El primer artículo de Cantor sobre la teoría de conjuntos.

Primer artículo sobre la teoría de conjuntos transfinitos.

Georg Cantor, c. 1870    

El primer artículo de Cantor sobre teoría de conjuntos contiene los primeros teoremas de la teoría de conjuntos transfinitos de Georg Cantor , que estudia los conjuntos infinitos y sus propiedades. Uno de estos teoremas es su "descubrimiento revolucionario" de que el conjunto de todos los números reales es infinito incontable , en lugar de contable . ^[1] Este teorema se demuestra utilizando la primera prueba de incontabilidad de Cantor , que difiere de la prueba más familiar que utiliza su argumento diagonal . El título del artículo, " Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales " ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen"), hace referencia a su primer teorema: el conjunto de los números algebraicos reales es contable. El artículo de Cantor se publicó en 1874. En 1879, modificó su prueba de incontabilidad utilizando la noción topológica de que un conjunto es denso en un intervalo.

El artículo de Cantor también contiene una prueba de la existencia de números trascendentales . Tanto las pruebas constructivas como las no constructivas se han presentado como "prueba de Cantor". La popularidad de presentar una prueba no constructiva ha llevado a la idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos. Dado que la prueba que publicó Cantor construye números trascendentales o no, un análisis de su artículo puede determinar si esta prueba es constructiva o no. ^[2] La correspondencia de Cantor con Richard Dedekind muestra el desarrollo de sus ideas y revela que podía elegir entre dos pruebas: una prueba no constructiva que utiliza la incontable de los números reales y una prueba constructiva que no utiliza la incontable.

Los historiadores de las matemáticas han examinado el artículo de Cantor y las circunstancias en las que fue escrito. Por ejemplo, descubrieron que a Cantor se le recomendó que omitiera su teorema de incontabilidad en el artículo que presentó; lo añadió durante la revisión . Este y otros hechos sobre el artículo se atribuyen a la influencia de Karl Weierstrass y Leopold Kronecker . Los historiadores también han estudiado las contribuciones de Dedekind al artículo, incluidas sus contribuciones al teorema sobre la contabilidad de los números algebraicos reales. Además, han reconocido el papel desempeñado por el teorema de incontable y el concepto de contabilidad en el desarrollo de la teoría de conjuntos, la teoría de la medida y la integral de Lebesgue .

El artículo

El artículo de Cantor es breve, menos de cuatro páginas y media. ^[A] Comienza con una discusión de los números algebraicos reales y una declaración de su primer teorema: El conjunto de números algebraicos reales se puede poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de números enteros positivos. ^[3] Cantor reafirma este teorema en términos más familiares para los matemáticos de su tiempo: El conjunto de números algebraicos reales puede escribirse como una secuencia infinita en la que cada número aparece sólo una vez. ^[4]

El segundo teorema de Cantor trabaja con un intervalo cerrado [ a ,  b ], que es el conjunto de números reales ≥  a y ≤  b . El teorema dice: Dada cualquier secuencia de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. Por tanto, hay infinitos números de este tipo. ^[5]

Cantor observa que la combinación de sus dos teoremas produce una nueva prueba del teorema de Liouville de que cada intervalo [ a ,  b ] contiene infinitos números trascendentales . ^[5]

Cantor luego comenta que su segundo teorema es:

la razón por la cual las colecciones de números reales que forman un llamado continuo (como, por ejemplo, todos los números reales que son ≥ 0 y ≤ 1) no pueden corresponder uno a uno con la colección (ν) [la colección de todos los números enteros positivos]; así he encontrado la clara diferencia entre el llamado continuo y una colección como la totalidad de los números algebraicos reales. ^[6]

Esta observación contiene el teorema de incontabilidad de Cantor, que sólo establece que un intervalo [ a ,  b ] no puede ponerse en correspondencia uno a uno con el conjunto de números enteros positivos. No afirma que este intervalo sea un conjunto infinito de cardinalidad mayor que el conjunto de números enteros positivos. La cardinalidad se define en el siguiente artículo de Cantor, que se publicó en 1878. ^[7]

Cantor sólo establece su teorema de incontable. No lo utiliza en ninguna prueba. ^[3]

las pruebas

primer teorema

Números algebraicos en el plano complejo coloreados por grado polinomial. (rojo = 1, verde = 2, azul = 3, amarillo = 4). Los puntos se vuelven más pequeños a medida que los coeficientes polinomiales enteros se hacen más grandes.

Para demostrar que el conjunto de números algebraicos reales es contable, defina la altura de un polinomio de grado n con coeficientes enteros como: n  − 1 + | un ₀ | + | un ₁ | + ... + | a _n |, donde a ₀ , a ₁ , ..., a _n son los coeficientes del polinomio. Ordena los polinomios por su altura y ordena las raíces reales de polinomios de la misma altura por orden numérico. Dado que sólo hay un número finito de raíces de polinomios de una altura determinada, estos ordenamientos ponen los números algebraicos reales en una secuencia. Cantor fue un paso más allá y produjo una secuencia en la que cada número algebraico real aparece sólo una vez. Lo hizo utilizando únicamente polinomios que son irreducibles entre los números enteros. La siguiente tabla contiene el comienzo de la enumeración de Cantor. ^[9]

Segundo teorema

Sólo es necesario demostrar la primera parte del segundo teorema de Cantor. Dice: Dada cualquier secuencia de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. ^[B]

Para encontrar un número en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada, construye dos secuencias de números reales de la siguiente manera: Encuentra los primeros dos números de la secuencia dada que están en el intervalo abierto ( a ,  b ). Denota el menor de estos dos números por a ₁ y el mayor por b ₁ . De manera similar, encuentre los dos primeros números de la secuencia dada que están en ( a ₁ ,  b ₁ ). Denota el más pequeño por a ₂ y el más grande por b ₂ . Continuar con este procedimiento genera una secuencia de intervalos ( a ₁ ,  b ₁ ), ( a ₂ ,  b ₂ ), ( a ₃ ,  b ₃ ), ... tal que cada intervalo de la secuencia contiene todos los intervalos sucesivos  ,  es decir, Genera una secuencia de intervalos anidados . Esto implica que la secuencia a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... es creciente y la secuencia b ₁ , b ₂ , b ₃ , ... es decreciente. ^[10]

O el número de intervalos generados es finito o infinito. Si es finito, sea ( a _L ,  b _L ) el último intervalo. Si es infinito, tome los límites a _∞  = lim _{n  → ∞}  a _n y b _∞  = lim _{n  → ∞}  b _n . Dado que a _n  <  b _n para todo n , ya sea a _∞  =  b _∞ o a _∞  <  b _∞ . Así, hay tres casos a considerar:

Caso 1: último intervalo ( a _L , b _L )

Caso 1: Hay un último intervalo ( a _L ,  b _L ). Dado que como máximo un x _n puede estar en este intervalo, cada y en este intervalo excepto x _n (si existe) no está en la secuencia dada.

Caso 2: a _∞ = b _∞

Caso 2: a _∞  =  b _∞ . Entonces a _∞ no está en la secuencia ya que para todo n  : a _∞ está en el intervalo ( a _n ,  b _n ) pero x _n no pertenece a ( a _n ,  b _n ). En símbolos: a _∞  ∈  ( a _n ,  b _n ) pero x _n  ∉  ( a _n ,  b _n ).

Caso 3: a _∞ < b _∞

Caso 3: a _∞  <  b _∞ . Entonces cada y en [ a _∞ ,  b _∞ ] no está contenido en la secuencia dada ya que para todo n  : y pertenece a ( a _n ,  b _n ) pero x _n no. ^[11]

La demostración está completa ya que, en todos los casos, se ha encontrado al menos un número real en [ a ,  b ] que no está contenido en la secuencia dada. ^[D]

Las pruebas de Cantor son constructivas y se han utilizado para escribir un programa informático que genera los dígitos de un número trascendental. Este programa aplica la construcción de Cantor a una secuencia que contiene todos los números algebraicos reales entre 0 y 1. El artículo que analiza este programa proporciona algunos de sus resultados, que muestran cómo la construcción genera un trascendental. ^[12]

Ejemplo de la construcción de Cantor

Un ejemplo ilustra cómo funciona la construcción de Cantor. Considere la secuencia:1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,3/5,4/5,... Esta secuencia se obtiene ordenando los números racionales en (0, 1) aumentando denominadores, ordenando los que tienen el mismo denominador aumentando numeradores y omitiendo fracciones reducibles . La siguiente tabla muestra los primeros cinco pasos de la construcción. La primera columna de la tabla contiene los intervalos ( a _n ,  b _n ). La segunda columna enumera los términos visitados durante la búsqueda de los dos primeros términos en ( a _n ,  b _n ). Estos dos términos están en rojo. ^[13]

Dado que la secuencia contiene todos los números racionales en (0, 1), la construcción genera un número irracional , que resulta ser √ 2  − 1. ^[14]

Prueba de incontabilidad de Cantor de 1879

En todas partes denso

En 1879, Cantor publicó una nueva prueba de incontable que modifica su prueba de 1874. Primero define la noción topológica de un conjunto de puntos P que es " denso en todas partes en un intervalo": ^[E]

Si P se encuentra parcial o completamente en el intervalo [α, β], entonces puede ocurrir el caso notable de que cada intervalo [γ, δ] contenido en [α, β], por pequeño que sea, contenga puntos de P. En tal caso, diremos que P es denso en todas partes del intervalo [α, β]. ^[F]

En esta discusión sobre la prueba de Cantor: se utilizan a ,  b ,  c ,  d en lugar de α, β, γ, δ. Además, Cantor sólo utiliza su notación de intervalo si el primer punto final es menor que el segundo. Para esta discusión, esto significa que ( a ,  b ) implica a  <  b .

Dado que la discusión de la prueba de Cantor de 1874 se simplificó mediante el uso de intervalos abiertos en lugar de intervalos cerrados, aquí se utiliza la misma simplificación. Esto requiere una definición equivalente de denso en todas partes: un conjunto P es denso en todas partes en el intervalo [ a ,  b ] si y sólo si cada subintervalo abierto ( c ,  d ) de [ a ,  b ] contiene al menos un punto de P. ^[18]

Cantor no especificó cuántos puntos de P debe contener un subintervalo abierto ( c ,  d ). No necesitaba especificar esto porque la suposición de que cada subintervalo abierto contiene al menos un punto de P implica que cada subintervalo abierto contiene una cantidad infinita de puntos de P. ^[GRAMO]

La prueba de Cantor de 1879

Cantor modificó su prueba de 1874 con una nueva prueba de su segundo teorema: Dada cualquier secuencia P de números reales x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... y cualquier intervalo [ a ,  b ], hay un número en [ a ,  b ] que no está contenido en P . La nueva prueba de Cantor tiene sólo dos casos. Primero, maneja el caso de que P no sea denso en el intervalo, luego trata el caso más difícil de que P sea denso en el intervalo. Esta división en casos no sólo indica qué secuencias son más difíciles de manejar, sino que también revela el importante papel que juega la densidad en la prueba. ^{[prueba 1]}

En el primer caso, P no es denso en [ a ,  b ]. Por definición, P es denso en [ a ,  b ] si y sólo si para todos los subintervalos ( c ,  d ) de [ a ,  b ], existe un x  ∈  P tal que x ∈ ( c , d ) . Tomando la negación de cada lado del "si y sólo si" se produce: P no es denso en [ a ,  b ] si y sólo si existe un subintervalo ( c ,  d ) de [ a ,  b ] tal que para todo x  ∈  P  : x ∉ ( c , re ) . Por lo tanto, cada número en ( c ,  d ) no está contenido en la secuencia P. ^{[Prueba 1]} Este caso trata el caso 1 y el caso 3 de la prueba de Cantor de 1874.

En el segundo caso, que aborda el caso 2 de la prueba de Cantor de 1874, P es denso en [ a ,  b ]. La densidad de la secuencia P se utiliza para definir recursivamente una secuencia de intervalos anidados que excluye todos los números en P y cuya intersección contiene un único número real en [ a ,  b ]. La secuencia de intervalos comienza con ( a ,  b ). Dado un intervalo en la secuencia, el siguiente intervalo se obtiene encontrando los dos números con menores índices que pertenecen a P y al intervalo actual. Estos dos números son los puntos finales del siguiente intervalo abierto. Dado que un intervalo abierto excluye sus puntos finales, cada intervalo anidado elimina dos números del frente de la secuencia P , lo que implica que la intersección de los intervalos anidados excluye todos los números en P. ^{[prueba 1]} Los detalles de esta prueba y una prueba de que esta intersección contiene un único número real en [ a ,  b ] se dan a continuación.

El desarrollo de las ideas de Cantor.

El desarrollo que condujo al artículo de Cantor de 1874 aparece en la correspondencia entre Cantor y Richard Dedekind . El 29 de noviembre de 1873, Cantor preguntó a Dedekind si el conjunto de números enteros positivos y el conjunto de números reales positivos "pueden corresponderse de modo que cada individuo de un conjunto corresponda a uno y sólo un individuo del otro". Cantor agregó que las colecciones que tienen tal correspondencia incluyen la colección de números racionales positivos y colecciones de la forma ( an _{1 , n 2 , . . . ,  n ν} ) donde n ₁ , _{n  2} , . . . , n _ν y ν son números enteros positivos. ^[19]

Dedekind respondió que no podía responder a la pregunta de Cantor y dijo que "no merecía demasiado esfuerzo porque no tiene ningún interés práctico particular". Dedekind también envió a Cantor una prueba de que el conjunto de números algebraicos es contable. ^[20]

El 2 de diciembre, Cantor respondió que su pregunta tiene interés: "Sería bueno si se pudiera responder; por ejemplo, si se pudiera responder que no , se tendría una nueva prueba del teorema de Liouville de que existen números trascendentales. " ^[21]

El 7 de diciembre, Cantor envió a Dedekind una prueba por contradicción de que el conjunto de los números reales es incontable. Cantor comienza suponiendo que los números reales se pueden escribir como una secuencia. Luego, aplica una construcción a esta secuencia para producir un número que no está en la secuencia, contradiciendo así su suposición. ^[22] Juntas, las cartas del 2 y 7 de diciembre proporcionan una prueba no constructiva de la existencia de números trascendentales. ^[23] Además, la prueba contenida en la carta de Cantor del 7 de diciembre muestra algunos de los razonamientos que llevaron a su descubrimiento de que los números reales forman un conjunto incontable. ^[24] ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Dedekind recibió la prueba de Cantor el 8 de diciembre. Ese mismo día, Dedekind simplificó la prueba y la envió por correo a Cantor. Cantor utilizó la prueba de Dedekind en su artículo. ^[25] La carta que contiene la prueba de Cantor del 7 de diciembre no se publicó hasta 1937. ^[26]

El 9 de diciembre, Cantor anunció el teorema que le permitió construir números trascendentales así como demostrar la incontabilidad del conjunto de los números reales:

Muestro directamente que si comienzo con una secuencia

(1)     ω ₁ , ω ₂ , ... , ω _n , ...

Puedo determinar, en cada intervalo dado [ α ,  β ], un número η que no está incluido en (1). ^[27]

Este es el segundo teorema del artículo de Cantor. Proviene de darse cuenta de que su construcción se puede aplicar a cualquier secuencia, no sólo a secuencias que supuestamente enumeran los números reales. Entonces Cantor tuvo que elegir entre dos pruebas que demuestran la existencia de números trascendentales: una prueba es constructiva, pero la otra no. Estas dos demostraciones se pueden comparar comenzando con una secuencia que consta de todos los números algebraicos reales.

La prueba constructiva aplica la construcción de Cantor a esta secuencia y al intervalo [ a ,  b ] para producir un número trascendental en este intervalo. ^[5]

La prueba no constructiva utiliza dos pruebas por contradicción:

1. La prueba por contradicción utilizada para demostrar el teorema de incontabilidad (ver Prueba del teorema de incontabilidad de Cantor).
2. La prueba por contradicción solía demostrar la existencia de números trascendentales a partir de la contabilidad de los números algebraicos reales y la incontabilidad de los números reales. La carta de Cantor del 2 de diciembre menciona esta prueba de existencia pero no la contiene. Aquí hay una prueba: supongamos que no hay números trascendentales en [ a ,  b ]. Entonces todos los números en [ a ,  b ] son ​​algebraicos. Esto implica que forman una subsecuencia de la secuencia de todos los números algebraicos reales, lo que contradice el teorema de incontabilidad de Cantor. Por tanto, la suposición de que no hay números trascendentales en [ a ,  b ] es falsa. Por tanto, hay un número trascendental en [ a ,  b ]. ^[H]

Cantor optó por publicar la prueba constructiva, que no sólo produce un número trascendental sino que también es más corta y evita dos pruebas por contradicción. La prueba no constructiva de la correspondencia de Cantor es más simple que la anterior porque funciona con todos los números reales en lugar del intervalo [ a ,  b ]. Esto elimina el paso de subsecuencia y todas las apariciones de [ a ,  b ] en la segunda prueba por contradicción. ^[5]

Una idea errónea sobre la obra de Cantor

Akihiro Kanamori , que se especializa en teoría de conjuntos, afirmó que "los relatos del trabajo de Cantor han invertido en su mayoría el orden para deducir la existencia de números trascendentales, estableciendo primero la incontabilidad de los reales y sólo luego sacando la conclusión de existencia a partir de la contabilidad de los números algebraicos". En los libros de texto la inversión puede ser inevitable, pero esto ha fomentado la idea errónea de que los argumentos de Cantor no son constructivos. ^[29]

Tanto la prueba publicada de Cantor como la prueba de orden inverso utilizan el teorema: Dada una secuencia de reales, se puede encontrar un real que no esté en la secuencia. Al aplicar este teorema a la secuencia de números algebraicos reales, Cantor produjo un número trascendental. Luego demostró que los reales son incontables: supongamos que hay una secuencia que contiene todos los reales. La aplicación del teorema a esta secuencia produce un real que no está en la secuencia, contradiciendo la suposición de que la secuencia contiene todos los reales. Por tanto, los reales son incontables. ^[5] La demostración en orden inverso comienza demostrando primero que los reales son incontables. Luego prueba que existen los números trascendentales: si no hubiera números trascendentales, todos los reales serían algebraicos y, por tanto, contables, lo que contradice lo que se acaba de demostrar. Esta contradicción prueba que los números trascendentales existen sin construir ninguno. ^[29]

Oskar Perron,     c. 1948

La correspondencia que contenía el razonamiento no constructivo de Cantor se publicó en 1937. Para entonces, otros matemáticos habían redescubierto su demostración no constructiva de orden inverso. Ya en 1921, esta prueba fue llamada "prueba de Cantor" y criticada por no producir números trascendentales. ^[30] En ese año, Oskar Perron dio la prueba en orden inverso y luego afirmó: "... la prueba de Cantor para la existencia de números trascendentales tiene, junto con su sencillez y elegancia, el gran inconveniente de que es sólo una prueba de existencia ; no nos permite especificar ni siquiera un solo número trascendental." ^{[31] [yo]}

Abraham Fraenkel, entre 1939 y 1949

Ya en 1930, algunos matemáticos intentaron corregir esta idea errónea del trabajo de Cantor. En ese año, el teórico de conjuntos Abraham Fraenkel afirmó que el método de Cantor es "... un método que dicho sea de paso, contrariamente a una interpretación generalizada, es fundamentalmente constructivo y no meramente existencial". ^[32] En 1972, Irving Kaplansky escribió: "A menudo se dice que la prueba de Cantor no es 'constructiva' y, por lo tanto, no produce un número trascendental tangible. Esta observación no está justificada. Si establecemos una lista definitiva de todos los números algebraicos números... y luego aplicamos el procedimiento diagonal ..., obtenemos un número trascendental perfectamente definido (podría calcularse con cualquier número de decimales)". ^{[33] [J]} La prueba de Cantor no sólo es constructiva, sino que también es más simple que la prueba de Perron, que requiere el rodeo de demostrar primero que el conjunto de todos los reales es incontable. ^[34]

El argumento diagonal de Cantor ha reemplazado a menudo su construcción de 1874 en las exposiciones de su prueba. El argumento diagonal es constructivo y produce un programa de computadora más eficiente que su construcción de 1874. Usándolo, se ha escrito un programa de computadora que calcula los dígitos de un número trascendental en tiempo polinómico . El programa que utiliza la construcción de Cantor de 1874 requiere al menos un tiempo subexponencial . ^{[35] [K]}

La presentación de la prueba no constructiva sin mencionar la prueba constructiva de Cantor aparece en algunos libros que tuvieron bastante éxito si se mide por el tiempo de aparición de nuevas ediciones o reimpresiones, por ejemplo: Irrationalzahlen de Oskar Perron (1921; 1960, cuarta edición), Eric Hombres de matemáticas de Temple Bell (1937; aún en reimpresión), Una introducción a la teoría de números de Godfrey Hardy y EM Wright (1938; 2008 sexta edición), A Survey of Modern Algebra de Garrett Birkhoff y Saunders Mac Lane (1941; 1997 quinta edición ) ), y Cálculo de Michael Spivak (1967; 2008, cuarta edición). ^{[36] [L]} Desde 2014, han aparecido al menos dos libros afirmando que la prueba de Cantor es constructiva, ^[37] y al menos cuatro han aparecido afirmando que su prueba no construye ningún (o uno solo) trascendental. ^[38]

Afirmar que Cantor dio un argumento no constructivo sin mencionar la prueba constructiva que publicó puede llevar a afirmaciones erróneas sobre la historia de las matemáticas . En A Survey of Modern Algebra, Birkhoff y Mac Lane afirman: "El argumento de Cantor a favor de este resultado [No todo número real es algebraico] fue rechazado al principio por muchos matemáticos, ya que no exhibía ningún número trascendental específico". ^[39] La prueba que Cantor publicó produce cifras trascendentales, y no parece haber evidencia de que su argumento haya sido rechazado. Incluso Leopold Kronecker , que tenía opiniones estrictas sobre lo que es aceptable en matemáticas y que podría haber retrasado la publicación del artículo de Cantor, no lo retrasó. ^[4] De hecho, aplicar la construcción de Cantor a la secuencia de números algebraicos reales produce un proceso limitante que Kronecker aceptó: es decir, determina un número con cualquier grado de precisión requerido. ^[METRO]

La influencia de Weierstrass y Kronecker en el artículo de Cantor

Karl Weierstrass

Leopoldo Kronecker, 1865

Los historiadores de las matemáticas han descubierto los siguientes hechos sobre el artículo de Cantor "Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales":

• El teorema de incontabilidad de Cantor quedó fuera del artículo que presentó. Lo añadió durante la revisión . ^[43]
• El título del artículo hace referencia al conjunto de los números algebraicos reales. El tema principal de la correspondencia de Cantor fue el conjunto de los números reales. ^[44]
• La demostración del segundo teorema de Cantor provino de Dedekind. Sin embargo, omite la explicación de Dedekind de por qué existen los límites a _∞ y b _{∞ .} ^[45]
• Cantor restringió su primer teorema al conjunto de los números algebraicos reales. La prueba que estaba usando demuestra la contabilidad del conjunto de todos los números algebraicos. ^[20]

Para explicar estos hechos, los historiadores han señalado la influencia de los antiguos profesores de Cantor, Karl Weierstrass y Leopold Kronecker. Cantor discutió sus resultados con Weierstrass el 23 de diciembre de 1873. ^[46] Weierstrass primero quedó asombrado por el concepto de contabilidad, pero luego encontró útil la contabilidad del conjunto de números algebraicos reales. ^[47] Cantor no quería publicar todavía, pero Weierstrass consideró que debía publicar al menos sus resultados relativos a los números algebraicos. ^[46]

De su correspondencia se desprende que Cantor sólo habló de su artículo con Weierstrass. Sin embargo, Cantor dijo a Dedekind: "La restricción que he impuesto a la versión publicada de mis investigaciones se debe en parte a circunstancias locales..." ^[46] El biógrafo de Cantor, Joseph Dauben, cree que "circunstancias locales" se refiere a Kronecker quien, como miembro del consejo editorial del Crelle's Journal , había retrasado la publicación de un artículo de 1870 de Eduard Heine , uno de los colegas de Cantor. Cantor enviaría su artículo al Crelle's Journal . ^[48]

Weierstrass aconsejó a Cantor que dejara su teorema de incontable fuera del artículo que presentó, pero Weierstrass también le dijo a Cantor que podía agregarlo como una nota marginal durante la revisión, lo cual hizo. ^[43] Aparece en un comentario al final de la introducción del artículo. En este punto también influyeron las opiniones de Kronecker y Weierstrass. Kronecker no aceptó conjuntos infinitos, y parece que Weierstrass no aceptó que dos conjuntos infinitos pudieran ser tan diferentes, siendo uno contable y el otro no. ^[49] Weierstrass cambió de opinión más tarde. ^[50] Sin el teorema de incontabilidad, el artículo necesitaba un título que no hiciera referencia a este teorema. Cantor eligió "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre una propiedad de la colección de todos los números algebraicos reales"), que se refiere a la contabilidad del conjunto de números algebraicos reales, resultado que Weierstrass encontró útil. ^[51]

La influencia de Kronecker aparece en la demostración del segundo teorema de Cantor. Cantor usó la versión de la prueba de Dedekind, excepto que omitió por qué existen los límites a _∞  = lim _{n  → ∞}  a _n y b _∞  = lim _{n  → ∞}  b _n . Dedekind había utilizado su "principio de continuidad" para demostrar que existen. Este principio (que es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo de los números reales) proviene de la construcción de los números reales de Dedekind, una construcción que Kronecker no aceptó. ^[52]

Cantor restringió su primer teorema al conjunto de números algebraicos reales a pesar de que Dedekind le había enviado una demostración que manejaba todos los números algebraicos. ^[20] Cantor hizo esto por razones expositivas y debido a "circunstancias locales". ^[53] Esta restricción simplifica el artículo porque el segundo teorema funciona con secuencias reales. Por tanto, la construcción del segundo teorema se puede aplicar directamente a la enumeración de los números algebraicos reales para producir "un procedimiento eficaz para el cálculo de números trascendentales". Este procedimiento sería aceptable para Weierstrass. ^[54]

Contribuciones de Dedekind al artículo de Cantor

Richard Dedekind,     c. 1870

Desde 1856, Dedekind había desarrollado teorías que involucraban infinitos conjuntos infinitos, por ejemplo: ideales , que usó en la teoría algebraica de números , y cortes de Dedekind , que usó para construir los números reales. Este trabajo le permitió comprender y contribuir al trabajo de Cantor. ^[55]

La primera contribución de Dedekind se refiere al teorema de que el conjunto de números algebraicos reales es contable. A Cantor se le suele dar crédito por este teorema, pero el historiador matemático José Ferreirós lo llama "teorema de Dedekind". Su correspondencia revela lo que cada matemático aportó al teorema. ^[56]

En su carta introduciendo el concepto de contabilidad, Cantor afirmó sin pruebas que el conjunto de números racionales positivos es contable, al igual que los conjuntos de la forma ( _{an 1 ,}  n _{2 , ... , n  ν )} donde n ₁ ,  n ₂ , ...,  n _ν y ν son números enteros positivos. ^[57] El segundo resultado de Cantor utiliza una familia indexada de números: un conjunto de la forma ( _{an 1 ,}  n _{2 , ... , n  ν )} es el rango de una función desde los índices ν hasta el conjunto de números reales. Su segundo resultado implica el primero: sea ν  = 2 y a _{n 1 ,  n 2}  = n ₁/norte ₂. La función puede ser bastante general; por ejemplo , an _{1 , n 2 ,  n 3 ,  n 4 ,  n  5}  = ₍n ₁/norte ₂)^{1/norte ₃} +  bronceado (n ₄/n ₅).

Dedekind respondió con una demostración del teorema de que el conjunto de todos los números algebraicos es contable. ^[20] En su respuesta a Dedekind, Cantor no afirmó haber probado el resultado de Dedekind. Sí indicó cómo demostró su teorema sobre familias indexadas de números: "Su prueba de que ( n ) [el conjunto de enteros positivos] puede correlacionarse uno a uno con el cuerpo de todos los números algebraicos es aproximadamente la misma que la forma Demuestro mi argumento en la última carta. Tomo n ₁ ²  +  n ₂ ²  + ··· +  n _ν ²  =  y ordeno los elementos en consecuencia." ^[58] Sin embargo, el orden de Cantor es más débil que el de Dedekind y no puede extenderse a tuplas de números enteros que incluyan ceros. ^[59] ${\displaystyle {\mathfrak {N}}}$ ${\displaystyle n}$

La segunda contribución de Dedekind es su demostración del segundo teorema de Cantor. Dedekind envió esta prueba en respuesta a la carta de Cantor que contenía el teorema de incontable, que Cantor demostró usando infinitas secuencias. Cantor escribió a continuación que había encontrado una prueba más simple que no utilizaba infinitas secuencias. ^[60] Así que Cantor tuvo la opción de elegir entre pruebas y decidió publicar la de Dedekind. ^[61]

Cantor agradeció en privado a Dedekind su ayuda: "... sus comentarios (que valoro mucho) y su manera de exponer algunos de los puntos fueron de gran ayuda para mí". ^[46] Sin embargo, no mencionó la ayuda de Dedekind en su artículo. En artículos anteriores había reconocido la ayuda recibida de Kronecker, Weierstrass, Heine y Hermann Schwarz . El hecho de que Cantor no mencionara las contribuciones de Dedekind dañó su relación con Dedekind. Dedekind dejó de responder a sus cartas y no reanudó la correspondencia hasta octubre de 1876. ^{[62] [N]}

El legado del artículo de Cantor

El artículo de Cantor introdujo el teorema de incontabilidad y el concepto de contabilidad. Ambos conducirían a avances significativos en las matemáticas. El teorema de incontable demostró que las correspondencias uno a uno se pueden utilizar para analizar conjuntos infinitos. En 1878, Cantor los utilizó para definir y comparar cardinalidades. También construyó correspondencias uno a uno para demostrar que los espacios n -dimensionales R ⁿ (donde R es el conjunto de números reales) y el conjunto de números irracionales tienen la misma cardinalidad que R. ^{[63] [O]}

En 1883, Cantor extendió los números enteros positivos con sus ordinales infinitos . Esta extensión fue necesaria para su trabajo sobre el teorema de Cantor-Bendixson . Cantor descubrió otros usos para los ordinales; por ejemplo, utilizó conjuntos de ordinales para producir una infinidad de conjuntos que tenían diferentes cardinalidades infinitas. ^[65] Su trabajo sobre conjuntos infinitos junto con el trabajo teórico de conjuntos de Dedekind crearon la teoría de conjuntos. ^[66]

El concepto de contabilidad dio lugar a operaciones y objetos contables que se utilizan en diversas áreas de las matemáticas. Por ejemplo, en 1878, Cantor introdujo uniones contables de conjuntos. ^[67] En la década de 1890, Émile Borel utilizó uniones contables en su teoría de la medida , y René Baire utilizó ordinales contables para definir sus clases de funciones . ^[68] Basándose en el trabajo de Borel y Baire, Henri Lebesgue creó sus teorías de la medida y la integración , que se publicaron entre 1899 y 1901. ^[69]

Los modelos contables se utilizan en la teoría de conjuntos. En 1922, Thoralf Skolem demostró que si los axiomas convencionales de la teoría de conjuntos son consistentes , entonces tienen un modelo contable. Como este modelo es contable, su conjunto de números reales es contable. Esta consecuencia se llama paradoja de Skolem , y Skolem explicó por qué no contradice el teorema de incontabilidad de Cantor: aunque existe una correspondencia uno a uno entre este conjunto y el conjunto de números enteros positivos, ninguna correspondencia uno a uno es miembro. del modelo. Por lo tanto, el modelo considera que su conjunto de números reales es incontable o, más precisamente, la oración de primer orden que dice que el conjunto de números reales es incontable es cierta dentro del modelo. ^[70] En 1963, Paul Cohen utilizó modelos contables para demostrar sus teoremas de independencia . ^[71]

Ver también

• teorema de cantor

Notas

1. En carta a Dedekind fechada el 25 de diciembre de 1873, Cantor afirma que ha escrito y presentado "un breve artículo" titulado Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales . (Noether y Cavaillès 1937, p. 17; traducción al inglés: Ewald 1996, p. 847.)
2. Esto implica el resto del teorema  ,  es decir, hay infinitos números en [ a ,  b ] que no están contenidos en la secuencia dada. Por ejemplo, sea el intervalo y considere sus subintervalos. Dado que estos subintervalos son disjuntos por pares , aplicar la primera parte del teorema a cada subintervalo produce infinitos números que no están contenidos en la secuencia dada. En general, para el intervalo aplique la primera parte del teorema a los subintervalos ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,{\tfrac {1}{2}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {7}{8}}],}$ ${\displaystyle [{\tfrac {15}{16}},{\tfrac {31}{32}}],}$ ${\displaystyle \ldots .}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle [a,a+{\tfrac {1}{2}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {3}{4}}(b-a),a+{\tfrac {7}{8}}(b-a)],}$ ${\displaystyle [a+{\tfrac {15}{16}}(b-a),a+{\tfrac {31}{32}}(b-a)],}$ ${\displaystyle \ldots .}$
3. Cantor no prueba este lema. En una nota a pie de página para el caso 2, afirma que x _n no se encuentra en el interior del intervalo [ a _n ,  b _n ]. ^[11] Esta prueba proviene de su prueba de 1879, que contiene una prueba inductiva más compleja que demuestra varias propiedades de los intervalos generados, incluida la propiedad demostrada aquí.
4. La principal diferencia entre la prueba de Cantor y la prueba anterior es que él genera la secuencia de intervalos cerrados [ a _n ,  b _n ]. Para encontrar a _{n  + 1} y b _{n  + 1} , utiliza el interior del intervalo [ a _n ,  b _n ], que es el intervalo abierto ( a _n ,  b _n ). La generación de intervalos abiertos combina el uso que hace Cantor de intervalos cerrados y sus interiores, lo que permite que los diagramas de casos representen todos los detalles de la prueba.
5. Cantor no fue el primero en definir "en todas partes denso", pero su terminología fue adoptada con o sin "en todas partes" (en todas partes denso: Arkhangel'skii y Fedorchuk 1990, p. 15; denso: Kelley 1991, p. 49). En 1870, Hermann Hankel había definido este concepto utilizando una terminología diferente: "una multitud de puntos... llenan el segmento si no se puede dar ningún intervalo, por pequeño que sea, dentro del segmento en el que no se encuentre al menos un punto de esa multitud". " (Ferreirós 2007, p. 155). Hankel se basó en el artículo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1829 que contiene la función de Dirichlet , una función no integrable ( Riemann ) cuyo valor es 0 para números racionales y 1 para números irracionales . (Ferreirós 2007, p. 149.)
6. Traducido de Cantor 1879, p. 2: Liegt P theilweise oder ganz im Intervalle (α . . . β), so kann der bemerkenswerthe Fall eintreten, dass jedes noch so kleine in (α . . . β) enthaltene Intervall (γ . . . δ) Punkte von P enthält . In einem solchen Falle wollen wir sagen, dass P im Intervalle (α . . . β) überall-dicht sei.
7. Esto se demuestra generando una secuencia de puntos que pertenecen tanto a P como a ( c ,  d ). Dado que P es denso en [ a ,  b ], el subintervalo ( c ,  d ) contiene al menos un punto x ₁ de P. Por supuesto, el subintervalo ( x ₁ ,  d ) contiene al menos un punto x ₂ de P y x ₂  >  x ₁ ya que x ₂ pertenece a este subintervalo. En general, después de generar x _n , el subintervalo (x _n ,  d ) se utiliza para generar un punto x _{n  + 1} que satisface x _{n  + 1}  >  x _n . Los infinitos puntos x _n pertenecen tanto a P como a ( c ,  d ).
8. El comienzo de esta prueba se deriva de la siguiente prueba restringiendo sus números al intervalo [ a ,  b ] y usando una subsecuencia, ya que Cantor estaba usando secuencias en su trabajo de 1873 sobre contabilidad.
   Texto en alemán: Satz 68. Es gibt transzendente Zahlen.
   Gäbe es nämlich keine transzendenten Zahlen, so wären alle Algebraischen Zahlen, das Kontinuum also identisch mit der Menge aller algebraischen Zahlen. Das ist aber unmöglich, weil die Menge aller algebraischen Zahlen abzählbar ist, das Kontinuum aber nicht. ^[28]
   Traducción: Teorema 68. Hay números trascendentales.
   Si no existieran los números trascendentales, entonces todos los números serían algebraicos. Por tanto, el continuo sería idéntico al conjunto de todos los números algebraicos. Sin embargo, esto es imposible porque el conjunto de todos los números algebraicos es contable, pero el continuo no.
9. Por "prueba de Cantor", Perron no quiere decir que sea una prueba publicada por Cantor. Más bien, quiere decir que la prueba sólo utiliza argumentos que Cantor publicó. Por ejemplo, para obtener un real que no está en una secuencia dada, Perron sigue la prueba de Cantor de 1874 excepto por una modificación: usa el argumento diagonal de Cantor de 1891 en lugar de su argumento de intervalos anidados de 1874 para obtener un real. Cantor nunca utilizó su argumento diagonal para refutar su teorema. En este caso, tanto la prueba de Cantor como la prueba de Perron son constructivas, por lo que no puede surgir aquí ningún error. Luego, Perron modifica la prueba de Cantor de la existencia de un trascendental dando la prueba en orden inverso. Esto convierte la prueba constructiva de Cantor de 1874 en una prueba no constructiva que conduce a una idea errónea sobre el trabajo de Cantor.
10. Esta prueba es la misma que la prueba de Cantor de 1874, excepto por una modificación: utiliza su argumento diagonal de 1891 en lugar de su argumento de intervalos anidados de 1874 para obtener un real.
11. El programa que utiliza el método diagonal produce dígitos en pasos, mientras que el programa que utiliza el método 1874 requiere al menos pasos para producir dígitos. (Gray 1994, págs. 822–823.) ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\color {Blue}O}(n^{2}\log ^{2}n\log \log n)}$ ${\displaystyle O(2^{\sqrt[{3}]{n}})}$ ${\displaystyle n}$
12. A partir del libro de Hardy y Wright, estos libros están vinculados al libro de Perron a través de sus bibliografías: el libro de Perron se menciona en la bibliografía del libro de Hardy y Wright, que a su vez se menciona en la bibliografía del libro de Birkhoff y Mac Lane y en la bibliografía. del libro de Spivak. (Hardy y Wright 1938, p. 400; Birkhoff y Mac Lane 1941, p. 441; Spivak 1967, p. 515.)
13. La opinión de Kronecker fue: "Las definiciones deben contener los medios para llegar a una decisión en un número finito de pasos, y las pruebas de existencia deben realizarse de modo que la cantidad en cuestión pueda calcularse con el grado de precisión requerido". ^[40] Entonces Kronecker aceptaría el argumento de Cantor como una prueba de existencia válida, pero no aceptaría su conclusión de que existen números trascendentales. Para Kronecker, no existen porque su definición no contiene medios para decidir en un número finito de pasos si un número dado es trascendental o no. ^[41] La construcción de Cantor de 1874 calcula números con cualquier grado de precisión requerido porque: Dado a k , an n se puede calcular de manera que b _n – a _n ≤1/kdonde ( a _n ,  b _n ) es el n -ésimo intervalo de la construcción de Cantor. Un ejemplo de cómo probar esto se da en Gray 1994, p. 822. El argumento de la diagonal de Cantor proporciona una precisión de 10 ^{− n} después de que se hayan calculado n números algebraicos reales porque cada uno de estos números genera un dígito del número trascendental. ^[42]
14. Ferreirós ha analizado las relaciones entre Cantor y Dedekind. Explica por qué "las relaciones entre ambos matemáticos fueron difíciles a partir de 1874, cuando sufrieron una interrupción..." (Ferreirós 1993, pp. 344, 348-352).
15. El método de Cantor para construir una correspondencia uno a uno entre el conjunto de números irracionales y R se puede utilizar para construir una entre el conjunto de números trascendentales y R. ^[64] La construcción comienza con el conjunto de números trascendentales T y elimina un subconjunto contable { t _n } (por ejemplo, t _n =mi/norte). Sea este conjunto T ₀ . Entonces T  =   T ₀  ∪ { t _n } = T ₀  ∪ { t _{2 n – 1} } ∪ { t _{2 n} }, y R  =  T  ∪ { a _n } = T ₀  ∪ { t _n } ∪ { a _n } donde an _es la secuencia de números algebraicos reales. Entonces, tanto T como R son la unión de tres conjuntos disjuntos por pares: T ₀ y dos conjuntos contables. Una correspondencia uno a uno entre T y R viene dada por la función: g ( t ) = t si t  ∈  T ₀ , g ( t _{2 n – 1} ) = t _n , y g ( t _{2 n} ) = a _n .

Nota sobre la prueba de Cantor de 1879

1. Dado que la prueba de Cantor no se ha publicado en inglés, se proporciona una traducción al inglés junto con el texto original en alemán, que es de Cantor 1879, págs. La traducción comienza una oración antes de la prueba porque esta oración menciona la prueba de Cantor de 1874. Cantor afirma que fue impreso en el Borchardt's Journal. El Diario de Crelle también se llamó Diario de Borchardt entre 1856 y 1880 cuando Carl Wilhelm Borchardt lo editó (Audin 2011, p. 80). Se utilizan corchetes para identificar esta mención de la prueba anterior de Cantor, para aclarar la traducción y para proporcionar números de página. Además, " Mannichfaltigkeit " (múltiple) se ha traducido a "conjunto" y la notación de Cantor para conjuntos cerrados (α... β) se ha traducido a [α, β]. Cantor cambió su terminología de Mannichfaltigkeit a Menge (conjunto) en su artículo de 1883, que introdujo conjuntos de números ordinales (Kanamori 2012, p. 5). Actualmente en matemáticas, una variedad es un tipo de espacio topológico .

Referencias

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50. Ferreirós 2007, pag. 185: No está claro cuándo cambió su actitud, pero hay evidencia de que a mediados de la década de 1880 aceptaba la conclusión de que los conjuntos infinitos tienen diferentes potencias [cardinalidades].
51. Ferreirós 2007, pag. 177.
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