Un poliedro regular es un poliedro cuyo grupo de simetría actúa transitivamente sobre sus banderas . Un poliedro regular es altamente simétrico, siendo todos transitivos de aristas , transitivos de vértices y transitivos de caras . En contextos clásicos, se utilizan muchas definiciones equivalentes diferentes; una común es que las caras sean polígonos regulares congruentes que se ensamblan de la misma manera alrededor de cada vértice .
Un poliedro regular se identifica por su símbolo Schläfli de la forma { n , m }, donde n es el número de lados de cada cara y m el número de caras que se encuentran en cada vértice. Hay cinco poliedros regulares convexos finitos (los sólidos platónicos ) y cuatro poliedros regulares en forma de estrella (los poliedros de Kepler-Poinsot ), lo que hace nueve poliedros regulares en total. Además, existen cinco compuestos regulares de los poliedros regulares.
Hay cinco poliedros regulares convexos , conocidos como sólidos platónicos ; cuatro poliedros de estrellas regulares , los poliedros de Kepler-Poinsot ; y cinco compuestos regulares de poliedros regulares:
La propiedad de tener una disposición similar de caras alrededor de cada vértice puede sustituirse por cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes en la definición:
Un poliedro regular convexo tiene tres esferas relacionadas (otros poliedros carecen de al menos un tipo) que comparten su centro:
Los poliedros regulares son los más simétricos de todos los poliedros. Se encuentran en sólo tres grupos de simetría , que llevan el nombre de los sólidos platónicos:
Cualquier forma con simetría icosaédrica u octaédrica también contendrá simetría tetraédrica.
Los cinco sólidos platónicos tienen una característica de Euler de 2. Esto simplemente refleja que la superficie es una 2-esfera topológica, y lo mismo ocurre, por ejemplo, con cualquier poliedro que tenga forma de estrella con respecto a algún punto interior.
La suma de las distancias desde cualquier punto en el interior de un poliedro regular hasta los lados es independiente de la ubicación del punto (ésta es una extensión del teorema de Viviani ). Sin embargo, lo contrario no se cumple, ni siquiera para los tetraedros . [2]
En un par dual de poliedros, los vértices de un poliedro corresponden a las caras del otro y viceversa.
Los poliedros regulares muestran esta dualidad de la siguiente manera:
El símbolo de Schläfli del dual es simplemente el original escrito al revés, por ejemplo el dual de {5, 3} es {3, 5}.
En Escocia se han encontrado piedras talladas en formas que se asemejan a grupos de esferas o perillas y pueden tener hasta 4.000 años de antigüedad. Algunas de estas piedras muestran no sólo las simetrías de los cinco sólidos platónicos, sino también algunas de las relaciones de dualidad entre ellos (es decir, que los centros de las caras del cubo dan los vértices de un octaedro). Ejemplos de estas piedras se exhiben en la sala John Evans del Museo Ashmolean de la Universidad de Oxford . Por qué se crearon estos objetos o cómo sus creadores obtuvieron la inspiración para ellos es un misterio. Existen dudas con respecto a la interpretación matemática de estos objetos, ya que muchos tienen formas no platónicas, y quizás sólo uno haya resultado ser un verdadero icosaedro, en contraposición a una reinterpretación del icosaedro dual, el dodecaedro. [3]
También es posible que los etruscos precedieran a los griegos en su conocimiento de al menos algunos de los poliedros regulares, como lo demuestra el descubrimiento cerca de Padua (en el norte de Italia ) a finales del siglo XIX de un dodecaedro hecho de esteatita , y que data de más atrás. más de 2.500 años (Lindemann, 1987).
Los primeros registros escritos conocidos sobre los sólidos convexos regulares se originaron en la Grecia clásica. No se sabe cuándo se descubrieron todos estos sólidos ni quién, pero Teeteto (un ateniense ) fue el primero en dar una descripción matemática de los cinco (Van der Waerden, 1954), (Euclides, libro XIII). HSM Coxeter (Coxeter, 1948, Sección 1.9) le da crédito a Platón (400 a. C.) por haber hecho modelos de ellos, y menciona que uno de los primeros pitagóricos , Timeo de Locri , usó los cinco en una correspondencia entre los poliedros y la naturaleza de los poliedros. universo tal como se percibía entonces: esta correspondencia está registrada en el diálogo de Platón Timeo . La referencia de Euclides a Platón llevó a su descripción común como sólidos platónicos .
Se podría caracterizar la definición griega de la siguiente manera:
Esta definición descarta, por ejemplo, la pirámide cuadrada (ya que aunque todas las caras son regulares, la base cuadrada no es congruente con los lados triangulares), o la forma formada al unir dos tetraedros (ya que aunque todas las caras de esa bipirámide triangular Serían triángulos equiláteros, es decir congruentes y regulares, algunos vértices tienen 3 triángulos y otros tienen 4).
Este concepto de poliedro regular permanecería indiscutido durante casi 2000 años.
Los polígonos estelares regulares, como el pentagrama (pentágono estrella), también eran conocidos por los antiguos griegos; los pitagóricos utilizaban el pentagrama como signo secreto, pero no los utilizaban para construir poliedros. No fue hasta principios del siglo XVII que Johannes Kepler se dio cuenta de que los pentagramas podían usarse como caras de poliedros estelares regulares . Es posible que algunos de estos poliedros estelares hayan sido descubiertos por otros antes de la época de Kepler, pero Kepler fue el primero en reconocer que podían considerarse "regulares" si se eliminaba la restricción de que los poliedros regulares fueran convexos. Doscientos años después, Louis Poinsot también permitió figuras de vértices estelares (circuitos alrededor de cada esquina), lo que le permitió descubrir dos nuevos poliedros estelares regulares además de redescubrir el de Kepler. Estos cuatro son los únicos poliedros estelares regulares y han llegado a ser conocidos como poliedros de Kepler-Poinsot . No fue hasta mediados del siglo XIX, varias décadas después de la publicación de Poinsot, que Cayley les dio sus nombres en inglés moderno: pequeño dodecaedro estrellado (de Kepler) y gran dodecaedro estrellado , y gran icosaedro y gran dodecaedro (de Poinsot) .
Los poliedros de Kepler-Poinsot pueden construirse a partir de sólidos platónicos mediante un proceso llamado estelación . El proceso recíproco hasta la estelación se llama facetado (o facetado). Cada estelación de un poliedro es dual , o recíproca, con alguna faceta del poliedro dual. Los poliedros estrella regulares también se pueden obtener facetando los sólidos platónicos. Bertrand hizo esto por primera vez casi al mismo tiempo que Cayley los nombró.
Por lo tanto, a finales del siglo XIX había nueve poliedros regulares: cinco convexos y cuatro estrellados.
Cada uno de los sólidos platónicos se presenta naturalmente de una forma u otra.
El tetraedro, el cubo y el octaedro se presentan todos como cristales . Estos de ninguna manera agotan el número de posibles formas de cristales (Smith, 1982, p212), de los cuales hay 48. Ni el icosaedro regular ni el dodecaedro regular se encuentran entre ellos, pero los cristales pueden tener la forma de un piritoedro , que es visualmente casi indistinguible de un dodecaedro regular. Los cristales verdaderamente icosaédricos pueden estar formados por materiales cuasicristalinos que son muy raros en la naturaleza pero que pueden producirse en un laboratorio.
Un descubrimiento más reciente es el de una serie de nuevos tipos de moléculas de carbono , conocidas como fullerenos (véase Curl, 1991). Aunque el C 60 , el fullereno que se produce más fácilmente, parece más o menos esférico, se supone que algunas de las variedades más grandes (como el C 240 , el C 480 y el C 960 ) adoptan la forma de icosaedros ligeramente redondeados, de unos pocos nanómetros de diámetro.
Los poliedros regulares también aparecen en biología. El cocolitóforo Braarudosphaera bigelowii tiene una estructura dodecaédrica regular, de unos 10 micrómetros de ancho. [4] A principios del siglo XX, Ernst Haeckel describió varias especies de radiolarios , algunas de cuyas conchas tienen la forma de varios poliedros regulares. [5] Los ejemplos incluyen Circoporus octahedrus , Circogonia icosahedra , Lithocubus geometricus y Circorrhegma dodecahedra ; las formas de estas criaturas están indicadas por sus nombres. [5] Las capas proteicas externas de muchos virus forman poliedros regulares. Por ejemplo, el VIH está encerrado en un icosaedro regular, al igual que la cabeza de un miovirus típico . [6] [7]
En la antigüedad los pitagóricos creían que existía una armonía entre los poliedros regulares y las órbitas de los planetas . En el siglo XVII, Johannes Kepler estudió los datos sobre el movimiento planetario recopilados por Tycho Brahe y durante una década intentó establecer el ideal pitagórico encontrando una correspondencia entre los tamaños de los poliedros y los tamaños de las órbitas de los planetas. Su búsqueda fracasó en su objetivo original, pero de esta investigación surgieron los descubrimientos de Kepler de los sólidos de Kepler como politopos regulares, la comprensión de que las órbitas de los planetas no son círculos y las leyes del movimiento planetario por las que ahora es famoso. En la época de Kepler sólo se conocían cinco planetas (excluyendo la Tierra), lo que igualaba muy bien el número de sólidos platónicos. Los trabajos de Kepler, y el descubrimiento desde entonces de Urano y Neptuno , han invalidado la idea pitagórica.
Casi al mismo tiempo que los pitagóricos, Platón describió una teoría de la materia en la que los cinco elementos (tierra, aire, fuego, agua y espíritu) comprendían cada uno de ellos pequeñas copias de uno de los cinco sólidos regulares. La materia se formó a partir de una mezcla de estos poliedros, y cada sustancia tenía diferentes proporciones en la mezcla. Dos mil años después, la teoría atómica de Dalton mostraría que esta idea iba en el sentido correcto, aunque no relacionada directamente con los sólidos regulares.
El siglo XX vio una sucesión de generalizaciones de la idea de poliedro regular, que dieron lugar a varias clases nuevas.
En las primeras décadas, Coxeter y Petrie permitieron vértices en "silla de montar" con crestas y valles alternos, lo que les permitió construir tres superficies plegadas infinitas que llamaron poliedros sesgados regulares . [8] Coxeter ofreció un símbolo de Schläfli modificado {l,m|n} para estas figuras, donde {l,m} implica la figura del vértice , con m l -gons regulares alrededor de un vértice. La n define agujeros n -gonales . Sus figuras de vértices son polígonos regulares sesgados , vértices que zigzaguean entre dos planos.
Los poliedros sesgados regulares finitos existen en 4 espacios. Estos poliedros sesgados regulares finitos en 4 espacios pueden verse como un subconjunto de las caras de 4 politopos uniformes . Tienen caras de polígonos regulares planas , pero figuras de vértices de polígonos regulares sesgados .
Dos soluciones duales están relacionadas con las 5 celdas , dos soluciones duales están relacionadas con las 24 celdas y un conjunto infinito de duoprismas autoduales generan poliedros sesgados regulares como {4, 4 | norte}. En el límite infinito, estos se acercan a un duocilindro y parecen un toroide en sus proyecciones estereográficas en el espacio tridimensional.
Los estudios de espacios no euclidianos ( hiperbólicos y elípticos ) y otros espacios, como los espacios complejos , descubiertos durante el siglo anterior, condujeron al descubrimiento de más poliedros nuevos, como los poliedros complejos , que solo podían tomar forma geométrica regular en esos espacios.
En el espacio hiperbólico H 3 , los panales regulares paracompactos tienen facetas de mosaico euclidiano y figuras de vértices que actúan como poliedros finitos. Estos mosaicos tienen un defecto en ángulo que se puede solucionar doblándolo en un sentido u otro. Si el mosaico se escala adecuadamente, se cerrará como un límite asintótico en un único punto ideal . Estos mosaicos euclidianos están inscritos en una horósfera del mismo modo que los poliedros están inscritos en una esfera (que contiene cero puntos ideales). La secuencia se extiende cuando los mosaicos hiperbólicos se utilizan en sí mismos como facetas de teselados hiperbólicos no compactos, como en el panal de mosaico heptagonal {7,3,3}; están inscritos en una superficie equidistante (un hiperciclo 2 ), que tiene dos puntos ideales.
Otro grupo de poliedros regulares comprende mosaicos del plano proyectivo real . Estos incluyen el hemicubo , el hemioctaedro , el hemidodecaedro y el hemiicosaedro . Son poliedros (globalmente) proyectivos y son las contrapartes proyectivas de los sólidos platónicos . El tetraedro no tiene contraparte proyectiva ya que no tiene pares de caras paralelas que puedan identificarse, como los otros cuatro sólidos platónicos.
Estos ocurren como pares duales de la misma manera que lo hacen los sólidos platónicos originales. Sus características de Euler son todas 1.
A estas alturas, los poliedros se entendían firmemente como ejemplos tridimensionales de politopos más generales en cualquier número de dimensiones. La segunda mitad del siglo vio el desarrollo de ideas algebraicas abstractas como la combinatoria poliédrica , que culminaron en la idea de un politopo abstracto como un conjunto parcialmente ordenado (poset) de elementos. Los elementos de un poliedro abstracto son su cuerpo (el elemento máximo), sus caras, aristas, vértices y el politopo nulo o conjunto vacío. Estos elementos abstractos pueden trasladarse al espacio ordinario o realizarse como figuras geométricas. Algunos poliedros abstractos tienen realizaciones fieles o bien formadas , otros no. Una bandera es un conjunto conectado de elementos de cada dimensión: para un poliedro que es el cuerpo, una cara, una arista de la cara, un vértice de la arista y el politopo nulo. Se dice que un politopo abstracto es regular si sus simetrías combinatorias son transitivas en sus banderas, es decir, que cualquier bandera puede mapearse sobre cualquier otra bajo una simetría del poliedro. Los politopos regulares abstractos siguen siendo un área activa de investigación.
Cinco de estos poliedros abstractos regulares, que no pueden realizarse fielmente, fueron identificados por HSM Coxeter en su libro Regular Polytopes (1977) y nuevamente por JM Wills en su artículo "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). Los cinco tienen simetría C 2 ×S 5 pero sólo pueden realizarse con la mitad de la simetría, es decir, C 2 ×A 5 o simetría icosaédrica. [9] [10] [11] Todos ellos son topológicamente equivalentes a los toroides . Su construcción, al disponer n caras alrededor de cada vértice, se puede repetir indefinidamente como mosaicos del plano hiperbólico . En los diagramas siguientes, las imágenes de mosaico hiperbólico tienen colores correspondientes a los de las imágenes de poliedros.
El dual de Petrie de un poliedro regular es un mapa regular cuyos vértices y aristas corresponden a los vértices y aristas del poliedro original, y cuyas caras son el conjunto de polígonos de Petrie sesgados . [12]
Los cinco poliedros regulares habituales también se pueden representar como mosaicos esféricos (mosaicos de la esfera ):
Para un poliedro regular cuyo símbolo de Schläfli es { m , n }, el número de caras poligonales se puede encontrar mediante:
Los sólidos platónicos conocidos en la antigüedad son las únicas soluciones enteras para m ≥ 3 y n ≥ 3. La restricción m ≥ 3 impone que las caras poligonales deben tener al menos tres lados.
Al considerar los poliedros como un mosaico esférico , esta restricción puede relajarse, ya que los digones (2 gónos) se pueden representar como lunes esféricos, con un área distinta de cero . Permitiendo m = 2 se admite una nueva clase infinita de poliedros regulares, que son los hosoedros . En una superficie esférica, el poliedro regular {2, n } se representa como n contiguo al lunes, con ángulos interiores de 2 π / n . Todos estos lunes comparten dos vértices comunes. [13]
Un dipedro regular , { n , 2} [13] (2-edro) en el espacio euclidiano tridimensional puede considerarse un prisma degenerado que consta de dos polígonos (planos) de n lados conectados "espalda con espalda", de modo que el objeto resultante no tiene profundidad, de forma análoga a cómo se puede construir un digon con dos segmentos de línea . Sin embargo, como mosaico esférico , un didedro puede existir como forma no degenerada, con dos caras de n lados que cubren la esfera, siendo cada cara un hemisferio , y vértices alrededor de un círculo máximo . Es regular si los vértices están equidistantes.
El hosoedro {2, n } es dual al grido { n ,2}. Tenga en cuenta que cuando n = 2, obtenemos el poliedro {2,2}, que es a la vez un hosoedro y un dipedro. Todos estos tienen la característica 2 de Euler.
