Oscilador armónico

Sistema físico que responde a una fuerza restauradora inversamente proporcional al desplazamiento.

En mecánica clásica , un oscilador armónico es un sistema que, al desplazarse de su posición de equilibrio , experimenta una fuerza restauradora F proporcional al desplazamiento x :

F → = − k x → , {\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},}

k es una constante

Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, el sistema se llama oscilador armónico simple y sufre un movimiento armónico simple : oscilaciones sinusoidales alrededor del punto de equilibrio, con una amplitud constante y una frecuencia constante (que no depende de la amplitud). ).

Si también está presente una fuerza de fricción ( amortiguación ) proporcional a la velocidad , el oscilador armónico se describe como oscilador amortiguado . Dependiendo del coeficiente de fricción, el sistema puede:

• Oscila con una frecuencia menor que en el caso no amortiguado y una amplitud que disminuye con el tiempo ( oscilador subamortiguado ).
• Caída a la posición de equilibrio, sin oscilaciones ( oscilador sobreamortiguado ).

La solución límite entre un oscilador subamortiguado y un oscilador sobreamortiguado ocurre en un valor particular del coeficiente de fricción y se llama críticamente amortiguado .

Si está presente una fuerza externa dependiente del tiempo, el oscilador armónico se describe como un oscilador impulsado .

Los ejemplos mecánicos incluyen péndulos (con pequeños ángulos de desplazamiento ), masas conectadas a resortes y sistemas acústicos . Otros sistemas análogos incluyen osciladores armónicos eléctricos como los circuitos RLC . El modelo del oscilador armónico es muy importante en física, porque cualquier masa sometida a una fuerza en equilibrio estable actúa como un oscilador armónico para pequeñas vibraciones. Los osciladores armónicos se encuentran ampliamente en la naturaleza y se explotan en muchos dispositivos fabricados por el hombre, como relojes y circuitos de radio. Son la fuente de prácticamente todas las vibraciones y ondas sinusoidales.

Oscilador armónico simple

Un oscilador armónico simple es un oscilador que no está ni accionado ni amortiguado . Consiste en una masa m , que experimenta una sola fuerza F , que tira de la masa en la dirección del punto x = 0 y depende sólo de la posición x de la masa y de una constante k . El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para el sistema es

$${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.}$$

Resolviendo esta ecuación diferencial , encontramos que el movimiento está descrito por la función

x ( t ) = A porque ⁡ ( ω t + φ ) , {\displaystyle x(t)=A\cos(\omega t+\varphi ),}

ω = k metro . {\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}

El movimiento es periódico y se repite de forma sinusoidal con amplitud constante A. Además de su amplitud, el movimiento de un oscilador armónico simple se caracteriza por su período , el tiempo de una sola oscilación o su frecuencia , el número de ciclos por unidad de tiempo. La posición en un instante dado t también depende de la fase φ , que determina el punto inicial de la onda sinusoidal. El período y la frecuencia están determinados por el tamaño de la masa m y la constante de fuerza k , mientras que la amplitud y la fase están determinadas por la posición inicial y la velocidad . ${\displaystyle T=2\pi /\omega }$ ${\displaystyle f=1/T}$

La velocidad y aceleración de un oscilador armónico simple oscilan con la misma frecuencia que la posición, pero con fases desplazadas. La velocidad es máxima para el desplazamiento cero, mientras que la aceleración es en la dirección opuesta al desplazamiento.

La energía potencial almacenada en un oscilador armónico simple en la posición x es

U = 1 2 k x 2 . {\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}

Oscilador armónico amortiguado

Dependencia del comportamiento del sistema del valor de la relación de amortiguación ζ

Retrato de fase de un oscilador amortiguado, con una fuerza de amortiguación creciente.

Videoclip que muestra un oscilador armónico amortiguado que consta de un carro dinámico entre dos resortes. Un acelerómetro encima del carro muestra la magnitud y dirección de la aceleración.

En los osciladores reales, la fricción o amortiguación ralentiza el movimiento del sistema. Debido a la fuerza de fricción, la velocidad disminuye en proporción a la fuerza de fricción que actúa. Mientras que en un oscilador armónico simple no accionado la única fuerza que actúa sobre la masa es la fuerza restauradora, en un oscilador armónico amortiguado hay además una fuerza de fricción que siempre está en una dirección opuesta al movimiento. En muchos sistemas vibratorios, la fuerza de fricción F _f se puede modelar como proporcional a la velocidad v del objeto: F _f = − cv , donde c se llama coeficiente de amortiguación viscosa .

El equilibrio de fuerzas ( segunda ley de Newton ) para osciladores armónicos amortiguados es entonces ^{[1] [2] [3]}

$${\displaystyle F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,}$$

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$se llama " frecuencia angular no amortiguada del oscilador",
• ζ = c 2 m k {\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}} se llama "relación de amortiguación".

Respuesta escalonada de un oscilador armónico amortiguado; Se trazan curvas para tres valores de μ = ω ₁ = ω ₀ √ 1 −  ζ ² . El tiempo está en unidades del tiempo de desintegración τ = 1/( ζω ₀ ) .

El valor de la relación de amortiguación ζ determina críticamente el comportamiento del sistema. Un oscilador armónico amortiguado puede ser:

• Sobreamortiguado ( ζ > 1): El sistema regresa ( decae exponencialmente ) al estado estacionario sin oscilar. Los valores más grandes de la relación de amortiguación ζ regresan al equilibrio más lentamente.
• Amortiguado críticamente ( ζ = 1): el sistema vuelve al estado estable lo más rápido posible sin oscilar (aunque puede ocurrir un sobrepaso si la velocidad inicial es distinta de cero). Esto suele ser deseable para la amortiguación de sistemas como, por ejemplo, puertas.
• Subamortiguado ( ζ < 1): el sistema oscila (con una frecuencia ligeramente diferente a la del caso no amortiguado) y la amplitud disminuye gradualmente hasta cero. La frecuencia angular del oscilador armónico subamortiguado está dada por la caída exponencial del oscilador armónico subamortiguado está dada por ${\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$ ${\displaystyle \lambda =\omega _{0}\zeta .}$

El factor Q de un oscilador amortiguado se define como

$${\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}}.}$$

Q está relacionado con la relación de amortiguación por ${\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}$

Osciladores armónicos impulsados

Los osciladores armónicos accionados son osciladores amortiguados afectados además por una fuerza aplicada externamente F ( t ).

La segunda ley de Newton toma la forma

$${\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}$$

Generalmente se reescribe en la forma

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.}$$

Esta ecuación se puede resolver exactamente para cualquier fuerza impulsora, usando las soluciones z ( t ) que satisfacen la ecuación no forzada.

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,}$$

y que se puede expresar como oscilaciones sinusoidales amortiguadas:

$${\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),}$$

ζ ≤ 1Aφ

Entrada de paso

En el caso de ζ < 1 y una entrada de paso unitario con  x (0) = 0 :

$${\displaystyle {\frac {F(t)}{m}}={\begin{cases}\omega _{0}^{2}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases}}}$$

$${\displaystyle x(t)=1-e^{-\zeta \omega _{0}t}{\frac {\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right)}{\sin(\varphi )}},}$$

con fase φ dada por

$${\displaystyle \cos \varphi =\zeta .}$$

El tiempo que un oscilador necesita para adaptarse a las condiciones externas modificadas es del orden τ = 1/( ζω ₀ ) . En física, la adaptación se llama relajación y τ se llama tiempo de relajación.

En ingeniería eléctrica, un múltiplo de τ se denomina tiempo de estabilización , es decir, el tiempo necesario para garantizar que la señal esté dentro de una desviación fija del valor final, normalmente dentro del 10%. El término sobreimpulso se refiere a la medida en que la respuesta máxima excede el valor final, y el término subimpulso se refiere a la medida en que la respuesta cae por debajo del valor final en los momentos posteriores al máximo de respuesta.

Fuerza motriz sinusoidal

Variación de amplitud en estado estacionario con frecuencia relativa y amortiguación de un oscilador armónico accionado. Este gráfico también se denomina espectro del oscilador armónico o espectro de movimiento. ${\displaystyle \omega /\omega _{0}}$ ${\displaystyle \zeta }$

En el caso de una fuerza motriz sinusoidal:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),}$$

frecuenciacircuitos RLCCAresistenciainductorcondensadorresistencia al aire ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

La solución general es una suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y un estado estacionario que es independiente de las condiciones iniciales y depende sólo de la amplitud de conducción , la frecuencia de conducción , la frecuencia angular no amortiguada y la relación de amortiguación . ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \zeta }$

La solución en estado estacionario es proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido : ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),}$$

Z metro = ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 {\displaystyle Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right) ^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _ {0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}

impedanciafunción de respuesta lineal

$${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi }$$

es la fase de la oscilación relativa a la fuerza impulsora. Generalmente se considera que el valor de fase está entre −180 ° y 0 (es decir, representa un desfase, tanto para valores positivos como negativos del argumento arctan).

Para una frecuencia de conducción particular llamada resonancia , o frecuencia resonante , la amplitud (para una determinada ) es máxima. Este efecto de resonancia sólo se produce en , es decir, en sistemas muy poco amortiguados. Para sistemas fuertemente subamortiguados, el valor de la amplitud puede llegar a ser bastante grande cerca de la frecuencia de resonancia. ${\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}}$ ${\displaystyle F_{0}}$ ${\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

Las soluciones transitorias son las mismas que las del oscilador armónico amortiguado no forzado ( ) y representan la respuesta del sistema a otros eventos que ocurrieron anteriormente. Las soluciones transitorias suelen desaparecer con la suficiente rapidez como para poder ignorarlas. ${\displaystyle F_{0}=0}$

Osciladores paramétricos

Un oscilador paramétrico es un oscilador armónico accionado en el que la energía de accionamiento se proporciona variando los parámetros del oscilador, como la fuerza de amortiguación o restauración. Un ejemplo familiar de oscilación paramétrica es el "bombeo" en un columpio en un patio de recreo . ^{[4] [5] [6]} Una persona en un columpio en movimiento puede aumentar la amplitud de las oscilaciones del columpio sin que se aplique ninguna fuerza impulsora externa (empujes), cambiando el momento de inercia del columpio al balancearse hacia adelante y hacia atrás (" bombeo") o alternativamente de pie y en cuclillas, al ritmo de las oscilaciones del columpio. La variación de los parámetros impulsa el sistema. Ejemplos de parámetros que pueden variarse son su frecuencia de resonancia y amortiguación . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$

Los osciladores paramétricos se utilizan en muchas aplicaciones. El oscilador paramétrico varactor clásico oscila cuando la capacitancia del diodo varía periódicamente. El circuito que varía la capacitancia del diodo se llama "bomba" o "controlador". En electrónica de microondas, los osciladores paramétricos basados ​​en guías de onda / YAG funcionan de la misma manera. El diseñador varía un parámetro periódicamente para inducir oscilaciones.

Los osciladores paramétricos se han desarrollado como amplificadores de bajo ruido, especialmente en el rango de frecuencia de radio y microondas. El ruido térmico es mínimo, ya que se varía una reactancia (no una resistencia). Otro uso común es la conversión de frecuencia, por ejemplo, conversión de audio a frecuencias de radio. Por ejemplo, el oscilador paramétrico óptico convierte una onda láser de entrada en dos ondas de salida de menor frecuencia ( ). ${\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}$

La resonancia paramétrica ocurre en un sistema mecánico cuando un sistema se excita paramétricamente y oscila en una de sus frecuencias de resonancia. La excitación paramétrica se diferencia del forzado en que la acción aparece como una modificación variable en el tiempo de un parámetro del sistema. Este efecto se diferencia de la resonancia regular porque presenta el fenómeno de inestabilidad .

Ecuación del oscilador universal

La ecuacion

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0}$$

ecuación del oscilador universal^{[ cita necesaria ]}la no dimensionalización

Si la función forzada es f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt _c τ ) = cos( ωτ ) , donde ω = ωt _c , la ecuación se convierte en

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).}$$

La solución a esta ecuación diferencial contiene dos partes: la "transitoria" y la "estado estacionario".

Solución transitoria

La solución basada en resolver la ecuación diferencial ordinaria es para constantes arbitrarias c ₁ y c ₂

$${\displaystyle q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (overdamping)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1{\text{ (critical damping)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\text{ (underdamping)}}\end{cases}}}$$

La solución transitoria es independiente de la función forzada.

Solución de estado estacionario

Aplique el " método de variables complejas " resolviendo la siguiente ecuación auxiliar y luego encontrando la parte real de su solución:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.}$$

Suponiendo que la solución es de la forma

$${\displaystyle q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

Sus derivadas de orden cero a segundo son

$${\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}$$

Sustituyendo estas cantidades en la ecuación diferencial se obtiene

$${\displaystyle -\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.}$$

Dividir por el término exponencial de la izquierda da como resultado

$${\displaystyle -\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}$$

La equiparación de las partes real e imaginaria da como resultado dos ecuaciones independientes

$${\displaystyle A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .}$$

parte de amplitud

Gráfico de Bode de la respuesta de frecuencia de un oscilador armónico ideal

Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones y sumarlas se obtiene

$${\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}$$

Por lo tanto,

$${\displaystyle A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.}$$

Compare este resultado con la sección de teoría sobre resonancia , así como con la "parte de magnitud" del circuito RLC . Esta función de amplitud es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de sistemas de segundo orden.

parte de fase

Para resolver φ , divide ambas ecuaciones para obtener

$${\displaystyle \tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .}$$

Esta función de fase es particularmente importante en el análisis y comprensión de la respuesta de frecuencia de sistemas de segundo orden.

Solución completa

La combinación de las porciones de amplitud y fase da como resultado la solución de estado estacionario

$${\displaystyle q_{s}(\tau )=A(\zeta ,\omega )\cos(\omega \tau +\varphi (\zeta ,\omega ))=A\cos(\omega \tau +\varphi ).}$$

La solución de la ecuación del oscilador universal original es una superposición (suma) de las soluciones transitorias y de estado estacionario:

$${\displaystyle q(\tau )=q_{t}(\tau )+q_{s}(\tau ).}$$

Sistemas equivalentes

Los osciladores armónicos que aparecen en varias áreas de la ingeniería son equivalentes en el sentido de que sus modelos matemáticos son idénticos (consulte la ecuación del oscilador universal más arriba). A continuación se muestra una tabla que muestra cantidades análogas en cuatro sistemas de osciladores armónicos en mecánica y electrónica. Si a parámetros análogos en la misma línea de la tabla se les dan valores numéricamente iguales, el comportamiento de los osciladores (su forma de onda de salida, frecuencia de resonancia, factor de amortiguación, etc.) es el mismo.

Aplicación a una fuerza conservadora

El problema del oscilador armónico simple ocurre frecuentemente en física, porque una masa en equilibrio bajo la influencia de cualquier fuerza conservativa , en el límite de pequeños movimientos, se comporta como un oscilador armónico simple.

Una fuerza conservativa es aquella que está asociada a una energía potencial . La función de energía potencial de un oscilador armónico es

$${\displaystyle V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

Dada una función de energía potencial arbitraria , se puede hacer una expansión de Taylor en términos de alrededor de un mínimo de energía ( ) para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones del equilibrio. ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$

$${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

Como es mínimo, la primera derivada evaluada en debe ser cero, por lo que el término lineal desaparece: ${\displaystyle V(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

$${\displaystyle V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}$$

El término constante V ( x ₀ ) es arbitrario y, por lo tanto, puede eliminarse, y una transformación de coordenadas permite recuperar la forma del oscilador armónico simple:

$${\displaystyle V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}$$

Por tanto, dada una función de energía potencial arbitraria con una segunda derivada que no desaparece, se puede utilizar la solución del oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio. ${\displaystyle V(x)}$

Ejemplos

Péndulo sencillo

Un péndulo simple exhibe un movimiento armónico aproximadamente simple en condiciones de ausencia de amortiguación y de pequeña amplitud.

Suponiendo que no haya amortiguamiento, la ecuación diferencial que gobierna un péndulo simple de longitud , donde es la aceleración local de la gravedad , es ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g}$

d 2 θ d t 2 + g l pecado ⁡ θ = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \ theta = 0.}

Si el desplazamiento máximo del péndulo es pequeño, podemos usar la aproximación y en su lugar considerar la ecuación ${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.}$$

La solución general de esta ecuación diferencial es

$${\displaystyle \theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),}$$

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \theta (0)=\theta _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\theta }}(0)=0}$

$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),}$$

periodo ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$

τ = 2 π l g = 2 π ω , {\displaystyle \tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={\frac {2\pi }{\omega }},}

${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \omega }$

Sistema resorte/masa

Sistema resorte-masa en estados de equilibrio (A), comprimido (B) y estirado (C)

Cuando una masa estira o comprime un resorte, el resorte desarrolla una fuerza de recuperación. La ley de Hooke da la relación de la fuerza ejercida por el resorte cuando el resorte se comprime o estira una cierta longitud:

$${\displaystyle F(t)=-kx(t),}$$

Fkx

Al utilizar el balance de fuerzas o un método de energía, se puede demostrar fácilmente que el movimiento de este sistema viene dado por la siguiente ecuación diferencial:

$${\displaystyle F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,}$$

la segunda ley del movimiento de Newton

Si el desplazamiento inicial es A y no hay velocidad inicial, la solución de esta ecuación viene dada por

$${\displaystyle x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}$$

Dado un resorte ideal sin masa, es la masa en el extremo del resorte. Si el resorte en sí tiene masa, su masa efectiva debe incluirse en . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Variación de energía en el sistema resorte-amortiguación.

En términos de energía, todos los sistemas tienen dos tipos de energía: energía potencial y energía cinética . Cuando un resorte se estira o comprime, almacena energía potencial elástica, que luego se convierte en energía cinética. La energía potencial dentro de un resorte está determinada por la ecuación ${\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

Cuando el resorte se estira o comprime, la energía cinética de la masa se convierte en energía potencial del resorte. Por conservación de energía, suponiendo que el dato se define en la posición de equilibrio, cuando el resorte alcanza su energía potencial máxima, la energía cinética de la masa es cero. Cuando se suelta el resorte, intenta volver al equilibrio y toda su energía potencial se convierte en energía cinética de la masa.

Definición de términos

Ver también

• Anarmonicidad
• velocidad critica
• Masa efectiva (sistema resorte-masa)
• Modo normal
• Oscilador paramétrico
• fasor
• factor q
• Oscilador armónico cuántico
• Oscilador armónico radial
• Péndulo elástico

Notas

1. Fowles y Cassiday (1986, pág.86)
2. Kreyszig (1972, pág.65)
3. Tipler (1998, págs. 369, 389)
4. Caso, William. "Dos formas de accionar el columpio infantil". Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2011 . Consultado el 27 de noviembre de 2011 .
5. Caso, WB (1996). "El bombeo de un columpio desde la posición de pie". Revista Estadounidense de Física . 64 (3): 215–220. Código Bib : 1996AmJPh..64..215C. doi :10.1119/1.18209.
6. Roura, P.; González, JA (2010). "Hacia una descripción más realista del bombeo por oscilación debido al intercambio de momento angular". Revista Europea de Física . 31 (5): 1195-1207. Código Bib : 2010EJPh...31.1195R. doi :10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID  122086250.

Referencias

• Fowles, Grant R.; Cassiday, George L. (1986), Mecánica analítica (5ª ed.), Fort Worth: Saunders College Publishing , ISBN 0-03-089725-4, LCCN  93085193
• Hayek, Sabih I. (15 de abril de 2003). "Vibración y Amortiguación Mecánica". Enciclopedia de Física Aplicada . WILEY-VCH Verlag GmbH & Co KGaA. doi : 10.1002/3527600434.eap231. ISBN 9783527600434.
• Kreyszig, Erwin (1972), Matemáticas de ingeniería avanzada (3.ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2003). Física para científicos e ingenieros. Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul (1998). Física para científicos e ingenieros: vol. 1 (4ª ed.). WH Freeman. ISBN 1-57259-492-6.
• Wylie, CR (1975). Matemáticas de ingeniería avanzada (4ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-072180-7.

enlaces externos

• El oscilador armónico de las conferencias de física de Feynman