Data Analysis 3, 339–350.
• Sabu Sebastian y Ramakrishnan, TV (2011) Extensión multidifusa de funciones nítidas utilizando funciones puente, Ann. Fuzzy Math. Inform. 2 (1), 1–8
• Sambuc, R. Funciones φ-floues: Aplicación a la ayuda al diagnóstico en patología tiroidea, Ph.D. Tesis Univ. Marsella, Francia, 1975.
• Seising, Rudolf: La fuzzificación de los sistemas. La génesis de la teoría de conjuntos difusos y sus aplicaciones iniciales: desarrollos hasta la década de 1970 (Estudios sobre borrosidad y computación blanda, vol. 216) Berlín, Nueva York, [et al.]: Springer 2007.
• Smith, NJJ (2004) Vaguedad y conjuntos borrosos, 'J. of Phil. Logic', 33, págs. 165-235
• Werro, Nicolas: Clasificación difusa de clientes en línea Archivado el 1 de diciembre de 2017 en Wayback Machine , Universidad de Friburgo, Suiza, 2008, Capítulo 2
• Yager, RR (1986) Sobre la teoría de las bolsas, Revista internacional de sistemas generales, v. 13, págs. 23–37
• Yao, YY, Combinación de conjuntos aproximados y difusos basados ​​en conjuntos de nivel α, en: Conjuntos aproximados y minería de datos: análisis para datos imprecisos, Lin, TY y Cercone, N. (Eds.), Kluwer Academic Publishers, Boston, págs. 301–321, 1997.
• YY Yao, Un estudio comparativo de conjuntos difusos y conjuntos aproximados, Ciencias de la información, v. 109, número 1–4, 1998, págs. 227 – 242
• Zadeh, L. (1975) El concepto de variable lingüística y su aplicación al razonamiento aproximado – I, Inform. Sci., v. 8, págs. 199–249
• Hans-Jürgen Zimmermann (2001). Teoría de conjuntos difusos y sus aplicaciones (4.ª ed.). Kluwer. ISBN 978-0-7923-7435-0.