órbita de Kepler

Órbita celeste cuya trayectoria es una sección cónica en el plano orbital

Una órbita de Kepler elíptica con una excentricidad de 0,7, una órbita de Kepler parabólica y una órbita de Kepler hiperbólica con una excentricidad de 1,3. La distancia al punto focal es función del ángulo polar con respecto a la línea horizontal dada por la ecuación ( 13 )

En mecánica celeste , una órbita de Kepler (u órbita kepleriana , llamada así en honor al astrónomo alemán Johannes Kepler ) es el movimiento de un cuerpo con respecto a otro, a modo de elipse , parábola o hipérbola , que forma un plano orbital bidimensional en tres dimensiones. espacio dimensional. Una órbita de Kepler también puede formar una línea recta . Considera sólo la atracción gravitacional puntual de dos cuerpos, despreciando las perturbaciones debidas a interacciones gravitacionales con otros objetos, la resistencia atmosférica , la presión de la radiación solar , un cuerpo central no esférico , etc. Por tanto, se dice que es una solución de un caso especial del problema de los dos cuerpos , conocido como problema de Kepler . Como teoría de la mecánica clásica , tampoco tiene en cuenta los efectos de la relatividad general . Las órbitas keplerianas se pueden parametrizar en seis elementos orbitales de varias maneras.

En la mayoría de las aplicaciones, hay un gran cuerpo central, cuyo centro de masa se supone que es el centro de masa de todo el sistema. Por descomposición, las órbitas de dos objetos de masa similar pueden describirse como órbitas de Kepler alrededor de su centro de masa común, su baricentro .

Introducción

Desde la antigüedad hasta los siglos XVI y XVII, se creía que los movimientos de los planetas seguían trayectorias geocéntricas perfectamente circulares , como lo enseñaron los antiguos filósofos griegos Aristóteles y Ptolomeo . Las variaciones en los movimientos de los planetas se explicaban por trayectorias circulares más pequeñas superpuestas a la trayectoria más grande (ver epiciclo ). A medida que las mediciones de los planetas se volvieron cada vez más precisas, se propusieron revisiones de la teoría. En 1543, Nicolás Copérnico publicó un modelo heliocéntrico del Sistema Solar , aunque todavía creía que los planetas viajaban en trayectorias perfectamente circulares centradas en el Sol. ^[1]

Desarrollo de las leyes.

En 1601, Johannes Kepler adquirió las extensas y meticulosas observaciones de los planetas realizadas por Tycho Brahe . Kepler pasaría los siguientes cinco años intentando ajustar las observaciones del planeta Marte a varias curvas. En 1609, Kepler publicó las dos primeras de sus tres leyes del movimiento planetario . La primera ley establece:

La órbita de cada planeta es una elipse con el sol en un foco .

De manera más general, la trayectoria de un objeto que experimenta un movimiento kepleriano también puede seguir una parábola o una hipérbola , que, junto con las elipses, pertenecen a un grupo de curvas conocidas como secciones cónicas . Matemáticamente, la distancia entre un cuerpo central y un cuerpo en órbita se puede expresar como:

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos(\theta )}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle r}$es la distancia
• ${\displaystyle a}$es el semieje mayor , que define el tamaño de la órbita
• ${\displaystyle e}$es la excentricidad , que define la forma de la órbita
• ${\displaystyle \theta }$es la verdadera anomalía , que es el ángulo entre la posición actual del objeto en órbita y la ubicación en la órbita en la que está más cerca del cuerpo central (llamada periapsis ) .

Alternativamente, la ecuación se puede expresar como:

$${\displaystyle r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta )}}}$$

Donde se llama recto semilatus de la curva. Esta forma de ecuación es particularmente útil cuando se trata de trayectorias parabólicas, para las cuales el semieje mayor es infinito. ${\displaystyle p}$

A pesar de desarrollar estas leyes a partir de observaciones, Kepler nunca pudo desarrollar una teoría para explicar estos movimientos. ^[2]

isaac newton

Entre 1665 y 1666, Isaac Newton desarrolló varios conceptos relacionados con el movimiento, la gravitación y el cálculo diferencial. Sin embargo, estos conceptos no fueron publicados hasta 1687 en los Principia , en los que esbozó sus leyes del movimiento y su ley de gravitación universal . Su segunda de sus tres leyes del movimiento establece:

La aceleración de un cuerpo es paralela y directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, está en la dirección de la fuerza neta y es inversamente proporcional a la masa del cuerpo:

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

Dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$es el vector de fuerza
• ${\displaystyle m}$es la masa del cuerpo sobre el que actúa la fuerza
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$es el vector de aceleración, la segunda derivada del vector de posición ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Estrictamente hablando, esta forma de ecuación solo se aplica a un objeto de masa constante, lo cual es cierto según los supuestos simplificadores que se hacen a continuación.

Los mecanismos de la ley de gravitación universal de Newton; una masa puntual m ₁ atrae a otra masa puntual m ₂ mediante una fuerza F ₂ que es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia ( r ) entre ellas. Independientemente de las masas o la distancia, las magnitudes de | F1 |_​ y | F2 |_​ siempre será igual. G es la constante gravitacional .

La ley de gravitación de Newton establece:

Cada masa puntual atrae a todas las demás masas puntuales mediante una fuerza que apunta a lo largo de la línea que cruza ambos puntos. La fuerza es proporcional al producto de las dos masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las masas puntuales:

$${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle F}$es la magnitud de la fuerza gravitacional entre las dos masas puntuales
• ${\displaystyle G}$es la constante gravitacional
• ${\displaystyle m_{1}}$es la masa del primer punto de masa
• ${\displaystyle m_{2}}$es la masa de la segunda masa puntual
• ${\displaystyle r}$es la distancia entre las dos masas puntuales

A partir de las leyes del movimiento y de la ley de la gravitación universal, Newton pudo deducir las leyes de Kepler, que son específicas del movimiento orbital en astronomía. Dado que las leyes de Kepler estaban bien respaldadas por datos de observación, esta coherencia proporcionó un fuerte apoyo a la validez de la teoría generalizada de Newton y de la mecánica celeste y ordinaria unificada. Estas leyes del movimiento formaron la base de la mecánica celeste moderna hasta que Albert Einstein introdujo los conceptos de relatividad especial y general a principios del siglo XX. Para la mayoría de las aplicaciones, el movimiento kepleriano aproxima los movimientos de planetas y satélites con grados de precisión relativamente altos y se utiliza ampliamente en astronomía y astrodinámica .

Problema simplificado de dos cuerpos

Para resolver el movimiento de un objeto en un sistema de dos cuerpos , se pueden hacer dos suposiciones simplificadoras:

1. Los cuerpos son esféricamente simétricos y pueden tratarse como masas puntuales.
2. No hay fuerzas externas o internas que actúen sobre los cuerpos aparte de su gravitación mutua.

Las formas de los grandes cuerpos celestes se parecen a las de las esferas. Por simetría, la fuerza gravitacional neta que atrae un punto de masa hacia una esfera homogénea debe dirigirse hacia su centro. El teorema de la capa (también demostrado por Isaac Newton) establece que la magnitud de esta fuerza es la misma que si toda la masa estuviera concentrada en el medio de la esfera, incluso si la densidad de la esfera varía con la profundidad (como ocurre en la mayoría de los casos celestes). cuerpos). De esto se sigue inmediatamente que la atracción entre dos esferas homogéneas es como si ambas tuvieran su masa concentrada en su centro.

Los objetos más pequeños, como los asteroides o las naves espaciales, suelen tener una forma que se aleja mucho de la de una esfera. Pero las fuerzas gravitacionales producidas por estas irregularidades son generalmente pequeñas en comparación con la gravedad del cuerpo central. La diferencia entre una forma irregular y una esfera perfecta también disminuye con las distancias, y la mayoría de las distancias orbitales son muy grandes en comparación con el diámetro de un pequeño cuerpo en órbita. Por lo tanto, para algunas aplicaciones, la irregularidad de la forma puede despreciarse sin un impacto significativo en la precisión. Este efecto es bastante notable en el caso de los satélites terrestres artificiales, especialmente los que se encuentran en órbitas bajas.

Los planetas giran a velocidades variables y, por lo tanto, pueden adoptar una forma ligeramente achatada debido a la fuerza centrífuga. Con una forma tan achatada, la atracción gravitacional se desviará algo de la de una esfera homogénea. A distancias mayores el efecto de este achatamiento se vuelve insignificante. Los movimientos planetarios en el Sistema Solar se pueden calcular con suficiente precisión si se tratan como masas puntuales.

Dos objetos de masa puntual con masas y vectores de posición y en relación con algún marco de referencia inercial experimentan fuerzas gravitacionales: ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$

$${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}_{1}={\frac {-Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$

$${\displaystyle m_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}_{2}={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$$

donde es el vector de posición relativa de la masa 1 con respecto a la masa 2, expresado como: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}$$

y es el vector unitario en esa dirección y es la longitud de ese vector. ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle r}$

Dividiendo por sus respectivas masas y restando la segunda ecuación de la primera se obtiene la ecuación de movimiento para la aceleración del primer objeto con respecto al segundo:

donde es el parámetro gravitacional y es igual a ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \alpha =G(m_{1}+m_{2})}$$

En muchas aplicaciones, se puede hacer una tercera suposición simplificadora:

3. En comparación con el cuerpo central, la masa del cuerpo en órbita es insignificante. Matemáticamente, m ₁ >> m ₂ , entonces α = G ( m ₁ + m ₂ ) ≈ Gm ₁ . Estos parámetros gravitacionales estándar , a menudo denominados , están ampliamente disponibles para el Sol, los planetas principales y la Luna, que tienen masas mucho mayores que las de sus satélites en órbita. ${\displaystyle \mu =G\,M}$ ${\displaystyle M}$

Esta suposición no es necesaria para resolver el problema simplificado de dos cuerpos, pero simplifica los cálculos, particularmente con satélites en órbita terrestre y planetas que orbitan alrededor del Sol. Incluso la masa de Júpiter es menor que la del Sol en un factor de 1047, ^[3] lo que constituiría un error del 0,096% en el valor de α. Las excepciones notables incluyen el sistema Tierra-Luna (relación de masa de 81,3), el sistema Plutón-Caronte (relación de masa de 8,9) y los sistemas estelares binarios.

Bajo estos supuestos, la ecuación diferencial para el caso de dos cuerpos se puede resolver completamente matemáticamente y la órbita resultante que sigue las leyes del movimiento planetario de Kepler se denomina "órbita de Kepler". Las órbitas de todos los planetas son con gran precisión las órbitas de Kepler alrededor del Sol. Las pequeñas desviaciones se deben a las atracciones gravitacionales mucho más débiles entre los planetas y, en el caso de Mercurio , a la relatividad general . Las órbitas de los satélites artificiales alrededor de la Tierra son, con bastante aproximación, las órbitas de Kepler con pequeñas perturbaciones debidas a la atracción gravitacional del Sol, la Luna y el achatamiento de la Tierra. En aplicaciones de alta precisión para las cuales la ecuación de movimiento debe integrarse numéricamente teniendo en cuenta todas las fuerzas gravitacionales y no gravitacionales (como la presión de la radiación solar y la resistencia atmosférica ), los conceptos de la órbita de Kepler son de suma importancia y se utilizan mucho.

elementos keplerianos

Elementos orbitales keplerianos .

Cualquier trayectoria kepleriana puede definirse mediante seis parámetros. El movimiento de un objeto que se mueve en un espacio tridimensional se caracteriza por un vector de posición y un vector de velocidad. Cada vector tiene tres componentes, por lo que el número total de valores necesarios para definir una trayectoria a través del espacio es seis. Una órbita generalmente está definida por seis elementos (conocidos como elementos keplerianos ) que pueden calcularse a partir de la posición y la velocidad, tres de los cuales ya se han comentado. Estos elementos son convenientes porque de los seis, cinco son inmutables para una órbita imperturbada (un marcado contraste con dos vectores en constante cambio). Se puede predecir la ubicación futura de un objeto dentro de su órbita y su nueva posición y velocidad se pueden obtener fácilmente a partir de los elementos orbitales.

Dos definen el tamaño y la forma de la trayectoria:

• Semieje mayor ( ) ${\displaystyle a}$
• Excentricidad ( ) ${\displaystyle e}$

Tres definen la orientación del plano orbital :

• La inclinación ( ) define el ángulo entre el plano orbital y el plano de referencia. ${\displaystyle i}$
• La longitud del nodo ascendente ( ) define el ángulo entre la dirección de referencia y el cruce ascendente de la órbita en el plano de referencia (el nodo ascendente). ${\displaystyle \Omega }$
• El argumento del periapsis ( ) define el ángulo entre el nodo ascendente y el periapsis. ${\displaystyle \omega }$

Y finalmente:

• La verdadera anomalía ( ) define la posición del cuerpo en órbita a lo largo de la trayectoria, medida desde el periapsis. Se pueden utilizar varios valores alternativos en lugar de la anomalía verdadera, siendo los más comunes la anomalía media y el tiempo transcurrido desde la periapsis. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T}$

Debido a que , y son simplemente medidas angulares que definen la orientación de la trayectoria en el sistema de referencia, no son estrictamente necesarias cuando se analiza el movimiento del objeto dentro del plano orbital. Se han mencionado aquí para que estén completos, pero no son necesarios para las pruebas a continuación. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Solución matemática de la ecuación diferencial ( 1 ) anterior

Para el movimiento bajo cualquier fuerza central, es decir, una fuerza paralela a r , el momento angular relativo específico permanece constante: ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}}$

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {H} }}={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}\right)={\dot {\mathbf {r} }}\times {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {0} +\mathbf {0} =\mathbf {0} }$$

Dado que el producto cruzado del vector de posición y su velocidad se mantienen constantes, deben estar en el mismo plano, ortogonal a . Esto implica que la función vectorial es una curva plana . ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Debido a que la ecuación tiene simetría alrededor de su origen, es más fácil resolverla en coordenadas polares. Sin embargo, es importante señalar que la ecuación ( 1 ) se refiere a una aceleración lineal en contraposición a una aceleración angular o radial . Por tanto, hay que tener cuidado al transformar la ecuación. Introduciendo un sistema de coordenadas cartesianas y vectores unitarios polares en el plano ortogonal a : ${\displaystyle \left({\ddot {\mathbf {r} }}\right),}$ ${\displaystyle \left({\ddot {\theta }}\right)}$ ${\displaystyle \left({\ddot {r}}\right)}$ ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$ ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {q} }})}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\cos {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\sin {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\\{\hat {\mathbf {q} }}&=-\sin {\theta }{\hat {\mathbf {x} }}+\cos {\theta }{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$$

Ahora podemos reescribir la función vectorial y sus derivadas como: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=r\left(\cos \theta {\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta {\hat {\mathbf {y} }}\right)=r{\hat {\mathbf {r} }}\\{\dot {\mathbf {r} }}&={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\mathbf {q} }}\\{\ddot {\mathbf {r} }}&=\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}\end{aligned}}}$$

(ver " Cálculo vectorial "). Sustituyéndolos en ( 1 ), encontramos:

$${\displaystyle \left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}\right){\hat {\mathbf {r} }}+\left(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}\right){\hat {\mathbf {q} }}=\left(-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {r} }}+(0){\hat {\mathbf {q} }}}$$

Esto da la ecuación diferencial ordinaria en las dos variables y : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

Para resolver esta ecuación, se deben eliminar todas las derivadas del tiempo. Esto trae:

$${\displaystyle H=|\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}|=\left|{\begin{pmatrix}r\cos(\theta )\\r\sin(\theta )\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}{\dot {r}}\cos(\theta )-r\sin(\theta ){\dot {\theta }}\\{\dot {r}}\sin(\theta )+r\cos(\theta ){\dot {\theta }}\\0\end{pmatrix}}\right|=\left|{\begin{pmatrix}0\\0\\r^{2}{\dot {\theta }}\end{pmatrix}}\right|=r^{2}{\dot {\theta }}}$$

Tomando la derivada del tiempo de ( 3 ) se obtiene

Las ecuaciones ( 3 ) y ( 4 ) nos permiten eliminar las derivadas temporales de . Para eliminar las derivadas temporales de , se utiliza la regla de la cadena para encontrar sustituciones apropiadas: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$

Usando estas cuatro sustituciones, se pueden eliminar todas las derivadas temporales en ( 2 ), lo que produce una ecuación diferencial ordinaria para en función de ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta .}$

$${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot {\dot {\theta }}^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot {\ddot {\theta }}-r{\dot {\theta }}^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}\cdot \left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}+{\frac {dr}{d\theta }}\cdot \left(-{\frac {2\cdot H\cdot {\dot {r}}}{r^{3}}}\right)-r\left({\frac {H}{r^{2}}}\right)^{2}=-{\frac {\alpha }{r^{2}}}}$$

La ecuación diferencial ( 7 ) se puede resolver analíticamente mediante la sustitución de variables

Usando la regla de la cadena para la diferenciación se obtiene:

Usando las expresiones ( 10 ) y ( 9 ) para y obtiene ${\displaystyle {\frac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{d\theta }}}$

con la solución general

donde e y son constantes de integración dependiendo de los valores iniciales de s y ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle {\tfrac {ds}{d\theta }}.}$

En lugar de utilizar explícitamente la constante de integración, se introduce la convención de que los vectores unitarios que definen el sistema de coordenadas en el plano orbital se seleccionan de modo que tomen el valor cero y e sea positivo. Esto significa entonces que es cero en el punto donde es máximo y por tanto es mínimo. Definir el parámetro p como se tiene ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$ ${\displaystyle \theta _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{s}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {H^{2}}{\alpha }}}$

$${\displaystyle r={\frac {1}{s}}={\frac {p}{1+e\cdot \cos \theta }}}$$

Derivación alternativa

Otra forma de resolver esta ecuación sin el uso de ecuaciones diferenciales polares es la siguiente:

Defina un vector unitario , , tal que y . Resulta que ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {u} }$ ${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=-{\tfrac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} }$

$${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=r\mathbf {u} \times {\frac {d}{dt}}(r\mathbf {u} )=r\mathbf {u} \times (r{\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {r}}\mathbf {u} )=r^{2}(\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})+r{\dot {r}}(\mathbf {u} \times \mathbf {u} )=r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }}}$$

Ahora considere

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =-{\frac {\alpha }{r^{2}}}\mathbf {u} \times (r^{2}\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha \mathbf {u} \times (\mathbf {u} \times {\dot {\mathbf {u} }})=-\alpha [(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }})\mathbf {u} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} ){\dot {\mathbf {u} }}]}$$

(ver Producto triple vectorial ). Darse cuenta de

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} =|\mathbf {u} |^{2}=1}$$

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}={\frac {1}{2}}(\mathbf {u} \cdot {\dot {\mathbf {u} }}+{\dot {\mathbf {u} }}\cdot \mathbf {u} )={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )=0}$$

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene:

$${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha {\dot {\mathbf {u} }}}$$

Integrando ambos lados:

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} =\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} }$$

donde c es un vector constante. Ponerle un punto con r produce un resultado interesante:

$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )=\mathbf {r} \cdot (\alpha \mathbf {u} +\mathbf {c} )=\alpha \mathbf {r} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {r} \cdot \mathbf {c} =\alpha r(\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} )+rc\cos(\theta )=r(\alpha +c\cos(\theta ))}$$

r ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle r={\frac {\mathbf {r} \cdot ({\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} )}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {(\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }})\cdot \mathbf {H} }{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha +c\cos(\theta )}}={\frac {|\mathbf {H} |^{2}/\alpha }{1+(c/\alpha )\cos(\theta )}}.}$$

Observe que son efectivamente las coordenadas polares de la función vectorial. Haciendo las sustituciones y , llegamos nuevamente a la ecuación ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle p={\tfrac {|\mathbf {H} |^{2}}{\alpha }}}$ ${\displaystyle e={\tfrac {c}{\alpha }}}$

Esta es la ecuación en coordenadas polares para una sección cónica con origen en un punto focal. El argumento se llama "verdadera anomalía". ${\displaystyle \theta }$

Vector de excentricidad

Observe también que, dado que es el ángulo entre el vector de posición y la constante de integración , el vector debe apuntar en la dirección del periapsis de la órbita. Entonces podemos definir el vector de excentricidad asociado a la órbita como: ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$

$${\displaystyle \mathbf {e} \triangleq {\frac {\mathbf {c} }{\alpha }}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {H} }{\alpha }}-\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {H} }{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}={\frac {\mathbf {v} \times (\mathbf {r} \times \mathbf {v} )}{\alpha }}-{\frac {\mathbf {r} }{r}}}$$

donde es el vector de momento angular constante de la órbita y es el vector de velocidad asociado al vector de posición . ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Obviamente, el vector de excentricidad , que tiene la misma dirección que la constante de integración , también apunta a la dirección del periapsis de la órbita y tiene la magnitud de la excentricidad orbital. Esto lo hace muy útil en la determinación de órbitas (OD) para los elementos orbitales de una órbita cuando se conoce un vector de estado [ ] o [ ]. ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }$

Propiedades de la ecuación de trayectoria.

Porque este es un círculo con radio p . ${\displaystyle e=0}$

Porque esta es una elipse con ${\displaystyle 0<e<1,}$

Porque esta es una parábola con distancia focal. ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{2}}}$

Porque esta es una hipérbola con ${\displaystyle e>1}$

La siguiente imagen ilustra un círculo (gris), una elipse (rojo), una parábola (verde) y una hipérbola (azul).

Un diagrama de las diversas formas de la órbita de Kepler y sus excentricidades. El azul es una trayectoria hiperbólica ( e > 1). El verde es una trayectoria parabólica ( e = 1). El rojo es una órbita elíptica (0 < e <1). Gray es una órbita circular ( e = 0).

El punto de la línea horizontal que sale a la derecha del punto focal es el punto en el que la distancia al foco toma el valor mínimo : el pericentro. Para la elipse también hay un apocentro para el cual la distancia al foco toma el valor máximo. Para la hipérbola el rango es ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{1+e}},}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{1-e}}.}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle -\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)}$$

$${\displaystyle -\pi <\theta <\pi }$$

Usando la regla de la cadena para la diferenciación ( 5 ), la ecuación ( 2 ) y la definición de p se obtiene que el componente de velocidad radial es ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{\alpha }}}$

y que la componente tangencial (componente de velocidad perpendicular a ) es ${\displaystyle V_{r}}$

La conexión entre el argumento polar y el tiempo t es ligeramente diferente para órbitas elípticas e hiperbólicas. ${\displaystyle \theta }$

Para una órbita elíptica se cambia a la " anomalía excéntrica " ​​E para la cual

y consecuentemente

y el momento angular H es

Integrando con respecto al tiempo t da

bajo el supuesto de que el tiempo se selecciona de manera que la constante de integración sea cero. ${\displaystyle t=0}$

Como por definición de p se tiene

esto se puede escribir

Para una órbita hiperbólica se utilizan las funciones hiperbólicas para la parametrización

para lo cual uno tiene

y el momento angular H es

Integrando con respecto al tiempo t

es decir

Para encontrar qué tiempo t corresponde a una determinada anomalía verdadera, se calcula el parámetro correspondiente E conectado al tiempo con la relación ( 27 ) para una órbita elíptica y con la relación ( 34 ) para una órbita hiperbólica. ${\displaystyle \theta }$

Tenga en cuenta que las relaciones ( 27 ) y ( 34 ) definen un mapeo entre los rangos

$${\displaystyle \left[-\infty <t<\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

Algunas fórmulas adicionales

Para una órbita elíptica se obtiene de ( 20 ) y ( 21 ) que

y por lo tanto que

De ( 36 ) se sigue que

$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}{1+{\frac {\cos E-e}{1-e\cos E}}}}={\frac {1-e\cos E-\cos E+e}{1-e\cos E+\cos E-e}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot {\frac {1-\cos E}{1+\cos E}}={\frac {1+e}{1-e}}\cdot \tan ^{2}{\frac {E}{2}}}$$

De la construcción geométrica que define la anomalía excéntrica queda claro que los vectores y están en el mismo lado del eje x . De esto se sigue que los vectores y están en el mismo cuadrante. Por lo tanto uno tiene que ${\displaystyle (\cos E,\sin E)}$ ${\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )}$ ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {E}{2}},\sin {\tfrac {E}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \left(\cos {\tfrac {\theta }{2}},\sin {\tfrac {\theta }{2}}\right)}$

y eso

donde " " es el argumento polar del vector y n se selecciona de modo que ${\displaystyle \arg(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle |E-\theta |<\pi }$

Para el cálculo numérico de la función estándar ATAN2(y,x) (o en doble precisión DATAN2(y,x)) disponible, por ejemplo, en el lenguaje de programación FORTRAN, se puede utilizar. ${\displaystyle \arg(x,y)}$

Tenga en cuenta que este es un mapeo entre los rangos

$${\displaystyle \left[-\infty <\theta <\infty \right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

Para una órbita hiperbólica se obtiene de ( 28 ) y ( 29 ) que

y por lo tanto que

Como

$${\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {1-{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}{1+{\frac {e-\cosh E}{e\cdot \cosh E-1}}}}={\frac {e\cdot \cosh E-e+\cosh E}{e\cdot \cosh E+e-\cosh E}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot {\frac {\cosh E-1}{\cosh E+1}}={\frac {e+1}{e-1}}\cdot \tanh ^{2}{\frac {E}{2}}}$$

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}}$ ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}}$

Esta relación es conveniente para pasar entre "verdadera anomalía" y el parámetro E , estando este último conectado al tiempo a través de la relación ( 34 ). Tenga en cuenta que este es un mapeo entre los rangos

$${\displaystyle \left[-\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)<\theta <\cos ^{-1}\left(-{\frac {1}{e}}\right)\right]\longleftrightarrow \left[-\infty <E<\infty \right]}$$

${\displaystyle {\tfrac {E}{2}}}$

$${\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$$

De la relación ( 27 ) se deduce que el período orbital P para una órbita elíptica es

Como la energía potencial correspondiente al campo de fuerza de la relación ( 1 ) es

$${\displaystyle -{\frac {\alpha }{r}}}$$

13141819

$${\displaystyle {\frac {{V_{r}}^{2}+{V_{t}}^{2}}{2}}-{\frac {\alpha }{r}}}$$

y de ( 13 ), ( 16 ), ( 18 ) y ( 19 ) que la suma de la energía cinética y potencial para una órbita hiperbólica es

Relativo al sistema de coordenadas inerciales.

$${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$$

1819 ${\displaystyle {\hat {x}}}$

La ecuación del centro relaciona la anomalía media con la anomalía verdadera para órbitas elípticas, para pequeñas excentricidades numéricas.

Determinación de la órbita de Kepler que corresponde a un estado inicial determinado

Este es el " problema del valor inicial " para la ecuación diferencial ( 1 ), que es una ecuación de primer orden para el "vector de estado" de 6 dimensiones cuando se escribe como ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

Para cualquier valor del "vector de estado" inicial, la órbita de Kepler correspondiente a la solución de este problema de valor inicial se puede encontrar con el siguiente algoritmo: ${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

Definir los vectores unitarios ortogonales mediante ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$

con y ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle V_{t}>0}$

De ( 13 ), ( 18 ) y ( 19 ) se deduce que estableciendo

y definiendo y tal que ${\displaystyle e\geq 0}$ ${\displaystyle \theta }$

dónde

se obtiene una órbita de Kepler que, para una verdadera anomalía , tiene los mismos r y valores que los definidos por ( 50 ) y ( 51 ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle V_{r}}$ ${\displaystyle V_{t}}$

Si esta órbita de Kepler también tiene los mismos vectores para esta anomalía verdadera que los definidos por ( 50 ) y ( 51 ), el vector de estado de la órbita de Kepler toma los valores deseados para la anomalía verdadera . ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {r} }},{\hat {\mathbf {t} }})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$ ${\displaystyle \theta }$

El sistema de coordenadas estándar fijo inercialmente en el plano orbital ( dirigido desde el centro de la esfera homogénea al pericentro) que define la orientación de la sección cónica (elipse, parábola o hipérbola) se puede determinar entonces con la relación ${\displaystyle ({\hat {\mathbf {x} }},{\hat {\mathbf {y} }})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$

Tenga en cuenta que las relaciones ( 53 ) y ( 54 ) tienen una singularidad cuando y ${\displaystyle V_{r}=0}$

$${\displaystyle V_{t}=V_{0}={\sqrt {\frac {\alpha }{p}}}={\sqrt {\frac {\alpha }{\frac {{(r\cdot V_{t})}^{2}}{\alpha }}}}}$$

cual es el caso de que se trata de una órbita circular que se está ajustando al estado inicial ${\displaystyle (\mathbf {r} _{0},\mathbf {v} _{0})}$

La órbita osculante de Kepler

Para cualquier vector de estado, la órbita de Kepler correspondiente a este estado se puede calcular con el algoritmo definido anteriormente. Primero se determinan los parámetros y luego los vectores unitarios ortogonales en el plano orbital usando las relaciones ( 56 ) y ( 57 ). ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle p,e,\theta }$ ${\displaystyle r,V_{r},V_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {x}},{\hat {y}}}$

Si ahora la ecuación de movimiento es

dónde

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$

$${\displaystyle -\alpha {\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}}$$

${\displaystyle p}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle \theta }$

Se dice que la órbita de Kepler calculada de esta manera que tiene el mismo "vector de estado" que la solución de la "ecuación de movimiento" ( 59 ) en el momento t está "osculando" en ese momento.

Este concepto es útil, por ejemplo, en caso de

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=-\alpha {\frac {\hat {\mathbf {r} }}{r^{2}}}+\mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$

$${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)}$$

es una pequeña "fuerza perturbadora" debida, por ejemplo, a una débil atracción gravitacional de otros cuerpos celestes. Los parámetros de la órbita osculante de Kepler sólo cambiarán lentamente y la órbita osculante de Kepler es una buena aproximación a la órbita real durante un período de tiempo considerable antes y después del momento de osculación.

Este concepto también puede ser útil para un cohete durante un vuelo propulsado, ya que indica en qué órbita Kepler continuará el cohete en caso de que se apague el propulsor.

Para una órbita "casi circular", el concepto " vector de excentricidad " definido como es útil. De ( 53 ), ( 54 ) y ( 56 ) se sigue que ${\displaystyle \mathbf {e} =e{\hat {\mathbf {x} }}}$

es decir, es una función diferenciable suave del vector de estado también si este estado corresponde a una órbita circular. ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )}$

Ver también

• problema de dos cuerpos
• problema de kepler
• Las leyes del movimiento planetario de Kepler
• Órbita elíptica
• trayectoria hiperbólica
• trayectoria parabólica
• trayectoria radial
• Modelado de órbita

Citas

1. Copérnico. págs. 513–514
2. Bate, Mueller, blanco. págs. 177-181
3. "Sitio web de la NASA". Archivado desde el original el 16 de febrero de 2011 . Consultado el 12 de agosto de 2012 .

Referencias

• El'Yasberg "Teoría del vuelo de satélites terrestres artificiales", programa de traducciones científicas de Israel (1967)
• Bate, Roger; Mueller, Donald; Blanco, Jerry (1971). Fundamentos de Astrodinámica . Publicaciones de Dover, Inc., Nueva York. ISBN 0-486-60061-0.
• Copérnico, Nicolaus (1952), "Libro I, Capítulo 4, El movimiento de los cuerpos celestes es regular, circular y eterno, o está compuesto de movimientos circulares", Sobre las revoluciones de las esferas celestes , Grandes libros del mundo occidental , vol. 16, traducido por Charles Glenn Wallis, Chicago: William Benton, págs. 497–838

enlaces externos

• Subprograma de JAVA que anima la órbita de un satélite en una órbita elíptica de Kepler alrededor de la Tierra con cualquier valor para el semieje mayor y la excentricidad.