función de Baire

En matemáticas , las funciones de Baire son funciones obtenidas a partir de funciones continuas mediante iteración transfinita de la operación de formar límites puntuales de secuencias de funciones. Fueron introducidos por René-Louis Baire en 1899. Un conjunto de Baire es un conjunto cuya función característica es una función de Baire.

Clasificación de funciones de Baire

Las funciones de Baire de clase α, para cualquier número ordinal contable α, forman un espacio vectorial de funciones con valores reales definidas en un espacio topológico , de la siguiente manera. ^[1]

• Las funciones de clase 0 de Baire son las funciones continuas .
• Las funciones de Baire clase 1 son aquellas funciones que son el límite puntual de una secuencia de funciones de Baire clase 0.
• En general, las funciones α de clase de Baire son todas funciones que son el límite puntual de una secuencia de funciones de clase de Baire menor que α.

Algunos autores definen las clases de manera ligeramente diferente, eliminando todas las funciones de clase menor que α de las funciones de clase α. Esto significa que cada función de Baire tiene una clase bien definida, pero las funciones de una clase dada ya no forman un espacio vectorial.

Henri Lebesgue demostró que (para funciones en el intervalo unitario ) cada clase de Baire de un número ordinal contable contiene funciones que no están en ninguna clase más pequeña, y que existen funciones que no están en ninguna clase de Baire.

Baire clase 1

Ejemplos:

• La derivada de cualquier función diferenciable es de clase 1. Un ejemplo de una función diferenciable cuya derivada no es continua (en x  = 0) es la función igual a cuando x  ≠ 0, y 0 cuando x  = 0. Una suma infinita de funciones similares Las funciones (escaladas y desplazadas por números racionales ) pueden incluso dar una función diferenciable cuya derivada es discontinua en un conjunto denso. Sin embargo, necesariamente tiene puntos de continuidad, lo que se desprende fácilmente del teorema de caracterización de Baire (a continuación; tome K  =  X  =  R ). ${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$
• La función característica del conjunto de números enteros , que es igual a 1 si x es un número entero y 0 en caso contrario. (Un número infinito de grandes discontinuidades).
• La función de Thomae , que es 0 para el irracional x y 1/ q para un número racional p / q (en forma reducida). (Un conjunto denso de discontinuidades, es decir, el conjunto de números racionales).
• La función característica del conjunto de Cantor , que es igual a 1 si x está en el conjunto de Cantor y 0 en caso contrario. Esta función es 0 para un conjunto incontable de valores de x y 1 para un conjunto incontable. Es discontinuo siempre que sea igual a 1 y continuo siempre que sea igual a 0. Se aproxima mediante las funciones continuas , donde es la distancia de x desde el punto más cercano en el conjunto de Cantor. ${\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,C)})}$ ${\displaystyle d(x,C)}$

El teorema de caracterización de Baire establece que una función con valor real f definida en un espacio de Banach X es una función de Baire-1 si y sólo si para cada subconjunto cerrado no vacío K de X , la restricción de f a K tiene un punto de continuidad relativa a la topología de K .

Según otro teorema de Baire, para cada función Baire-1 los puntos de continuidad son un conjunto comeager G δ (Kechris 1995, Teorema (24.14)).

Baire clase 2

Un ejemplo de una función de Baire clase 2 en el intervalo [0,1] que no es de clase 1 es la función característica de los números racionales, también conocida como función de Dirichlet que es discontinua en todas partes . ${\displaystyle \chi _{\mathbb {Q} }}$

Prueba

Presentamos dos pruebas.

1. Esto se puede ver al observar que para cualquier colección finita de racionales, la función característica de este conjunto es Baire 1: es decir, la función converge de manera idéntica a la función característica de , donde está la colección finita de racionales. Dado que los racionales son contables, podemos mirar el límite puntual de estas cosas sobre , donde hay una enumeración de los racionales. No es Baire-1 por el teorema mencionado anteriormente: el conjunto de discontinuidades es el intervalo completo (ciertamente, el conjunto de puntos de continuidad no es comeager). ${\displaystyle g_{n}(x)=\max(0,{1-nd(x,K)})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{n}=\{r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}\}}$ ${\displaystyle r_{n}}$
2. La función de Dirichlet se puede construir como el doble límite puntual de una secuencia de funciones continuas, de la siguiente manera:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\quad \chi _{\mathbb {Q} }(x)=\lim _{k\to \infty }\left(\lim _{j\to \infty }\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)}$

para enteros j y k .

Ver también

• conjunto de baile
• Función continua en ninguna parte

Referencias

• Baire, René-Louis (1899). Sobre las funciones de variables reales (Ph.D.). Escuela Normal Superior.
• Baire, René-Louis (1905), Leçons sur les fonctions discontinus, professées au collège de France , Gauthier-Villars.
• Kechris, Alexander S. (1995), Teoría de conjuntos descriptiva clásica , Springer-Verlag.

Referencias en línea

1. T. Jech, "El feliz nuevo mundo de la determinación" (descarga en PDF). Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, vol. 5, número 3, noviembre de 1981 (págs. 339--349).

enlaces externos

• Artículo de la Enciclopedia Springer de Matemáticas sobre las clases de Baire