trayectoria radial

En astrodinámica y mecánica celeste una trayectoria radial es una órbita de Kepler con momento angular cero . Dos objetos en una trayectoria radial se acercan o se alejan directamente uno del otro en línea recta.

Clasificación

Hay tres tipos de trayectorias radiales (órbitas). ^[1]

• Trayectoria elíptica radial : órbita correspondiente a la parte de una elipse degenerada desde que los cuerpos se tocan y se alejan hasta que se vuelven a tocar. La velocidad relativa de los dos objetos es menor que la velocidad de escape . Esta es una órbita elíptica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, no es una órbita parabólica. Si el coeficiente de restitución de los dos cuerpos es 1 (perfectamente elástico) esta órbita es periódica. Si el coeficiente de restitución es menor que 1 (inelástico), esta órbita no es periódica.
• Trayectoria parabólica radial , una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los dos objetos es siempre igual a la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan.
• Trayectoria hiperbólica radial : una órbita no periódica donde la velocidad relativa de los dos objetos siempre excede la velocidad de escape. Hay dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan. Esta es una órbita hiperbólica con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica.

A diferencia de las órbitas estándar que se clasifican por su excentricidad orbital , las órbitas radiales se clasifican por su energía orbital específica , la suma constante de la energía cinética y potencial total, dividida por la masa reducida :

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{x}}}$$

xvparámetro gravitacional estándar ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$

Otra constante viene dada por:

$${\displaystyle w={\frac {1}{x}}-{\frac {v^{2}}{2\mu }}={\frac {-\varepsilon }{\mu }}}$$

• Para trayectorias elípticas, w es positivo. Es la inversa de la distancia de la apoapsis (distancia máxima).
• Para trayectorias parabólicas, w es cero.
• Para trayectorias hiperbólicas, w es negativo, es donde está la velocidad a una distancia infinita. ${\displaystyle \textstyle {\frac {-v_{\infty }^{2}}{2\mu }}}$ ${\displaystyle \textstyle v_{\infty }}$

El tiempo en función de la distancia.

Dada la separación y la velocidad en cualquier momento, y la masa total, es posible determinar la posición en cualquier otro momento.

El primer paso es determinar la constante w . Utilice el signo de w para determinar el tipo de órbita.

$${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}}$$

${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle v_{0}}$

trayectoria parabólica

$${\displaystyle t(x)={\sqrt {\frac {2x^{3}}{9\mu }}}}$$

tx

Esta ecuación se aplica sólo a trayectorias parabólicas radiales; para trayectorias parabólicas generales, consulte la ecuación de Barker .

trayectoria elíptica

$${\displaystyle t(x,w)={\frac {\arcsin \left({\sqrt {w\,x}}\right)-{\sqrt {w\,x\ (1-w\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,w^{3}}}}}$$

tx

Esta es la ecuación radial de Kepler . ^[2]

trayectoria hiperbólica

$${\displaystyle t(x,w)={\frac {{\sqrt {(|w|x)^{2}+|w|x}}-\ln \left({\sqrt {|w|x}}+{\sqrt {1+|w|x}}\right)}{\sqrt {2\mu \,|w|^{3}}}}}$$

tx

Forma universal (cualquier trayectoria)

La ecuación radial de Kepler se puede hacer "universal" (aplicable a todas las trayectorias):

$${\displaystyle t(x,w)=\lim _{u\to w}{\frac {\arcsin \left({\sqrt {u\,x}}\right)-{\sqrt {u\,x\ (1-u\,x)}}}{\sqrt {2\mu \,u^{3}}}}}$$

$${\displaystyle t(x,w)={\frac {1}{\sqrt {2\mu }}}\left.\left({\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{5}}wx^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{28}}w^{2}x^{\frac {7}{2}}+{\frac {5}{72}}w^{3}x^{\frac {9}{2}}+{\frac {35}{704}}w^{4}x^{\frac {11}{2}}\cdots \right)\right|_{-1<w\cdot x<1}}$$

El problema radial de Kepler (distancia en función del tiempo)

El problema de encontrar la separación de dos cuerpos en un momento dado, dada su separación y velocidad en otro momento, se conoce como problema de Kepler . Esta sección resuelve el problema de Kepler para órbitas radiales.

El primer paso es determinar la constante . Utilice el signo de para determinar el tipo de órbita. ${\textstyle w}$ ${\textstyle w}$

$${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}}$$

${\textstyle x_{0}}$ ${\textstyle v_{0}}$

trayectoria parabólica

$${\displaystyle x(t)=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{\frac {1}{3}}}$$

Forma universal (cualquier trayectoria)

Se utilizan dos cantidades intermedias: w , y la separación en el tiempo t que tendrían los cuerpos si estuvieran en una trayectoria parabólica, p .

$${\displaystyle w={\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {v_{0}^{2}}{2\mu }}\quad {\text{and}}\quad p=\left({\frac {9}{2}}\mu t^{2}\right)^{1/3}}$$

Donde t es el tiempo, es la posición inicial, es la velocidad inicial y . ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle v_{0}}$ ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$

La ecuación radial inversa de Kepler es la solución al problema radial de Kepler:

$${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\lim _{r\to 0}\left[{\frac {w^{n-1}p^{n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}}{\mathrm {d} r^{n-1}}}\left(r^{n}\left[{\frac {3}{2}}\left(\arcsin \left[{\sqrt {r}}\right]-{\sqrt {r-r^{2}}}\right)\right]^{-{\frac {2}{3}}n}\right)\right]\right)}$$

La evaluación de esto produce:

$${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}wp^{2}-{\frac {3}{175}}w^{2}p^{3}-{\frac {23}{7875}}w^{3}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}w^{4}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}w^{5}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}w^{6}p^{7}\cdots }$$

Las series de potencias se pueden diferenciar fácilmente término por término. La diferenciación repetida proporciona las fórmulas para la velocidad, aceleración, sacudida, chasquido, etc.

Órbita dentro de un eje radial

La órbita dentro de un eje radial en un cuerpo esférico uniforme ^[3] sería un movimiento armónico simple , porque la gravedad dentro de dicho cuerpo es proporcional a la distancia al centro. Si el cuerpo pequeño entra y/o sale del cuerpo grande en su superficie, la órbita cambia de o hacia una de las discutidas anteriormente. Por ejemplo, si el eje se extiende de una superficie a otra, es posible una órbita cerrada que consista en partes de dos ciclos de movimiento armónico simple y partes de dos órbitas elípticas radiales diferentes (pero simétricas).

Ver también

• ecuación de kepler
• problema de kepler
• Lista de órbitas

Referencias

• Cowell, Peter (1993), Resolución de la ecuación de Kepler durante tres siglos, William Bell.

1. Thomson, William Tyrrell; Introducción a la dinámica espacial , Dover, 1986
2. Marrón, Kevin; Páginas de Matemáticas
3. Estrictamente esto es una contradicción. Sin embargo, se supone que el eje tiene una influencia insignificante sobre la gravedad.

enlaces externos

• Ecuación de Kepler en Mathworld [1]