Una constante matemática es un número clave cuyo valor se fija mediante una definición inequívoca, a menudo denominada mediante un símbolo especial (p. ej., una letra del alfabeto ) o mediante nombres de matemáticos para facilitar su uso en múltiples problemas matemáticos . [1] Las constantes surgen en muchas áreas de las matemáticas , y constantes como e y π ocurren en contextos tan diversos como la geometría , la teoría de números , la estadística y el cálculo .
Algunas constantes surgen naturalmente por un principio fundamental o propiedad intrínseca, como la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo ( π ). Otras constantes son notables más por razones históricas que por sus propiedades matemáticas. Las constantes más populares se han estudiado a lo largo de los siglos y se han calculado con muchos decimales.
Todas las constantes matemáticas nombradas son números definibles y, por lo general, también son números computables ( siendo la constante de Chaitin una excepción significativa).
Éstas son constantes que probablemente se encontrarán durante la educación preuniversitaria en muchos países.
La constante π (pi) tiene una definición natural en la geometría euclidiana como la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Se puede encontrar en muchos otros lugares de las matemáticas: por ejemplo, la integral gaussiana , las raíces complejas de la unidad y las distribuciones de Cauchy en probabilidad . Sin embargo, su ubicuidad no se limita a las matemáticas puras. Aparece en muchas fórmulas de física, y varias constantes físicas se definen de forma más natural con π o su recíproco factorizado. Por ejemplo, la función de onda del estado fundamental del átomo de hidrógeno es
¿ Dónde está el radio de Bohr ?
π es un número irracional y un número trascendental .
El valor numérico de π es aproximadamente 3,1415926536 (secuencia A000796 en la OEIS ). Memorizar dígitos cada vez más precisos de π es alcanzar un récord mundial.
La unidad imaginaria o número imaginario unitario , denotado como i , es un concepto matemático que extiende el sistema de números reales al sistema de números complejos . La propiedad central de la unidad imaginaria es que i 2 = −1 . El término " imaginario " fue acuñado porque no existe ningún número ( real ) que tenga un cuadrado negativo .
De hecho, hay dos raíces cuadradas complejas de −1, a saber, i y −i , del mismo modo que hay dos raíces cuadradas complejas de cualquier otro número real (excepto cero , que tiene una raíz cuadrada doble).
En contextos donde el símbolo i es ambiguo o problemático, a veces se utiliza j o la iota griega ( ι ). Este es particularmente el caso en ingeniería eléctrica y en ingeniería de sistemas de control , donde la unidad imaginaria a menudo se denota por j , porque i se usa comúnmente para denotar corriente eléctrica .
El número de Euler e , también conocido como constante de crecimiento exponencial , aparece en muchas áreas de las matemáticas, y una posible definición del mismo es el valor de la siguiente expresión:
La constante e está intrínsecamente relacionada con la función exponencial .
El matemático suizo Jacob Bernoulli descubrió que e surge en el interés compuesto : si una cuenta comienza en $1 y produce intereses a una tasa anual R , entonces, cuando el número de períodos de capitalización por año tiende a infinito (una situación conocida como capitalización continua ), la La cantidad de dinero al final del año se aproximará a los R dólares.
La constante e también tiene aplicaciones a la teoría de la probabilidad , donde surge de una manera que no está obviamente relacionada con el crecimiento exponencial. Como ejemplo, supongamos que se juega n veces en una máquina tragamonedas con una probabilidad de ganar de uno entre n , entonces, para n grande (por ejemplo, un millón), la probabilidad de que no se gane nada tenderá a 1/ e cuando n tiende a infinidad.
Otra aplicación de e , descubierta en parte por Jacob Bernoulli junto con el matemático francés Pierre Raymond de Montmort , es el problema de los trastornos , también conocido como problema de verificación de sombrero . [2] Aquí, se invita a n invitados a una fiesta, y en la puerta cada invitado revisa su sombrero con el mayordomo, quien luego los coloca en cajas etiquetadas. El mayordomo no sabe el nombre de los invitados y, por tanto, debe colocarlos en cajas seleccionadas al azar. El problema de De Montmort es: ¿cuál es la probabilidad de que ninguno de los sombreros quede en la caja correcta? La respuesta es
que, cuando n tiende a infinito, se aproxima a 1/ e .
e es un número irracional .
El valor numérico de e es aproximadamente 2,7182818284 (secuencia A001113 en OEIS ).
La raíz cuadrada de 2 , frecuentemente conocida como raíz de 2 , radical 2 o constante de Pitágoras , y escrita como √ 2 , es el número algebraico positivo que, multiplicado por sí mismo, da el número 2 . Se le llama más precisamente raíz cuadrada principal de 2 , para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad.
Geométricamente, la raíz cuadrada de 2 es la longitud de una diagonal que atraviesa un cuadrado con lados de una unidad de longitud ; esto se desprende del teorema de Pitágoras . Probablemente fue el primer número que se supo que era irracional . Su valor numérico truncado a 65 decimales es:
Alternativamente, la aproximación rápida 99/70 (≈ 1,41429) para la raíz cuadrada de dos se usaba con frecuencia antes del uso común de calculadoras electrónicas y computadoras . A pesar de tener un denominador de sólo 70, difiere del valor correcto en menos de 1/10.000 (aprox. 7,2 × 10 −5 ).
El valor numérico de √ 3 es aproximadamente 1,7320508075 (secuencia A002194 en la OEIS ).
Éstas son constantes que se encuentran frecuentemente en matemáticas superiores .
Las iteraciones de mapas continuos sirven como los ejemplos más simples de modelos para sistemas dinámicos . [3] Nombradas en honor al físico matemático Mitchell Feigenbaum , las dos constantes de Feigenbaum aparecen en tales procesos iterativos: son invariantes matemáticas de mapas logísticos con puntos máximos cuadráticos [4] y sus diagramas de bifurcación . Específicamente, la constante α es la relación entre el ancho de una púa y el ancho de una de sus dos subpúas, y la constante δ es la relación límite de cada intervalo de bifurcación con respecto al siguiente entre cada bifurcación que duplica el período .
El mapa logístico es un mapeo polinomial , a menudo citado como un ejemplo arquetípico de cómo el comportamiento caótico puede surgir a partir de ecuaciones dinámicas no lineales muy simples . El mapa se popularizó en un artículo fundamental de 1976 del biólogo australiano Robert May , [5] en parte como un modelo demográfico de tiempo discreto análogo a la ecuación logística creada por primera vez por Pierre François Verhulst . La ecuación en diferencias pretende capturar los dos efectos de la reproducción y el hambre.
El valor numérico de α es aproximadamente 2,5029. El valor numérico de δ es aproximadamente 4,6692.
La constante de Apery es la suma de la serie .
A pesar de ser un valor especial de la función zeta de Riemann , la constante de Apéry surge de forma natural en una serie de problemas físicos, incluidos los términos de segundo y tercer orden de la relación giromagnética del electrón , calculados mediante electrodinámica cuántica . [6]
El número φ , también llamado proporción áurea , aparece con frecuencia en geometría , particularmente en figuras con simetría pentagonal . De hecho, la longitud de la diagonal de un pentágono regular es φ por su lado. Los vértices de un icosaedro regular son los de tres rectángulos áureos mutuamente ortogonales . También, aparece en la secuencia de Fibonacci , relacionada con el crecimiento por recursividad . [7] Kepler demostró que es el límite de la proporción de números de Fibonacci consecutivos. [8] La proporción áurea tiene la convergencia más lenta de cualquier número irracional. [9] Es, por esa razón, uno de los peores casos del teorema de aproximación de Lagrange y es un caso extremo de la desigualdad de Hurwitz para aproximaciones diofánticas . Esta puede ser la razón por la que los ángulos cercanos a la proporción áurea a menudo aparecen en la filotaxis (el crecimiento de las plantas). [10] Es aproximadamente igual a 1,6180339887498948482, o, más precisamente, 2⋅sin(54°) =
La constante de Euler-Mascheroni se define como el siguiente límite:
La constante de Euler-Mascheroni aparece en el tercer teorema de Mertens y tiene relaciones con la función gamma , la función zeta y muchas integrales y series diferentes .
Aún se desconoce si es racional o no.
El valor numérico de es aproximadamente 0,57721.
La constante de Conway es la tasa de crecimiento invariante de todas las cadenas derivadas similares a la secuencia de mirar y decir (excepto una trivial). [11]
Está dado por la única raíz real positiva de un polinomio de grado 71 con coeficientes enteros. [11]
El valor de λ es aproximadamente 1,30357.
Si un número real r se escribe como una fracción continua simple :
donde a k son números naturales para todo k , entonces, como demostró el matemático ruso Aleksandr Khinchin en 1934, el límite cuando n tiende al infinito de la media geométrica : ( a 1 a 2 ... a n ) 1/ n existe y es una constante, la constante de Khinchin , excepto para un conjunto de medida 0. [12]
El valor numérico de K es aproximadamente 2,6854520010.
La constante de Glaisher-Kinkelin se define como el límite :
Aparece en algunas expresiones de la derivada de la función zeta de Riemann . Tiene un valor numérico de aproximadamente 1,2824271291.
Algunas constantes, como la raíz cuadrada de 2 , la constante de Liouville y la constante de Champernowne :
No son invariantes matemáticos importantes pero conservan interés por ser simples representantes de conjuntos especiales de números, los números irracionales , [14] los números trascendentales [15] y los números normales (en base 10) [16] respectivamente. El descubrimiento de los números irracionales suele atribuirse al pitagórico Hipaso de Metaponto , quien demostró, probablemente geométricamente, la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2. En cuanto a la constante de Liouville, que lleva el nombre del matemático francés Joseph Liouville , fue el primer número en ser trascendental demostrado. [17]
En el subcampo de la informática de la teoría algorítmica de la información , la constante de Chaitin es el número real que representa la probabilidad de que una máquina de Turing elegida al azar se detenga, formada a partir de una construcción debida al matemático e informático argentino - estadounidense Gregory Chaitin . Se ha demostrado que la constante de Chaitin, aunque no es computable , es trascendental y normal . La constante de Chaitin no es universal y depende en gran medida de la codificación numérica utilizada en las máquinas de Turing; sin embargo, sus interesantes propiedades son independientes de la codificación.
Cuando no se especifican, las constantes indican clases de objetos similares, comúnmente funciones, todos iguales hasta una constante; técnicamente hablando, esto puede verse como "similitud hasta una constante". Estas constantes aparecen con frecuencia cuando se trata de integrales y ecuaciones diferenciales . Aunque no se especifican, tienen un valor específico, que a menudo no es importante.
Las integrales indefinidas se llaman indefinidas porque sus soluciones sólo son únicas hasta una constante. Por ejemplo, cuando se trabaja en el campo de los números reales.
donde C , la constante de integración , es un número real fijo arbitrario. [18] En otras palabras, cualquiera que sea el valor de C , diferenciar sen x + C con respecto a x siempre produce cos x .
De manera similar, aparecen constantes en las soluciones de ecuaciones diferenciales donde no se dan suficientes valores iniciales o condiciones de contorno . Por ejemplo, la ecuación diferencial ordinaria y ' = y ( x ) tiene solución Ce x donde C es una constante arbitraria.
Cuando se trata de ecuaciones diferenciales parciales , las constantes pueden ser funciones constantes con respecto a algunas variables (pero no necesariamente a todas). Por ejemplo, el PDE
tiene soluciones f ( x , y ) = C ( y ), donde C ( y ) es una función arbitraria en la variable y .
Es común expresar el valor numérico de una constante dando su representación decimal (o solo los primeros dígitos de la misma). Por dos razones esta representación puede causar problemas. En primer lugar, aunque todos los números racionales tienen una expansión decimal finita o que se repite constantemente, los números irracionales no tienen esa expresión, lo que los hace imposibles de describir completamente de esta manera. Además, la expansión decimal de un número no es necesariamente única. Por ejemplo, las dos representaciones 0,999... y 1 son equivalentes [19] [20] en el sentido de que representan el mismo número.
Calcular dígitos de la expansión decimal de constantes ha sido una tarea común durante muchos siglos. Por ejemplo, el matemático alemán Ludolph van Ceulen del siglo XVI pasó la mayor parte de su vida calculando los primeros 35 dígitos de pi. [21] Utilizando computadoras y supercomputadoras , algunas de las constantes matemáticas, incluidas π, e y la raíz cuadrada de 2, se han calculado con más de cien mil millones de dígitos. Se han desarrollado algoritmos rápidos , algunos de los cuales (como ocurre con la constante de Apéry ) son inesperadamente rápidos.
Algunas constantes difieren tanto de las habituales que se ha inventado una nueva notación para representarlas razonablemente. El número de Graham ilustra esto ya que se utiliza la notación de flecha hacia arriba de Knuth . [22] [23]
Puede resultar interesante representarlos mediante fracciones continuas para realizar diversos estudios, incluido el análisis estadístico. Muchas constantes matemáticas tienen una forma analítica , es decir, pueden construirse mediante operaciones bien conocidas que se prestan fácilmente al cálculo. Sin embargo, no todas las constantes tienen formas analíticas conocidas; La constante de Grossman [24] y la constante de Foias [25] son ejemplos.
Simbolizar constantes con letras es una forma frecuente de hacer la notación más concisa. Una convención común , instigada por René Descartes en el siglo XVII y Leonhard Euler en el siglo XVIII, es utilizar letras minúsculas del principio del alfabeto latino o del alfabeto griego cuando se trata de constantes en general.
Sin embargo, para constantes más importantes, los símbolos pueden ser más complejos y tener una letra extra, un asterisco , un número, una lemniscata o utilizar diferentes alfabetos como el hebreo , el cirílico o el gótico . [23]
A veces, el símbolo que representa una constante es una palabra completa. Por ejemplo, el sobrino de 9 años del matemático estadounidense Edward Kasner acuñó los nombres googol y googolplex . [23] [26]
Otros nombres están relacionados con el significado de la constante ( constante parabólica universal , constante prima gemela ,...) o con una persona específica ( constante de Sierpiński , constante de Josephson , etc.).
Abreviaturas utilizadas:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k} }\right)-\ln n\right)\\[5px]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d88eb872b328b49bf0e02f930ab8e9298e8b79a)
