Control de modo deslizante

Método en teoría de control no lineal.

En los sistemas de control , el control de modo deslizante ( SMC ) es un método de control no lineal que altera la dinámica de un sistema no lineal mediante la aplicación de una señal de control discontinua (o más rigurosamente, una señal de control de valor establecido) que obliga al sistema a "deslizarse" a lo largo una sección transversal del comportamiento normal del sistema. La ley de control estatal - retroalimentación no es una función continua del tiempo. En cambio, puede cambiar de una estructura continua a otra según la posición actual en el espacio de estados. Por tanto, el control por modo deslizante es un método de control de estructura variable . Las múltiples estructuras de control están diseñadas para que las trayectorias siempre se muevan hacia una región adyacente con una estructura de control diferente, por lo que la trayectoria final no existirá completamente dentro de una estructura de control. En cambio, se deslizará a lo largo de los límites de las estructuras de control. El movimiento del sistema a medida que se desliza a lo largo de estos límites se denomina modo de deslizamiento ^[1] y el lugar geométrico que consta de los límites se denomina (hiper)superficie deslizante . En el contexto de la teoría de control moderna, cualquier sistema de estructura variable , como un sistema bajo SMC, puede verse como un caso especial de un sistema dinámico híbrido , ya que el sistema fluye a través de un espacio de estados continuo pero también se mueve a través de diferentes modos de control discretos.

Introducción

Figura 1: Trayectoria del plano de fase de un sistema estabilizado por un controlador de modo deslizante. Después de la fase inicial de alcance, el sistema indica "deslizamientos" a lo largo de la línea . Se elige la superficie particular porque tiene una dinámica de orden reducido deseable cuando se limita a ella. En este caso, la superficie corresponde al sistema LTI de primer orden , que tiene un origen exponencialmente estable . ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle s=x_{1}+{\dot {x}}_{1}=0}$ ${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=-x_{1}}$

La Figura 1 muestra un ejemplo de trayectoria de un sistema bajo control de modo deslizante. La superficie de deslizamiento se describe por , y el modo de deslizamiento a lo largo de la superficie comienza después del tiempo finito en que las trayectorias del sistema han alcanzado la superficie. En la descripción teórica de los modos de deslizamiento, el sistema permanece confinado a la superficie de deslizamiento y sólo es necesario verlo como deslizándose a lo largo de la superficie. Sin embargo, las implementaciones reales de control de modo deslizante se aproximan a este comportamiento teórico con una señal de control de conmutación de alta frecuencia y generalmente no determinista que hace que el sistema "vibra" ^{[nb 1]} en una estrecha vecindad de la superficie deslizante. El ruido se puede reducir mediante el uso de bandas muertas o capas límite alrededor de la superficie de deslizamiento u otros métodos compensatorios. Aunque el sistema es no lineal en general, el comportamiento idealizado (es decir, sin vibración) del sistema en la Figura 1 cuando está confinado a la superficie es un sistema LTI con un origen exponencialmente estable . Uno de los métodos compensatorios es el método de control de modo deslizante adaptativo propuesto en ^{[2] [3]} que utiliza la incertidumbre estimada para construir una ley de control continuo. En este método se elimina el ruido manteniendo la precisión (para más detalles, consulte las referencias [2] y [3]). Las tres características distintivas del controlador de modo deslizante adaptativo propuesto son las siguientes: (i) Las incertidumbres estructuradas (o paramétricas) y las incertidumbres no estructuradas (dinámica no modelada, perturbaciones externas desconocidas) se sintetizan en un solo tipo de término de incertidumbre llamado incertidumbre concentrada. Por lo tanto, no se requiere un modelo dinámico del sistema parametrizado linealmente, y la estructura simple y las propiedades computacionalmente eficientes de este enfoque lo hacen adecuado para aplicaciones de control en tiempo real. (ii) El diseño del esquema de control de modo deslizante adaptativo se basa en el vector de incertidumbre estimado en línea en lugar de depender del peor de los casos (es decir, límites de incertidumbres). Por lo tanto, no se requiere un conocimiento previo de los límites de las incertidumbres y, en cada instante de tiempo, la entrada de control compensa la incertidumbre que existe. (iii) La ley de control continuo desarrollada que utiliza los fundamentos de la teoría del control del modo deslizante elimina el fenómeno de vibración sin tener que sacrificar el rendimiento y la robustez, que prevalece en el enfoque de capa límite. ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle s=0}$

Intuitivamente, el control del modo deslizante utiliza una ganancia prácticamente infinita para forzar que las trayectorias de un sistema dinámico se deslicen a lo largo del subespacio restringido del modo deslizante. Las trayectorias de este modo de deslizamiento de orden reducido tienen propiedades deseables (por ejemplo, el sistema se desliza naturalmente a lo largo de él hasta que se detiene en un equilibrio deseado ). La principal fortaleza del control de modo deslizante es su robustez . Debido a que el control puede ser tan simple como cambiar entre dos estados (por ejemplo, "encendido"/"apagado" o "adelante"/"retroceso"), no necesita ser preciso y no será sensible a las variaciones de parámetros que entran en el canal de control. Además, debido a que la ley de control no es una función continua , el modo deslizante se puede alcanzar en un tiempo finito (es decir, mejor que el comportamiento asintótico). Bajo ciertas condiciones comunes, la optimización requiere el uso de un control bang-bang ; por lo tanto, el control de modo deslizante describe el controlador óptimo para un amplio conjunto de sistemas dinámicos.

Una aplicación del controlador de modo deslizante es el control de accionamientos eléctricos operados mediante convertidores de potencia conmutados. ^{[4] : "Introducción"} Debido al modo de funcionamiento discontinuo de esos convertidores, un controlador de modo deslizante discontinuo es una opción de implementación natural frente a los controladores continuos que pueden necesitar ser aplicados mediante modulación de ancho de pulso o una técnica similar ^{[nb 2 ]} de aplicar una señal continua a una salida que solo puede tomar estados discretos. El control por modo deslizante tiene muchas aplicaciones en robótica. En particular, este algoritmo de control se ha utilizado para el seguimiento del control de embarcaciones de superficie no tripuladas en mares agitados simulados con un alto grado de éxito. ^{[5] [6]}

El control de modo deslizante debe aplicarse con más cuidado que otras formas de control no lineal que tienen una acción de control más moderada. En particular, debido a que los actuadores tienen retrasos y otras imperfecciones, la dura acción de control del modo deslizante puede provocar vibraciones, pérdida de energía, daños a la planta y excitación de dinámicas no modeladas. ^{[7] : 554–556} Los métodos de diseño de control continuo no son tan susceptibles a estos problemas y se pueden hacer para imitar los controladores de modo deslizante. ^{[7] : 556–563}

Esquema de control

Considere un sistema dinámico no lineal descrito por

dónde

${\displaystyle \mathbf {x} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n-1}(t)\\x_{n}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{n}}$

es un vector de estado n -dimensional y

${\displaystyle \mathbf {u} (t)\triangleq {\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{m-1}(t)\\u_{m}(t)\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{m}}$

es un vector de entrada de m dimensiones que se utilizará para la retroalimentación de estado . Se supone que las funciones y son continuas y lo suficientemente suaves como para que el teorema de Picard-Lindelöf pueda usarse para garantizar que la solución a la ecuación ( 1 ) exista y sea única . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n\times m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$

Una tarea común es diseñar una ley de control de retroalimentación de estado (es decir, un mapeo desde el estado actual en el momento t a la entrada ) para estabilizar el sistema dinámico en la Ecuación ( 1 ) alrededor del origen . Es decir, según la ley de control, siempre que el sistema se inicie fuera del origen, volverá a él. Por ejemplo, la componente del vector de estado puede representar la diferencia que hay entre una salida y una señal conocida (por ejemplo, una señal sinusoidal deseable); Si el control puede garantizar que regrese rápidamente a , entonces la salida rastreará la sinusoide deseada. En el control de modo deslizante, el diseñador sabe que el sistema se comporta de manera deseable (por ejemplo, tiene un equilibrio estable ) siempre que esté restringido a un subespacio de su espacio de configuración . El control de modo deslizante fuerza las trayectorias del sistema hacia este subespacio y luego las mantiene allí para que se deslicen a lo largo de él. Este subespacio de orden reducido se denomina (hiper)superficie deslizante , y cuando la retroalimentación de circuito cerrado obliga a las trayectorias a deslizarse a lo largo de ella, se denomina modo deslizante del sistema de circuito cerrado. Las trayectorias a lo largo de este subespacio pueden compararse con trayectorias a lo largo de vectores propios (es decir, modos) de sistemas LTI ; sin embargo, el modo deslizante se aplica aumentando el campo vectorial con retroalimentación de alta ganancia. Como una canica rodando por una grieta, las trayectorias se limitan al modo de deslizamiento. ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} (t))}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =[0,0,\ldots ,0]^{\intercal }}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}=0}$

El esquema de control de modo deslizante implica

1. Selección de una hipersuperficie o una variedad (es decir, la superficie de deslizamiento) de modo que la trayectoria del sistema muestre un comportamiento deseable cuando se limita a esta variedad.
2. Encontrar ganancias de retroalimentación para que la trayectoria del sistema se cruce y permanezca en el colector.

Debido a que las leyes de control del modo deslizante no son continuas , tiene la capacidad de conducir trayectorias al modo deslizante en un tiempo finito (es decir, la estabilidad de la superficie deslizante es mejor que la asintótica). Sin embargo, una vez que las trayectorias alcanzan la superficie de deslizamiento, el sistema adquiere el carácter del modo de deslizamiento (por ejemplo, el origen sólo puede tener estabilidad asintótica en esta superficie). ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

El diseñador del modo deslizante elige una función de conmutación que representa una especie de "distancia" a la que se encuentran los estados de una superficie deslizante. ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

• Un estado que está fuera de esta superficie de deslizamiento tiene . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\neq 0}$
• Un estado que se encuentra sobre esta superficie deslizante tiene . ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

La ley de control de modo deslizante cambia de un estado a otro según el signo de esta distancia. Entonces, el control del modo deslizante actúa como una presión fuerte que siempre empuja en la dirección del modo deslizante donde . Las trayectorias deseables se acercarán a la superficie de deslizamiento y, debido a que la ley de control no es continua (es decir, cambia de un estado a otro a medida que las trayectorias se mueven a través de esta superficie), la superficie se alcanza en un tiempo finito. Una vez que una trayectoria llega a la superficie, se deslizará a lo largo de ella y podrá, por ejemplo, moverse hacia el origen. Entonces, la función de conmutación es como un mapa topográfico con un contorno de altura constante a lo largo del cual las trayectorias se ven obligadas a moverse. ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

La (hiper)superficie/colector deslizante suele tener una dimensión en la que n es el número de estados en y m es el número de señales de entrada (es decir, señales de control) en . Para cada índice de control , existe una superficie de deslizamiento de dimensiones dada por ${\displaystyle n-m}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle 1\leq k\leq m}$ ${\displaystyle (n-1)}$

La parte vital del diseño de SMC es elegir una ley de control para que el modo de deslizamiento (es decir, esta superficie dada por ) exista y sea alcanzable a lo largo de las trayectorias del sistema. El principio del control del modo de deslizamiento es forzar al sistema, mediante una estrategia de control adecuada, a permanecer en la superficie de deslizamiento en la que el sistema exhibirá las características deseables. Cuando el control de deslizamiento obliga al sistema a permanecer en la superficie de deslizamiento, la dinámica del sistema se rige por un sistema de orden reducido obtenido de la ecuación ( 2 ). ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

Para forzar que los estados del sistema satisfagan , se debe: ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

1. Asegúrese de que el sistema sea capaz de alcanzar desde cualquier condición inicial. ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$
2. Habiendo alcanzado , la acción de control es capaz de mantener el sistema en ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

Existencia de soluciones de circuito cerrado

Tenga en cuenta que debido a que la ley de control no es continua , ciertamente no es localmente continua de Lipschitz , por lo que el teorema de Picard-Lindelöf no garantiza la existencia y unicidad de las soluciones del sistema de circuito cerrado . Por tanto, las soluciones deben entenderse en el sentido de Filippov . ^{[1] [8]} En términos generales, el sistema de bucle cerrado resultante que se mueve se aproxima a la dinámica suave ; sin embargo, este comportamiento suave puede no ser realmente realizable. De manera similar, la modulación por ancho de pulso de alta velocidad o la modulación delta-sigma produce salidas que solo asumen dos estados, pero la salida efectiva oscila a través de un rango de movimiento continuo. Estas complicaciones se pueden evitar utilizando un método de diseño de control no lineal diferente que produzca un controlador continuo. En algunos casos, los diseños de control de modo deslizante pueden aproximarse mediante otros diseños de control continuo. ^[7] ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} ;}$

Fundamento teórico

Los siguientes teoremas forman la base del control de estructura variable.

Teorema 1: Existencia del modo deslizante

Considere una función candidata de Lyapunov

donde es la norma euclidiana (es decir, es la distancia desde la variedad deslizante donde ). Para el sistema dado por la Ecuación ( 1 ) y la superficie de deslizamiento dada por la Ecuación ( 2 ), una condición suficiente para la existencia de un modo de deslizamiento es que ${\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|}$ ${\displaystyle \|\sigma (\mathbf {x} )\|_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

${\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0\qquad {\text{(i.e., }}{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}<0{\text{)}}}$

en una vecindad de la superficie dada por . ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

En términos generales (es decir, para el caso de control escalar cuando ), para lograr , la ley de control de retroalimentación se elige de modo que y tenga signos opuestos. Eso es, ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle \sigma ^{\intercal }{\dot {\sigma }}<0}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$

• ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$hace negativo cuando es positivo. ${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}$
• ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$hace positivo cuando es negativo. ${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\dot {\mathbf {x} }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \mathbf {x} }{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}}$

y por eso la ley de control de retroalimentación tiene un impacto directo sobre . ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$

Accesibilidad: lograr un colector deslizante en un tiempo finito

Para garantizar que el modo deslizante se alcance en un tiempo finito, debe estar más fuertemente acotado desde cero. Es decir, si desaparece demasiado rápido, la atracción por el modo deslizante sólo será asintótica. Para garantizar que el modo deslizante se ingrese en un tiempo finito, ^[9] ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \operatorname {d} V/{\operatorname {d} t}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }}$

donde y son constantes. ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$

Explicación por lema de comparación

Esta condición asegura que para la vecindad del modo deslizante , ${\displaystyle V\in [0,1]}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\sqrt {V}})^{\alpha }\leq -\mu {\sqrt {V}}.}$

Entonces, para , ${\displaystyle V\in (0,1]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ,}$

que, según la regla de la cadena (es decir, con ), significa ${\displaystyle \operatorname {d} W/{\operatorname {d} t}}$ ${\displaystyle W\triangleq 2{\sqrt {V}}}$

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {D^{+}{\Bigl (}{\mathord {\underbrace {2{\mathord {\overbrace {\sqrt {V}} ^{{}\propto \|\sigma \|_{2}}}}} _{W}}}{\Bigr )}} _{D^{+}W\,\triangleq \,{\mathord {{\text{Upper right-hand }}{\dot {W}}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {V}}}{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu }$

donde es la derivada superior derecha de y el símbolo denota proporcionalidad . Entonces, en comparación con la curva que está representada por la ecuación diferencial con condición inicial , debe darse el caso de que para todo t . Además, debido a que , debe alcanzar en un tiempo finito, lo que significa que V debe alcanzar (es decir, el sistema entra en modo deslizante) en un tiempo finito. ^[7] Debido a que es proporcional a la norma euclidiana de la función de conmutación , este resultado implica que la velocidad de aproximación al modo deslizante debe estar firmemente acotada lejos de cero. ${\displaystyle D^{+}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {V}}}$ ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle z(t)=z_{0}-\mu t}$ ${\displaystyle {\dot {z}}=-\mu }$ ${\displaystyle z(0)=z_{0}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {V(t)}}\leq V_{0}-\mu t}$ ${\displaystyle {\sqrt {V}}\geq 0}$ ${\displaystyle {\sqrt {V}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {V}}=0}$ ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle {\sqrt {V}}}$ ${\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|_{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Consecuencias para el control del modo deslizante

En el contexto del control de modo deslizante, esta condición significa que

${\displaystyle \underbrace {\overbrace {\sigma ^{\intercal }} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \sigma }}\overbrace {\dot {\sigma }} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}} _{\tfrac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} t}}\leq -\mu ({\mathord {\overbrace {\|\sigma \|_{2}} ^{\sqrt {V}}}})^{\alpha }}$

¿ Dónde está la norma euclidiana ? Para el caso en el que la función de conmutación tiene un valor escalar, la condición suficiente pasa a ser ${\displaystyle \|{\mathord {\cdot }}\|}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}\leq -\mu |\sigma |^{\alpha }}$.

Tomando , la condición escalar suficiente se convierte en ${\displaystyle \alpha =1}$

${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma ){\dot {\sigma }}\leq -\mu }$

lo que equivale a la condición de que

${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )\neq \operatorname {sgn} ({\dot {\sigma }})\qquad {\text{and}}\qquad |{\dot {\sigma }}|\geq \mu >0}$.

Es decir, el sistema siempre debe moverse hacia la superficie de conmutación y su velocidad hacia la superficie de conmutación debe tener un límite inferior distinto de cero. Por lo tanto, aunque pueda volverse cada vez más pequeño a medida que se acerca a la superficie, siempre debe estar delimitado firmemente lejos de cero. Para garantizar esta condición, los controladores de modo deslizante son discontinuos a lo largo del colector; cambian de un valor distinto de cero a otro a medida que las trayectorias cruzan la variedad . ${\displaystyle \sigma =0}$ ${\displaystyle |{\dot {\sigma }}|}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma =0}$

Teorema 2: Región de atracción

Para el sistema dado por la ecuación ( 1 ) y la superficie de deslizamiento dada por la ecuación ( 2 ), el subespacio para el cual se puede alcanzar la superficie está dado por ${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} \}}$

${\displaystyle \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\sigma ^{\intercal }(\mathbf {x} ){\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )<0\}}$

Es decir, cuando las condiciones iniciales provienen completamente de este espacio, la función candidata de Lyapunov es una función de Lyapunov y las trayectorias seguramente se moverán hacia la superficie del modo deslizante donde . Además, si se satisfacen las condiciones de alcanzabilidad del Teorema 1, el modo deslizante entrará en la región donde está más fuertemente acotado desde cero en un tiempo finito. Por tanto, el modo deslizante se alcanzará en un tiempo finito. ${\displaystyle V(\sigma )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle \sigma =0}$

Teorema 3: movimiento deslizante

Dejar

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial {\mathbf {x} }}}B(\mathbf {x} ,t)}$

ser no singular . Es decir, el sistema tiene un tipo de controlabilidad que asegura que siempre haya un control que pueda mover una trayectoria para acercarse al modo deslizante. Luego, una vez que se logra el modo deslizante , el sistema permanecerá en ese modo deslizante. A lo largo de las trayectorias en modo deslizante, es constante, por lo que las trayectorias en modo deslizante se describen mediante la ecuación diferencial ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}=\mathbf {0} }$.

Si un equilibrio es estable con respecto a esta ecuación diferencial, entonces el sistema se deslizará a lo largo de la superficie del modo deslizante hacia el equilibrio. ${\displaystyle \mathbf {x} }$

La ley de control equivalente en el modo deslizante se puede encontrar resolviendo

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}$

para la ley de control equivalente . Eso es, ${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {\left(f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)\mathbf {u} \right)} ^{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$

y por lo tanto el control equivalente

${\displaystyle \mathbf {u} =-\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)}$

Es decir, aunque el control real no es continuo , el cambio rápido a través del modo deslizante obliga al sistema a actuar como si fuera impulsado por este control continuo. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

Asimismo, las trayectorias del sistema en el modo deslizante se comportan como si

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\overbrace {f(\mathbf {x} ,t)-B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}f(\mathbf {x} ,t)} ^{f(\mathbf {x} ,t)+B(\mathbf {x} ,t)u}=f(\mathbf {x} ,t)\left(\mathbf {I} -B(\mathbf {x} ,t)\left({\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}B(\mathbf {x} ,t)\right)^{-1}{\frac {\partial \sigma }{\partial \mathbf {x} }}\right)}$

El sistema resultante coincide con la ecuación diferencial del modo deslizante.

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

, la superficie del modo de deslizamiento y las condiciones de trayectoria de la fase de alcance ahora se reducen a la condición más simple derivada anteriormente. Por lo tanto, se puede suponer que el sistema sigue la condición más simple después de algún transitorio inicial durante el período en que el sistema encuentra el modo deslizante. El mismo movimiento se mantiene aproximadamente cuando la igualdad sólo se cumple aproximadamente. ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}=0}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=\mathbf {0} }$

De estos teoremas se deduce que el movimiento deslizante es invariante (es decir, insensible) a perturbaciones suficientemente pequeñas que ingresan al sistema a través del canal de control. Es decir, siempre que el control sea lo suficientemente grande como para garantizar eso y esté uniformemente delimitado desde cero, el modo deslizante se mantendrá como si no hubiera perturbación. La propiedad de invariancia del control por modo deslizante ante ciertas perturbaciones e incertidumbres del modelo es su característica más atractiva; es fuertemente robusto . ${\displaystyle \sigma ^{\intercal }{\dot {\sigma }}<0}$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$

Como se analiza en un ejemplo a continuación, una ley de control de modo deslizante puede mantener la restricción

${\displaystyle {\dot {x}}+x=0}$

para estabilizar asintóticamente cualquier sistema de la forma

${\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}$

cuando tiene un límite superior finito. En este caso, el modo deslizante es donde ${\displaystyle a(\cdot )}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x}$

(es decir, dónde ). Es decir, cuando el sistema está restringido de esta manera, se comporta como un sistema lineal estable simple y, por lo tanto, tiene un equilibrio global exponencialmente estable en el origen. ${\displaystyle {\dot {x}}+x=0}$ ${\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}$

Ejemplos de diseño de control

• Considere una planta descrita por la Ecuación ( 1 ) con una única entrada u (es decir, ). La función de conmutación se elige para que sea la combinación lineal. ${\displaystyle m=1}$

donde el peso para todos . La superficie de deslizamiento es la simplex donde . Cuando las trayectorias se ven obligadas a deslizarse a lo largo de esta superficie, ${\displaystyle s_{i}>0}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )=0}$

y entonces

${\displaystyle s_{1}{\dot {x}}_{1}+s_{2}{\dot {x}}_{2}+\cdots +s_{n-1}{\dot {x}}_{n-1}+s_{n}{\dot {x}}_{n}=0}$

que es un sistema de orden reducido (es decir, el nuevo sistema es de orden porque está restringido a este modo deslizante dimensional simplex). Esta superficie puede tener propiedades favorables (por ejemplo, cuando las dinámicas de las plantas se ven obligadas a deslizarse a lo largo de esta superficie, se mueven hacia el origen ). Tomando la derivada de la función de Lyapunov en la ecuación ( 3 ), tenemos ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle {\dot {V}}(\sigma (\mathbf {x} ))=\overbrace {\sigma (\mathbf {x} )^{\text{T}}} ^{\tfrac {\partial V}{\partial \mathbf {x} }}\overbrace {{\dot {\sigma }}(\mathbf {x} )} ^{\tfrac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} t}}}$

Para garantizar , la ley de control de retroalimentación debe elegirse de modo que ${\displaystyle {\dot {V}}<0}$ ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\sigma }}<0&{\text{if }}\sigma >0\\{\dot {\sigma }}>0&{\text{if }}\sigma <0\end{cases}}}$

De ahí el producto porque es producto de un número negativo y uno positivo. Tenga en cuenta que ${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$

La ley de control se elige de modo que ${\displaystyle u(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}u^{+}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )>0\\u^{-}(\mathbf {x} )&{\text{if }}\sigma (\mathbf {x} )<0\end{cases}}}$

dónde

• ${\displaystyle u^{+}(\mathbf {x} )}$Hay algún control (por ejemplo, posiblemente extremo, como "encendido" o "adelante") que garantiza que la ecuación ( 5 ) (es decir, ) sea negativa en ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$
• ${\displaystyle u^{-}(\mathbf {x} )}$hay algún control (por ejemplo, posiblemente extremo, como "apagado" o "inverso") que garantiza que la ecuación ( 5 ) (es decir, ) sea positiva en ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

La trayectoria resultante debería moverse hacia la superficie de deslizamiento donde . Debido a que los sistemas reales tienen retraso, las trayectorias del modo deslizante a menudo vibran de un lado a otro a lo largo de esta superficie deslizante (es decir, es posible que la trayectoria verdadera no siga suavemente , pero siempre volverá al modo deslizante después de abandonarlo). ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

• Considere el sistema dinámico.

${\displaystyle {\ddot {x}}=a(t,x,{\dot {x}})+u}$

que se puede expresar en un espacio de estados bidimensional (con y ) como ${\displaystyle x_{1}=x}$ ${\displaystyle x_{2}={\dot {x}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=x_{2}\\{\dot {x}}_{2}=a(t,x_{1},x_{2})+u\end{cases}}}$

Supongamos también que (es decir, tiene un límite superior finito k que se conoce). Para este sistema, elija la función de conmutación. ${\displaystyle \sup\{|a(\cdot )|\}\leq k}$ ${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle \sigma (x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}=x+{\dot {x}}}$

Por el ejemplo anterior, debemos elegir la ley de control de retroalimentación de modo que . Aquí, ${\displaystyle u(x,{\dot {x}})}$ ${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {x}}_{1}+{\dot {x}}_{2}={\dot {x}}+{\ddot {x}}={\dot {x}}\,+\,\overbrace {a(t,x,{\dot {x}})+u} ^{\ddot {x}}}$

• Cuando (es decir, cuando ), para hacer , la ley de control debe elegirse de modo que ${\displaystyle x+{\dot {x}}<0}$ ${\displaystyle \sigma <0}$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}>0}$ ${\displaystyle u>|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$
• Cuando (es decir, cuando ), para hacer , la ley de control debe elegirse de modo que ${\displaystyle x+{\dot {x}}>0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle {\dot {\sigma }}<0}$ ${\displaystyle u<-|{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$

Sin embargo, por la desigualdad del triángulo ,

${\displaystyle |{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|\geq |{\dot {x}}+a(t,x,{\dot {x}})|}$

y por la suposición sobre , ${\displaystyle |a|}$

${\displaystyle |{\dot {x}}|+k+1>|{\dot {x}}|+|a(t,x,{\dot {x}})|}$

Así, el sistema puede ser estabilizado por retroalimentación (para volver al modo deslizante) mediante la ley de control.

${\displaystyle u(x,{\dot {x}})={\begin{cases}|{\dot {x}}|+k+1&{\text{if }}\underbrace {x+{\dot {x}}} <0,\\-\left(|{\dot {x}}|+k+1\right)&{\text{if }}\overbrace {x+{\dot {x}}} ^{\sigma }>0\end{cases}}}$

que se puede expresar en forma cerrada como

${\displaystyle u(x,{\dot {x}})=-(|{\dot {x}}|+k+1)\underbrace {\operatorname {sgn} (\overbrace {{\dot {x}}+x} ^{\sigma })} _{{\text{(i.e., tests }}\sigma >0{\text{)}}}}$

Suponiendo que las trayectorias del sistema se ven obligadas a moverse de modo que , entonces ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}=-x\qquad {\text{(i.e., }}\sigma (x,{\dot {x}})=x+{\dot {x}}=0{\text{)}}}$

Entonces, una vez que el sistema alcanza el modo deslizante, la dinámica bidimensional del sistema se comporta como este sistema unidimensional, que tiene un equilibrio global exponencialmente estable en . ${\displaystyle (x,{\dot {x}})=(0,0)}$

Soluciones de diseño automatizadas

Aunque existen varias teorías para el diseño de sistemas de control de modo deslizante, falta una metodología de diseño altamente efectiva debido a las dificultades prácticas encontradas en los métodos analíticos y numéricos. Sin embargo, se puede utilizar un paradigma informático reutilizable, como un algoritmo genético , para transformar un "problema irresoluble" de diseño óptimo en un "problema polinómico no determinista" prácticamente solucionable. Esto da como resultado diseños automatizados por computadora para el control de modelos deslizantes. ^[10]

Observador de modo deslizante

El control de modo deslizante se puede utilizar en el diseño de observadores estatales . Estos observadores no lineales de alta ganancia tienen la capacidad de llevar a cero las coordenadas de la dinámica del error del estimador en un tiempo finito. Además, los observadores de modo conmutado tienen una atractiva resistencia al ruido de medición similar a un filtro de Kalman . ^{[11] [12]} Para simplificar, el ejemplo aquí utiliza una modificación de modo deslizante tradicional de un observador Luenberger para un sistema LTI . En estos observadores en modo deslizante, el orden de la dinámica del observador se reduce en uno cuando el sistema ingresa al modo deslizante. En este ejemplo particular, el error del estimador para un único estado estimado se lleva a cero en un tiempo finito, y después de ese tiempo los otros errores del estimador decaen exponencialmente a cero. Sin embargo, como lo describió por primera vez Drakunov, ^[13] se puede construir un observador de modo deslizante para sistemas no lineales que lleve el error de estimación para todos los estados estimados a cero en un tiempo finito (y arbitrariamente pequeño).

Aquí, considere el sistema LTI.

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} \\y={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &\end{bmatrix}}\mathbf {x} =x_{1}\end{cases}}}$

donde el vector de estado es un vector de entradas y la salida y es un escalar igual al primer estado del vector de estado. Dejar ${\displaystyle \mathbf {x} \triangleq (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} \triangleq (u_{1},u_{2},\dots ,u_{r})\in \mathbb {R} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle A\triangleq {\begin{bmatrix}a_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}}$

dónde

• ${\displaystyle a_{11}}$es un escalar que representa la influencia del primer estado sobre sí mismo, ${\displaystyle x_{1}}$
• ${\displaystyle A_{21}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$es un vector fila correspondiente a la influencia del primer estado sobre los otros estados,
• ${\displaystyle A_{22}\in \mathbb {R} ^{(n-1)\times (n-1)}}$es una matriz que representa la influencia de los otros estados sobre sí mismos, y
• ${\displaystyle A_{12}\in \mathbb {R} ^{1\times (n-1)}}$es un vector de columna que representa la influencia de los otros estados sobre el primer estado.

El objetivo es diseñar un observador de estado de alta ganancia que estime el vector de estado utilizando únicamente información de la medición . Por tanto, sean el vector las estimaciones de los n estados. El observador toma la forma ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle y=x_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},\dots ,{\hat {x}}_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$

donde es una función no lineal del error entre el estado estimado y la salida , y es un vector de ganancia del observador que cumple un propósito similar al del típico observador lineal de Luenberger . De la misma manera, dejemos ${\displaystyle v:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$ ${\displaystyle y=x_{1}}$ ${\displaystyle L\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}}$

donde es un vector columna. Además, sea el error del estimador de estado. Eso es, . La dinámica del error es entonces ${\displaystyle L_{2}\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} =(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} ={\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {e} }}&={\dot {\hat {\mathbf {x} }}}-{\dot {\mathbf {x} }}\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})-A\mathbf {x} -B\mathbf {u} \\&=A({\hat {\mathbf {x} }}-\mathbf {x} )+Lv({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A\mathbf {e} +Lv(e_{1})\end{aligned}}}$

¿Dónde está el error del estimador para la estimación del primer estado? La ley de control no lineal v puede diseñarse para hacer cumplir el colector deslizante ${\displaystyle e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$

${\displaystyle 0={\hat {x}}_{1}-x_{1}}$

de modo que la estimación rastrea el estado real después de un tiempo finito (es decir, ). Por lo tanto, la función de conmutación de control de modo deslizante ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$

${\displaystyle \sigma ({\hat {x}}_{1},{\hat {x}})\triangleq e_{1}={\hat {x}}_{1}-x_{1}.}$

Para lograr la variedad deslizante, y siempre debe tener signos opuestos (es decir, esencialmente para todos ). Sin embargo, ${\displaystyle {\dot {\sigma }}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle {\dot {\sigma }}={\dot {e}}_{1}=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(e_{1})=a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-v(\sigma )}$

¿Dónde está la colección de errores del estimador para todos los estados no medidos? Para garantizar que , deje ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\triangleq (e_{2},e_{3},\ldots ,e_{n})\in \mathbb {R} ^{(n-1)}}$ ${\displaystyle \sigma {\dot {\sigma }}<0}$

${\displaystyle v(\sigma )=M\operatorname {sgn} (\sigma )}$

dónde

${\displaystyle M>\max\{|a_{11}e_{1}+A_{12}\mathbf {e} _{2}|\}.}$

Es decir, la constante positiva M debe ser mayor que una versión escalada de los errores máximos posibles del estimador para el sistema (es decir, los errores iniciales, que se supone que están acotados para que M pueda ser elegido lo suficientemente grande; al). Si M es suficientemente grande, se puede suponer que el sistema logra (es decir, ). Porque también es constante (es decir, 0) a lo largo de esta variedad . Por lo tanto, el control discontinuo puede ser reemplazado por el control continuo equivalente donde ${\displaystyle e_{1}=0}$ ${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=x_{1}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle {\dot {e}}_{1}=0}$ ${\displaystyle v(\sigma )}$ ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$

${\displaystyle 0={\dot {\sigma }}=a_{11}{\mathord {\overbrace {e_{1}} ^{{}=0}}}+A_{12}\mathbf {e} _{2}-{\mathord {\overbrace {v_{\text{eq}}} ^{v(\sigma )}}}=A_{12}\mathbf {e} _{2}-v_{\text{eq}}.}$

Entonces

${\displaystyle {\mathord {\underbrace {v_{\text{eq}}} _{\text{scalar}}}}={\mathord {\underbrace {A_{12}} _{1\times (n-1) \atop {\text{ vector}}}}}{\mathord {\underbrace {\mathbf {e} _{2}} _{(n-1)\times 1 \atop {\text{ vector}}}}}.}$

Este control equivalente representa la contribución de los otros estados a la trayectoria del estado de salida . En particular, la fila actúa como un vector de salida para el subsistema de error. ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle A_{12}}$

${\displaystyle {\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}{\dot {e}}_{2}\\{\dot {e}}_{3}\\\vdots \\{\dot {e}}_{n}\end{bmatrix}} ^{{\dot {\mathbf {e} }}_{2}}}}=A_{2}{\mathord {\overbrace {\begin{bmatrix}e_{2}\\e_{3}\\\vdots \\e_{n}\end{bmatrix}} ^{\mathbf {e} _{2}}}}+L_{2}v(e_{1})=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}v_{\text{eq}}=A_{2}\mathbf {e} _{2}+L_{2}A_{12}\mathbf {e} _{2}=(A_{2}+L_{2}A_{12})\mathbf {e} _{2}.}$

Entonces, para asegurar que el error del estimador para los estados no medidos converja a cero, se debe elegir el vector de manera que la matriz sea Hurwitz (es decir, la parte real de cada uno de sus valores propios debe ser negativa). Por lo tanto, siempre que sea observable , este sistema se puede estabilizar exactamente de la misma manera que un observador de estado lineal típico cuando se ve como la matriz de salida (es decir, " C "). Es decir, el control equivalente proporciona información de medición sobre los estados no medidos que pueden acercar continuamente sus estimaciones asintóticamente a ellos. Mientras tanto, el control discontinuo obliga a que la estimación del estado medido tenga error cero en un tiempo finito. Además, el ruido blanco de medición simétrico de media cero (por ejemplo, ruido gaussiano ) solo afecta la frecuencia de conmutación del control v y, por lo tanto, el ruido tendrá poco efecto en el control de modo deslizante equivalente . Por lo tanto, el observador de modo deslizante tiene características similares al filtro de Kalman . ^[12] ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle (n-1)\times 1}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ ${\displaystyle (A_{2}+L_{2}A_{12})}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ ${\displaystyle A_{12}}$ ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$ ${\displaystyle v=M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x)}$ ${\displaystyle v_{\text{eq}}}$

La versión final del observador es así

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {x} }}}&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +LM\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-1\\L_{2}\end{bmatrix}}M\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+B\mathbf {u} +{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\\&=A{\hat {\mathbf {x} }}+{\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}\\&=A_{\text{obs}}{\hat {\mathbf {x} }}+B_{\text{obs}}\mathbf {u} _{\text{obs}}\end{aligned}}}$

dónde

• ${\displaystyle A_{\text{obs}}\triangleq A,}$
• ${\displaystyle B_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}B&{\begin{bmatrix}-M\\L_{2}M\end{bmatrix}}\end{bmatrix}},}$y
• ${\displaystyle u_{\text{obs}}\triangleq {\begin{bmatrix}\mathbf {u} \\\operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})\end{bmatrix}}.}$

Es decir, al aumentar el vector de control con la función de conmutación , el observador de modo deslizante se puede implementar como un sistema LTI. Es decir, la señal discontinua se considera una entrada de control para el sistema LTI de 2 entradas. ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn} ({\hat {x}}_{1}-x_{1})}$

Para simplificar, este ejemplo supone que el observador del modo deslizante tiene acceso a una medición de un único estado (es decir, salida ). Sin embargo, se puede utilizar un procedimiento similar para diseñar un observador de modo deslizante para un vector de combinaciones ponderadas de estados (es decir, cuando la salida utiliza una matriz genérica C ). En cada caso, el modo deslizante será el colector donde la salida estimada sigue a la salida medida con error cero (es decir, el colector donde ). ${\displaystyle y=x_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =C\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \sigma (\mathbf {x} )\triangleq {\hat {\mathbf {y} }}-\mathbf {y} =\mathbf {0} }$

Ver también

• Control de estructura variable
• Sistema de estructura variable
• Sistema híbrido
• Control no lineal
• Control robusto
• Control óptimo
• Control bang-bang  : el control de modo deslizante a menudo se implementa como un control bang-bang. En algunos casos, dicho control es necesario para lograr la optimización .
• Puente H  : topología que combina cuatro conmutadores que forman las cuatro patas de una "H". Se puede utilizar para impulsar un motor (u otro dispositivo eléctrico) hacia adelante o hacia atrás cuando solo hay un suministro disponible. A menudo se utiliza en actuadores en sistemas controlados por modo deslizante.
• Amplificador de conmutación  : utiliza control de modo de conmutación para impulsar salidas continuas
• Modulación delta-sigma  : otro método (de retroalimentación) para codificar un rango continuo de valores en una señal que cambia rápidamente entre dos estados (es decir, una especie de control de modo deslizante especializado)
• Modulación de densidad de pulso  : una forma generalizada de modulación delta-sigma.
• Modulación de ancho de pulso  : otro esquema de modulación que produce movimiento continuo mediante conmutación discontinua.

Notas

1. 'Charla' o 'charla' es el fenómeno indeseable de oscilaciones que tienen frecuencia y amplitud finitas. El ruido es un fenómeno perjudicial porque provoca una baja precisión del control, un elevado desgaste de las piezas mecánicas móviles y elevadas pérdidas de calor en los circuitos de potencia. Para obtener más detalles, consulte Utkin, Vadim; Lee, Jason Hoon (julio de 2006), Problema de vibración en sistemas de control de modo deslizante , vol. 10.1109/VSS.2006.1644542., págs. 346–350
2. Otras técnicas de modulación de tipo pulso incluyen la modulación delta-sigma .

Referencias

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Otras lecturas

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