La función de Thomas

Función que es discontinua en los racionales y continua en los irracionales.

Gráfico de puntos en el intervalo (0,1). El punto más alto en el medio muestra f (1/2) = 1/2

La función de Thomae es una función con valor real de una variable real que se puede definir como: ^{[1] : 531} $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&{\text{if }}x={\tfrac {p}{q}}\quad (x{\text{ is rational), with }}p\in \mathbb {Z} {\text{ and }}q\in \mathbb {N} {\text{ coprime}}\\0&{\text{if }}x{\text{ is irrational.}}\end{cases}}}$$

Lleva el nombre de Carl Johannes Thomae , pero tiene muchos otros nombres: función palomitas de maíz , función gota de lluvia , función nube contable , función Dirichlet modificada , función regla , ^[2] función Riemann o Estrellas sobre Babilonia ( John nombre de Horton Conway ). ^[3] Thomae lo mencionó como ejemplo de una función integrable con infinitas discontinuidades en uno de los primeros libros de texto sobre la noción de integración de Riemann. ^[4]

Dado que cada número racional tiene una representación única con coprimo (también denominado primo relativo) y , la función está bien definida . Tenga en cuenta que es el único número que es coprimo con ${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle q=+1}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle p=0.}$

Es una modificación de la función de Dirichlet , que es 1 en los números racionales y 0 en el resto.

Propiedades

• La función de Thomae está acotada y asigna todos los números reales al intervalo unitario : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,1].}$
• ${\displaystyle f}$es periódico con punto para todos los números enteros n y todos los x reales . ${\displaystyle 1:\;f(x+n)=f(x)}$
• ${\displaystyle f}$es discontinuo en todo número racional, por lo que sus puntos de discontinuidad son densos dentro de los números reales.
• ${\displaystyle f}$es continua en todo número irracional , por lo que sus puntos de continuidad son densos dentro de los números reales.
• ${\displaystyle f}$no es diferenciable en ninguna parte .
• ${\displaystyle f}$tiene un máximo local estricto en cada número racional. ^{[ cita necesaria ]}
  Consulte las pruebas de continuidad y discontinuidad anteriores para la construcción de barrios apropiados , donde tiene ${\displaystyle f}$ máximos.
• ${\displaystyle f}$es Riemann integrable en cualquier intervalo y la integral se evalúa en cualquier conjunto. ${\displaystyle 0}$
  El criterio de integrabilidad de Lebesgue establece que una función acotada es integrable de Riemann si y sólo si el conjunto de todas las discontinuidades tiene medida cero . ^[5] Cada subconjunto contable de los números reales, como los números racionales, tiene medida cero, por lo que la discusión anterior muestra que la función de Thomae es integrable de Riemann en cualquier intervalo. La integral de la función es igual a sobre cualquier conjunto porque la función es igual a cero en casi todas partes . ${\displaystyle 0}$
• Si es la gráfica de la restricción de a , entonces la dimensión de conteo de cajas de es . ^[6] ${\displaystyle G=\{\,(x,f(x)):x\in (0,1)\,\}\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 4/3}$

Distribuciones de probabilidad relacionadas

En la secuenciación del ADN aparecen distribuciones de probabilidad empíricas relacionadas con la función de Thomae . ^[7] El genoma humano es diploide y tiene dos cadenas por cromosoma. Cuando se secuencia, se generan pequeñas piezas ("lecturas"): para cada punto del genoma, un número entero de lecturas se superponen con él. Su proporción es un número racional y normalmente se distribuye de manera similar a la función de Thomae.

Si se toman muestras de pares de números enteros positivos de una distribución y se usan para generar razones , esto da lugar a una distribución de números racionales. Si los números enteros son independientes, la distribución puede verse como una convolución sobre los números racionales . Existen soluciones de forma cerrada para distribuciones de ley de potencia con un límite. Si (dónde está la función polilogaritmo ), entonces . En el caso de distribuciones uniformes en el conjunto , que es muy similar a la función de Thomae. ^[7] ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle f(n,m)}$ ${\displaystyle q=n/(n+m)}$ ${\displaystyle g(q)}$ ${\textstyle g(a/(a+b))=\sum _{t=1}^{\infty }f(ta)f(tb)}$ ${\displaystyle f(k)=k^{-\alpha }e^{-\beta k}/\mathrm {Li} _{\alpha }(e^{-\beta })}$ ${\displaystyle \mathrm {Li} _{\alpha }}$ ${\displaystyle g(a/(a+b))=(ab)^{-\alpha }\mathrm {Li} _{2\alpha }(e^{-(a+b)\beta })/\mathrm {Li} _{\alpha }^{2}(e^{-\beta })}$ ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,L\}}$ ${\displaystyle g(a/(a+b))=(1/L^{2})\lfloor L/\max(a,b)\rfloor }$

Las distribuciones de probabilidad relacionadas con la función de Thomae también pueden derivarse de procesos recurrentes generados por distribuciones discretas uniformes. Estas distribuciones discretas uniformes pueden ser dígitos pi, lanzamientos de dados o giros de casino en vivo. Con mayor detalle, el proceso recurrente se caracteriza de la siguiente manera: una variable aleatoria Ci _se muestrea repetidamente N veces a partir de una distribución uniforme discreta, donde i varía de 1 a N. Por ejemplo, considere valores enteros que varían de 1 a 10. Momentos de ocurrencia, T _k , significa cuando los eventos Ci _se repiten, definidos como Ci ₌ Ci _-1 o Ci ₌ Ci _-2 , donde k varía de 1 a M, siendo M menor que N. Posteriormente, defina S _{j como el intervalo entre T k} sucesivos , que representa el tiempo de espera para que ocurra un evento. Finalmente, introduzca Z _l como ln(S _j ) – ln(S _j-1 ), donde l varía de 1 a U-1. La variable aleatoria Z muestra propiedades fractales, asemejándose a la distribución de formas similar a la función de Thomae o Dirichlet. ^[8]

La función de Thomae como distribución.

La función del gobernante

Para números enteros, el exponente de la potencia más alta de 2 dividiendo da 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, ... (secuencia A007814 en la OEIS ). Si se suma 1, o si se eliminan los 0, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 3, 1, 2, 1, ... (secuencia A001511 en el OEIS ). Los valores se parecen a las marcas de una regla graduada de 1/16 , de ahí el nombre. Estos valores corresponden a la restricción de la función de Thomae a los racionales diádicos : aquellos números racionales cuyos denominadores son potencias de 2. ${\displaystyle n}$

Funciones relacionadas

Una pregunta de seguimiento natural que uno podría hacerse es si existe una función que sea continua en los números racionales y discontinua en los números irracionales. Esto resulta imposible. El conjunto de discontinuidades de cualquier función debe ser un conjunto F σ . Si tal función existiera, entonces los irracionales serían un conjunto F _σ . Los irracionales serían entonces la unión contable de conjuntos cerrados , pero como los irracionales no contienen un intervalo, ninguno de los . Por lo tanto, cada uno de los irracionales no sería denso en ninguna parte y los irracionales serían un conjunto exiguo . Se seguiría que los números reales, al ser la unión de los irracionales y los racionales (que, como conjunto contable, es evidentemente exiguo), también serían un conjunto exiguo. Esto contradeciría el teorema de la categoría de Baire : debido a que los reales forman un espacio métrico completo , forman un espacio de Baire , que no puede ser exiguo en sí mismo. ${\textstyle \bigcup _{i=0}^{\infty }C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Se puede utilizar una variante de la función de Thomae para demostrar que cualquier subconjunto F _σ de los números reales puede ser el conjunto de discontinuidades de una función. Si es una unión contable de conjuntos cerrados , defina ${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ $${\displaystyle f_{A}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is rational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\-{\frac {1}{n}}&{\text{if }}x{\text{ is irrational and }}n{\text{ is minimal so that }}x\in F_{n}\\0&{\text{if }}x\notin A\end{cases}}}$$

Entonces, un argumento similar al de la función de Thomae muestra que tiene A como su conjunto de discontinuidades. ${\displaystyle f_{A}}$

Ver también

• teorema de Blumberg
• función de cantor
• función de dirichlet
• El huerto de Euclides : la función de Thomae se puede interpretar como un dibujo en perspectiva del huerto de Euclides.
• La función de Volterra

Referencias

1. Beanland, Kevin; Roberts, James W.; Stevenson, Craig (2009), "Modificaciones de la función y diferenciabilidad de Thomae", The American Mathematical Monthly , 116 (6): 531–535, doi :10.4169/193009709x470425, JSTOR  40391145
2. Dunham, William (2008), The Calculus Gallery: obras maestras de Newton a Lebesgue (edición de bolsillo), Princeton: Princeton University Press, página 149, capítulo 10, ISBN 978-0-691-13626-4, ...la llamada función de regla , un ejemplo simple pero provocativo que apareció en una obra de Johannes Karl Thomae... El gráfico sugiere las marcas verticales en una regla, de ahí el nombre.
3. John Conway. "Tema: Procedencia de una función". El Foro de Matemáticas. Archivado desde el original el 13 de junio de 2018.
4. Thomae, J. (1875), Einleitung in die Theorie der bestimmten Integrale (en alemán), Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, p. 14, §20
5. Spivak, M. (1965), Cálculo de variedades , Perseus Books, página 53, Teorema 3-8, ISBN 978-0-8053-9021-6
6. Chen, Haipeng; Fraser, Jonathan M.; Yu, Han (2022). "Dimensiones del gráfico de palomitas de maíz". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 150 (11): 4729–4742. arXiv : 2007.08407 . doi :10.1090/proc/15729.
7. Trifonov, Vladimir; Pasqualucci, Laura; Dalla-Favera, Riccardo; Rabadán, Raúl (2011). "Distribuciones similares a fractales sobre números racionales en datos clínicos y biológicos de alto rendimiento". Informes científicos . 1 (191): 191. arXiv : 1010.4328 . Código Bib : 2011NatSR...1E.191T. doi :10.1038/srep00191. PMC 3240948 . PMID  22355706. 
8. Endrit Dheskali. Generación de un proceso fractal recurrente utilizando distribuciones uniformes discretas, 26 de febrero de 2024, PREPRINT (Versión 1) disponible en Research Square [1]

• Abbott, Stephen (2016), Understanding Analysis (reimpresión en tapa blanda de la segunda ed. original), Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4939-5026-3
• Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1999), Introducción al análisis real (3.ª ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-32148-4(Ejemplo 5.1.6(h))

enlaces externos

• "Función de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Función de Dirichlet". MundoMatemático .