Oscilación

Repetitive variation of some measure about a central value

Un sistema resorte-masa no amortiguado es un sistema oscilatorio.

La oscilación es la variación repetitiva o periódica , típicamente en el tiempo , de alguna medida alrededor de un valor central (a menudo un punto de equilibrio ) o entre dos o más estados diferentes. Ejemplos familiares de oscilación incluyen un péndulo oscilante y corriente alterna . Las oscilaciones se pueden utilizar en física para aproximar interacciones complejas, como las que ocurren entre átomos.

Las oscilaciones ocurren no sólo en sistemas mecánicos sino también en sistemas dinámicos en prácticamente todas las áreas de la ciencia: por ejemplo, los latidos del corazón humano (para la circulación), los ciclos económicos en economía , los ciclos poblacionales depredador-presa en ecología , los géiseres geotérmicos en geología , vibración de cuerdas en guitarra y otros instrumentos de cuerda , activación periódica de células nerviosas en el cerebro y hinchazón periódica de estrellas variables cefeidas en astronomía . El término vibración se utiliza precisamente para describir una oscilación mecánica.

La oscilación, especialmente la oscilación rápida, puede ser un fenómeno indeseable en el control de procesos y la teoría de control (por ejemplo, en el control de modo deslizante ), donde el objetivo es la convergencia al estado estable . En estos casos se le llama castañeteo o aleteo, como en el castañeteo de válvulas , y aleteo de ruta .

Oscilación armónica simple

El sistema oscilante mecánico más simple es un peso unido a un resorte lineal sujeto únicamente a peso y tensión . Un sistema de este tipo puede aproximarse a una mesa de aire o a una superficie de hielo. El sistema está en estado de equilibrio cuando el resorte está estático. Si el sistema se desplaza del equilibrio, hay una fuerza restauradora neta sobre la masa que tiende a devolverla al equilibrio. Sin embargo, al devolver la masa a la posición de equilibrio, ha adquirido un impulso que la mantiene moviéndose más allá de esa posición, estableciendo una nueva fuerza restauradora en el sentido opuesto. Si se agrega al sistema una fuerza constante como la gravedad , el punto de equilibrio se desplaza. El tiempo que tarda en ocurrir una oscilación a menudo se denomina período oscilatorio .

Los sistemas donde la fuerza restauradora sobre un cuerpo es directamente proporcional a su desplazamiento, como la dinámica del sistema resorte-masa, se describen matemáticamente mediante el oscilador armónico simple y el movimiento periódico regular se conoce como movimiento armónico simple . En el sistema resorte-masa, las oscilaciones ocurren porque, en el desplazamiento de equilibrio estático , la masa tiene energía cinética que se convierte en energía potencial almacenada en el resorte en los extremos de su trayectoria. El sistema resorte-masa ilustra algunas características comunes de la oscilación, a saber, la existencia de un equilibrio y la presencia de una fuerza restauradora que se vuelve más fuerte cuanto más se desvía el sistema del equilibrio.

En el caso del sistema resorte-masa, la ley de Hooke establece que la fuerza restauradora de un resorte es:

$${\displaystyle F=-kx}$$

Utilizando la segunda ley de Newton , se puede derivar la ecuación diferencial:

$${\displaystyle {\ddot {x}}=-{\frac {k}{m}}x=-\omega ^{2}x,}$$

${\textstyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$

La solución a esta ecuación diferencial produce una función de posición sinusoidal:

$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )}$$

donde ω es la frecuencia de la oscilación, A es la amplitud y δ es el cambio de fase de la función. Estos están determinados por las condiciones iniciales del sistema. Debido a que el coseno oscila entre 1 y −1 infinitamente, nuestro sistema resorte-masa oscilaría entre la amplitud positiva y negativa para siempre sin fricción.

Osciladores bidimensionales

En dos o tres dimensiones, los osciladores armónicos se comportan de manera similar a una dimensión. El ejemplo más simple de esto es un oscilador isotrópico , donde la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento del equilibrio con la misma constante restauradora en todas las direcciones.

$${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {r}}}$$

Esto produce una solución similar, pero ahora hay una ecuación diferente para cada dirección.

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=A_{x}\cos(\omega t-\delta _{x}),\\y(t)&=A_{y}\cos(\omega t-\delta _{y}),\\&\;\,\vdots \end{aligned}}}$$

Osciladores anisotrópicos

Con los osciladores anisotrópicos , diferentes direcciones tienen diferentes constantes de fuerzas restauradoras. La solución es similar a la de los osciladores isotrópicos, pero hay una frecuencia diferente en cada dirección. Variar las frecuencias entre sí puede producir resultados interesantes. Por ejemplo, si la frecuencia en una dirección es el doble que en otra, se produce un patrón en forma de ocho. Si la relación de frecuencias es irracional, el movimiento es cuasiperiódico . Este movimiento es periódico en cada eje, pero no es periódico con respecto a r y nunca se repetirá. ^[1]

Oscilaciones amortiguadas

Retrato de fase de un oscilador amortiguado, con una fuerza de amortiguación creciente.

Todos los sistemas osciladores del mundo real son termodinámicamente irreversibles . Esto significa que existen procesos disipativos, como la fricción o la resistencia eléctrica , que convierten continuamente parte de la energía almacenada en el oscilador en calor en el ambiente. A esto se le llama amortiguamiento. Por tanto, las oscilaciones tienden a decaer con el tiempo a menos que haya alguna fuente neta de energía en el sistema. La descripción más simple de este proceso de caída se puede ilustrar mediante la caída de la oscilación del oscilador armónico.

Los osciladores amortiguados se crean cuando se introduce una fuerza resistiva, que depende de la primera derivada de la posición, o en este caso de la velocidad. La ecuación diferencial creada por la segunda ley de Newton suma esta fuerza resistiva con una constante arbitraria b . Este ejemplo supone una dependencia lineal de la velocidad.

$${\displaystyle m{\ddot {x}}+b{\dot {x}}+kx=0}$$

Esta ecuación se puede reescribir como antes:

$${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$

${\textstyle 2\beta ={\frac {b}{m}}}$

Esto produce la solución general:

$${\displaystyle x(t)=e^{-\beta t}\left(C_{1}e^{\omega _{1}t}+C_{2}e^{-\omega _{1}t}\right),}$$

${\textstyle \omega _{1}={\sqrt {\beta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}}$

El término exponencial fuera del paréntesis es la función de caída y β es el coeficiente de amortiguación. Hay 3 categorías de osciladores amortiguados: subamortiguados, donde β < ω ₀ ; sobreamortiguado, donde β > ω ₀ ; y críticamente amortiguado, donde β = ω ₀ .

Oscilaciones impulsadas

Además, un sistema oscilante puede estar sujeto a alguna fuerza externa, como cuando un circuito de CA está conectado a una fuente de energía externa. En este caso se dice que la oscilación es impulsada .

El ejemplo más sencillo es un sistema resorte-masa con fuerza motriz sinusoidal .

$${\displaystyle {\ddot {x}}+2\beta {\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=f(t),}$$

${\displaystyle f(t)=f_{0}\cos(\omega t+\delta ).}$

Esto da la solución:

$${\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t-\delta )+A_{tr}\cos(\omega _{1}t-\delta _{tr}),}$$

${\displaystyle A={\sqrt {\frac {f_{0}^{2}}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}+4\beta ^{2}\omega ^{2}}}}}$ ${\displaystyle \delta =\tan ^{-1}\left({\frac {2\beta \omega }{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}}\right)}$

El segundo término de x ( t ) es la solución transitoria de la ecuación diferencial. La solución transitoria se puede encontrar utilizando las condiciones iniciales del sistema.

Algunos sistemas pueden excitarse mediante la transferencia de energía del medio ambiente. Esta transferencia normalmente ocurre cuando los sistemas están inmersos en algún flujo de fluido . Por ejemplo, el fenómeno del aleteo en aerodinámica ocurre cuando un desplazamiento arbitrariamente pequeño del ala de un avión (de su equilibrio) resulta en un aumento en el ángulo de ataque del ala sobre el flujo de aire y un consiguiente aumento en el coeficiente de sustentación , lo que lleva a un desplazamiento aún mayor. En desplazamientos suficientemente grandes, la rigidez del ala domina para proporcionar la fuerza restauradora que permite una oscilación.

Resonancia

La resonancia ocurre en un oscilador accionado amortiguado cuando ω = ω ₀ , es decir, cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema. Cuando esto ocurre, el denominador de la amplitud se minimiza, lo que maximiza la amplitud de las oscilaciones.

Oscilaciones acopladas

Dos péndulos con el mismo período fijados a una cuerda actúan como un par de osciladores acoplados. La oscilación alterna entre los dos.

Configuración experimental de sincronización Huygens de dos relojes

El oscilador armónico y los sistemas que modela tienen un único grado de libertad . Los sistemas más complicados tienen más grados de libertad, por ejemplo, dos masas y tres resortes (cada masa está unida a puntos fijos y entre sí). En tales casos, el comportamiento de cada variable influye en el de las demás. Esto conduce a un acoplamiento de las oscilaciones de los distintos grados de libertad. Por ejemplo, dos relojes de péndulo (de idéntica frecuencia) montados en una pared común tenderán a sincronizarse. Este fenómeno fue observado por primera vez por Christiaan Huygens en 1665. ^[2] Los movimientos aparentes de las oscilaciones compuestas suelen parecer muy complicados, pero se obtiene una descripción más económica, computacionalmente más simple y conceptualmente más profunda resolviendo el movimiento en modos normales .

La forma más simple de osciladores acoplados es un sistema de 3 resortes y 2 masas, donde las masas y las constantes de los resortes son las mismas. Este problema comienza derivando la segunda ley de Newton para ambas masas.

$${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-(k_{1}+k_{2})x_{1}+k_{2}x_{2}\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}=k_{2}x_{1}-(k_{2}+k_{3})x_{2}\end{cases}}}$$

Luego las ecuaciones se generalizan en forma matricial.

$${\displaystyle F=M{\ddot {x}}=kx,}$$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle k={\begin{bmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{bmatrix}}}$

Los valores de k y m se pueden sustituir en las matrices.

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}=m_{2}=m,\;\;k_{1}=k_{2}=k_{3}=k,\\M={\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}},\;\;k={\begin{bmatrix}2k&-k\\-k&2k\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

Estas matrices ahora se pueden conectar a la solución general. ^{[ se necesita aclaración ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(k-M\omega ^{2}\right)a&=0\\{\begin{bmatrix}2k-m\omega ^{2}&-k\\-k&2k-m\omega ^{2}\end{bmatrix}}&=0\end{aligned}}}$$

El determinante de esta matriz produce una ecuación cuadrática.

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(3k-m\omega ^{2}\right)\left(k-m\omega ^{2}\right)=0\\&\omega _{1}={\sqrt {\frac {k}{m}}},\;\;\omega _{2}={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$$

Dependiendo del punto de partida de las masas, este sistema tiene 2 frecuencias posibles (o una combinación de ambas). Si las masas se inician con sus desplazamientos en el mismo sentido, la frecuencia es la de un sistema de masa única, porque el resorte del medio nunca se extiende. Si las dos masas arrancan en direcciones opuestas, la segunda frecuencia, más rápida, es la frecuencia del sistema. ^[1]

Casos más especiales son los osciladores acoplados donde la energía alterna entre dos formas de oscilación. Conocido es el péndulo de Wilberforce , donde la oscilación alterna entre el alargamiento de un resorte vertical y la rotación de un objeto al final de ese resorte.

Los osciladores acoplados son una descripción común de dos fenómenos relacionados, pero diferentes. Un caso es cuando ambas oscilaciones se afectan mutuamente, lo que generalmente conduce a la aparición de un único estado de oscilación arrastrado, donde ambas oscilan con una frecuencia de compromiso . Otro caso es cuando una oscilación externa afecta a una oscilación interna, pero no se ve afectada por ésta. En este caso, las regiones de sincronización, conocidas como lenguas de Arnold , pueden conducir a fenómenos muy complejos como, por ejemplo, dinámicas caóticas.

Aproximación de pequeña oscilación

En física, un sistema con un conjunto de fuerzas conservativas y un punto de equilibrio puede aproximarse como un oscilador armónico cerca del equilibrio. Un ejemplo de esto es el potencial de Lennard-Jones , donde el potencial viene dado por:

$${\displaystyle U(r)=U_{0}\left[\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{12}-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{6}\right]}$$

Luego se encuentran los puntos de equilibrio de la función:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dU}{dr}}&=0=U_{0}\left[-12r_{0}^{12}r^{-13}+6r_{0}^{6}r^{-7}\right]\\\Rightarrow r&\approx r_{0}\end{aligned}}}$$

Luego se encuentra la segunda derivada, que es la constante de potencial efectiva:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\text{eff}}&=\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right|_{r=r_{0}}=U_{0}\left[12(13)r_{0}^{12}r^{-14}-6(7)r_{0}^{6}r^{-8}\right]\\[1ex]&={\frac {114U_{0}}{r^{2}}}\end{aligned}}}$$

El sistema sufrirá oscilaciones cerca del punto de equilibrio. La fuerza que crea estas oscilaciones se deriva de la constante de potencial efectiva anterior:

$${\displaystyle F=-\gamma _{\text{eff}}(r-r_{0})=m_{\text{eff}}{\ddot {r}}}$$

Esta ecuación diferencial se puede reescribir en forma de un oscilador armónico simple:

$${\displaystyle {\ddot {r}}+{\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}(r-r_{0})=0}$$

Por tanto, la frecuencia de pequeñas oscilaciones es:

$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {\gamma _{\text{eff}}}{m_{\text{eff}}}}}={\sqrt {\frac {114U_{0}}{r^{2}m_{\text{eff}}}}}}$$

O, en forma general ^[3]

$${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\left.{\frac {d^{2}U}{dr^{2}}}\right\vert _{r=r_{0}}}}}$$

Esta aproximación se puede entender mejor observando la curva de potencial del sistema. Pensando en la curva de potencial como una colina, en la que, si se coloca una pelota en cualquier lugar de la curva, la pelota rodaría hacia abajo con la pendiente de la curva de potencial. Esto es cierto debido a la relación entre la energía potencial y la fuerza.

$${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=-F(r)}$$

Al pensar en el potencial de esta manera, se verá que en cualquier mínimo local hay un "pozo" en el que la bola rodaría hacia adelante y hacia atrás (oscilaría) entre y . Esta aproximación también es útil para pensar en las órbitas de Kepler . ${\displaystyle r_{\text{min}}}$ ${\displaystyle r_{\text{max}}}$

Sistemas continuos – ondas

A medida que el número de grados de libertad se vuelve arbitrariamente grande, un sistema se acerca a la continuidad ; los ejemplos incluyen una cuerda o la superficie de un cuerpo de agua . Tales sistemas tienen (en el límite clásico ) un número infinito de modos normales y sus oscilaciones ocurren en forma de ondas que característicamente pueden propagarse.

Matemáticas

La oscilación de una secuencia (mostrada en azul) es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la secuencia.

Las matemáticas de la oscilación se ocupan de la cuantificación de la cantidad que una secuencia o función tiende a moverse entre los extremos. Hay varias nociones relacionadas: oscilación de una secuencia de números reales , oscilación de una función con valor real en un punto y oscilación de una función en un intervalo (o conjunto abierto ).

Ejemplos

Mecánico

• Péndulo doble
• Péndulo de Foucault
• resonador de Helmholtz
• Oscilaciones en el Sol ( heliosismología ), estrellas ( asteroseismología ) y oscilaciones de estrellas de neutrones .
• Oscilador armónico cuántico
• Columpio de juegos
• Instrumentos de cuerda
• Vibración torsional
• Diapasón
• cuerda vibrante
• Péndulo Wilberforce
• escape de palanca

Eléctrico

• Corriente alterna
• Oscilador Armstrong (o Tickler o Meissner)
• Multivibrador astable
• Oscilador de bloqueo
• Oscilador de mayordomo
• Oscilador de aplausos
• oscilador de colpitts
• Oscilador de línea de retardo
• oscilador electrónico
• Oscilador de interacción extendida
• oscilador hartley
• Oscilistor
• Oscilador de cambio de fase
• Oscilador de perforación
• Oscilador de relajación
• circuito RLC
• oscilador royer
• Oscilador Vačkář
• Oscilador del puente de Viena

Electromecánico

• Oscilador de cristal

Óptico

• Láser (oscilación de campo electromagnético con frecuencia del orden de 10 ¹⁵  Hz)
• Oscilador Toda o autopulsación (pulsación de potencia de salida del láser en frecuencias 10,4 ^Hz  – 10,6 ^Hz  en régimen transitorio)
• Oscilador cuántico puede referirse a un oscilador óptico local , así como a un modelo habitual en óptica cuántica .

Biológico

• Ritmo circadiano
• Ritmos circadianos bacterianos
• oscilador circadiano
• Ecuación de Lotka-Volterra
• Oscilación neuronal
• gen oscilante
• Reloj de segmentación

Oscilación humana

• Oscilación neuronal
• Oscilaciones en la liberación de insulina.
• Pulsaciones de la hormona liberadora de gonadotropina.
• Oscilación inducida por el piloto
• Producción de voz

Económico y social

• Ciclo comercial
• Brecha generacional
• Economía malthusiana
• ciclo de noticias

Clima y geofísica

• Oscilación multidecenal del Atlántico
• Chandler se tambalea
• Oscilación climática
• El Niño-Oscilación del Sur
• Oscilación decenal del Pacífico
• Oscilación cuasi bienal

Astrofísica

• Estrellas de neutrones
• Modelo cíclico

Mecánica cuántica

• Oscilación de partículas neutras , por ejemplo, oscilaciones de neutrinos.
• Oscilador armónico cuántico

Químico

• Reacción de Belousov-Zhabotinsky
• Mercurio latiendo el corazón
• Reacción de Briggs-Rauscher
• Reacción de Bray-Liebhafsky

Informática

• Oscilador de autómata celular

Ver también

• antirresonancia
• Beat (acústica)
• Estabilidad BIBO
• velocidad critica
• Ciclo (música)
• sistema dinámico
• Ingeniería Sísmica
• Comentario
• Transformada de Fourier para calcular la periodicidad en datos espaciados uniformemente
• Frecuencia
• Oscilación oculta
• Oscilación Madden-Julian
• Análisis espectral de mínimos cuadrados para calcular la periodicidad en datos espaciados desigualmente
• Ruido de fase del oscilador
• función periódica
• Ruido de fase
• Cuasiperiodicidad
• Movimiento recíproco
• Resonador
• Ritmo
• Estacionalidad
• Autooscilación
• Generador de señales
• Apretar
• atractor extraño
• Estabilidad estructural
• Amortiguador de masa sintonizado
• Vibración
• Vibrador (mecánico)

Referencias

1. Taylor, John R. (2005). Mecanica clasica. Mill Valley, California. ISBN 1-891389-22-X. OCLC  55729992.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
2. Strogatz, Steven (2003). Sincronización: la ciencia emergente del orden espontáneo . Prensa Hyperion. págs. 106-109. ISBN 0-786-86844-9.
3. "23.7: Pequeñas oscilaciones". LibreTexts de Física . 2020-07-01 . Consultado el 21 de abril de 2022 .

enlaces externos

• Medios relacionados con la oscilación en Wikimedia Commons
• Vibraciones: un capítulo de un libro de texto en línea