En geometría , un poliedro (globalmente) proyectivo es un mosaico del plano proyectivo real . [1] Estos son análogos proyectivos de poliedros esféricos (teselaciones de la esfera ) y poliedros toroidales (teselaciones de los toroides).
Los poliedros proyectivos también se conocen como teselados elípticos [2] o mosaicos elípticos , refiriéndose al plano proyectivo como geometría elíptica (proyectiva) , por analogía con el mosaico esférico , [3] sinónimo de "poliedro esférico". Sin embargo, el término geometría elíptica se aplica tanto a geometrías esféricas como proyectivas, por lo que el término conlleva cierta ambigüedad para los poliedros.
Como descomposiciones celulares del plano proyectivo, tienen la característica de Euler 1, mientras que los poliedros esféricos tienen la característica de Euler 2. El calificativo "globalmente" debe contrastarse con los poliedros localmente proyectivos, que se definen en la teoría de los poliedros abstractos .
Los poliedros proyectivos no superpuestos ( densidad 1) corresponden a poliedros esféricos (equivalentemente, poliedros convexos ) con simetría central . Esto se elabora y amplía a continuación en relación con los poliedros esféricos y en relación con los poliedros tradicionales.
Los ejemplos más conocidos de poliedros proyectivos son los poliedros proyectivos regulares, los cocientes de los sólidos platónicos centralmente simétricos , así como dos clases infinitas de didedros pares y hosoedros : [4]
Estos se pueden obtener tomando el cociente del poliedro esférico asociado por el mapa antípoda (identificando puntos opuestos en la esfera).
Por otro lado, el tetraedro no tiene simetría central, por lo que no existe un "hemitetraedro". Consulte la relación con los poliedros esféricos a continuación sobre cómo se trata el tetraedro.
Tenga en cuenta que el prefijo "hemi-" también se utiliza para referirse a hemipoliedros , que son poliedros uniformes que tienen algunas caras que pasan por el centro de simetría. Como estos no definen poliedros esféricos (porque pasan por el centro, que no se asigna a un punto definido en la esfera), no definen poliedros proyectivos por el mapa del cociente desde el espacio 3 (menos el origen) hasta el proyectivo. avión.
De estos hemipoliedros uniformes, sólo el tetrahemihexaedro es topológicamente un poliedro proyectivo, como lo demuestra su característica de Euler y su conexión visualmente obvia con la superficie romana . Está cubierto por el cuboctaedro y se puede representar como el cociente del cuboctaedro esférico mediante el mapa antípoda. Es el único poliedro uniforme (tradicional) que es proyectivo, es decir, el único poliedro proyectivo uniforme que se sumerge en el triple espacio euclidiano como un poliedro tradicional uniforme.
Hay un mapa de cobertura 2 a 1 de la esfera al plano proyectivo, y bajo este mapa, los poliedros proyectivos corresponden a poliedros esféricos con simetría central : la cubierta doble de un poliedro proyectivo es un poliedro esférico con simetría central. Además, debido a que un mapa de cobertura es un homeomorfismo local (en este caso una isometría local ), tanto el poliedro esférico como el proyectivo correspondiente tienen la misma figura de vértice abstracta .
Por ejemplo, la cubierta doble del hemicubo (proyectivo) es el cubo (esférico). El semicubo tiene 4 vértices, 3 caras y 6 aristas, cada una de las cuales está cubierta por 2 copias en la esfera, y en consecuencia el cubo tiene 8 vértices, 6 caras y 12 aristas, mientras que ambos poliedros tienen un 4,4. Figura de 4 vértices (3 cuadrados que se encuentran en un vértice).
Además, el grupo de simetría (de isometrías ) de un poliedro proyectivo y el poliedro esférico que lo cubre están relacionados: las simetrías del poliedro proyectivo se identifican naturalmente con las simetrías de rotación del poliedro esférico, mientras que el grupo de simetría completo del poliedro esférico es el producto de su grupo de rotación (el grupo de simetría del poliedro proyectivo) y el grupo cíclico de orden 2, {± I }. Consulte el grupo de simetría a continuación para obtener más información y otras dimensiones.
Los poliedros esféricos sin simetría central no definen un poliedro proyectivo, ya que las imágenes de vértices, aristas y caras se superpondrán. En el lenguaje de los mosaicos, la imagen en el plano proyectivo es un mosaico de grado 2, lo que significa que cubre el plano proyectivo dos veces, en lugar de 2 caras en la esfera correspondientes a 1 cara en el plano proyectivo, cubriéndola dos veces, cada cara en la esfera corresponde a una sola cara en el plano proyectivo, por lo que la cubre dos veces.
La correspondencia entre poliedros proyectivos y poliedros esféricos con simetría central se puede extender a una conexión de Galois que incluya todos los poliedros esféricos (no necesariamente con simetría central) si las clases se extienden para incluir mosaicos de grado 2 del plano proyectivo, cuyas cubiertas no son poliedros sino más bien el compuesto poliédrico de un poliedro no simétrico centralmente, junto con su inverso central (un compuesto de 2 poliedros). Esto geometriza la conexión de Galois al nivel de subgrupos finitos de O(3) y PO(3), bajo los cuales la conjunción es "unión con inversa central". Por ejemplo, el tetraedro no es centralmente simétrico y tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras, y el vértice figura 3.3.3 (3 triángulos se encuentran en cada vértice). Su imagen en el plano proyectivo tiene 4 vértices, 6 aristas (que se cruzan) y 4 caras (que se superponen), cubriendo el plano proyectivo dos veces. La cubierta de esto es el octaedro estrellado – equivalentemente, el compuesto de dos tetraedros – que tiene 8 vértices, 12 aristas y 8 caras, y el vértice figura 3.3.3.
En el contexto de politopos abstractos , se hace referencia a " politopos localmente proyectivos"; consulte Politopo abstracto: topología local . Por ejemplo, el de 11 celdas es un "politopo localmente proyectivo", pero no es un poliedro globalmente proyectivo, ni tampoco tesela ninguna variedad, ya que no es localmente euclidiano, sino localmente proyectivo, como su nombre indica.
Los politopos proyectivos se pueden definir en una dimensión superior como teselados de espacio proyectivo en una dimensión menor. Definir politopos proyectivos k -dimensionales en un espacio proyectivo n -dimensional es algo más complicado, porque la definición habitual de politopos en el espacio euclidiano requiere tomar combinaciones convexas de puntos, lo cual no es un concepto proyectivo y rara vez se aborda en la literatura, pero ha sido definido, como en (Vives y Mayo 1991).
El grupo de simetría de un politopo proyectivo es un subgrupo finito (por lo tanto discreto) [nota 1] del grupo ortogonal proyectivo , PO, y a la inversa, cada subgrupo finito de PO es el grupo de simetría de un politopo proyectivo tomando el politopo dado por imágenes de un dominio fundamental para el grupo.
Las dimensiones relevantes son las siguientes: el espacio proyectivo real de n dimensiones es la proyectivización del espacio euclidiano de dimensiones ( n +1) , por lo que se denota el grupo ortogonal proyectivo de un espacio proyectivo de n dimensiones.
Si n = 2 k es par (por lo que n +1 = 2 k +1 es impar), entonces O(2 k +1) = SO(2 k +1)×{± I } se descompone como un producto y, por lo tanto, [ nota 2] por lo que el grupo de isometrías proyectivas se puede identificar con el grupo de isometrías rotacionales.
Así, en particular, el grupo de simetría de un poliedro proyectivo es el grupo de simetría rotacional del poliedro esférico que lo cubre; el grupo de simetría completo del poliedro esférico es entonces sólo el producto directo con reflexión a través del origen , que es el núcleo en el paso al espacio proyectivo. El plano proyectivo no es orientable y, por lo tanto, no existe una noción distinta de "isometrías de un poliedro proyectivo que preserven la orientación", lo que se refleja en la igualdad PSO (3) = PO (3).
Si n =2 k + 1 es impar, entonces O( n +1) = O(2 k +2) no se descompone como producto y, por lo tanto, el grupo de simetría del politopo proyectivo no son simplemente las simetrías rotacionales del politopo esférico. politopo, sino más bien un cociente de 2 a 1 del grupo de simetría completa del politopo esférico correspondiente (el grupo esférico es una extensión central del grupo proyectivo). Además, en dimensión proyectiva impar (dimensión vectorial par) y, en cambio, es un subgrupo adecuado (índice 2), por lo que existe una noción distinta de isometrías que preservan la orientación.
Por ejemplo, en n = 1 (polígonos), las simetrías de un 2 r -gón es el grupo diédrico Dih 2 r (de orden 4 r ), con grupo rotacional el grupo cíclico C 2 r , siendo estos subgrupos de O(2 ) y SO(2), respectivamente. La proyectivización de un 2 r -gon (en el círculo) es un r -gon (en la línea proyectiva) y, en consecuencia, los grupos cocientes, subgrupos de PO(2) y PSO(2) son Dih r y C r . Tenga en cuenta que el mismo cuadrado conmutativo de subgrupos ocurre para el cuadrado del grupo Spin y el grupo Pin – Spin(2), Pin + (2), SO(2), O(2) – aquí yendo hasta una cubierta doble, en lugar de reducirlo a un cociente doble.
Por último, según el teorema de la red, existe una conexión de Galois entre subgrupos de O( n ) y subgrupos de PO( n ), en particular de subgrupos finitos. Bajo esta conexión, los grupos de simetría de politopos centralmente simétricos corresponden a grupos de simetría del politopo proyectivo correspondiente, mientras que los grupos de simetría de politopos esféricos sin simetría central corresponden a grupos de simetría de politopos proyectivos de grado 2 (mosaicos que cubren el espacio proyectivo dos veces), cuya cubierta ( correspondiente a la conjunción de la conexión) es un compuesto de dos politopos: el politopo original y su inverso central.
Estos grupos de simetría deben compararse y contrastarse con los grupos poliédricos binarios , al igual que Pin ± ( n ) → O( n ) es una cobertura de 2 a 1 y, por lo tanto, existe una conexión de Galois entre los grupos poliédricos binarios y los grupos poliédricos, O ( n ) → PO( n ) es una cobertura de 2 a 1 y, por lo tanto, tiene una conexión de Galois análoga entre subgrupos. Sin embargo, mientras que los subgrupos discretos de O( n ) y PO( n ) corresponden a grupos de simetría de politopos esféricos y proyectivos, correspondientes geométricamente al mapa de cobertura no hay un espacio de cobertura de (for ) ya que la esfera está simplemente conexa y, por lo tanto, hay No existe un "politopo binario" correspondiente para el cual los subgrupos de Pin sean grupos de simetría.
