Coeficiente de restitución

Relación que caracteriza las colisiones inelásticas.

Una pelota que rebota capturada con un flash estroboscópico a 25 imágenes por segundo: ignorando la resistencia del aire , la raíz cuadrada de la relación entre la altura de un rebote y la del rebote anterior da el coeficiente de restitución del impacto pelota/superficie.

El coeficiente de restitución ( COR , también denotado por e ), es la relación entre la velocidad relativa de separación después de la colisión y la velocidad relativa de aproximación antes de la colisión. También se puede definir como la raíz cuadrada de la relación entre la energía cinética final y la energía cinética inicial. Normalmente oscila entre 0 y 1, donde 1 sería una colisión perfectamente elástica . Una colisión perfectamente inelástica tiene un coeficiente de 0, pero un valor de 0 no tiene por qué ser perfectamente inelástico. Se mide en la prueba de dureza de rebote de Leeb , expresada como 1000 veces el COR, pero es sólo un COR válido para la prueba, no como un COR universal para el material que se está probando.

El valor casi siempre es menor que 1 debido a que la energía cinética de traslación inicial se pierde en energía cinética de rotación , deformación plástica y calor. Puede ser más de 1 si hay una ganancia de energía durante la colisión debido a una reacción química , una reducción en la energía rotacional u otra disminución de energía interna que contribuya a la velocidad posterior a la colisión .

$${\displaystyle {\text{Coefficient of restitution }}(e)={\frac {\left|{\text{Relative velocity of separation after collision}}\right|}{\left|{\text{Relative velocity of approach before collision}}\right|}}={\sqrt {\frac {\left|{\text{Final kinetic energy}}\right|}{\left|{\text{Initial kinetic energy}}\right|}}}}$$

Las matemáticas fueron desarrolladas por Sir Isaac Newton en 1687. ^[1] También se conoce como ley experimental de Newton.

Más detalles

Línea de impacto : es la línea a lo largo de la cual se define e o, en ausencia de una fuerza de reacción tangencial entre superficies en colisión, la fuerza de impacto se comparte a lo largo de esta línea entre cuerpos. Durante el contacto físico entre cuerpos durante el impacto, su línea a lo largo de la normal común al par de superficies en contacto de los cuerpos en colisión. Por tanto, e se define como un parámetro unidimensional adimensional.

Rango de valores para e – tratado como una constante

e suele ser un número real positivo entre 0 y 1:

• e = 0 : Esta es una colisión perfectamente inelástica .
• 0 < e < 1 : Se trata de una colisión inelástica del mundo real , en la que se disipa parte de la energía cinética.
• e = 1 : Se trata de una colisión perfectamente elástica , en la que no se disipa energía cinética y los objetos rebotan entre sí con la misma velocidad relativa con la que se acercaron.
• e < 0 : Un COR menor que cero representaría una colisión en la que la velocidad de separación de los objetos tiene la misma dirección (signo) que la velocidad de cierre, lo que implica que los objetos pasaron uno a través del otro sin engancharse completamente. Esto también puede considerarse como una transferencia incompleta de impulso. Un ejemplo de esto podría ser un objeto pequeño y denso que atraviesa otro grande y menos denso (por ejemplo, una bala que atraviesa un objetivo).
• e > 1 : Esto representaría una colisión en la que se libera energía, por ejemplo, las bolas de billar de nitrocelulosa pueden literalmente explotar en el punto de impacto. Además, algunos artículos recientes han descrito colisiones superelásticas en los que se argumenta que el COR puede tomar un valor mayor que uno en un caso especial de colisiones oblicuas. ^{[2] [3] [4]} Estos fenómenos se deben al cambio de trayectoria de rebote provocado por la fricción. En tales colisiones se libera energía cinética en algún tipo de explosión. Es posible quepara una perfecta explosión de un sistema rígido. ${\displaystyle e=\infty }$

Objetos emparejados

El COR es una propiedad de un par de objetos en una colisión, no de un solo objeto. Si un objeto determinado choca con dos objetos diferentes, cada colisión tendría su propio COR. Cuando se describe que un objeto tiene un coeficiente de restitución, como si fuera una propiedad intrínseca sin referencia a un segundo objeto, se supone que está entre esferas idénticas o contra una pared perfectamente rígida.

No es posible una pared perfectamente rígida, pero se puede aproximar mediante un bloque de acero si se investiga el COR de esferas con un módulo de elasticidad mucho más pequeño. De lo contrario, el COR aumentará y luego disminuirá según la velocidad de colisión de una manera más complicada. ^[5]

Relación con la conservación de la energía y el impulso.

En una colisión unidimensional, los dos principios clave son: conservación de la energía (conservación de la energía cinética si la colisión es perfectamente elástica) y conservación del momento (lineal). Se puede derivar una tercera ecuación ^{[ cita necesaria ]} de estas dos, que es la ecuación de restitución como se indicó anteriormente. Al resolver problemas, se pueden utilizar dos de las tres ecuaciones. La ventaja de utilizar la ecuación de restitución es que a veces proporciona una forma más conveniente de abordar el problema.

Sea , la masa del objeto 1 y del objeto 2 respectivamente. Sea , la velocidad inicial del objeto 1 y del objeto 2 respectivamente. Sea , la velocidad final del objeto 1 y del objeto 2 respectivamente. ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2}}$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}}$$

$${\displaystyle m_{1}\left(u_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}\right)}$$

$${\displaystyle m_{1}\left(u_{1}+v_{1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left(v_{2}-u_{2}\right)}$$

$${\displaystyle m_{1}\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}-u_{2}\right)}$$

$${\displaystyle u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}}$$

$${\displaystyle u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})}$$

$${\displaystyle {\frac {\left|v_{2}-v_{1}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1}$$

Equipo deportivo

Los conductores de palos de golf de cara delgada utilizan un "efecto trampolín" que crea impulsos de mayor distancia como resultado de la flexión y posterior liberación de energía almacenada que imparte un mayor impulso a la pelota. La USGA (organismo rector del golf de Estados Unidos) prueba ^[6] conductores para COR y ha colocado el límite superior en 0,83. COR es una función de las velocidades de la cabeza del palo y disminuye a medida que aumenta la velocidad de la cabeza del palo. ^[7] En el informe, el COR oscila entre 0,845 a 90 mph y tan solo 0,797 a 130 mph. El "efecto trampolín" antes mencionado muestra esto, ya que reduce la tasa de tensión de la colisión al aumentar el tiempo de la colisión. Según un artículo (que aborda el COR en raquetas de tenis ), "[p]or las condiciones de referencia, el coeficiente de restitución utilizado es 0,85 para todas las raquetas, eliminando las variables de tensión de la cuerda y rigidez del marco que podrían sumar o restar del coeficiente de restitución." ^[8]

La Federación Internacional de Tenis de Mesa especifica que la pelota rebota entre 24 y 26 cm cuando se deja caer desde una altura de 30,5 cm sobre un bloque de acero estándar, por lo que tiene un COR de 0,887 a 0,923. ^[9]

El COR de una pelota de baloncesto se designa exigiendo que la pelota rebote a una altura de entre 960 y 1160 mm cuando se deja caer desde una altura de 1800 mm, lo que da como resultado un COR de entre 0,73 y 0,80. ^{[10] [ verificación fallida ]}

Ecuaciones

En el caso de una colisión unidimensional que involucra dos objetos, el objeto A y el objeto B, el coeficiente de restitución viene dado por:

$${\displaystyle e={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},}$$

• ${\displaystyle v_{\text{a}}}$es la velocidad final del objeto A después del impacto
• ${\displaystyle v_{\text{b}}}$es la velocidad final del objeto B después del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{a}}}$es la velocidad inicial del objeto A antes del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{b}}}$es la velocidad inicial del objeto B antes del impacto

Aunque e no depende explícitamente de las masas de los objetos, es importante señalar que las velocidades finales dependen de la masa. Para colisiones bidimensionales y tridimensionales de cuerpos rígidos, las velocidades utilizadas son los componentes perpendiculares a la línea/plano tangente en el punto de contacto, es decir, a lo largo de la línea de impacto.

Para un objeto que rebota en un objetivo estacionario, e se define como la relación entre la velocidad del objeto después del impacto y la velocidad anterior al impacto:

$${\displaystyle e={\frac {v}{u}},}$$

• ${\displaystyle v}$es la velocidad del objeto después del impacto
• ${\displaystyle u}$es la velocidad del objeto antes del impacto

En el caso en que las fuerzas de fricción puedan despreciarse y el objeto se deje caer desde el reposo sobre una superficie horizontal, esto equivale a:

$${\displaystyle e={\sqrt {\frac {h}{H}}},}$$

• ${\displaystyle h}$es la altura de rebote
• ${\displaystyle H}$es la altura de caída

Se puede considerar el coeficiente de restitución como una medida del grado en que se conserva la energía mecánica cuando un objeto rebota en una superficie. En el caso de un objeto que rebota en un objetivo estacionario, el cambio en _la energía potencial gravitacional , Ep , durante el transcurso del impacto es esencialmente cero; por lo tanto, e es una comparación entre la energía cinética, E _k , del objeto inmediatamente antes del impacto con la inmediatamente después del impacto:

$${\displaystyle e={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (after impact)}}}{E_{\text{k, (before impact)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}}$$

En los casos en los que se pueden despreciar las fuerzas de fricción (casi todos los estudiantes de laboratorio sobre este tema ^[11] ) y el objeto se deja caer desde el reposo sobre una superficie horizontal, lo anterior equivale a una comparación entre la E _p del objeto en el altura de caída con la de la altura de rebote. En este caso, el cambio en E _k es cero (el objeto está esencialmente en reposo durante el transcurso del impacto y también está en reposo en el vértice del rebote); de este modo:

$${\displaystyle e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}}{E_{\text{p, (at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}}$$

Velocidades después del impacto

Las ecuaciones para colisiones en 1 dimensión entre partículas elásticas se pueden modificar para usar el COR, volviéndose así aplicables también a colisiones inelásticas y a todas las posibilidades intermedias.

$${\displaystyle v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$

$${\displaystyle v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}}$$

• ${\displaystyle v_{\text{a}}}$es la velocidad final del primer objeto después del impacto
• ${\displaystyle v_{\text{b}}}$es la velocidad final del segundo objeto después del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{a}}}$es la velocidad inicial del primer objeto antes del impacto
• ${\displaystyle u_{\text{b}}}$es la velocidad inicial del segundo objeto antes del impacto
• ${\displaystyle m_{\text{a}}}$es la masa del primer objeto
• ${\displaystyle m_{\text{b}}}$es la masa del segundo objeto

Derivación

Las ecuaciones anteriores se pueden derivar de la solución analítica del sistema de ecuaciones formado por la definición de COR y la ley de conservación del momento (que se cumple para todas las colisiones). Usando la notación anterior donde representa la velocidad antes y después de la colisión, se obtiene: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}}$$

Resolviendo la ecuación de conservación del momento y la definición del coeficiente de restitución para los rendimientos: ${\displaystyle v_{\text{a}}}$ ${\displaystyle v_{\text{b}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}}$$

A continuación, sustituyendo en la primera ecuación y luego resolviendo se obtiene: ${\displaystyle v_{\text{b}}}$ ${\displaystyle v_{\text{a}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}}$$

Una derivación similar produce la fórmula para . ${\displaystyle v_{\text{b}}}$

Variación COR debido a la forma del objeto y colisiones descentradas

Cuando los objetos que chocan no tienen una dirección de movimiento que esté en línea con sus centros de gravedad y punto de impacto, o si sus superficies de contacto en ese punto no son perpendiculares a esa línea, algo de energía que habría estado disponible para el poste. -La diferencia de velocidad de colisión se perderá debido a la rotación y la fricción. Las pérdidas de energía por vibración y el sonido resultante suelen ser insignificantes.

Colisión de diferentes materiales y medición práctica.

Cuando un objeto blando golpea a un objeto más duro, la mayor parte de la energía disponible para la velocidad posterior a la colisión se almacenará en el objeto blando. El COR dependerá de qué tan eficiente sea el objeto blando para almacenar la energía en compresión sin perderla por calor y deformación plástica. Una pelota de goma rebotará mejor en el concreto que una bola de vidrio, pero el COR del vidrio sobre vidrio es mucho más alto que el de caucho sobre caucho porque parte de la energía del caucho se pierde en calor cuando se comprime. Cuando una pelota de goma choca con una bola de vidrio, el COR dependerá enteramente de la goma. Por esta razón, la mejor manera de determinar el COR de un material cuando no hay material idéntico para la colisión es utilizar un material mucho más duro.

Dado que no existe un material perfectamente rígido, los materiales duros como los metales y la cerámica tienen su COR teóricamente determinado considerando la colisión entre esferas idénticas. En la práctica, se puede emplear una cuna de Newton de dos bolas , pero dicha configuración no permite analizar muestras rápidamente.

La prueba de dureza de rebote de Leeb es la única prueba comúnmente disponible relacionada con la determinación del COR. Utiliza una punta de carburo de tungsteno, una de las sustancias más duras disponibles, que se deja caer sobre las muestras de prueba desde una altura específica. Pero la forma de la punta, la velocidad del impacto y el carburo de tungsteno son variables que afectan el resultado expresado en términos de 1000*COR. No proporciona un COR objetivo para el material que sea independiente de la prueba.

En Willert (2020) se puede encontrar un estudio exhaustivo de los coeficientes de restitución en función de las propiedades del material (módulos elásticos, reología), la dirección del impacto, el coeficiente de fricción y las propiedades adhesivas de los cuerpos impactantes. ^[12]

Predecir a partir de las propiedades de los materiales.

El COR no es una propiedad del material porque cambia con la forma del material y los detalles de la colisión, pero puede predecirse a partir de las propiedades del material y la velocidad del impacto cuando se simplifican los detalles de la colisión. Para evitar las complicaciones de las pérdidas por rotación y fricción, podemos considerar el caso ideal de un par idéntico de objetos esféricos que colisionan de modo que sus centros de masa y velocidad relativa estén todos alineados.

Se supone que muchos materiales como metales y cerámicas (pero no cauchos y plásticos) son perfectamente elásticos cuando no se alcanza su límite elástico durante el impacto. La energía del impacto se almacena teóricamente sólo en el efecto elástico de la compresión elástica y da como resultado e = 1. Pero esto sólo se aplica a velocidades inferiores a aproximadamente 0,1 m/s a 1 m/s. El rango elástico se puede exceder a velocidades más altas porque toda la energía cinética se concentra en el punto de impacto. En concreto, el límite elástico suele ser superado en parte del área de contacto, perdiendo energía por deformación plástica al no permanecer en la región elástica. Para tener en cuenta esto, a continuación se estima el COR estimando el porcentaje de la energía del impacto inicial que no se perdió por la deformación plástica. Aproximadamente, divide la facilidad con la que un volumen del material puede almacenar energía en compresión ( ) entre lo bien que puede permanecer en el rango elástico ( ): ${\displaystyle 1/{\text{elastic modulus}}}$ ${\displaystyle 1/{\text{yield strength}}}$

$${\displaystyle \%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$$

Para una densidad y velocidad del material dadas, esto da como resultado:

$${\displaystyle {\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}}$$

Un alto límite elástico permite que una mayor parte del "volumen de contacto" del material permanezca en la región elástica a energías más altas. Un módulo elástico más bajo permite que se desarrolle un área de contacto más grande durante el impacto, de modo que la energía se distribuya a un volumen mayor debajo de la superficie en el punto de contacto. Esto ayuda a evitar que se exceda el límite elástico.

Un desarrollo teórico más preciso ^[13] muestra que la velocidad y la densidad del material también son importantes a la hora de predecir el COR a velocidades moderadas, más rápidas que la colisión elástica (más de 0,1 m/s para metales) y más lentas que una gran deformación plástica permanente (menos de 0,1 m/s para metales). más de 100 m/s). Una velocidad más baja aumenta el coeficiente al necesitar menos energía para ser absorbida. Una densidad más baja también significa que se necesita absorber menos energía inicial. Se utiliza la densidad en lugar de la masa porque el volumen de la esfera se cancela con el volumen del volumen afectado en el área de contacto. De esta forma, el radio de la esfera no afecta al coeficiente. Un par de esferas en colisión de diferentes tamaños pero del mismo material tienen el mismo coeficiente que se muestra a continuación, pero multiplicado por ${\textstyle \left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{{3}/{8}}}$

Combinando estas cuatro variables se puede realizar una estimación teórica del coeficiente de restitución cuando se deja caer una pelota sobre una superficie del mismo material. ^[14]

• e = coeficiente de restitución
• S _y = límite elástico dinámico ("límite elástico" dinámico)
• E ′ = módulo elástico efectivo
• ρ = densidad
• v = velocidad en el impacto
• μ = relación de Poisson

$${\displaystyle e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{5/8}\left({\frac {1}{E'}}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{v}}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{1/8}}$$

$${\displaystyle E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}}$$

Esta ecuación sobreestima el COR real. Para metales, se aplica cuando v está aproximadamente entre 0,1 m/s y 100 m/s y en general cuando:

$${\displaystyle 0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1}$$

A velocidades más lentas, el COR es mayor de lo que predice la ecuación anterior, alcanzando teóricamente e=1 cuando la fracción anterior es menor que m/s. Da el siguiente coeficiente teórico de restitución para esferas sólidas caídas desde 1 metro ( v = 4,5 m/s). Valores mayores que 1 indican que la ecuación tiene errores. Se utilizó el límite elástico en lugar del límite elástico dinámico. ${\displaystyle 10^{-6}}$

Los COR para plásticos y cauchos son mayores que sus valores reales porque no se comportan tan idealmente elásticos como los metales, vidrios y cerámicas debido al calentamiento durante la compresión. Por tanto, lo siguiente es sólo una guía para la clasificación de polímeros.

Polímeros (sobreestimados en comparación con metales y cerámicas):

• polibutadieno (cáscara de pelotas de golf)
• caucho butílico
• EVA
• elastómeros de silicona
• policarbonato
• nylon
• polietileno
• teflón
• polipropileno
• abdominales
• acrílico
• MASCOTA
• poliestireno
• CLORURO DE POLIVINILO

Para los metales, el rango de velocidades al que se puede aplicar esta teoría es de aproximadamente 0,1 a 5 m/s, lo que supone una caída de 0,5 mm a 1,25 metros (página 366 ^[15] ).

Ver también

• Pelota que rebota
• Colisión
• Capacidad de amortiguación
• Resiliencia

Referencias

1. Vertedero, G.; McGavin, P. (8 de mayo de 2008). "El coeficiente de restitución del impacto idealizado de una partícula esférica a escala nanométrica sobre un plano rígido". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas y de Ingeniería . 464 (2093): 1295-1307. Código Bib : 2008RSPSA.464.1295W. doi :10.1098/rspa.2007.0289. S2CID  122562612.
2. Louge, Michel; Adams, Michael (2002). "Comportamiento anómalo de la restitución cinemática normal en los impactos oblicuos de una esfera dura sobre una placa elastoplástica". Revisión física E. 65 (2): 021303. Código bibliográfico : 2002PhRvE..65b1303L. doi :10.1103/PhysRevE.65.021303. PMID  11863512.
3. Kuninaka, Hiroto; Hayakawa, Hisao (2004). "Comportamiento anómalo del coeficiente de restitución normal en impacto oblicuo". Cartas de revisión física . 93 (15): 154301. arXiv : cond-mat/0310058 . Código bibliográfico : 2004PhRvL..93o4301K. doi : 10.1103/PhysRevLett.93.154301. PMID  15524884. S2CID  23557976.
4. Calsamiglia, J.; Kennedy, suroeste; Chatterjee, A.; Ruina, A.; Jenkins, JT (1999). "Comportamiento anómalo de fricción en colisiones de discos delgados". Revista de Mecánica Aplicada . 66 (1): 146. Código bibliográfico : 1999JAM....66..146C. CiteSeerX 10.1.1.467.8358 . doi : 10.1115/1.2789141. 
5. "ESTUDIOS DE IMPACTO SOBRE METALES PUROS" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 19 de marzo de 2015.
6. Conforming Golf Clubusga.org Archivado el 16 de junio de 2021 en Wayback Machine.
7. "¿Los bateadores largos obtienen una ventaja injusta?". USGA . 14 de febrero de 2015 . Consultado el 1 de junio de 2023 .
8. "Coeficiente de restitución". Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2016.
9. "Recursos técnicos de tenis | ITF". Archivado desde el original el 3 de diciembre de 2019.
10. "FIBA.baloncesto". Baloncesto FIBA . Consultado el 28 de mayo de 2023 .
11. Mohazzabi, Pirooz (2011). "¿Cuándo se vuelve significativa la resistencia del aire en caída libre?". El Profesor de Física . 49 (2): 89–90. Código Bib : 2011PhTea..49...89M. doi : 10.1119/1.3543580.
12. Willert, Emanuel (2020). Stoßprobleme in Physik, Technik und Medizin: Grundlagen und Anwendungen (en alemán). Springer Vieweg. doi :10.1007/978-3-662-60296-6. ISBN 978-3-662-60295-9. S2CID  212954456.
13. "Libro de datos de materiales" (PDF) . cam.ac.uk.​ 2003 . Consultado el 1 de junio de 2023 .
14. Jackson, Robert L.; Verde, Itzhak; Marghitu, Dan B. (27 de septiembre de 2009). "Predicción del coeficiente de restitución del impacto de esferas elásticas-perfectamente plásticas". Dinámica no lineal . 60 (3): 217–229. doi :10.1007/s11071-009-9591-z. ISSN  0924-090X.
15. "Inicio | Rensselaer en el trabajo" (PDF) .

Trabajos citados

• Cruz, varilla (2006). «El rebote de una pelota» (PDF) . Departamento de Física, Universidad de Sydney, Australia . Consultado el 16 de enero de 2008 . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• Walker, Jearl (2011). Fundamentos de física (9ª ed.). David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. ISBN 978-0-470-56473-8.

enlaces externos

• Artículo de Wolfram sobre COR
• Bennett y Meepagala (2006). "Coeficientes de Restitución". El libro de datos de física .
• Introducción a la física de Chris Hecker
• "Conseguir un rebote extra" de Chelsea Wald
• Conceptos de calidad de la FIFA para balones de fútbol: rebote uniforme
• Bowley, Roger (2009). "Coeficiente de restitución". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .