Teorema de Cantor

Cada conjunto es más pequeño que su conjunto potencia.

La cardinalidad del conjunto { x , y , z }, es tres, mientras que hay ocho elementos en su conjunto potencia (3 < 2 ³ = 8), aquí ordenados por inclusión .

En la teoría matemática de conjuntos , el teorema de Cantor es un resultado fundamental que establece que, para cualquier conjunto , el conjunto de todos los subconjuntos de, conocido como el conjunto potencia de, tiene una cardinalidad estrictamente mayor que él mismo. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$

Para conjuntos finitos , el teorema de Cantor se puede considerar verdadero mediante una simple enumeración del número de subconjuntos. Si se cuenta el conjunto vacío como un subconjunto, un conjunto con elementos tiene un total de subconjuntos, y el teorema se cumple porque para todos los números enteros no negativos . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}>n}$

Mucho más significativo es el descubrimiento de Cantor de un argumento que es aplicable a cualquier conjunto y muestra que el teorema se cumple también para conjuntos infinitos . En consecuencia, la cardinalidad de los números reales , que es la misma que la del conjunto potencia de los números enteros , es estrictamente mayor que la cardinalidad de los números enteros; véase Cardinalidad del continuo para más detalles.

El teorema recibe su nombre de Georg Cantor , quien lo formuló y demostró por primera vez a finales del siglo XIX. El teorema de Cantor tuvo consecuencias inmediatas e importantes para la filosofía de las matemáticas . Por ejemplo, al tomar iterativamente el conjunto potencia de un conjunto infinito y aplicar el teorema de Cantor, obtenemos una jerarquía infinita de cardinales infinitos, cada uno estrictamente mayor que el anterior. En consecuencia, el teorema implica que no existe un número cardinal más grande (coloquialmente, "no existe el infinito más grande").

Prueba

El argumento de Cantor es elegante y notablemente simple. A continuación se presenta la prueba completa, seguida de explicaciones detalladas.

Teorema (de Cantor)  —  Sea una función de un conjunto con su conjunto potencia . Entonces no es sobreyectiva . En consecuencia, se cumple para cualquier conjunto . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle f:A\to {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (A)<\operatorname {card} ({\mathcal {P}}(A))}$ ${\displaystyle A}$

Prueba

${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}}$existe a través del esquema axiomático de especificación , y porque . Supongamos que es sobreyectiva. Entonces existe un tal que . De   para todo en , deducimos    a través de instanciación universal . La deducción anterior produce una contradicción de la forma , ya que . Por lo tanto, no es sobreyectiva, por reducción al absurdo . Sabemos que existen aplicaciones inyectivas de a . Por ejemplo, una función tal que . En consecuencia, . ∎ ${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle B\subseteq A}$
${\displaystyle f}$
${\displaystyle \xi \in A}$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$
${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A\ [x\in B\iff x\notin f(x)]}$ ${\displaystyle \xi \in B\iff \xi \notin f(\xi )}$
${\displaystyle \varphi \Leftrightarrow \lnot \varphi }$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$
${\displaystyle f}$
${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle g:A\to {\mathcal {P}}(A)}$ ${\displaystyle g(x)=\{x\}}$
${\displaystyle \operatorname {card} (A)<\operatorname {card} ({\mathcal {P}}(A))}$

Por definición de cardinalidad, tenemos para dos conjuntos cualesquiera y si y solo si hay una función inyectiva pero no una función biyectiva de a . Basta con mostrar que no hay sobreyección de a . Este es el corazón del teorema de Cantor: no hay función sobreyectiva de ningún conjunto a su conjunto potencia. Para establecer esto, es suficiente mostrar que ninguna función (que mapee elementos de en subconjuntos de ) puede alcanzar cada subconjunto posible, es decir, solo necesitamos demostrar la existencia de un subconjunto de que no sea igual a para cualquier . Recordando que cada uno es un subconjunto de , tal subconjunto está dado por la siguiente construcción, a veces llamada el conjunto diagonal de Cantor de : ^{[1] [2]} ${\displaystyle \operatorname {card} (X)<\operatorname {card} (Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle B=\{x\in A\mid x\not \in f(x)\}.}$

Esto significa, por definición, que para todos , si y solo si . Para todos los conjuntos y no pueden ser iguales porque se construyeron a partir de elementos de cuyas imágenes bajo no se incluían a sí mismos. Para todos o bien . Si entonces no pueden ser iguales porque por suposición y por definición. Si entonces no pueden ser iguales porque por suposición y por definición de . ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x\notin B}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\notin f(x)}$ ${\displaystyle x\in B}$ ${\displaystyle B}$

De manera equivalente, y un poco más formal, acabamos de demostrar que la existencia de tal que implica la siguiente contradicción : ${\displaystyle \xi \in A}$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi \in B&\iff \xi \notin f(\xi )&&{\text{(by definition of }}B{\text{)}};\\\xi \in B&\iff \xi \in f(\xi )&&{\text{(by assumption that }}f(\xi )=B{\text{)}}.\\\end{aligned}}}$

Por lo tanto, por reductio ad absurdum , la suposición debe ser falsa. ^[3] Por lo tanto, no existe tal que  ; en otras palabras, no es la imagen de y no se aplica a cada elemento del conjunto potencia de , es decir, no es sobreyectiva. ${\displaystyle \xi \in A}$ ${\displaystyle f(\xi )=B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

Finalmente, para completar la prueba, necesitamos demostrar una función inyectiva de a su conjunto potencia. Encontrar dicha función es trivial: simplemente mapeamos al conjunto singleton . El argumento ahora está completo y hemos establecido la desigualdad estricta para cualquier conjunto que . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {card} (A)<\operatorname {card} ({\mathcal {P}}(A))}$

Otra forma de pensar en la prueba es que , vacío o no vacío, siempre está en el conjunto potencia de . Para que sea sobre , algún elemento de debe mapear a . Pero eso lleva a una contradicción: ningún elemento de puede mapear a porque eso contradeciría el criterio de pertenencia a , por lo tanto, el elemento que mapea a no debe ser un elemento de lo que significa que satisface el criterio de pertenencia a , otra contradicción. Por lo tanto, la suposición de que un elemento de mapea a debe ser falsa; y no puede ser sobre . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$

Debido a la doble ocurrencia de en la expresión " ", este es un argumento diagonal . Para un conjunto numerable (o finito), el argumento de la prueba dada anteriormente se puede ilustrar construyendo una tabla en la que cada fila está etiquetada por un único de , en este orden. se supone que admite un orden lineal para que dicha tabla pueda construirse. Cada columna de la tabla está etiquetada por un único del conjunto potencia de ; las columnas están ordenadas por el argumento a , es decir, las etiquetas de columna son , ..., en este orden. La intersección de cada fila y columna registra un bit verdadero/falso si . Dado el orden elegido para las etiquetas de fila y columna, la diagonal principal de esta tabla registra si para cada . El conjunto construido en los párrafos anteriores coincide con las etiquetas de fila para el subconjunto de entradas en esta diagonal principal donde la tabla registra que es falso. ^[3] Cada columna registra los valores de la función indicadora del conjunto correspondiente a la columna. La función indicadora de coincide con las entradas lógicamente negadas (intercambio de "verdadero" y "falso") de la diagonal principal. Por lo tanto, la función indicadora de no coincide con ninguna columna en al menos una entrada. En consecuencia, ninguna columna representa . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A=\{x_{1},x_{2},\ldots \}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x_{1}),f(x_{2})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\in y}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle x\in f(x)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

A pesar de la simplicidad de la demostración anterior, es bastante difícil que un demostrador de teoremas automatizado la realice. La principal dificultad radica en un descubrimiento automático del conjunto diagonal de Cantor. Lawrence Paulson observó en 1992 que Otter no podía hacerlo, mientras que Isabelle sí podía, aunque con cierta dirección en términos de tácticas que tal vez podrían considerarse trampas. ^[2]

CuandoAes contablemente infinito

Examinemos la prueba para el caso específico cuando es numerablemente infinito . Sin pérdida de generalidad , podemos tomar el conjunto de números naturales . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=\mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}}$

Supongamos que es equinumeroso con su conjunto potencia . Veamos un ejemplo de cómo se ve: ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=\{\varnothing ,\{1,2\},\{1,2,3\},\{4\},\{1,5\},\{3,4,6\},\{2,4,6,\dots \},\dots \}.}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$contiene subconjuntos infinitos de , por ejemplo, el conjunto de todos los números pares positivos , junto con el conjunto vacío . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{2,4,6,\ldots \}=\{2k:k\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle \varnothing }$

Ahora que tenemos una idea de cuáles son los elementos de , intentemos emparejar cada elemento de con cada elemento de para demostrar que estos conjuntos infinitos son equinumerosos. En otras palabras, intentaremos emparejar cada elemento de con un elemento del conjunto infinito , de modo que ningún elemento de ninguno de los conjuntos infinitos quede sin emparejar. Tal intento de emparejar elementos se vería así: ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

${\displaystyle \mathbb {N} {\begin{Bmatrix}1&\longleftrightarrow &\{4,5\}\\2&\longleftrightarrow &\{1,2,3\}\\3&\longleftrightarrow &\{4,5,6\}\\4&\longleftrightarrow &\{1,3,5\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ).}$

Dado un emparejamiento de este tipo, algunos números naturales se emparejan con subconjuntos que contienen el mismo número. Por ejemplo, en nuestro ejemplo, el número 2 se empareja con el subconjunto {1, 2, 3}, que contiene a 2 como miembro. Llamemos a estos números egoístas . Otros números naturales se emparejan con subconjuntos que no los contienen. Por ejemplo, en nuestro ejemplo, el número 1 se empareja con el subconjunto {4, 5}, que no contiene al número 1. Llamemos a estos números no egoístas . Del mismo modo, 3 y 4 son no egoístas.

Usando esta idea, construyamos un conjunto especial de números naturales. Este conjunto proporcionará la contradicción que buscamos. Sea el conjunto de todos los números naturales no egoístas. Por definición, el conjunto potencia contiene todos los conjuntos de números naturales, y por lo tanto contiene este conjunto como un elemento. Si la aplicación es biyectiva, debe emparejarse con algún número natural, digamos . Sin embargo, esto causa un problema. Si está en , entonces es egoísta porque está en el conjunto correspondiente, lo que contradice la definición de . Si no está en , entonces es no egoísta y debería ser miembro de . Por lo tanto, no puede existir ningún elemento que se aplique a . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$

Puesto que no existe ningún número natural que pueda emparejarse con , hemos contradicho nuestra suposición original de que existe una biyección entre y . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Tenga en cuenta que el conjunto puede estar vacío. Esto significaría que cada número natural se asigna a un subconjunto de números naturales que contiene . Entonces, cada número se asigna a un conjunto no vacío y ningún número se asigna al conjunto vacío. Pero el conjunto vacío es un miembro de , por lo que la asignación aún no cubre . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$

Mediante esta prueba por contradicción hemos demostrado que la cardinalidad de y no pueden ser iguales. También sabemos que la cardinalidad de no puede ser menor que la cardinalidad de porque contiene todos los singletons , por definición, y estos singletons forman una "copia" de dentro de . Por lo tanto, solo queda una posibilidad, y es que la cardinalidad de sea estrictamente mayor que la cardinalidad de , demostrando así el teorema de Cantor. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Paradojas relacionadas

El teorema de Cantor y su demostración están estrechamente relacionados con dos paradojas de la teoría de conjuntos .

La paradoja de Cantor es el nombre que se da a una contradicción que se desprende del teorema de Cantor junto con el supuesto de que existe un conjunto que contiene a todos los conjuntos, el conjunto universal . Para distinguir esta paradoja de la siguiente que se analiza a continuación, es importante señalar en qué consiste esta contradicción. Por el teorema de Cantor para cualquier conjunto . Por otra parte, todos los elementos de son conjuntos y, por tanto, están contenidos en , por lo tanto . ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(X)|>|X|}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle |{\mathcal {P}}(V)|\leq |V|}$

Otra paradoja se puede derivar de la prueba del teorema de Cantor al instanciar la función f con la función identidad ; esto convierte el conjunto diagonal de Cantor en lo que a veces se llama el conjunto Russell de un conjunto dado A : ^[1]

${\displaystyle R_{A}=\left\{\,x\in A:x\not \in x\,\right\}.}$

La prueba del teorema de Cantor se adapta directamente para mostrar que, suponiendo que existe un conjunto de todos los conjuntos U , entonces considerar su conjunto de Russell R _U conduce a la contradicción:

${\displaystyle R_{U}\in R_{U}\iff R_{U}\notin R_{U}.}$

Este argumento se conoce como paradoja de Russell . ^[1] Como punto de sutileza, la versión de la paradoja de Russell que hemos presentado aquí es en realidad un teorema de Zermelo ; ^[4] podemos concluir de la contradicción obtenida que debemos rechazar la hipótesis de que R _U ∈ U , refutando así la existencia de un conjunto que contenga a todos los conjuntos. Esto fue posible porque hemos utilizado la comprensión restringida (como se presenta en ZFC ) en la definición de R _A anterior, lo que a su vez implicaba que

${\displaystyle R_{U}\in R_{U}\iff (R_{U}\in U\wedge R_{U}\notin R_{U}).}$

Si hubiéramos utilizado la comprensión sin restricciones (como en el sistema de Frege , por ejemplo) al definir el conjunto de Russell simplemente como , entonces el sistema de axiomas en sí mismo habría implicado la contradicción, sin necesidad de más hipótesis. ^[4] ${\displaystyle R=\left\{\,x:x\not \in x\,\right\}}$

A pesar de las similitudes sintácticas entre el conjunto de Russell (en cualquiera de sus variantes) y el conjunto diagonal de Cantor, Alonzo Church enfatizó que la paradoja de Russell es independiente de consideraciones de cardinalidad y sus nociones subyacentes como la correspondencia uno a uno. ^[5]

Historia

Cantor dio esencialmente esta prueba en un artículo publicado en 1891 "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", ^[6] donde también aparece por primera vez el argumento diagonal para la incontabilidad de los números reales (antes había demostrado la incontabilidad de los reales por otros métodos ). La versión de este argumento que dio en ese artículo fue formulada en términos de funciones indicadoras en un conjunto en lugar de subconjuntos de un conjunto. ^[7] Demostró que si f es una función definida en X cuyos valores son funciones de 2 valores en X , entonces la función de 2 valores G ( x ) = 1 − f ( x )( x ) no está en el rango de f .

Bertrand Russell tiene una prueba muy similar en Principles of Mathematics (1903, sección 348), donde muestra que hay más funciones proposicionales que objetos. "Supongamos que se ha producido una correlación de todos los objetos y algunas funciones proposicionales, y sea phi- x el correlato de x . Entonces "no-phi- x ( x )", es decir, "phi- x no se cumple para x " es una función proposicional no contenida en esta correlación; porque es verdadera o falsa para x según que phi- x sea falsa o verdadera para x , y por lo tanto difiere de phi- x para cada valor de x ". Atribuye la idea detrás de la prueba a Cantor.

Ernst Zermelo tiene un teorema (al que llama "Teorema de Cantor") que es idéntico a la forma anterior en el artículo que se convirtió en la base de la teoría de conjuntos moderna ("Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I"), publicado en 1908. Véase teoría de conjuntos de Zermelo .

Generalizaciones

El teorema del punto fijo de Lawvere permite una amplia generalización del teorema de Cantor a cualquier categoría con productos finitos de la siguiente manera: ^[8] sea una categoría tal, y sea un objeto terminal en . Supóngase que es un objeto en y que existe un endomorfismo que no tiene ningún punto fijo; es decir, no hay ningún morfismo que satisfaga . Entonces no hay ningún objeto de tal que un morfismo pueda parametrizar todos los morfismos . En otras palabras, para cada objeto y cada morfismo , un intento de escribir mapas como mapas de la forma debe dejar fuera al menos un mapa . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \alpha :Y\to Y}$ ${\displaystyle y:1\to Y}$ ${\displaystyle \alpha \circ y=y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f:T\times T\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f:T\times T\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$ ${\displaystyle f(-,x):T\to Y}$ ${\displaystyle T\to Y}$

Véase también

• Teorema de Schröder-Bernstein
• Primera prueba de incontabilidad de Cantor
• Polémica sobre la teoría de Cantor

Referencias

1. Abhijit Dasgupta (2013). Teoría de conjuntos: con una introducción a los conjuntos de puntos reales . Springer Science & Business Media . págs. 362–363. ISBN. 978-1-4614-8854-5.
2. Lawrence Paulson (1992). La teoría de conjuntos como lógica computacional (PDF) . Laboratorio de Computación de la Universidad de Cambridge. pág. 14.
3. Graham Priest (2002). Más allá de los límites del pensamiento . Oxford University Press. pp. 118-119. ISBN 978-0-19-925405-7.
4. Heinz-Dieter Ebbinghaus (2007). Ernst Zermelo: una aproximación a su vida y obra . Springer Science & Business Media. págs. 86-87. ISBN 978-3-540-49553-6.
5. Church, A. [1974] "Teoría de conjuntos con un conjunto universal". en Proceedings of the Tarski Symposium. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXV, ed. L. Henkin, Providence RI, segunda impresión con añadidos 1979, pp. 297−308. ISBN 978-0-8218-7360-1 . También publicado en International Logic Review 15 pp. 11−23. 
6. Cantor, Georg (1891), "Über eine elementare Frage der Mannigfaltigskeitslehre", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (en alemán), 1 : 75–78, también en Georg Cantor, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , E. Zermelo, 1932.
7. A. Kanamori, "El conjunto vacío, el singleton y el par ordenado", pág. 276. Boletín de lógica simbólica, vol. 9, núm. 3, (2003). Consultado el 21 de agosto de 2023.
8. F. William Lawvere; Stephen H. Schanuel (2009). Matemáticas conceptuales: una primera introducción a las categorías . Cambridge University Press. Sesión 29. ISBN 978-0-521-89485-2.

• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag , Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).  
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (3.ª edición del milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2

Enlaces externos

• "Teorema de Cantor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Cantor". MathWorld .