Grupo (matemáticas)

Conjunto con operación asociativa invertible

Las manipulaciones del Cubo de Rubik forman el grupo del Cubo de Rubik .

En matemáticas , un grupo es un conjunto con una operación que asocia un elemento del conjunto a cada par de elementos del conjunto (como lo hace toda operación binaria) y satisface las siguientes restricciones: la operación es asociativa , tiene un elemento identidad y cada elemento del conjunto tiene un elemento inverso .

Muchas estructuras matemáticas son grupos dotados de otras propiedades. Por ejemplo, los números enteros con la operación de adición forman un grupo infinito , que se genera a partir de un único elemento llamado ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ (estas propiedades caracterizan a los números enteros de forma única).

El concepto de grupo fue elaborado para manejar, de manera unificada, muchas estructuras matemáticas como números, formas geométricas y raíces polinómicas . Debido a que el concepto de grupo es omnipresente en numerosas áreas tanto dentro como fuera de las matemáticas, algunos autores lo consideran como un principio organizador central de las matemáticas contemporáneas. ^{[1] [2]}

En geometría , los grupos surgen de forma natural en el estudio de las simetrías y las transformaciones geométricas : las simetrías de un objeto forman un grupo, llamado grupo de simetría del objeto, y las transformaciones de un tipo determinado forman un grupo general. Los grupos de Lie aparecen en los grupos de simetría en geometría, y también en el Modelo Estándar de la física de partículas . El grupo de Poincaré es un grupo de Lie que consiste en las simetrías del espacio-tiempo en la relatividad especial . Los grupos puntuales describen la simetría en la química molecular .

El concepto de grupo surgió en el estudio de las ecuaciones polinómicas , a partir de Évariste Galois en la década de 1830, quien introdujo el término grupo (en francés: groupe ) para el grupo de simetría de las raíces de una ecuación, ahora llamado grupo de Galois . Después de las contribuciones de otros campos como la teoría de números y la geometría, la noción de grupo se generalizó y se estableció firmemente alrededor de 1870. La teoría de grupos moderna —una disciplina matemática activa— estudia los grupos por derecho propio. Para explorar los grupos, los matemáticos han ideado varias nociones para dividir los grupos en piezas más pequeñas y mejor comprensibles, como subgrupos , grupos cocientes y grupos simples . Además de sus propiedades abstractas, los teóricos de grupos también estudian las diferentes formas en que un grupo puede expresarse de forma concreta, tanto desde un punto de vista de la teoría de la representación (es decir, a través de las representaciones del grupo ) como de la teoría de grupos computacional . Se ha desarrollado una teoría para grupos finitos , que culminó con la clasificación de grupos finitos simples , completada en 2004. Desde mediados de la década de 1980, la teoría geométrica de grupos , que estudia los grupos finitamente generados como objetos geométricos, se ha convertido en un área activa en la teoría de grupos.

Definición e ilustración

Primer ejemplo: los números enteros

Uno de los grupos más conocidos es el conjunto de los números enteros junto con la suma . ^[3] Para dos números enteros cualesquiera y ⁠ ⁠ , la suma también es un número entero; esta propiedad de clausura dice que es una operación binaria sobre ⁠ ⁠ . Las siguientes propiedades de la suma de números enteros sirven como modelo para los axiomas de grupo en la definición a continuación. $${\displaystyle \mathbb {Z} =\{\ldots ,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,\ldots \}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• Para todos los números enteros ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , y  ⁠ ⁠ , se tiene ⁠ ⁠ . Expresado en palabras, sumar a primero y luego sumar el resultado a da el mismo resultado final que sumar a la suma de y  ⁠ ⁠ . Esta propiedad se conoce como asociatividad . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$
• Si es cualquier número entero, entonces y ⁠ ⁠ . El cero se llama elemento identidad de la adición porque al sumarlo a cualquier número entero se obtiene el mismo número entero. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0+a=a}$ ${\displaystyle a+0=a}$
• Para cada número entero ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , existe un número entero tal que y ⁠ ⁠ . El número entero se denomina elemento inverso del número entero y se denota  ⁠ ⁠ . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a+b=0}$ ${\displaystyle b+a=0}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Los números enteros, junto con la operación ⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$ , forman un objeto matemático perteneciente a una amplia clase que comparte aspectos estructurales similares. Para entender adecuadamente estas estructuras como un colectivo, se desarrolla la siguiente definición.

Definición

Los axiomas de un grupo son breves y naturales... Sin embargo, de alguna manera, ocultos detrás de estos axiomas se encuentra el monstruo del grupo simple , un objeto matemático enorme y extraordinario, cuya existencia parece depender de numerosas coincidencias extrañas. Los axiomas de los grupos no dan ninguna pista obvia de que algo así exista.

Richard Borcherds , Matemáticos: una visión exterior del mundo interior ^[4]

Un grupo es un conjunto no vacío junto con una operación binaria en ⁠ ⁠ , aquí denotada " ⁠ ⁠ ", que combina dos elementos cualesquiera y de para formar un elemento de ⁠ ⁠ , denotado ⁠ ⁠ , tal que se satisfacen los tres requisitos siguientes, conocidos como axiomas de grupo : ^{[5] [6] [7] [a]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

Asociatividad

Para todos ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ en ⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$ , uno tiene ⁠ ⁠ ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$ .

Elemento de identidad

Existe un elemento en tal que, para cada en ⁠ ⁠ , se tiene ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle e\cdot a=a}$ ${\displaystyle a\cdot e=a}$

Este elemento es único (ver más abajo) y se denomina elemento de identidad (o, a veces, elemento neutro ) del grupo.

Elemento inverso

Para cada uno en ⁠ ⁠ , existe un elemento en tal que y ⁠ ⁠ , donde es el elemento identidad. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot b=e}$ ${\displaystyle b\cdot a=e}$ ${\displaystyle e}$

Para cada ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , el elemento es único (ver más abajo); se llama inverso de y comúnmente se denota ⁠ ⁠ . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{-1}}$

Notación y terminología

Formalmente, un grupo es un par ordenado de un conjunto y una operación binaria sobre este conjunto que satisface los axiomas del grupo . El conjunto se denomina conjunto subyacente del grupo y la operación se denomina operación de grupo o ley de grupo .

Un grupo y su conjunto subyacente son, por tanto, dos objetos matemáticos diferentes . Para evitar una notación engorrosa, es habitual abusar de ella utilizando el mismo símbolo para denotar ambos. Esto refleja también una forma informal de pensar: que el grupo es lo mismo que el conjunto, salvo que se ha enriquecido con una estructura adicional proporcionada por la operación.

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , que tiene las operaciones de suma y multiplicación ⁠ ⁠ . Formalmente, es un conjunto, es un grupo y es un cuerpo . Pero es común escribir para denotar cualquiera de estos tres objetos. ${\displaystyle a+b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\cdot )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El grupo aditivo del cuerpo es el grupo cuyo conjunto subyacente es y cuya operación es la suma. El grupo multiplicativo del cuerpo es el grupo cuyo conjunto subyacente es el conjunto de números reales distintos de cero y cuya operación es la multiplicación. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}}$

De manera más general, se habla de un grupo aditivo siempre que la operación de grupo se denota como adición; en este caso, la identidad se denota típicamente como ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ , y la inversa de un elemento se denota como ⁠ ⁠ . De manera similar, se habla de un grupo multiplicativo siempre que la operación de grupo se denota como multiplicación; en este caso, la identidad se denota típicamente como ⁠ ⁠ , y la inversa de un elemento se denota como ⁠ ⁠ . En un grupo multiplicativo, el símbolo de operación generalmente se omite por completo, de modo que la operación se denota por yuxtaposición, en lugar de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{-1}}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\cdot b}$

La definición de un grupo no requiere que para todos los elementos y en ⁠ ⁠ . Si se cumple esta condición adicional, entonces se dice que la operación es conmutativa y el grupo se llama grupo abeliano . Es una convención común que para un grupo abeliano se puede usar notación aditiva o multiplicativa, pero para un grupo no abeliano solo se usa notación multiplicativa. ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Se utilizan comúnmente otras notaciones para grupos cuyos elementos no son números. Para un grupo cuyos elementos son funciones , la operación suele ser composición de funciones ; entonces ${\displaystyle f\circ g}$ la identidad puede denotarse id. En los casos más específicos de grupos de transformación geométrica , grupos de simetría , grupos de permutación y grupos de automorfismos , el símbolo se omite a menudo, como en el caso de los grupos multiplicativos. Se pueden encontrar muchas otras variantes de notación. ${\displaystyle \circ }$

Segundo ejemplo: un grupo de simetría

Dos figuras en el plano son congruentes si una puede transformarse en la otra mediante una combinación de rotaciones , reflexiones y traslaciones . Cualquier figura es congruente consigo misma. Sin embargo, algunas figuras son congruentes consigo mismas en más de un sentido, y estas congruencias adicionales se denominan simetrías . Un cuadrado tiene ocho simetrías. Estas son:

• la operación de identidad que deja todo sin cambios, denotada id;
• rotaciones del cuadrado alrededor de su centro de 90°, 180° y 270° en el sentido de las agujas del reloj, denotadas por ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{1}}$ , y ⁠ ⁠ , respectivamente; ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$
• reflexiones sobre la línea media horizontal y vertical ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ), o a través de las dos diagonales ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ ).

Estas simetrías son funciones. Cada una envía un punto en el cuadrado al punto correspondiente bajo la simetría. Por ejemplo, envía un punto a su rotación de 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del centro del cuadrado y envía un punto a su reflexión a través de la línea media vertical del cuadrado. La composición de dos de estas simetrías da otra simetría. Estas simetrías determinan un grupo llamado grupo diedro de grado cuatro, denotado ⁠ ⁠ . El conjunto subyacente del grupo es el conjunto de simetrías anterior, y la operación del grupo es la composición de funciones. ^[8] Dos simetrías se combinan componiéndolas como funciones, es decir, aplicando la primera al cuadrado y la segunda al resultado de la primera aplicación. El resultado de realizar primero y luego se escribe simbólicamente de derecha a izquierda como ("aplicar la simetría después de realizar la simetría ⁠ ⁠ "). Esta es la notación habitual para la composición de funciones. ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b\circ a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

Una tabla de Cayley enumera los resultados de todas las composiciones posibles. Por ejemplo, rotar 270° en el sentido de las agujas del reloj ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle r_{3}}$ ) y luego reflejar horizontalmente ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ ) es lo mismo que realizar una reflexión a lo largo de la diagonal ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ ). Usando los símbolos anteriores, resaltados en azul en la tabla de Cayley: $${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{3}=f_{\mathrm {d} }.}$$

Dado este conjunto de simetrías y la operación descrita, los axiomas del grupo pueden entenderse de la siguiente manera.

Operación binaria : La composición es una operación binaria. Es decir, es una simetría para dos simetrías cualesquiera y ⁠ ⁠ . Por ejemplo, es decir, girar 270° en el sentido de las agujas del reloj después de reflejar horizontalmente es igual a reflejar a lo largo de la contradiagonal ( ⁠ ⁠ ). De hecho, cualquier otra combinación de dos simetrías sigue dando una simetría, como se puede comprobar utilizando la tabla de Cayley. ${\displaystyle a\circ b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle r_{3}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {c} },}$$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$

Asociatividad : El axioma de asociatividad trata de componer más de dos simetrías: Partiendo de tres elementos ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$ de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , hay dos formas posibles de usar estas tres simetrías en este orden para determinar una simetría del cuadrado. Una de estas formas es componer primero y en una única simetría, luego componer esa simetría con ⁠ ⁠ . La otra forma es componer primero y ⁠ ⁠ , luego componer la simetría resultante con ⁠ ⁠ . Estas dos formas deben dar siempre el mismo resultado, es decir, Por ejemplo, se puede comprobar utilizando la tabla de Cayley: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c),}$$ ${\displaystyle (f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}=f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {v} })\circ r_{2}&=r_{3}\circ r_{2}=r_{1}\\f_{\mathrm {d} }\circ (f_{\mathrm {v} }\circ r_{2})&=f_{\mathrm {d} }\circ f_{\mathrm {h} }=r_{1}.\end{aligned}}}$$

Elemento identidad : El elemento identidad es ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ , ya que no cambia ninguna simetría al componerse con él ni a la izquierda ni a la derecha. ${\displaystyle a}$

Elemento inverso : Cada simetría tiene un inverso: ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ , las reflexiones ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {d} }}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }}$ y la rotación de 180° son sus propias inversas, porque al realizarlas dos veces el cuadrado vuelve a su orientación original. Las rotaciones y son inversas entre sí, porque al girar 90° y luego girar 270° (o viceversa) se produce una rotación de 360° que deja el cuadrado sin cambios. Esto se verifica fácilmente en la tabla. ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle r_{3}}$ ${\displaystyle r_{1}}$

A diferencia del grupo de números enteros anterior, donde el orden de la operación es irrelevante, sí importa en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , como, por ejemplo, pero ⁠ ⁠ . En otras palabras, no es abeliano. ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }\circ r_{1}=f_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle r_{1}\circ f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {d} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

Historia

El concepto moderno de grupo abstracto se desarrolló a partir de varios campos de las matemáticas. ^{[9] [10] [11]} La motivación original de la teoría de grupos fue la búsqueda de soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior a 4. El matemático francés del siglo XIX Évariste Galois , ampliando el trabajo previo de Paolo Ruffini y Joseph-Louis Lagrange , dio un criterio para la resolubilidad de una ecuación polinómica particular en términos del grupo de simetría de sus raíces (soluciones). Los elementos de dicho grupo de Galois corresponden a ciertas permutaciones de las raíces. Al principio, las ideas de Galois fueron rechazadas por sus contemporáneos y publicadas solo póstumamente. ^{[12] [13]} Los grupos de permutación más generales fueron investigados en particular por Augustin Louis Cauchy . La obra de Arthur Cayley Sobre la teoría de grupos, como dependiente de la ecuación simbólica ${\displaystyle \theta ^{n}=1}$ (1854) da la primera definición abstracta de un grupo finito . ^[14]

La geometría fue un segundo campo en el que se utilizaron grupos de forma sistemática, especialmente grupos de simetría como parte del programa de Erlangen de Felix Klein de 1872. ^[15] Después de que surgieran nuevas geometrías como la geometría hiperbólica y proyectiva , Klein utilizó la teoría de grupos para organizarlas de una manera más coherente. Impulsando aún más estas ideas, Sophus Lie fundó el estudio de los grupos de Lie en 1884. ^[16]

El tercer campo que contribuyó a la teoría de grupos fue la teoría de números . Ciertas estructuras de grupos abelianos se habían utilizado implícitamente en la obra de teoría de números Disquisitiones Arithmeticae (1798) de Carl Friedrich Gauss , y más explícitamente por Leopold Kronecker . [ ^17] En 1847, Ernst Kummer hizo los primeros intentos de demostrar el último teorema de Fermat desarrollando grupos que describieran la factorización en números primos . ^[18]

La convergencia de estas diversas fuentes en una teoría uniforme de grupos comenzó con el Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) de Camille Jordan . ^[19] Walther von Dyck (1882) introdujo la idea de especificar un grupo por medio de generadores y relaciones, y también fue el primero en dar una definición axiomática de un "grupo abstracto", en la terminología de la época. ^[20] A partir del siglo XX, los grupos ganaron un amplio reconocimiento por el trabajo pionero de Ferdinand Georg Frobenius y William Burnside (que trabajaron en la teoría de la representación de grupos finitos), la teoría de la representación modular de Richard Brauer y los artículos de Issai Schur . ^[21] La teoría de los grupos de Lie, y más generalmente los grupos localmente compactos, fue estudiada por Hermann Weyl , Élie Cartan y muchos otros. ^[22] Su contraparte algebraica , la teoría de grupos algebraicos , fue formulada por primera vez por Claude Chevalley (desde fines de la década de 1930) y luego por el trabajo de Armand Borel y Jacques Tits . ^[23]

El año de teoría de grupos 1960-61 de la Universidad de Chicago reunió a teóricos de grupos como Daniel Gorenstein , John G. Thompson y Walter Feit , sentando las bases de una colaboración que, con el aporte de muchos otros matemáticos, condujo a la clasificación de grupos simples finitos , con el paso final dado por Aschbacher y Smith en 2004. Este proyecto superó los esfuerzos matemáticos anteriores por su gran tamaño, tanto en la longitud de la prueba como en el número de investigadores. La investigación relacionada con esta prueba de clasificación está en curso. ^[24] La teoría de grupos sigue siendo una rama matemática muy activa, ^[b] impactando muchos otros campos, como ilustran los ejemplos a continuación.

Consecuencias elementales de los axiomas de grupo

Los hechos básicos sobre todos los grupos que pueden obtenerse directamente a partir de los axiomas de grupo se incluyen comúnmente en la teoría elemental de grupos . ^[25] Por ejemplo, las aplicaciones repetidas del axioma de asociatividad muestran que la falta de ambigüedad de se generaliza a más de tres factores. Debido a que esto implica que los paréntesis pueden insertarse en cualquier lugar dentro de una serie de términos de este tipo, los paréntesis suelen omitirse. ^[26] $${\displaystyle a\cdot b\cdot c=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$$

Singularidad del elemento de identidad

Los axiomas de grupo implican que el elemento identidad es único; es decir, existe sólo un elemento identidad: cualesquiera dos elementos identidad y de un grupo son iguales, porque los axiomas de grupo implican ⁠ ⁠ . Por lo tanto, es habitual hablar del elemento identidad del grupo. ^[27] ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e=e\cdot f=f}$

Unicidad de las inversas

Los axiomas de grupo también implican que el inverso de cada elemento es único: Sea que un elemento de grupo tenga como inversos a y . Entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=b\cdot e&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element)}}\\&=b\cdot (a\cdot c)&&{\text{(}}c{\text{ and }}a{\text{ are inverses of each other)}}\\&=(b\cdot a)\cdot c&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot c&&{\text{(}}b{\text{ is an inverse of }}a{\text{)}}\\&=c&&{\text{(}}e{\text{ is the identity element and }}b=c{\text{)}}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, se acostumbra hablar de la inversa de un elemento. ^[27]

División

Dados los elementos y de un grupo ⁠ ⁠ , existe una única solución en en la ecuación ⁠ ⁠ , a saber ⁠ ⁠ . ^{[c] [28]} De ello se deduce que para cada en , la función que asigna cada a es una biyección ; se llama multiplicación por la izquierda por o traslación por la izquierda por ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a\cdot x=b}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\cdot x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

De manera similar, dados y ⁠ ⁠ , la única solución de es ⁠ ⁠ . Para cada ⁠ ⁠ , la función que asigna cada uno a es una biyección llamada multiplicación derecha por o traslación derecha por ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x\cdot a=b}$ ${\displaystyle b\cdot a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G\to G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Definición equivalente con axiomas relajados

Los axiomas de grupo para identidad e inversas pueden ser "debilitados" para afirmar solamente la existencia de una identidad izquierda e inversas izquierdas . A partir de estos axiomas unilaterales , se puede demostrar que la identidad izquierda es también una identidad derecha y una inversa izquierda es también una inversa derecha para el mismo elemento. Dado que definen exactamente las mismas estructuras que los grupos, colectivamente los axiomas no son más débiles. ^[29]

En particular, suponiendo asociatividad y la existencia de una identidad izquierda (es decir, ⁠ ⁠ ) y una inversa izquierda para cada elemento (es decir, ⁠ ⁠ ), se puede demostrar que cada inversa izquierda es también una inversa derecha del mismo elemento de la siguiente manera. ^[29] De hecho, se tiene ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}\cdot f=e}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot f^{-1}&=e\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left identity)}}\\&=((f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1})\cdot (f\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot ((f^{-1}\cdot f)\cdot f^{-1})&&{\text{(associativity)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot (e\cdot f^{-1})&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f^{-1})^{-1}\cdot f^{-1}&&{\text{(left identity)}}\\&=e&&{\text{(left inverse)}}\end{aligned}}}$

De manera similar, la identidad de izquierda es también una identidad de derecha: ^[29]

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot e&=f\cdot (f^{-1}\cdot f)&&{\text{(left inverse)}}\\&=(f\cdot f^{-1})\cdot f&&{\text{(associativity)}}\\&=e\cdot f&&{\text{(right inverse)}}\\&=f&&{\text{(left identity)}}\end{aligned}}}$

Estas demostraciones requieren los tres axiomas (asociatividad, existencia de identidad izquierda y existencia de inversa izquierda). Para una estructura con una definición más flexible (como un semigrupo ) se puede tener, por ejemplo, que una identidad izquierda no es necesariamente una identidad derecha.

El mismo resultado se puede obtener suponiendo únicamente la existencia de una identidad correcta y una inversa correcta.

Sin embargo, solo suponer la existencia de una identidad izquierda y una inversa derecha (o viceversa) no es suficiente para definir un grupo. Por ejemplo, considere el conjunto con el operador que satisface y ⁠ ⁠ . Esta estructura tiene una identidad izquierda (es decir, ⁠ ⁠ ), y cada elemento tiene una inversa derecha (que es para ambos elementos). Además, esta operación es asociativa (ya que el producto de cualquier número de elementos siempre es igual al elemento más a la derecha en ese producto, independientemente del orden en que se realicen estas operaciones). Sin embargo, no es un grupo, ya que carece de una identidad derecha. ${\displaystyle G=\{e,f\}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle e\cdot e=f\cdot e=e}$ ${\displaystyle e\cdot f=f\cdot f=f}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle (G,\cdot )}$

Conceptos básicos

Al estudiar conjuntos, se utilizan conceptos como subconjunto , función y cociente por una relación de equivalencia . Al estudiar grupos, se utilizan en cambio subgrupos , homomorfismos y grupos cociente . Estos son los análogos que tienen en cuenta la estructura del grupo. ^[d]

Homomorfismos de grupo

Los homomorfismos de grupo ^[e] son ​​funciones que respetan la estructura del grupo; pueden utilizarse para relacionar dos grupos. Un homomorfismo de un grupo a otro grupo es una función tal que ${\displaystyle (G,\cdot )}$ ${\displaystyle (H,*)}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$

${\displaystyle \varphi (a\cdot b)=\varphi (a)*\varphi (b)}$para todos los elementos y en ⁠ ⁠ . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle G}$

Sería natural exigir también que se respeten las identidades, ⁠ ⁠ , y las inversas, para todos en ⁠ ⁠ . Sin embargo, estos requisitos adicionales no necesitan incluirse en la definición de homomorfismos, porque ya están implícitos en el requisito de respetar la operación de grupo. ^[30] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (1_{G})=1_{H}}$ ${\displaystyle \varphi (a^{-1})=\varphi (a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$

El homomorfismo identidad de un grupo es el homomorfismo que asigna cada elemento de a sí mismo. Un homomorfismo inverso de un homomorfismo es un homomorfismo tal que y ⁠ ⁠ , es decir, tal que para todo en y tal que para todo en ⁠ ⁠ . Un isomorfismo es un homomorfismo que tiene un homomorfismo inverso; equivalentemente, es un homomorfismo biyectivo . Los grupos y se llaman isomorfos si existe un isomorfismo ⁠ ⁠ . En este caso, se puede obtener de simplemente renombrando sus elementos de acuerdo con la función ⁠ ⁠ ; entonces cualquier enunciado verdadero para es verdadero para ⁠ ⁠ , siempre que también se renombren los elementos específicos mencionados en el enunciado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota _{G}:G\to G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle \psi :H\to G}$ ${\displaystyle \psi \circ \varphi =\iota _{G}}$ ${\displaystyle \varphi \circ \psi =\iota _{H}}$ ${\displaystyle \psi {\bigl (}\varphi (g){\bigr )}=g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi {\bigl (}\psi (h){\bigr )}=h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

El conjunto de todos los grupos, junto con los homomorfismos entre ellos, forman una categoría , la categoría de grupos . ^[31]

Un homomorfismo inyectivo se factoriza canónicamente como un isomorfismo seguido de una inclusión, para algún subgrupo de . Los homomorfismos inyectivos son los monomorfismos en la categoría de grupos . ${\displaystyle \phi :G'\to G}$ ${\displaystyle G'\;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H\hookrightarrow G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Subgrupos

De manera informal, un subgrupo es un grupo contenido dentro de uno más grande, ⁠ ⁠ : tiene un subconjunto de los elementos de ⁠ ⁠ , con la misma operación. ^[32] Concretamente, esto significa que el elemento identidad de debe estar contenido en ⁠ ⁠ , y siempre que y estén ambos en ⁠ ⁠ , entonces también lo están y ⁠ ⁠ , por lo que los elementos de ⁠ ⁠ , equipados con la operación de grupo sobre restringida a ⁠ ⁠ , forman efectivamente un grupo. En este caso, la función de inclusión es un homomorfismo. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}\cdot h_{2}}$ ${\displaystyle h_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\to G}$

En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, la identidad y las rotaciones constituyen un subgrupo ⁠ ⁠ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ , resaltado en rojo en la tabla de Cayley del ejemplo: cualesquiera dos rotaciones compuestas siguen siendo una rotación, y una rotación puede deshacerse mediante (es decir, es inversa a) las rotaciones complementarias 270° para 90°, 180° para 180° y 90° para 270°. La prueba de subgrupo proporciona una condición necesaria y suficiente para que un subconjunto no vacío ⁠ ⁠ ${\displaystyle H}$ de un grupo ⁠ ⁠ ${\displaystyle G}$ sea un subgrupo: es suficiente comprobarlo para todos los elementos y en ⁠ ⁠ . Conocer los subgrupos de un grupo es importante para comprender el grupo como un todo. ^[f] ${\displaystyle g^{-1}\cdot h\in H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$

Dado cualquier subconjunto de un grupo ⁠ ⁠ , el subgrupo generado por consiste en todos los productos de elementos de y sus inversos. Es el subgrupo más pequeño de que contiene a ⁠ ⁠ . ^[33] En el ejemplo de simetrías de un cuadrado, el subgrupo generado por y consiste en estos dos elementos, el elemento identidad ⁠ ⁠ , y el elemento ⁠ ⁠ . Nuevamente, este es un subgrupo, porque la combinación de dos cualesquiera de estos cuatro elementos o sus inversos (que son, en este caso particular, estos mismos elementos) produce un elemento de este subgrupo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {id} }$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }=f_{\mathrm {v} }\cdot r_{2}}$

Cosets

En muchas situaciones es deseable considerar que dos elementos de un grupo son iguales si difieren en un elemento de un subgrupo dado. Por ejemplo, en el grupo de simetría de un cuadrado, una vez que se realiza cualquier reflexión, las rotaciones por sí solas no pueden devolver el cuadrado a su posición original, por lo que se puede pensar que las posiciones reflejadas del cuadrado son todas equivalentes entre sí, y no equivalentes a las posiciones no reflejadas; las operaciones de rotación son irrelevantes para la cuestión de si se ha realizado una reflexión. Las clases laterales se utilizan para formalizar esta idea: un subgrupo determina las clases laterales izquierda y derecha, que pueden considerarse como traslaciones de por un elemento de grupo arbitrario ⁠ ⁠ . En términos simbólicos, las clases laterales izquierda y derecha de ⁠ ⁠ , que contienen un elemento ⁠ ⁠ , son ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle gH=\{g\cdot h\mid h\in H\}}$y ⁠ ⁠ ${\displaystyle Hg=\{h\cdot g\mid h\in H\}}$ , respectivamente. ^[34]

Las clases laterales izquierdas de cualquier subgrupo forman una partición de ⁠ ⁠ ; es decir, la unión de todas las clases laterales izquierdas es igual a y dos clases laterales izquierdas son iguales o tienen una intersección vacía . ^[35] El primer caso ocurre precisamente cuando ⁠ ⁠ , es decir, cuando los dos elementos difieren en un elemento de ⁠ ⁠ . Consideraciones similares se aplican a las clases laterales derechas de ⁠ ⁠ . Las clases laterales izquierdas de pueden o no ser las mismas que sus clases laterales derechas. Si lo son (es decir, si todas en satisfacen ⁠ ⁠ ), entonces se dice que es un subgrupo normal . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g_{1}H=g_{2}H}$ ${\displaystyle g_{1}^{-1}\cdot g_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle gH=Hg}$ ${\displaystyle H}$

En ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ , el grupo de simetrías de un cuadrado, con su subgrupo de rotaciones, las clases laterales izquierdas son iguales a ⁠ ⁠ , si es un elemento de sí mismo, o en caso contrario iguales a (resaltado en verde en la tabla de Cayley de ⁠ ⁠ ). El subgrupo es normal, porque y de manera similar para los otros elementos del grupo. (De hecho, en el caso de ⁠ ⁠ , las clases laterales generadas por reflexiones son todas iguales: ⁠ ⁠ .) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle gR}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {c} }R=\{f_{\mathrm {c} },f_{\mathrm {d} },f_{\mathrm {v} },f_{\mathrm {h} }\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {c} }R=U=Rf_{\mathrm {c} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {h} }R=f_{\mathrm {v} }R=f_{\mathrm {d} }R=f_{\mathrm {c} }R}$

Grupos de cocientes

Supóngase que es un subgrupo normal de un grupo ⁠ ⁠ , y denota su conjunto de clases laterales. Entonces hay una ley de grupo única en para la cual la función que envía cada elemento a es un homomorfismo. Explícitamente, el producto de dos clases laterales y es ⁠ ⁠ , la clase lateral sirve como identidad de ⁠ ⁠ , y la inversa de en el grupo cociente es ⁠ ⁠ . El grupo ⁠ ⁠ , leído como " ⁠ ⁠ módulo ⁠ ⁠ ", ^[36] se denomina grupo cociente o grupo factorial . El grupo cociente puede caracterizarse alternativamente por una propiedad universal . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle G/N=\{gN\mid g\in G\}}$$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G\to G/N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle hN}$ ${\displaystyle (gh)N}$ ${\displaystyle eN=N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle gN}$ ${\displaystyle (gN)^{-1}=\left(g^{-1}\right)N}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$

Los elementos del grupo cociente son y ⁠ ⁠ . La operación de grupo sobre el cociente se muestra en la tabla. Por ejemplo, ⁠ ⁠ . Tanto el subgrupo como el cociente son abelianos, pero no lo son. A veces, un grupo se puede reconstruir a partir de un subgrupo y un cociente (más algunos datos adicionales), mediante la construcción del producto semidirecto ; es un ejemplo. ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U=f_{\mathrm {v} }R}$ ${\displaystyle U\cdot U=f_{\mathrm {v} }R\cdot f_{\mathrm {v} }R=(f_{\mathrm {v} }\cdot f_{\mathrm {v} })R=R}$ ${\displaystyle R=\{\mathrm {id} ,r_{1},r_{2},r_{3}\}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}/R}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$

El primer teorema de isomorfismo implica que cualquier homomorfismo sobreyectivo se factoriza canónicamente como un homomorfismo cociente seguido de un isomorfismo: ⁠ ⁠ . Los homomorfismos sobreyectivos son los epimorfismos en la categoría de grupos. ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle G\to G/\ker \phi \;{\stackrel {\sim }{\to }}\;H}$

Presentaciones

Todo grupo es isomorfo a un cociente de un grupo libre , en muchos sentidos.

Por ejemplo, el grupo diedro se genera por la rotación derecha y la reflexión en una línea vertical (cada elemento de es un producto finito de copias de estos y sus inversos). Por lo tanto, hay un homomorfismo sobreyectivo ⁠ ⁠ del grupo libre en dos generadores a enviar a y a ⁠ ⁠ . Los elementos en se llaman relaciones ; los ejemplos incluyen ⁠ ⁠ . De hecho, resulta que es el subgrupo normal más pequeño de que contiene estos tres elementos; en otras palabras, todas las relaciones son consecuencias de estos tres. El cociente del grupo libre por este subgrupo normal se denota ⁠ ⁠ . Esto se llama una presentación de por generadores y relaciones, porque el primer teorema de isomorfismo para ⁠ ⁠ produce un isomorfismo ⁠ ⁠ . ^[37] ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle r^{4},f^{2},(r\cdot f)^{2}}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\rangle }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle }$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle r,f\mid r^{4}=f^{2}=(r\cdot f)^{2}=1\rangle \to \mathrm {D} _{4}}$

La presentación de un grupo se puede utilizar para construir el gráfico de Cayley , una representación gráfica de un grupo discreto . ^[38]

Ejemplos y aplicaciones

Un patrón de papel tapiz periódico da lugar a un grupo de papel tapiz .

Los ejemplos y aplicaciones de los grupos abundan. Un punto de partida es el grupo de números enteros con la adición como operación de grupo, presentado anteriormente. Si en lugar de la adición se considera la multiplicación, se obtienen grupos multiplicativos . Estos grupos son predecesores de importantes construcciones en el álgebra abstracta . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Los grupos también se aplican en muchas otras áreas matemáticas. Los objetos matemáticos se examinan a menudo asociándolos a grupos y estudiando las propiedades de los grupos correspondientes. Por ejemplo, Henri Poincaré fundó lo que ahora se llama topología algebraica al introducir el grupo fundamental . ^[39] Mediante esta conexión, las propiedades topológicas como la proximidad y la continuidad se traducen en propiedades de grupos. ^[g]

El grupo fundamental de un plano menos un punto (en negrita) está formado por bucles alrededor del punto faltante. Este grupo es isomorfo a los números enteros sometidos a adición.

Los elementos del grupo fundamental de un espacio topológico son clases de equivalencia de bucles, donde los bucles se consideran equivalentes si uno puede deformarse suavemente en otro, y la operación de grupo es "concatenación" (rastrear un bucle y luego el otro). Por ejemplo, como se muestra en la figura, si el espacio topológico es el plano con un punto eliminado, entonces los bucles que no se envuelven alrededor del punto faltante (azul) pueden contraerse suavemente a un solo punto y son el elemento identidad del grupo fundamental. Un bucle que se envuelve alrededor del punto faltante veces no puede deformarse en un bucle que se envuelve veces (con ⁠ ⁠ ), porque el bucle no puede deformarse suavemente a través del agujero, por lo que cada clase de bucles se caracteriza por su número de enrollamiento alrededor del punto faltante. El grupo resultante es isomorfo a los números enteros bajo adición. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m\neq k}$

En aplicaciones más recientes, la influencia también se ha revertido para motivar construcciones geométricas mediante un trasfondo teórico de grupos. ^[h] De manera similar, la teoría de grupos geométricos emplea conceptos geométricos, por ejemplo en el estudio de grupos hiperbólicos . ^[40] Otras ramas que aplican grupos de manera crucial incluyen la geometría algebraica y la teoría de números. ^[41]

Además de las aplicaciones teóricas mencionadas anteriormente, existen muchas aplicaciones prácticas de los grupos. La criptografía se basa en la combinación del enfoque de la teoría abstracta de grupos junto con el conocimiento algorítmico obtenido en la teoría computacional de grupos , en particular cuando se implementa para grupos finitos. ^[42] Las aplicaciones de la teoría de grupos no se limitan a las matemáticas; ciencias como la física , la química y la informática se benefician del concepto.

Números

Muchos sistemas numéricos, como los números enteros y los racionales , tienen una estructura de grupo dada de forma natural. En algunos casos, como en el caso de los racionales, tanto las operaciones de suma como las de multiplicación dan lugar a estructuras de grupo. Estos sistemas numéricos son predecesores de estructuras algebraicas más generales conocidas como anillos y cuerpos. Otros conceptos algebraicos abstractos, como los módulos , los espacios vectoriales y las álgebras, también forman grupos.

Números enteros

El grupo de los números enteros bajo la operación de adición, denotado ⁠ ⁠ , ha sido descrito anteriormente. Los números enteros, con la operación de multiplicación en lugar de la de adición, no forman un grupo. Se satisfacen los axiomas de asociatividad e identidad, pero no existen inversos: por ejemplo, es un número entero, pero la única solución de la ecuación en este caso es ⁠ ⁠ , que es un número racional, pero no un número entero. Por lo tanto, no todos los elementos de tienen un inverso (multiplicativo). ^[i] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,+\right)}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Z} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle a\cdot b=1}$ ${\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Racionales

El deseo de la existencia de inversos multiplicativos sugiere considerar fracciones $${\displaystyle {\frac {a}{b}}.}$$

Las fracciones de números enteros (con distinto de cero) se conocen como números racionales . ^[j] El conjunto de todas esas fracciones irreducibles se denota comúnmente como ⁠ ⁠ . Todavía hay un pequeño obstáculo para ⁠ ⁠ , los racionales con multiplicación, siendo un grupo: debido a que cero no tiene un inverso multiplicativo (es decir, no existe tal que ⁠ ⁠ ), todavía no es un grupo. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cdot 0=1}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,\cdot \right)}$

Sin embargo, el conjunto de todos los números racionales distintos de cero forma un grupo abeliano bajo la multiplicación, también denotado ⁠ ⁠ . ^[k] Los axiomas de asociatividad y de elemento identidad se derivan de las propiedades de los números enteros. El requisito de clausura sigue siendo válido después de eliminar el cero, porque el producto de dos racionales distintos de cero nunca es cero. Finalmente, el inverso de es ⁠ ⁠ , por lo tanto, se satisface el axioma del elemento inverso. ${\displaystyle \mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\}=\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q\neq 0\right\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{\times }}$ ${\displaystyle a/b}$ ${\displaystyle b/a}$

Los números racionales (incluido el cero) también forman un grupo en el marco de la adición. La combinación de operaciones de adición y multiplicación produce estructuras más complicadas llamadas anillos y, si es posible dividir por un número distinto de cero, como en el caso de los cuerpos, que ocupan una posición central en el álgebra abstracta. Por lo tanto, los argumentos de la teoría de grupos sustentan partes de la teoría de esas entidades. ^[l] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Aritmética modular

Las horas de un reloj forman un grupo que utiliza la adición módulo  12. Aquí, 9 + 4 ≡ 1 .

La aritmética modular para un módulo define dos elementos cualesquiera y que difieren en un múltiplo de para ser equivalentes, denotado por ⁠ ⁠ . Todo entero es equivalente a uno de los enteros de a ⁠ ⁠ , y las operaciones de la aritmética modular modifican la aritmética normal reemplazando el resultado de cualquier operación por su representante equivalente . La adición modular, definida de esta manera para los enteros de a ⁠ ⁠ , forma un grupo, denotado como o ⁠ ⁠ , con como elemento identidad y como elemento inverso de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {n}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n-a}$ ${\displaystyle a}$

Un ejemplo conocido es la suma de horas en la esfera de un reloj , donde se elige 12 en lugar de 0 como representante de la identidad. Si la manecilla de la hora está en ⁠ ⁠ y está adelantada en horas, termina en ⁠ ⁠ , como se muestra en la ilustración. Esto se expresa diciendo que es congruente con "módulo ⁠ ⁠ " o, en símbolos, ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 9+4}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 12}$ $${\displaystyle 9+4\equiv 1{\pmod {12}}.}$$

Para cualquier número primo ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ , también existe el grupo multiplicativo de los números enteros módulo ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ . ^[43] Sus elementos pueden representarse por a ⁠ ⁠ . La operación de grupo, multiplicación módulo ⁠ ⁠ , reemplaza el producto habitual por su representante, el resto de la división por ⁠ ⁠ . Por ejemplo, para ⁠ ⁠ , los cuatro elementos del grupo pueden representarse por ⁠ ⁠ . En este grupo, ⁠ ⁠ , porque el producto habitual es equivalente a ⁠ ⁠ : cuando se divide por da un resto de ⁠ ⁠ . La primalidad de asegura que el producto habitual de dos representantes no sea divisible por ⁠ ⁠ , y por lo tanto que el producto modular sea distinto de cero. ^[m] El elemento identidad está representado por  ⁠ ⁠ , y la asociatividad se sigue de la propiedad correspondiente de los números enteros. Finalmente, el axioma del elemento inverso requiere que dado un número entero no divisible por ⁠ ⁠ , exista un número entero tal que sea, tal que divida exactamente a ⁠ ⁠ . El inverso se puede encontrar utilizando la identidad de Bézout y el hecho de que el máximo común divisor es igual a  ⁠ ⁠ . ^[44] En el caso anterior, el inverso del elemento representado por es el representado por ⁠ ⁠ , y el inverso del elemento representado por está representado por  ⁠ ⁠ , como ⁠ ⁠ . Por lo tanto, se cumplen todos los axiomas de grupo. Este ejemplo es similar al anterior: consta exactamente de aquellos elementos en el anillo que tienen un inverso multiplicativo. ^[45] Estos grupos, denominados ⁠ ⁠ , son cruciales para la criptografía de clave pública . ^[n] ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 1,2,3,4}$ ${\displaystyle 4\cdot 4\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ $${\displaystyle a\cdot b\equiv 1{\pmod {p}},}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a\cdot b-1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \gcd(a,p)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3\cdot 2=6\equiv 1{\bmod {5}}}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} \smallsetminus \left\{0\right\},\cdot \right)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$

Grupos cíclicos

Las 6.as raíces complejas de la unidad forman un grupo cíclico. es un elemento primitivo, pero no lo es, porque las potencias impares de no son una potencia de ⁠ ⁠ . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{2}}$

Un grupo cíclico es un grupo cuyos elementos son potencias de un elemento particular . ^[46] En notación multiplicativa, los elementos del grupo son donde significa ⁠ ⁠ , representa ⁠ ⁠ , etc. ^[o] Tal elemento se llama generador o elemento primitivo del grupo. En notación aditiva, el requisito para que un elemento sea primitivo es que cada elemento del grupo pueda escribirse como ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \dots ,a^{-3},a^{-2},a^{-1},a^{0},a,a^{2},a^{3},\dots ,}$$ ${\displaystyle a^{2}}$ ${\displaystyle a\cdot a}$ ${\displaystyle a^{-3}}$ ${\displaystyle a^{-1}\cdot a^{-1}\cdot a^{-1}=(a\cdot a\cdot a)^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle \dots ,(-a)+(-a),-a,0,a,a+a,\dots .}$$

En los grupos introducidos anteriormente, el elemento es primitivo, por lo que estos grupos son cíclicos. De hecho, cada elemento se puede expresar como una suma cuyos términos son todos ⁠ ⁠ . Cualquier grupo cíclico con elementos es isomorfo a este grupo. Un segundo ejemplo de grupos cíclicos es el grupo de las raíces complejas de la unidad , dado por números complejos que satisfacen ⁠ ⁠ . Estos números se pueden visualizar como los vértices de un -gono regular, como se muestra en azul en la imagen para ⁠ ⁠ . La operación de grupo es la multiplicación de números complejos. En la imagen, multiplicar con corresponde a una rotación en sentido antihorario de 60°. ^[47] Desde la teoría de campos , el grupo es cíclico para primos : por ejemplo, si ⁠ ⁠ , es un generador ya que ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} ,+)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3^{1}=3}$ ${\displaystyle 3^{2}=9\equiv 4}$ ${\displaystyle 3^{3}\equiv 2}$ ${\displaystyle 3^{4}\equiv 1}$

Algunos grupos cíclicos tienen un número infinito de elementos. En estos grupos, para cada elemento distinto de cero ⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$ , todas las potencias de son distintas; a pesar del nombre "grupo cíclico", las potencias de los elementos no son cíclicas. Un grupo cíclico infinito es isomorfo a ⁠ ⁠ , el grupo de números enteros bajo adición introducido anteriormente. ^[48] Como estos dos prototipos son abelianos, también lo son todos los grupos cíclicos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$

El estudio de los grupos abelianos finitamente generados es bastante maduro, incluido el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados ; y reflejando este estado de cosas, muchas nociones relacionadas con los grupos, como centro y conmutador , describen el grado en el que un grupo dado no es abeliano. ^[49]

Grupos de simetría

El grupo de triángulos (2,3,7), un grupo de reflexión hiperbólica, actúa sobre esta teselación del plano hiperbólico ^[50]

Los grupos de simetría son grupos que consisten en simetrías de objetos matemáticos dados, principalmente entidades geométricas, como el grupo de simetría del cuadrado dado como ejemplo introductorio arriba, aunque también surgen en álgebra como las simetrías entre las raíces de ecuaciones polinómicas tratadas en la teoría de Galois (ver abajo). ^[51] Conceptualmente, la teoría de grupos puede ser pensada como el estudio de la simetría. ^[p] Las simetrías en matemáticas simplifican enormemente el estudio de objetos geométricos o analíticos . Se dice que un grupo actúa sobre otro objeto matemático ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ si cada elemento del grupo puede asociarse a alguna operación en ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ y la composición de estas operaciones sigue la ley del grupo. Por ejemplo, un elemento del grupo de triángulos (2,3,7) actúa sobre un mosaico triangular del plano hiperbólico permutando los triángulos. ^[50] Mediante una acción de grupo, el patrón del grupo está conectado a la estructura del objeto sobre el que se actúa.

En química, los grupos puntuales describen simetrías moleculares , mientras que los grupos espaciales describen simetrías cristalinas en cristalografía . Estas simetrías son la base del comportamiento químico y físico de estos sistemas, y la teoría de grupos permite simplificar el análisis mecánico cuántico de estas propiedades. ^[52] Por ejemplo, la teoría de grupos se utiliza para demostrar que las transiciones ópticas entre ciertos niveles cuánticos no pueden ocurrir simplemente debido a la simetría de los estados involucrados. ^[53]

La teoría de grupos ayuda a predecir los cambios en las propiedades físicas que ocurren cuando un material experimenta una transición de fase , por ejemplo, de una forma cristalina cúbica a una tetraédrica. Un ejemplo son los materiales ferroeléctricos , donde el cambio de un estado paraeléctrico a uno ferroeléctrico ocurre a la temperatura de Curie y está relacionado con un cambio del estado paraeléctrico de alta simetría al estado ferroeléctrico de simetría más baja, acompañado por un llamado modo de fonón suave , un modo reticular vibracional que pasa a frecuencia cero en la transición. ^[54]

Esta ruptura espontánea de la simetría ha encontrado aplicaciones adicionales en la física de partículas elementales, donde su ocurrencia está relacionada con la aparición de los bosones de Goldstone . ^[55]

Los grupos de simetría finitos, como los grupos de Mathieu , se utilizan en la teoría de codificación , que a su vez se aplica en la corrección de errores de datos transmitidos, y en reproductores de CD . ^[59] Otra aplicación es la teoría diferencial de Galois , que caracteriza a las funciones que tienen antiderivadas de una forma prescrita, dando criterios teóricos de grupo para determinar cuándo las soluciones de ciertas ecuaciones diferenciales se comportan bien. ^[q] Las propiedades geométricas que permanecen estables bajo acciones de grupo se investigan en la teoría invariante (geométrica) . ^[60]

Teoría general de grupos lineales y representaciones

Dos vectores (ilustración de la izquierda) multiplicados por matrices (ilustración del medio y de la derecha). La ilustración del medio representa una rotación en el sentido de las agujas del reloj de 90°, mientras que la ilustración de más a la derecha estira la coordenada ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ por un factor de 2.

Los grupos de matrices consisten en matrices junto con la multiplicación de matrices . El grupo lineal general consiste en todas las matrices invertibles ⁠ ⁠ -por- ⁠ ⁠ con entradas reales. ^[61] Sus subgrupos se denominan grupos de matrices o grupos lineales . El ejemplo del grupo diedro mencionado anteriormente puede verse como un grupo de matrices (muy pequeño). Otro grupo de matrices importante es el grupo ortogonal especial ⁠ ⁠ . Describe todas las rotaciones posibles en dimensiones. Las matrices de rotación en este grupo se utilizan en gráficos de computadora . ^[62] ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$ ${\displaystyle n}$

La teoría de la representación es a la vez una aplicación del concepto de grupo y es importante para una comprensión más profunda de los grupos. ^{[63] [64]} Estudia el grupo por sus acciones grupales en otros espacios. Una amplia clase de representaciones de grupo son las representaciones lineales en las que el grupo actúa en un espacio vectorial, como el espacio euclidiano tridimensional ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Una representación de un grupo en un espacio vectorial real -dimensional es simplemente un homomorfismo de grupo del grupo al grupo lineal general. De esta manera, la operación de grupo, que puede darse de forma abstracta, se traduce en la multiplicación de matrices, lo que la hace accesible a cálculos explícitos. ^[r] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Una acción grupal proporciona otros medios para estudiar el objeto sobre el que se actúa. ^[s] Por otra parte, también proporciona información sobre el grupo. Las representaciones grupales son un principio organizador en la teoría de grupos finitos, grupos de Lie, grupos algebraicos y grupos topológicos , especialmente grupos (localmente) compactos . ^{[63] [65]}

Grupos de Galois

Los grupos de Galois se desarrollaron para ayudar a resolver ecuaciones polinómicas capturando sus características de simetría. ^{[66] [67]} Por ejemplo, las soluciones de la ecuación cuadrática se dan por Cada solución se puede obtener reemplazando el signo por o ; se conocen fórmulas análogas para ecuaciones cúbicas y cuárticas , pero no existen en general para el grado 5 y superiores. ^[68] En la fórmula cuadrática , cambiar el signo (permutar las dos soluciones resultantes) puede verse como una operación de grupo (muy simple). Los grupos de Galois análogos actúan sobre las soluciones de ecuaciones polinómicas de grado superior y están estrechamente relacionados con la existencia de fórmulas para su solución. Las propiedades abstractas de estos grupos (en particular su solubilidad ) dan un criterio para la capacidad de expresar las soluciones de estos polinomios utilizando únicamente la suma, la multiplicación y las raíces similares a la fórmula anterior. ^[69] ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$ ${\displaystyle \pm }$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle -}$

La teoría moderna de Galois generaliza el tipo de grupos de Galois antes mencionado al pasar a la teoría de campos y considerar extensiones de campos formadas como el campo de división de un polinomio. Esta teoría establece, a través del teorema fundamental de la teoría de Galois , una relación precisa entre campos y grupos, subrayando una vez más la ubicuidad de los grupos en matemáticas. ^[70]

Grupos finitos

Un grupo se llama finito si tiene un número finito de elementos . El número de elementos se llama orden del grupo. ^[71] Una clase importante son los grupos simétricos ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ , los grupos de permutaciones de objetos. Por ejemplo, el grupo simétrico de 3 letras es el grupo de todos los reordenamientos posibles de los objetos. Las tres letras ABC se pueden reordenar en ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA, formando en total 6 ( factorial de 3) elementos. La operación de grupo es la composición de estos reordenamientos, y el elemento identidad es la operación de reordenamiento que deja el orden sin cambios. Esta clase es fundamental en la medida en que cualquier grupo finito se puede expresar como un subgrupo de un grupo simétrico para un entero adecuado ⁠ ⁠ , según el teorema de Cayley . Paralelamente al grupo de simetrías del cuadrado anterior, también se puede interpretar como el grupo de simetrías de un triángulo equilátero . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {S} _{3}}$

El orden de un elemento en un grupo es el menor entero positivo tal que ⁠ ⁠ , donde representa es decir, la aplicación de la operación " ⁠ ⁠ " a copias de ⁠ ⁠ . (Si " ⁠ ⁠ " representa la multiplicación, entonces corresponde a la ⁠ ⁠ potencia de ⁠ ⁠ .) En grupos infinitos, tal puede no existir, en cuyo caso se dice que el orden de es infinito. El orden de un elemento es igual al orden del subgrupo cíclico generado por este elemento. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a^{n}=e}$ ${\displaystyle a^{n}}$ $${\displaystyle \underbrace {a\cdots a} _{n{\text{ factors}}},}$$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle a^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a}$

Las técnicas de conteo más sofisticadas, por ejemplo, el conteo de clases laterales, producen afirmaciones más precisas sobre los grupos finitos: el teorema de Lagrange establece que para un grupo finito el orden de cualquier subgrupo finito divide el orden de ⁠ ⁠ . Los teoremas de Sylow dan una recíproca parcial. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

El grupo diedro de simetrías de un cuadrado es un grupo finito de orden 8. En este grupo, el orden de es 4, al igual que el orden del subgrupo que genera este elemento. El orden de los elementos de reflexión, etc. es 2. Ambos órdenes dividen a 8, como predice el teorema de Lagrange. Los grupos de multiplicación módulo un primo tienen orden ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle f_{\mathrm {v} }}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p-1}$

Grupos abelianos finitos

Cualquier grupo abeliano finito es isomorfo a un producto de grupos cíclicos finitos; esta afirmación es parte del teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados .

Cualquier grupo de orden primo es isomorfo al grupo cíclico (una consecuencia del teorema de Lagrange ). Cualquier grupo de orden es abeliano, isomorfo a o ⁠ ⁠ . Pero existen grupos no abelianos de orden ; el grupo diedro de orden anterior es un ejemplo. ^[72] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p^{2}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Z} _{p}\times \mathrm {Z} _{p}}$ ${\displaystyle p^{3}}$ ${\displaystyle \mathrm {D} _{4}}$ ${\displaystyle 2^{3}}$

Grupos simples

Cuando un grupo tiene un subgrupo normal distinto de y , las preguntas sobre a veces pueden reducirse a preguntas sobre y ⁠ ⁠ . Un grupo no trivial se llama simple si no tiene un subgrupo normal de ese tipo. Los grupos simples finitos son a los grupos finitos lo que los números primos son a los números enteros positivos: sirven como bloques de construcción, en un sentido precisado por el teorema de Jordan-Hölder . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G/N}$

Clasificación de grupos finitos simples

Se han utilizado sistemas de álgebra computacional para enumerar todos los grupos de orden hasta 2000. [ ^t] Pero clasificar todos los grupos finitos es un problema que se considera demasiado difícil de resolver.

La clasificación de todos los grupos finitos simples fue un logro importante en la teoría de grupos contemporánea. Existen varias familias infinitas de tales grupos, así como 26 " grupos esporádicos " que no pertenecen a ninguna de las familias. El grupo esporádico más grande se llama el grupo monstruo . Las conjeturas monstruosas de la luz de la luna , demostradas por Richard Borcherds , relacionan el grupo monstruo con ciertas funciones modulares . ^[73]

La brecha entre la clasificación de grupos simples y la clasificación de todos los grupos reside en el problema de extensión . ^[74]

Grupos con estructura adicional

Una definición equivalente de grupo consiste en reemplazar la parte "existen" de los axiomas de grupo por operaciones cuyo resultado es el elemento que debe existir. Así, un grupo es un conjunto dotado de una operación binaria (la operación de grupo), una operación unaria (que proporciona la inversa) y una operación nularia , que no tiene operando y da como resultado el elemento identidad. Por lo demás, los axiomas de grupo son exactamente los mismos. Esta variante de la definición evita los cuantificadores existenciales y se utiliza en computación con grupos y para demostraciones asistidas por ordenador . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G\rightarrow G}$ ${\displaystyle G\rightarrow G}$

Esta forma de definir grupos se presta a generalizaciones como la noción de objeto de grupo en una categoría. Brevemente, se trata de un objeto con morfismos que imitan los axiomas de grupo. ^[75]

Grupos topológicos

El círculo unitario en el plano complejo bajo la multiplicación compleja es un grupo de Lie y, por lo tanto, un grupo topológico. Es topológico porque la multiplicación y la división complejas son continuas. Es una variedad y, por lo tanto, un grupo de Lie, porque cada pequeña parte , como el arco rojo en la figura, parece una parte de la línea real (mostrada en la parte inferior).

Algunos espacios topológicos pueden estar dotados de una ley de grupo. Para que la ley de grupo y la topología se entrelacen bien, las operaciones de grupo deben ser funciones continuas; informalmente, y no deben variar mucho si y varían solo un poco. Dichos grupos se denominan grupos topológicos y son los objetos de grupo en la categoría de espacios topológicos . ^[76] Los ejemplos más básicos son el grupo de números reales bajo adición y el grupo de números reales distintos de cero bajo multiplicación. Se pueden formar ejemplos similares a partir de cualquier otro campo topológico , como el campo de números complejos o el campo de números p -ádicos . Estos ejemplos son localmente compactos , por lo que tienen medidas de Haar y se pueden estudiar mediante análisis armónico . Otros grupos topológicos localmente compactos incluyen el grupo de puntos de un grupo algebraico sobre un campo local o anillo de Adele ; estos son básicos para la teoría de números . ^[77] Los grupos de Galois de extensiones de campo algebraico infinito están equipados con la topología de Krull , que desempeña un papel en la teoría de Galois infinita . ^[78] Una generalización utilizada en geometría algebraica es el grupo fundamental étale . ^[79] ${\displaystyle g\cdot h}$ ${\displaystyle g^{-1}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$

Grupos de mentiras

Un grupo de Lie es un grupo que también tiene la estructura de una variedad diferenciable ; informalmente, esto significa que se parece localmente a un espacio euclidiano de alguna dimensión fija. ^[80] Nuevamente, la definición requiere que la estructura adicional, aquí la estructura de la variedad, sea compatible: se requiere que las funciones de multiplicación e inversa sean suaves .

Un ejemplo estándar es el grupo lineal general introducido anteriormente: es un subconjunto abierto del espacio de todas las matrices -por- , porque está dado por la desigualdad donde denota una matriz -por- . ^[81] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \det(A)\neq 0,}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los grupos de Lie son de importancia fundamental en la física moderna: el teorema de Noether vincula las simetrías continuas a las cantidades conservadas . ^[82] La rotación , así como las traslaciones en el espacio y el tiempo , son simetrías básicas de las leyes de la mecánica . Pueden, por ejemplo, usarse para construir modelos simples: imponer, digamos, simetría axial en una situación generalmente conducirá a una simplificación significativa en las ecuaciones que uno necesita resolver para proporcionar una descripción física. ^[u] Otro ejemplo es el grupo de transformaciones de Lorentz , que relacionan mediciones de tiempo y velocidad de dos observadores en movimiento relativo entre sí. Pueden deducirse de una manera puramente teórica de grupos, expresando las transformaciones como una simetría rotacional del espacio de Minkowski . Este último sirve, en ausencia de gravitación significativa , como un modelo del espacio-tiempo en la relatividad especial . ^[83] El grupo de simetría completo del espacio de Minkowski, es decir, incluyendo las traslaciones, se conoce como el grupo de Poincaré . Por lo anterior, juega un papel fundamental en la relatividad especial y, por implicación, en las teorías cuánticas de campos . ^[84] Las simetrías que varían con la ubicación son fundamentales para la descripción moderna de las interacciones físicas con la ayuda de la teoría de calibre . Un ejemplo importante de una teoría de calibre es el Modelo Estándar , que describe tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas y clasifica todas las partículas elementales conocidas . ^[85]

Generalizaciones

Se pueden definir estructuras más generales flexibilizando algunos de los axiomas que definen un grupo. ^{[31] [86] [87]} La ​​tabla proporciona una lista de varias estructuras que generalizan grupos.

Por ejemplo, si se elimina el requisito de que cada elemento tenga un inverso, la estructura algebraica resultante se llama monoide . Los números naturales (incluido el cero) bajo la adición forman un monoide, al igual que los números enteros distintos de cero bajo la multiplicación . La unión de los inversos adyacentes de todos los elementos del monoide produce un grupo , y de la misma manera, la unión de los inversos adyacentes a cualquier monoide (abeliano) produce un grupo conocido como el grupo de Grothendieck de . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} \smallsetminus \{0\},\cdot )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Un grupo puede considerarse como una categoría pequeña con un objeto ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ en el que cada morfismo es un isomorfismo: dada dicha categoría, el conjunto es un grupo; a la inversa, dado un grupo ⁠ ⁠ , se puede construir una categoría pequeña con un objeto ⁠ ⁠ en el que ⁠ ⁠ . De manera más general, un grupoide es cualquier categoría pequeña en la que cada morfismo es un isomorfismo. En un grupoide, el conjunto de todos los morfismos de la categoría normalmente no es un grupo, porque la composición solo está parcialmente definida: ⁠ ⁠ se define solo cuando la fuente de ⁠ ⁠ coincide con el objetivo de ⁠ ⁠ . Los grupoides surgen en topología (por ejemplo, el grupoide fundamental ) y en la teoría de pilas . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (x,x)\simeq G}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Finalmente, es posible generalizar cualquiera de estos conceptos reemplazando la operación binaria con una operación n -aria (es decir, una operación que toma n argumentos, para algún entero no negativo n ). Con la generalización adecuada de los axiomas de grupo, esto da una noción de grupo n -ario . ^[88]

Véase también

• Portal de matemáticas

• Lista de temas de teoría de grupos

Notas

1. Algunos autores incluyen un axioma adicional denominado clausura bajo la operación " ⋅ ", lo que significa que a ⋅ b es un elemento de G para cada a y b en G . Esta condición se resume al requerir que " ⋅ " sea una operación binaria sobre G . Véase Lang 2002.
2. La base de datos MathSciNet de publicaciones matemáticas incluye 1779 artículos de investigación sobre teoría de grupos y sus generalizaciones escritos solo en 2020. Véase MathSciNet 2021.
3. Generalmente se evita el uso de la notación fraccionaria .b/a⁠ a menos que G sea abeliano, debido a la ambigüedad de si significa a ⁻¹ ⋅ b o b ⋅ a ⁻¹ .)
4. Véase, por ejemplo, Lang 2002, Lang 2005, Herstein 1996 y Herstein 1975.
5. La palabra homomorfismo deriva del griego ὁμός (lo mismo) y μορφή (estructura). Véase Schwartzman 1994, p. 108.
6. Sin embargo, un grupo no está determinado por su red de subgrupos. Véase Suzuki 1951.
7. Véase el teorema de Seifert-Van Kampen como ejemplo.
8. Un ejemplo es la cohomología de grupo de un grupo que es igual a la cohomología singular de su espacio de clasificación , véase Weibel 1994, §8.2.
9. Los elementos que tienen inversos multiplicativos se denominan unidades , véase Lang 2002, pág. 84, §II.1.
10. La transición de los números enteros a los racionales mediante la inclusión de fracciones se generaliza al cuerpo de las fracciones .
11. Lo mismo es cierto para cualquier campo F en lugar de Q. Véase Lang 2005, p. 86, §III.1.
12. Por ejemplo, un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo es necesariamente cíclico. Véase Lang 2002, Teorema IV.1.9. Las nociones de torsión de un módulo y las álgebras simples son otros ejemplos de este principio.
13. La propiedad enunciada es una posible definición de los números primos. Véase Elemento primo .
14. Por ejemplo, el protocolo Diffie-Hellman utiliza el logaritmo discreto . Véase Gollmann 2011, §15.3.2.
15. La notación aditiva para los elementos de un grupo cíclico sería t ⋅ a , donde t está en Z .
16. Más rigurosamente, cada grupo es el grupo de simetría de algún grafo ; véase el teorema de Frucht , Frucht 1939.
17. Más precisamente, se considera la acción de la monodromía sobre el espacio vectorial de soluciones de las ecuaciones diferenciales. Véase Kuga 1993, pp. 105-113.
18. Esto fue crucial para la clasificación de grupos finitos simples, por ejemplo. Véase Aschbacher 2004.
19. Véase, por ejemplo, el Lema de Schur para el impacto de una acción de grupo sobre módulos simples . Un ejemplo más complejo es la acción de un grupo de Galois absoluto sobre la cohomología étale .
20. Hasta el isomorfismo, hay alrededor de 49 mil millones de grupos de orden hasta 2000. Véase Besche, Eick y O'Brien 2001.
21. Véase la métrica de Schwarzschild para un ejemplo en el que la simetría reduce en gran medida la complejidad del análisis de los sistemas físicos.

Citas

1. Herstein 1975, pág. 26, §2.
2. Hall 1967, p. 1, §1.1: "La idea de grupo es una que impregna toda la matemática tanto pura como aplicada ".
3. Lang 2005, pág. 360, apéndice 2.
4. Cook 2009, pág. 24.
5. Artin 2018, pág. 40, §2.2.
6. Lang 2002, pág. 3, I.§1 y pág. 7, I.§2.
7. Lang 2005, pág. 16, II.§1.
8. Herstein 1975, pag. 54, §2.6.
9. Wussing2007.
10. Kleiner 1986.
11. Smith 1906.
12. Galois 1908.
13. Kleiner 1986, pág. 202.
14. Cayley 1889.
15. Wussing 2007, §III.2.
16. Mentira 1973.
17. Kleiner 1986, pág. 204.
18. Wussing 2007, §I.3.4.
19. Jordania 1870.
20. por Dyck 1882.
21. Curtis 2003.
22. Mackey 1976.
23. Borrel 2001.
24. Salomón 2018.
25. Ledermann 1953, págs. 4-5, §1.2.
26. Ledermann 1973, pág. 3, §I.1.
27. Lang 2005, pág. 17, §II.1.
28. Artin 2018, pág. 40.
29. Lang 2002, pág. 7, §I.2.
30. Lang 2005, pág. 34, §II.3.
31. Mac Lane 1998.
32. Lang 2005, pág. 19, §II.1.
33. Ledermann 1973, pág. 39, §II.12.
34. Lang 2005, pág. 41, §II.4.
35. Lang 2002, pág. 12, §I.2.
36. Lang 2005, pág. 45, §II.4.
37. Lang 2002, pág. 9, §I.2.
38. Magnus, Karrass y Solitar 2004, págs. 56–67, §1.6.
39. Hatcher 2002, pág. 30, Capítulo I.
40. Coornaert, Delzant y Papadopoulos 1990.
41. Por ejemplo, grupos de clases y grupos de Picard ; véase Neukirch 1999, en particular §§I.12 y I.13
42. Seress 1997.
43. Lang 2005, Capítulo VII.
44. Rosen 2000, p. 54, (Teorema 2.1).
45. Lang 2005, pag. 292, §VIII.1.
46. Lang 2005, pág. 22, §II.1.
47. Lang 2005, pág. 26, §II.2.
48. Lang 2005, p. 22, §II.1 (ejemplo 11).
49. Lang 2002, págs.26, 29, §I.5.
50. Ellis 2019.
51. Villanueva 1952.
52. Conway et al. 2001. Véase también Bishop 1993
53. Weyl 1950, págs. 197–202.
54. Paloma 2003.
55. Zee 2010, pág. 228.
56. Chancey y O'Brien 2021, págs. 15, 16.
57. Simons 2003, §4.2.1.
58. Eliel, Wilen y Mander 1994, pág. 82.
59. Galés 1989.
60. Mumford, Fogarty y Kirwan 1994.
61. Lay 2003.
62. Kuipers 1999.
63. Fulton y Harris 1991.
64. Serre 1977.
65. Rudin 1990.
66. Robinson 1996, pág. viii.
67. Artin 1998.
68. Lang 2002, Capítulo VI (véase en particular la pág. 273 para ejemplos concretos).
69. Lang 2002, pag. 292, (Teorema VI.7.2).
70. Stewart 2015, §12.1.
71. Kurzweil y Stellmacher 2004, pág. 3.
72. Artin 2018, Proposición 6.4.3. Véase también Lang 2002, p. 77 para resultados similares.
73. Ronan 2007.
74. Aschbacher 2004, pág. 737.
75. Awodey 2010, §4.1.
76. Husain 1966.
77. Alemania 1999.
78. Shatz 1972.
79. Milne 1980.
80. Warner 1983.
81. Borel 1991.
82. Goldstein 1980.
83. Weinberg 1972.
84. Naber 2003.
85. Zee 2010.
86. Denecke y Wismath 2002.
87. Romanowska y Smith 2002.
88. Delhi 2001.

Referencias

Referencias generales

• Artin, Michael (2018), Álgebra , Prentice Hall , ISBN 978-0-13-468960-9El capítulo 2 contiene una exposición a nivel de pregrado de las nociones cubiertas en este artículo.
• Cook, Mariana R. (2009), Matemáticos: una visión exterior del mundo interior, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13951-7
• Hall, GG (1967), Teoría de grupos aplicada , American Elsevier Publishing Co., Inc., Nueva York, MR  0219593, una introducción elemental.
• Herstein, Israel Nathan (1996), Álgebra abstracta (3.ª ed.), Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., ISBN 978-0-13-374562-7, Sr.  1375019.
• Herstein, Israel Nathan (1975), Temas de álgebra (2.ª ed.), Lexington, Mass.: Xerox College Publishing, MR  0356988.
• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr.  1878556
• Lang, Serge (2005), Álgebra universitaria (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-22025-3.
• Ledermann, Walter (1953), Introducción a la teoría de grupos finitos , Oliver y Boyd, Edimburgo y Londres, MR  0054593.
• Ledermann, Walter (1973), Introducción a la teoría de grupos , Nueva York: Barnes and Noble, OCLC  795613.
• Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso sobre la teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94461-6.

Referencias especiales

• Artin, Emil (1998), Teoría de Galois , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-62342-9.
• Aschbacher, Michael (2004), "El estado de la clasificación de los grupos finitos simples" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 51 (7): 736–740.
• Awodey, Steve (2010), Teoría de categorías , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-958736-0
• Behler, Florian; Wickleder, Mathias S.; Christoffers, Jens (2014), "Ácido tetrasulfónico bifenil y bimesitilo: nuevas moléculas de enlace para polímeros de coordinación", Arkivoc , 2015 (2): 64–75, doi : 10.3998/ark.5550190.p008.911 , hdl : 2027/spo.5550190.p008.911
• Bersuker, Isaac (2006), El efecto Jahn-Teller, Cambridge University Press, ISBN 0-521-82212-2.
• Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, EA (2001), "Los grupos de orden máximo 2000", Anuncios de investigación electrónica de la American Mathematical Society , 7 : 1–4, doi : 10.1090/S1079-6762-01-00087-7 , MR  1826989.
• Bishop, David HL (1993), Teoría de grupos y química , Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-67355-4.
• Borel, Armand (1991), Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 126 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97370-8, Sr.  1102012.
• Carter, Roger W. (1989), Grupos simples de tipo Lie , Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50683-6.
• Chancey, CC; O'Brien, MCM (2021), El efecto Jahn-Teller en C60 y otros complejos icosaédricos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-22534-0
• Conway, John Horton ; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), "Sobre grupos espaciales tridimensionales", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 42 (2): 475–507, arXiv : math.MG/9911185 , MR  1865535.
• Coornaert, M.; Delzant, T.; Papadopoulos, A. (1990), Géométrie et théorie des groupes [Geometría y teoría de grupos] , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 1441, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-52977-4, Sr.  1075994.
• Denecke, Klaus; Wismath, Shelly L. (2002), Álgebra universal y aplicaciones en informática teórica , Londres: CRC Press , ISBN 978-1-58488-254-1.
• Dove, Martin T (2003), Estructura y dinámica: una visión atómica de los materiales , Oxford University Press, pág. 265, ISBN 0-19-850678-3.
• Dudek, Wiesław A. (2001), "Sobre algunos problemas antiguos y nuevos en grupos n-arios" (PDF) , Quasigroups and Related Systems , 8 : 15–36, MR  1876783.
• Eliel, Ernest; Wilen, Samuel; Mander, Lewis (1994), Estereoquímica de compuestos orgánicos , Wiley, ISBN 978-0-471-01670-0
• Ellis, Graham (2019), "6.4 Grupos de triángulos", Una invitación a la homotopía computacional , Oxford University Press, págs. 441–444, doi :10.1093/oso/9780198832973.001.0001, ISBN 978-0-19-883298-0, Sr.  3971587.
• Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe [Construcción de gráficos con grupo prescrito]", Compositio Mathematica (en alemán), 6 : 239–50, archivado desde el original el 1 de diciembre de 2008.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991), Teoría de la representación: un primer curso , Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas de matemáticas, vol. 129, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, Sr.  1153249
• Goldstein, Herbert (1980), Mecánica clásica (2.ª ed.), Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, págs. 588-596, ISBN 0-201-02918-9.
• Gollmann, Dieter (2011), Seguridad informática (2.ª ed.), West Sussex, Inglaterra: John Wiley & Sons, Ltd., ISBN 978-0-470-74115-3
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1.
• Husain, Taqdir (1966), Introducción a los grupos topológicos , Filadelfia: WB Saunders Company, ISBN 978-0-89874-193-3
• Jahn, H. ; Teller, E. (1937), "Estabilidad de moléculas poliatómicas en estados electrónicos degenerados. I. Degeneración orbital", Actas de la Royal Society A , 161 (905): 220–235, Bibcode :1937RSPSA.161..220J, doi : 10.1098/rspa.1937.0142.
• Kuipers, Jack B. (1999), Cuaterniones y secuencias de rotación: una introducción con aplicaciones a las órbitas, el espacio aéreo y la realidad virtual , Princeton University Press , Bibcode :1999qrsp.book.....K, ISBN 978-0-691-05872-6, Sr.  1670862.
• Kuga, Michio (1993), El sueño de Galois: teoría de grupos y ecuaciones diferenciales , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3688-3, Sr.  1199112.
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (2004), La teoría de los grupos finitos , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-40510-0, Sr.  2014408.
• Lay, David (2003), Álgebra lineal y sus aplicaciones , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-70970-4.
• Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático en activo (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2.
• Magnus, Wilhelm ; Karrass, Abraham; Solitar, Donald (2004) [1966], Teoría de grupos combinatorios: presentaciones de grupos en términos de generadores y relaciones, Courier, ISBN 978-0-486-43830-6
• MathSciNet (2021), Lista de artículos revisados ​​en MathSciNet sobre "Teoría de grupos y sus generalizaciones" (código MSC 20), publicado en 2020 , consultado el 14 de mayo de 2021
• Michler, Gerhard (2006), Teoría de grupos finitos simples , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86625-5.
• Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
• Mumford, David ; Fogarty, J.; Kirwan, F. (1994), Teoría de invariantes geométricos , vol. 34 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56963-3, Sr.  1304906.
• Naber, Gregory L. (2003), La geometría del espacio-tiempo de Minkowski , Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-43235-9, Sr.  2044239.
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859, Zbl  0956.11021
• Romanowska, AB ; Smith, JDH (2002), Modos , World Scientific , ISBN 978-981-02-4942-7.
• Ronan, Mark (2007), La simetría y el monstruo: La historia de una de las mayores búsquedas de las matemáticas , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-280723-6.
• Rosen, Kenneth H. (2000), Teoría de números elementales y sus aplicaciones (4.ª ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-87073-2, Sr.  1739433.
• Rudin, Walter (1990), Análisis de Fourier en grupos , Wiley Classics, Wiley-Blackwell, ISBN 0-471-52364-X.
• Seress, Ákos (1997), "Introducción a la teoría computacional de grupos" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 44 (6): 671–679, MR  1452069.
• Serre, Jean-Pierre (1977), Representaciones lineales de grupos finitos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90190-9, Sr.  0450380.
• Schwartzman, Steven (1994), Las palabras de las matemáticas: un diccionario etimológico de términos matemáticos utilizados en inglés , Asociación Matemática de América, ISBN 978-0-88385-511-9.
• Shatz, Stephen S. (1972), Grupos profinitos, aritmética y geometría , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08017-8, Sr.  0347778
• Simons, Jack (2003), Introducción a la química teórica , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-53047-7
• Solomon, Ronald (2018), "La clasificación de grupos finitos simples: un informe de progreso", Avisos de la AMS , 65 (6): 1, doi : 10.1090/noti1689
• Stewart, Ian (2015), Teoría de Galois (4.ª ed.), CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0
• Suzuki, Michio (1951), "Sobre la red de subgrupos de grupos finitos", Transactions of the American Mathematical Society , 70 (2): 345–371, doi : 10.2307/1990375 , JSTOR  1990375.
• Warner, Frank (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90894-6.
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR  1269324, OCLC  36131259
• Weinberg, Steven (1972), Gravitación y cosmología, Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-92567-5.
• Welsh, Dominic (1989), Códigos y criptografía , Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853287-3.
• Weyl, Hermann (1952), Simetría , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-02374-8.
• Zee, A. (2010), Teoría cuántica de campos en pocas palabras (segunda edición), Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-14034-6, OCLC  768477138

Referencias históricas

• Borel, Armand (2001), Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0288-5
• Cayley, Arthur (1889), Documentos matemáticos recopilados de Arthur Cayley, vol. II (1851–1860), Cambridge University Press.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "El desarrollo de la teoría de grupos", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
• Curtis, Charles W. (2003), Pioneros de la teoría de la representación: Frobenius, Burnside, Schur y Brauer , Historia de las matemáticas, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2677-5.
• von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien (Estudios teóricos de grupo)", Mathematische Annalen (en alemán), 20 (1): 1–44, doi :10.1007/BF01443322, S2CID  179178038, archivado desde el original en 2014 -02-22.
• Galois, Évariste (1908), Tannery, Jules (ed.), Manuscrits de Évariste Galois [Manuscritos de Évariste Galois] (en francés), París: Gauthier-Villars(La obra de Galois fue publicada por primera vez por Joseph Liouville en 1843).
• Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des équations algébriques [Estudio de sustituciones y ecuaciones algebraicas] (en francés), París: Gauthier-Villars.
• Kleiner, Israel (1986), "La evolución de la teoría de grupos: un breve estudio", Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi :10.2307/2690312, JSTOR  2690312, MR  0863090.
• Mentira, Sophus (1973), Gesammelte Abhandlungen. Banda 1 [Artículos recopilados. Volumen 1] (en alemán), Nueva York: Johnson Reprint Corp., MR  0392459.
• Mackey, George Whitelaw (1976), La teoría de las representaciones de grupos unitarios , University of Chicago Press , MR  0396826
• Smith, David Eugene (1906), Historia de las matemáticas modernas, Monografías matemáticas, n.º 1.
• Weyl, Hermann (1950) [1931], La teoría de grupos y la mecánica cuántica , traducido por Robertson, HP, Dover, ISBN 978-0-486-60269-1.
• Wussing, Hans (2007), La génesis del concepto de grupo abstracto: una contribución a la historia del origen de la teoría de grupos abstractos , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-45868-7.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Grupo", MathWorld