norma T

Concepto de lógica difusa

En matemáticas , una norma t (también norma T o, no abreviada, norma triangular ) es un tipo de operación binaria utilizada en el marco de espacios métricos probabilísticos y en lógica multivaluada , específicamente en lógica difusa . Una norma t generaliza la intersección en una red y la conjunción en lógica . El nombre norma triangular se refiere al hecho de que en el marco de espacios métricos probabilísticos las normas t se utilizan para generalizar la desigualdad triangular de espacios métricos ordinarios .

Definición

Una norma t es una función T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1] que satisface las siguientes propiedades:

• Conmutatividad : T( a , b ) = T( b , a )
• Monotonicidad : T( a , b ) ≤ T( c , d ) si a ≤ c y b ≤ d
• Asociatividad : T( a , T( b , c )) = T(T( a , b ), c ​​)
• El número 1 actúa como elemento de identidad : T( a , 1) = a

Dado que una norma t es una operación algebraica binaria en el intervalo [0, 1], la notación algebraica infija también es común, y la norma t generalmente se denota por  . ${\displaystyle *}$

Las condiciones que definen la norma t son exactamente las de un monoide abeliano parcialmente ordenado en el intervalo unitario real [0, 1]. (Cf.  grupo ordenado .) Por lo tanto, algunos autores denominan a la operación monoidal de cualquier monoide abeliano parcialmente ordenado L norma triangular en L .

Clasificación de normas t

Una norma t se llama continua si es continua como función, en la topología de intervalo habitual en [0, 1] ² . (Lo mismo ocurre con la continuidad izquierda y derecha ).

Una norma t se llama estricta si es continua y estrictamente monótona .

Una norma t se llama nilpotente si es continua y cada x en el intervalo abierto (0, 1) es nilpotente , es decir, existe un número natural n tal que x ... x ( n  veces) es igual a 0. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

Una norma t se llama Arquímedes si tiene la propiedad de Arquímedes , es decir, si para cada x , y en el intervalo abierto (0, 1) existe un número natural n tal que x ... x ( n  veces) es menor o igual a y . ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle *}$

El ordenamiento parcial habitual de las t-normas es puntual , es decir,

T ₁ ≤ T ₂   si T ₁ ( a , b ) ≤ T ₂ ( a , b ) para todo a , b en [0, 1].

Como funciones, las normas t puntualmente más grandes a veces se denominan más fuertes que las más pequeñas. Sin embargo, en la semántica de la lógica difusa, cuanto mayor es una norma t, más débil (en términos de fuerza lógica) representa la conjunción.

Ejemplos destacados

Gráfico de la norma t mínima (3D y contornos)

• La norma t mínima también se llama norma t de Gödel , ya que es la semántica estándar para la conjunción en la lógica difusa de Gödel . Además de eso, ocurre en la mayoría de las lógicas difusas basadas en normas t como semántica estándar para conjunciones débiles. Es la norma t puntual más grande (consulte las propiedades de las normas t a continuación). ${\displaystyle \top _{\mathrm {min} }(a,b)=\min\{a,b\},}$

Gráfica de la norma t del producto.

• Producto t-norma (el producto ordinario de números reales). Además de otros usos, la norma t del producto es la semántica estándar para una conjunción fuerte en la lógica difusa del producto . Es una estricta norma t de Arquímedes. ${\displaystyle \top _{\mathrm {prod} }(a,b)=a\cdot b}$

Gráfico de la norma t de Łukasiewicz

• Norma t de Łukasiewicz El nombre proviene del hecho de que la norma t es la semántica estándar para conjunciones fuertes en la lógica difusa de Łukasiewicz . Es una norma t de Arquímedes nilpotente, puntualmente más pequeña que la norma t del producto. ${\displaystyle \top _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\max\{0,a+b-1\}.}$

Gráfico de la drástica norma t. La función es discontinua en las líneas 0 < x = 1 y 0 < y = 1.

• Drástica norma t

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=1\\a&{\mbox{if }}b=1\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

El nombre refleja el hecho de que la norma t drástica es la norma t más pequeña puntualmente (consulte las propiedades de las normas t a continuación). Es una norma t de Arquímedes continua por la derecha.

Gráfica del mínimo nilpotente. La función es discontinua en la línea 0 < x = 1 − y < 1.

• Mínimo nilpotente

${\displaystyle \top _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\min(a,b)&{\mbox{if }}a+b>1\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

es un ejemplo estándar de una norma t que es continua a la izquierda, pero no continua. A pesar de su nombre, el mínimo nilpotente no es una norma t nilpotente.

Gráfica del producto de Hamacher

• Producto Hamacher

${\displaystyle \top _{\mathrm {H} _{0}}(a,b)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a=b=0\\{\frac {ab}{a+b-ab}}&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

es una estricta norma t de Arquímedes y un importante representante de las clases paramétricas de las normas t de Hamacher y las normas t de Schweizer-Sklar .

Propiedades de las normas t

La norma t drástica es la norma t más pequeña puntualmente y la mínima es la norma t más grande puntualmente:

${\displaystyle \top _{\mathrm {D} }(a,b)\leq \top (a,b)\leq \mathrm {\top _{min}} (a,b),}$para cualquier norma t y todo a , b en [0, 1]. ${\displaystyle \top }$

Para cada t-norma T, el número 0 actúa como elemento nulo: T( a , 0) = 0 para todo a en [0, 1].

Una t-norma T tiene divisores cero si y sólo si tiene elementos nilpotentes ; cada elemento nilpotente de T es también un divisor cero de T. El conjunto de todos los elementos nilpotentes es un intervalo [0,  a ] o [0,  a ), para algún a en [0, 1].

Propiedades de las normas t continuas

Aunque las funciones reales de dos variables pueden ser continuas en cada variable sin ser continuas en [0, 1] ² , este no es el caso con las t-normas: una t-norma T es continua si y sólo si es continua en una variable , es decir, si y sólo si las funciones f _y ( x ) = T( x , y ) son continuas para cada y en [0, 1]. Teoremas análogos son válidos para la continuidad izquierda y derecha de una norma t.

Una norma t continua es de Arquímedes si y sólo si 0 y 1 son sus únicos idempotentes .

Una norma t continua de Arquímedes es estricta si 0 es su único elemento nilpotente ; de lo contrario es nilpotente. Por definición, además, una norma t de Arquímedes continua T es nilpotente si y sólo si cada x  < 1 es un elemento nilpotente de T. Así, con una norma t de Arquímedes continua T, todos o ninguno de los elementos de (0, 1) son nilpotentes. Si se da el caso de que todos los elementos en (0, 1) son nilpotentes, entonces la norma t es isomorfa a la norma t de Łukasiewicz; es decir, existe una función f estrictamente creciente tal que

${\displaystyle \top (x,y)=f^{-1}(\top _{\mathrm {Luk} }(f(x),f(y))).}$

Si, por otro lado, se da el caso de que no hay elementos nilpotentes de T, la norma t es isomorfa al producto norma t. En otras palabras, todas las normas t nilpotentes son isomorfas, siendo la norma t de Łukasiewicz su representante prototípica; y todas las normas t estrictas son isomorfas, con la norma t del producto como ejemplo prototípico. La norma t de Łukasiewicz es en sí misma isomorfa al producto de la norma t rebajada en 0,25, es decir, a la función p ( x ,  y ) = max(0,25, x  ·  y ) en [0,25, 1] ^​​2 .

Para cada norma t continua, el conjunto de sus idempotentes es un subconjunto cerrado de [0, 1]. Su complemento (el conjunto de todos los elementos que no son idempotentes) es, por tanto, una unión de un número contable de intervalos abiertos que no se superponen. La restricción de la norma t a cualquiera de estos intervalos (incluidos sus puntos finales) es de Arquímedes y, por tanto, isomorfa a la norma t de Łukasiewicz o a la norma t del producto. Para tales x , y que no caen en el mismo intervalo abierto de no idempotentes, la norma t se evalúa al mínimo de x e y . En realidad, estas condiciones dan una caracterización de las normas t continuas, llamada teorema de Mostert-Shields , ya que cada norma t continua se puede descomponer de esta manera, y la construcción descrita siempre produce una norma t continua. El teorema también se puede formular de la siguiente manera:

Una norma t es continua si y sólo si es isomorfa a una suma ordinal del mínimo, Łukasiewicz, y el producto de la norma t.

No se conoce un teorema de caracterización similar para normas t no continuas (ni siquiera para normas continuas por la izquierda), sólo se han encontrado algunos métodos no exhaustivos para la construcción de normas t .

Residuo

Para cualquier norma t continua por la izquierda , existe una operación binaria única en [0, 1] tal que ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle \top (z,x)\leq y}$si y solo si ${\displaystyle z\leq (x\Rightarrow y)}$

para todo x , y , z en [0, 1]. Esta operación se llama residuo de la norma t. En notación de prefijo, el residuo de una norma t a menudo se denota con la letra R. ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle {\vec {\top }}}$

El intervalo [0, 1] equipado con una norma t y su residuo forma una red residual . La relación entre una norma t T y su residuo R es un caso de conjunción (específicamente, una conexión de Galois ): el residuo forma un adjunto derecho R( x , –) al funtor T(–, x ) para cada x en la celosía [0, 1] tomada como categoría poset .

En la semántica estándar de la lógica difusa basada en normas t, donde la conjunción es interpretada por una norma t, el residuo desempeña el papel de implicación (a menudo llamada implicación R ).

Propiedades básicas de los residuos.

Si es el residuo de una norma t continua por la izquierda , entonces ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle \top }$

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=\sup\{z\mid \top (z,x)\leq y\}.}$

En consecuencia, para todo x , y en el intervalo unitario,

${\displaystyle (x\Rightarrow y)=1}$si y solo si ${\displaystyle x\leq y}$

y

${\displaystyle (1\Rightarrow y)=y.}$

Si es una norma t continua por la izquierda y su residuo, entonces ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\min(x,y)&\geq &x*(x\Rightarrow y)\\\max(x,y)&=&\min((x\Rightarrow y)\Rightarrow y,(y\Rightarrow x)\Rightarrow x).\end{array}}}$

Si es continua, entonces la igualdad se cumple en el primero. ${\displaystyle *}$

Residua de normas t continuas a la izquierda comunes

Si x ≤ y , entonces R( x , y ) = 1 para cualquier residuo R. Por lo tanto, la siguiente tabla proporciona los valores de los residuos destacados solo para x > y .

conormas T

Las normas T (también llamadas normas S ) son duales a las normas t según la operación de inversión de orden que asigna 1 – x a x en [0, 1]. Dada una norma t , la conorma complementaria se define por ${\displaystyle \top }$

${\displaystyle \bot (a,b)=1-\top (1-a,1-b).}$

Esto generaliza las leyes de De Morgan .

De ello se deduce que una t-conorma satisface las siguientes condiciones, que pueden usarse para una definición axiomática equivalente de t-conorma independientemente de las t-normas:

• Conmutatividad: ⊥( a , b ) = ⊥( b , a )
• Monotonicidad: ⊥( a , b ) ≤ ⊥( c , d ) si a ≤ c y b ≤ d
• Asociatividad: ⊥( a , ⊥( b , c )) = ⊥(⊥( a , b ), c ​​)
• Elemento de identidad: ⊥( a , 0) = a

Las T-conormas se utilizan para representar la disyunción lógica en lógica difusa y la unión en teoría de conjuntos difusos .

Ejemplos de t-conormas

Las normas t importantes son aquellas duales a las normas t prominentes:

Gráfico de la máxima t-conorm (3D y contornos)

• La conorma t máxima , dual a la norma t mínima, es la conorma t más pequeña (consulte las propiedades de las conormas t a continuación). Es la semántica estándar para la disyunción en la lógica difusa de Gödel y para la disyunción débil en todas las lógicas difusas basadas en t-normas. ${\displaystyle \bot _{\mathrm {max} }(a,b)=\max\{a,b\}}$

Gráfica de la suma probabilística

• La suma probabilística es dual al producto t-norma. En teoría de la probabilidad expresa la probabilidad de la unión de eventos independientes . También es la semántica estándar para la disyunción fuerte en aquellas extensiones de lógica difusa del producto en las que es definible (por ejemplo, aquellas que contienen negación involutiva). ${\displaystyle \bot _{\mathrm {sum} }(a,b)=a+b-a\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$

Gráfica de la suma acotada t-conorm

• La suma acotada es dual a la norma t de Łukasiewicz. Es la semántica estándar para la disyunción fuerte en la lógica difusa de Łukasiewicz . ${\displaystyle \bot _{\mathrm {Luk} }(a,b)=\min\{a+b,1\}}$

Gráfica de la drástica conorma t. La función es discontinua en las rectas 1 > x = 0 y 1 > y = 0.

• Drástica t-conorm

${\displaystyle \bot _{\mathrm {D} }(a,b)={\begin{cases}b&{\mbox{if }}a=0\\a&{\mbox{if }}b=0\\1&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}}$

dual a la drástica norma t, es la conorma t más grande (consulte las propiedades de las conormas t a continuación).

Gráfica del máximo nilpotente. La función es discontinua en la línea 0 < x = 1 – y < 1.

• Máximo nilpotente , dual al mínimo nilpotente:

${\displaystyle \bot _{\mathrm {nM} }(a,b)={\begin{cases}\max(a,b)&{\mbox{if }}a+b<1\\1&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Gráfica de la suma de Einstein

• Suma de Einstein (compare la fórmula de suma de velocidades bajo la relatividad especial)

${\displaystyle \bot _{\mathrm {H} _{2}}(a,b)={\frac {a+b}{1+ab}}}$

es un dual a una de las normas t de Hamacher .

Propiedades de las t-conormas

Se pueden obtener muchas propiedades de las t-normas dualizando las propiedades de las t-normas, por ejemplo:

• Para cualquier t-conorm ⊥, el número 1 es un elemento aniquilador: ⊥( a , 1) = 1, para cualquier a en [0, 1].
• De manera dual a las normas t, todas las normas t están limitadas por la norma t máxima y drástica:

${\displaystyle \mathrm {\bot _{max}} (a,b)\leq \bot (a,b)\leq \bot _{\mathrm {D} }(a,b)}$, para cualquier t-conorm y todos a , b en [0, 1]. ${\displaystyle \bot }$

Otras propiedades resultan de las relaciones entre t-normas y t-conormas o su interacción con otros operadores, por ejemplo:

• Una norma t T se distribuye sobre una norma t ⊥, es decir,

T( x , ⊥( y , z )) = ⊥(T( x , y ), T( x , z )) para todo x , y , z en [0, 1],

si y solo si ⊥ es la t-conorma máxima. Dualmente, cualquier norma t se distribuye sobre el mínimo, pero no sobre ninguna otra norma t.

Negadores no estándar

Un negativo es una aplicación monótonamente decreciente tal que y . Un negativo n se llama ${\displaystyle n\colon [0,1]\to [0,1]}$ ${\displaystyle n(0)=1}$ ${\displaystyle n(1)=0}$

• estricto en caso de estricta monotonocidad, y
• fuerte si es estricto e involutivo , es decir, para todo en [0, 1]. ${\displaystyle n(n(x))=x}$ ${\displaystyle x}$

El negador estándar (canónico) es , que es a la vez estricto y fuerte. Como se utiliza el negador estándar en la definición anterior de un par t-norma/t-conorma, esto se puede generalizar de la siguiente manera: ${\displaystyle n(x)=1-x,\ x\in [0,1]}$

Un triplete de De Morgan es un triplete (T,⊥, n ) tal que ^[1]

1. T es una norma t
2. ⊥ es una t-conorma según la definición axiomática de t-conorma mencionada anteriormente
3. n es un negativo fuerte
4. ${\displaystyle \forall a,b\in [0,1]\colon \ n({\perp }(a,b))=\top (n(a),n(b))}$.

Ver también

• Construcción de normas t
• Lógicas difusas de norma T

Referencias

1. Ismat Beg, Samina Ashraf: Medidas de similitud para conjuntos difusos, en: Applied and Computational Mathematics, marzo de 2009, disponible en Research Gate desde el 23 de noviembre de 2016

• Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; y Pap, Endre (2000), Normas triangulares . Dordrecht: Kluwer. ISBN  0-7923-6416-3 .
• Hájek, Petr (1998), Metamatemáticas de la lógica difusa . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6 
• Cignoli, Roberto LO; D'Ottaviano, Itala ML ; y Mundici, Daniele (2000), Fundamentos algebraicos del razonamiento polivalente . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6009-5 
• Fodor, János (2004), "Normas t continuas de izquierda en lógica difusa: una descripción general". Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN  1785-8860 [1]