De manera informal, un número real definible es un número real que puede especificarse de forma única mediante su descripción. La descripción puede expresarse como una construcción o como una fórmula de un lenguaje formal . Por ejemplo, la raíz cuadrada positiva de 2, , se puede definir como la única solución positiva de la ecuación y se puede construir con un compás y una regla.
Diferentes elecciones de un lenguaje formal o su interpretación dan lugar a diferentes nociones de definibilidad. Las variedades específicas de números definibles incluyen los números construibles de geometría, los números algebraicos y los números computables . Debido a que los lenguajes formales sólo pueden tener un número contable de fórmulas, cada noción de números definibles tiene como máximo un número contable de números reales definibles. Sin embargo, según el argumento diagonal de Cantor , hay incontables números reales, por lo que casi todos los números reales son indefinibles.
Una forma de especificar un número real utiliza técnicas geométricas. Un número real es un número construible si existe un método para construir un segmento de línea de longitud usando un compás y una regla, comenzando con un segmento de línea fijo de longitud 1.
Cada número entero positivo y cada número racional positivo son construibles. La raíz cuadrada positiva de 2 es construible. Sin embargo, la raíz cúbica de 2 no se puede construir; esto está relacionado con la imposibilidad de duplicar el cubo .
Un número real se llama número algebraico real si hay un polinomio , con solo coeficientes enteros, por lo que es raíz de , es decir ,. Cada número algebraico real se puede definir individualmente utilizando la relación de orden de los reales. Por ejemplo, si un polinomio tiene 5 raíces reales, la tercera se puede definir como la única tal que y tal que hay dos números distintos menores que en el cual es cero.
Todos los números racionales son construibles y todos los números construibles son algebraicos. Hay números como la raíz cúbica de 2 que son algebraicos pero no construibles.
Los números algebraicos reales forman un subcampo de los números reales. Esto significa que 0 y 1 son números algebraicos y, además, si y son números algebraicos, también lo son , y , si no es cero ,.
Los números algebraicos reales también tienen la propiedad, que va más allá de ser un subcampo de los reales, de que para cada entero positivo y cada número algebraico real , todas las raíces enésimas de los números reales también son algebraicas.
Sólo hay un número contable de números algebraicos, pero hay un número incontable de números reales, por lo que, en el sentido de cardinalidad , la mayoría de los números reales no son algebraicos. Esta prueba no constructiva de que no todos los números reales son algebraicos fue publicada por primera vez por Georg Cantor en su artículo de 1874 " Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales ".
Los números no algebraicos se llaman números trascendentales . Los números trascendentales más conocidos son π y e .
Un número real es un número computable si existe un algoritmo que, dado un número natural , produce una expansión decimal del número con precisión de decimales. Esta noción fue introducida por Alan Turing en 1936. [1]
Los números computables incluyen los números algebraicos junto con muchos números trascendentales, incluidos y . Al igual que los números algebraicos, los números computables también forman un subcampo de los números reales, y los números computables positivos son cerrados tomando raíces para cada número positivo .
No todos los números reales son computables. Ejemplos específicos de números reales no computables incluyen los límites de las secuencias de Specker y números reales algorítmicamente aleatorios como los números Ω de Chaitin .
Otra noción de definibilidad proviene de las teorías formales de la aritmética, como la aritmética de Peano . El lenguaje de la aritmética tiene símbolos para 0, 1, la operación sucesora, la suma y la multiplicación, destinados a ser interpretados de la forma habitual sobre los números naturales . Debido a que ninguna variable de este lenguaje abarca los números reales , se necesita un tipo diferente de definibilidad para referirse a los números reales. Un número real es definible en el lenguaje de la aritmética (o aritmética ) si su corte de Dedekind puede definirse como un predicado en ese lenguaje; es decir, si existe una fórmula de primer orden en el lenguaje de la aritmética, con tres variables libres, tal que
El lenguaje de segundo orden de la aritmética es el mismo que el lenguaje de primer orden, excepto que a las variables y cuantificadores se les permite abarcar conjuntos de naturales. Un real que es definible de segundo orden en el lenguaje de la aritmética se llama analítico .
Todo número real computable es aritmético, y los números aritméticos forman un subcampo de los reales, al igual que los números analíticos. Todo número aritmético es analítico, pero no todo número analítico es aritmético. Debido a que sólo hay un número contable de números analíticos, la mayoría de los números reales no son analíticos y, por tanto, tampoco aritméticos.
Todo número computable es aritmético, pero no todo número aritmético es computable. Por ejemplo, el límite de una secuencia de Specker es un número aritmético que no es computable.
Las definiciones de reales aritméticos y analíticos se pueden estratificar en jerarquía aritmética y jerarquía analítica . En general, un real es computable si y sólo si su corte de Dedekind está en el nivel de la jerarquía aritmética, uno de los niveles más bajos. De manera similar, los reales con cortes aritméticos de Dedekind forman el nivel más bajo de la jerarquía analítica.
Un número real es definible de primer orden en el lenguaje de la teoría de conjuntos, sin parámetros , si hay una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos , con una variable libre , tal que sea el único número real que se cumple. [2] Esta noción no puede expresarse como una fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos.
Todos los números analíticos, y en particular todos los números computables, se pueden definir en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Así, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos incluyen todos los números reales familiares como , 1 , , etcétera, junto con todos los números algebraicos. Suponiendo que forman un conjunto en el modelo, los números reales definibles en el lenguaje de la teoría de conjuntos sobre un modelo particular de ZFC forman un campo.
Cada modelo de conjunto de la teoría de conjuntos ZFC que contiene una cantidad incontable de números reales debe contener números reales que no se pueden definir dentro (sin parámetros). Esto se desprende del hecho de que sólo hay un número contable de fórmulas, por lo que sólo se pueden definir un número contable de elementos de . Por lo tanto, si tiene incontables números reales, se puede demostrar desde "afuera" que no todos los números reales de son definibles .
Este argumento se vuelve más problemático si se aplica a modelos de clases de ZFC, como el universo von Neumann . La afirmación "el número real se puede definir a través del modelo de clase " no se puede expresar como una fórmula de ZFC. [3] [4] De manera similar, la cuestión de si el universo von Neumann contiene números reales que no puede definir no puede expresarse como una oración en el lenguaje de ZFC. Además, existen modelos contables de ZFC en los que se pueden definir todos los números reales, todos los conjuntos de números reales, funciones sobre los reales, etc. [3] [4]
