Decrecimiento exponencial

Disminución del valor a un ritmo proporcional al valor actual

Una cantidad que sufre una desintegración exponencial. Las constantes de desintegración más grandes hacen que la cantidad desaparezca mucho más rápidamente. Este gráfico muestra una constante de desintegración ( λ ) de 25, 5, 1, 1/5 y 1/25 para x de 0 a 5.

Una cantidad está sujeta a decaimiento exponencial si disminuye a una tasa proporcional a su valor actual. Simbólicamente, este proceso se puede expresar mediante la siguiente ecuación diferencial , donde N es la cantidad y λ ( lambda ) es una tasa positiva llamada constante de decaimiento exponencial , constante de desintegración , ^[1] constante de velocidad , ^[2] o constante de transformación : ^{[ 3]}

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}$

La solución a esta ecuación (ver derivación a continuación) es:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

donde N ( t ) es la cantidad en el momento t , N ₀ = N (0) es la cantidad inicial, es decir, la cantidad en el momento t = 0 .

Medición de tasas de descomposición

vida media

Si la cantidad decreciente, N ( t ), es el número de elementos discretos en un determinado conjunto , es posible calcular el tiempo promedio que un elemento permanece en el conjunto. Esto se denomina vida útil media (o simplemente vida útil ), donde la constante de tiempo exponencial , , se relaciona con la constante de tasa de desintegración, λ, de la siguiente manera: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

La vida media puede considerarse como un "tiempo de escala", porque la ecuación de decaimiento exponencial se puede escribir en términos de la vida media, en lugar de la constante de decaimiento, λ: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

y ese es el momento en el que la población del conjunto se reduce a 1 ⁄ e ≈ 0,367879441 veces su valor inicial. ${\displaystyle \tau }$

Por ejemplo, si la población inicial del conjunto, N (0), es 1000, entonces la población en el momento , es 368. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle N(\tau )}$

A continuación se verá una ecuación muy similar, que surge cuando se elige que la base de la exponencial sea 2, en lugar de e . En ese caso, el tiempo de escalado es la "vida media".

Media vida

Una característica más intuitiva de la desintegración exponencial para muchas personas es el tiempo necesario para que la cantidad en desintegración caiga a la mitad de su valor inicial. (Si N ( t ) es discreto, entonces esta es la vida media en lugar de la vida media). Este tiempo se llama vida media y , a menudo, se denota con el símbolo t _1/2 . La vida media se puede escribir en términos de la constante de desintegración, o vida media, como:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

Cuando esta expresión se inserta en la ecuación exponencial anterior y ln 2 se absorbe en la base, esta ecuación se convierte en: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

Por tanto, la cantidad de material que queda es 2 ⁻¹  = 1/2 elevado al número (entero o fraccionario) de vidas medias que han pasado. Por lo tanto, después de 3 vidas medias quedará 1/2 ³  = 1/8 del material original.

Por lo tanto, la vida media es igual a la vida media dividida por el logaritmo natural de 2, o: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.44\cdot t_{1/2}.}$

Por ejemplo, el polonio-210 tiene una vida media de 138 días y una vida media de 200 días.

Solución de la ecuación diferencial.

La ecuación que describe la decadencia exponencial es

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N}$

o, reordenando (aplicando la técnica llamada separación de variables ),

${\displaystyle {\frac {dN}{N}}=-\lambda dt.}$

Integrando tenemos

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

donde C es la constante de integración y por tanto

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

donde la sustitución final, N ₀ = e ^C , se obtiene evaluando la ecuación en t = 0, ya que N ₀ se define como la cantidad en t = 0.

Esta es la forma de ecuación que se usa más comúnmente para describir la caída exponencial. Cualquiera de la constante de desintegración, la vida media o la vida media es suficiente para caracterizar la desintegración. La notación λ para la constante de desintegración es un remanente de la notación habitual para un valor propio . En este caso, λ es el valor propio del negativo del operador diferencial con N ( t ) como función propia correspondiente . Las unidades de la constante de desintegración son s ^{−1 [ cita necesaria ]} .

Derivación de la vida media

Dado un conjunto de elementos, cuyo número finalmente disminuye a cero, la vida media ( también llamada simplemente vida útil ) es el valor esperado de la cantidad de tiempo antes de que un objeto sea eliminado del conjunto. Específicamente, si la vida útil individual de un elemento del conjunto es el tiempo transcurrido entre un tiempo de referencia y la eliminación de ese elemento del conjunto, la vida media es la media aritmética de las vidas individuales. ${\displaystyle \tau }$

A partir de la fórmula poblacional

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

Primero, sea c el factor de normalización para convertir a una función de densidad de probabilidad :

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

o, al reorganizar,

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

La caída exponencial es un múltiplo escalar de la distribución exponencial (es decir, la vida útil individual de cada objeto está distribuida exponencialmente), que tiene un valor esperado bien conocido . Podemos calcularlo aquí usando integración por partes .

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Decaimiento por dos o más procesos.

Una cantidad puede desintegrarse mediante dos o más procesos diferentes simultáneamente. En general, estos procesos (a menudo llamados "modos de desintegración", "canales de desintegración", "rutas de desintegración", etc.) tienen diferentes probabilidades de ocurrir y, por lo tanto, ocurren a diferentes velocidades con diferentes vidas medias, en paralelo. La tasa de desintegración total de la cantidad  N viene dada por la suma de las rutas de desintegración; así, en el caso de dos procesos:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

La solución a esta ecuación se proporciona en la sección anterior, donde la suma de se trata como una nueva constante de desintegración total . ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

La vida media parcial asociada con procesos individuales es, por definición, la inversa multiplicativa de la correspondiente constante de desintegración parcial: . Un combinado se puede dar en términos de s: ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

Dado que las vidas medias difieren de la vida media en un factor constante, la misma ecuación se cumple en términos de las dos vidas medias correspondientes: ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

donde es la vida media combinada o total del proceso, y se denominan vidas medias parciales de los procesos correspondientes. Los términos "vida media parcial" y "vida media parcial" denotan cantidades derivadas de una constante de desintegración como si el modo de desintegración dado fuera el único modo de desintegración para la cantidad. El término "vida media parcial" es engañoso porque no puede medirse como un intervalo de tiempo durante el cual una determinada cantidad se reduce a la mitad . ${\displaystyle T_{1/2}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

En términos de constantes de desintegración separadas, se puede demostrar que la vida media total es ${\displaystyle T_{1/2}}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

Para una desintegración por tres procesos exponenciales simultáneos, la vida media total se puede calcular como se indica arriba:

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

Serie de decaimiento / decaimiento acoplado

En ciencia nuclear y farmacocinética , el agente de interés podría estar situado en una cadena de desintegración, donde la acumulación se rige por la desintegración exponencial de un agente fuente, mientras que el propio agente de interés decae mediante un proceso exponencial.

Estos sistemas se resuelven mediante la ecuación de Bateman .

En el ámbito farmacológico, algunas sustancias ingeridas podrían ser absorbidas por el cuerpo mediante un proceso razonablemente modelado como decaimiento exponencial, o podrían formularse deliberadamente para tener ese perfil de liberación.

Aplicaciones y ejemplos

La caída exponencial ocurre en una amplia variedad de situaciones. La mayoría de ellos caen en el dominio de las ciencias naturales .

Muchos procesos de desintegración que a menudo se tratan como exponenciales, en realidad son sólo exponenciales siempre que la muestra sea grande y se cumpla la ley de los grandes números . Para muestras pequeñas es necesario un análisis más general, teniendo en cuenta un proceso de Poisson .

Ciencias Naturales

• Reacciones químicas : Las velocidades de ciertos tipos de reacciones químicas dependen de la concentración de uno u otro reactivo . En consecuencia, las reacciones cuya velocidad depende únicamente de la concentración de un reactivo (conocidas como reacciones de primer orden ) siguen una desintegración exponencial. Por ejemplo, muchasreacciones catalizadas por enzimas se comportan de esta manera.
• Electrostática : La carga eléctrica (o, equivalentemente, el potencial ) contenida en un capacitor (capacitancia C ) se descarga con decaimiento exponencial (cuando el capacitor experimenta una carga externa constante de resistencia R ) y de manera similar se carga con la imagen especular de decaimiento exponencial (cuando el condensador se carga desde una fuente de voltaje constante a través de una resistencia constante). La constante de tiempo exponencial del proceso es,por lo que la vida media es.Las mismas ecuaciones se pueden aplicar al dual de corriente en un inductor. ${\displaystyle \tau =R\,C,}$ ${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$
  • Además, el caso particular de un condensador o inductor que cambia a través de varias resistencias en paralelo constituye un ejemplo interesante de procesos de caída múltiple, en el que cada resistencia representa un proceso separado. De hecho, la expresión de la resistencia equivalente de dos resistores en paralelo refleja la ecuación de la vida media con dos procesos de descomposición.
• Geofísica : La presión atmosférica disminuye aproximadamente exponencialmente al aumentar la altura sobre el nivel del mar, a una tasa de aproximadamente el 12% por 1000 m. ^{[ cita necesaria ]}
• Transferencia de calor : Si un objeto a una temperatura se expone a un medio de otra temperatura, la diferencia de temperatura entre el objeto y el medio sigue una decadencia exponencial (en el límite de los procesos lentos; equivalente a una "buena" conducción de calor dentro del objeto, por lo que que su temperatura permanece relativamente uniforme en todo su volumen). Véase también la ley de enfriamiento de Newton .
• Luminiscencia : Después de la excitación, la intensidad de emisión (que es proporcional al número de átomos o moléculas excitadas) de un material luminiscente decae exponencialmente. Dependiendo del número de mecanismos involucrados, la decadencia puede ser mono o multiexponencial.
• Farmacología y toxicología : Se ha descubierto que muchas sustancias administradas se distribuyen y metabolizan (ver autorización ) según patrones de desintegración exponencial. Las vidas medias biológicas "vida media alfa" y "vida media beta" de una sustancia miden la rapidez con la que se distribuye y elimina una sustancia.
• Óptica física : la intensidad de la radiación electromagnética, como la luz, los rayos X o los rayos gamma en un medio absorbente, sigue una disminución exponencial con la distancia hacia el medio absorbente. Esto se conoce como ley de Beer-Lambert .
• Radiactividad : en una muestra de un radionúclido que sufre desintegración radiactiva a un estado diferente, el número de átomos en el estado original sigue una desintegración exponencial siempre que el número de átomos restantes sea grande. El producto de desintegración se denomina nucleido radiogénico .
• Termoelectricidad : La disminución de la resistencia de un termistor de coeficiente de temperatura negativo a medida que aumenta la temperatura.
• Vibraciones : Algunas vibraciones pueden disminuir exponencialmente; Esta característica se encuentra a menudo en osciladores mecánicos amortiguados y se utiliza para crear envolventes ADSR en sintetizadores . Un sistema sobreamortiguado simplemente volverá al equilibrio mediante una caída exponencial.
• Espuma de cerveza: Arnd Leike, de la Universidad Ludwig Maximilian de Munich , ganó un Premio Ig Nobel por demostrar que la espuma de cerveza obedece la ley de decaimiento exponencial. ^[4]

Ciencias Sociales

• Finanzas : un fondo de jubilación decaerá exponencialmente estando sujeto a cantidades de pago discretas, generalmente mensuales, y una entrada sujeta a una tasa de interés continua. Se puede escribir y resolver una ecuación diferencial dA/dt = entrada – salida para encontrar el tiempo necesario para alcanzar cualquier cantidad A que quede en el fondo.
• En glotocronología simple , la suposición (discutible) de una tasa de decadencia constante en las lenguas permite estimar la edad de lenguas individuales. (Para calcular el tiempo de división entre dos idiomas se requieren suposiciones adicionales, independientemente de la caída exponencial).

Ciencias de la Computación

• El protocolo de enrutamiento central de Internet , BGP , debe mantener una tabla de enrutamiento para recordar las rutas hacia las que se puede desviar un paquete . Cuando una de estas rutas cambia repetidamente su estado de disponible a no disponible (y viceversa ), el enrutador BGP que controla esa ruta tiene que agregar y eliminar repetidamente el registro de ruta de su tabla de enrutamiento ( mueve la ruta), gastando así recursos locales como como CPU y RAM y, aún más, transmitiendo información inútil a enrutadores pares. Para evitar este comportamiento no deseado, un algoritmo llamado amortiguación de aleteo de ruta asigna a cada ruta un peso que aumenta cada vez que la ruta cambia de estado y decae exponencialmente con el tiempo. Cuando el peso alcanza un cierto límite, no se realizan más aleteos, suprimiéndose así la ruta.

Gráficos que comparan los tiempos de duplicación y las vidas medias de crecimientos exponenciales (líneas en negrita) y decrecimiento (líneas tenues), y sus aproximaciones de 70/ t y 72/ t . En la versión SVG, coloque el cursor sobre un gráfico para resaltarlo y su complemento.

Ver también

• Fórmula exponencial
• Crecimiento exponencial
• Desintegración radiactiva para la matemática de cadenas de procesos exponenciales con diferentes constantes

Notas

1. Serway, Moisés y Moyer (1989, pág. 384)
2. Simmons (1972, pág.15)
3. McGraw-Hill (2007)
4. Leike, A. (2002). "Demostración de la ley de desintegración exponencial utilizando espuma de cerveza". Revista Europea de Física . 23 (1): 21–26. Código Bib : 2002EJPh...23...21L. CiteSeerX  10.1.1.693.5948 . doi :10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID  250873501.

Referencias

• Enciclopedia McGraw-Hill de ciencia y tecnología (10ª ed.). Nueva York: McGraw-Hill . 2007.ISBN​ 978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A.; Moisés, Clemente J.; Moyer, Curt A. (1989), Física moderna , Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich , ISBN 0-03-004844-3
• Simmons, George F. (1972), Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas , Nueva York: McGraw-Hill , LCCN  75173716

enlaces externos

• Calculadora de decaimiento exponencial
• Una simulación estocástica de decaimiento exponencial.
• Tutorial sobre constantes de tiempo.