Esquema axiomático de especificación

Concepto en la teoría de conjuntos axiomáticos

En muchas versiones populares de la teoría de conjuntos axiomáticos , el esquema axiomático de especificación , ^[1] también conocido como esquema axiomático de separación ( Aussonderungsaxiom ), ^[2] axioma de subconjunto ^[3] , axioma de construcción de clases [ ^4] o esquema axiomático de comprensión restringida es un esquema axiomático . Básicamente, dice que cualquier subclase definible de un conjunto es un conjunto.

Algunos matemáticos lo llaman el esquema axiomático de la comprensión , aunque otros utilizan ese término para la comprensión sin restricciones , que se analiza más adelante.

Debido a que la restricción de la comprensión evitaba la paradoja de Russell , varios matemáticos, incluidos Zermelo , Fraenkel y Gödel , lo consideraron el axioma más importante de la teoría de conjuntos. ^[5]

Declaración

Se incluye una instancia del esquema para cada fórmula en el lenguaje de la teoría de conjuntos con como variable libre. Por lo tanto, no aparece libre en . ^{[3] [2] [6]} En el lenguaje formal de la teoría de conjuntos, el esquema axiomático es: ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

${\displaystyle \forall A\,\exists S\,\forall x\,{\big (}x\in S\iff (x\in A\wedge \varphi (x)){\big )}}$^{[3] [1] [6]}

o en palabras:

Sea una fórmula. Para cada conjunto existe un conjunto que consta de todos los elementos tales que se cumple. ^[3] ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$

Nótese que hay un axioma para cada predicado de este tipo ; por lo tanto, este es un esquema axiomático . ^{[3] [1]} ${\displaystyle \varphi (x)}$

Para entender este esquema axiomático, observe que el conjunto debe ser un subconjunto de A. Por lo tanto, lo que el esquema axiomático realmente está diciendo es que, dado un conjunto y un predicado , podemos encontrar un subconjunto de A cuyos miembros sean precisamente los miembros de A que satisfacen . Por el axioma de extensionalidad, este conjunto es único. Por lo general, denotamos este conjunto utilizando la notación de construcción de conjuntos como . Por lo tanto, la esencia del axioma es: ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle S=\{x\in A|\varphi (x)\}}$

Cada subclase de un conjunto que está definido por un predicado es en sí misma un conjunto.

La forma precedente de separación fue introducida en 1930 por Thoralf Skolem como un refinamiento de una forma previa, no de primer orden ^[7] de Zermelo. ^[8] El esquema axiomático de especificación es característico de los sistemas de teoría de conjuntos axiomáticos relacionados con la teoría de conjuntos usual ZFC , pero no suele aparecer en sistemas radicalmente diferentes de teoría de conjuntos alternativa . Por ejemplo, los Nuevos Fundamentos y la teoría de conjuntos positiva utilizan diferentes restricciones del axioma de comprensión de la teoría de conjuntos ingenua . La teoría de conjuntos alternativa de Vopenka hace hincapié en permitir subclases adecuadas de conjuntos, llamadas semiconjuntos . Incluso en sistemas relacionados con ZFC, este esquema a veces se restringe a fórmulas con cuantificadores acotados, como en la teoría de conjuntos de Kripke-Platek con urelementos .

Relación con el esquema axiomático de reemplazo

El esquema axiomático de especificación está implícito en el esquema axiomático de reemplazo junto con el axioma de conjunto vacío . ^{[9] [a]}

El esquema axiomático de reemplazo dice que, si una función es definible por una fórmula , entonces para cualquier conjunto , existe un conjunto : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall x\,\forall y\,\forall z\,\forall p_{1}\ldots \forall p_{n}[\varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})\wedge \varphi (x,z,p_{1},\ldots ,p_{n})\implies y=z]\implies \\&\forall A\,\exists B\,\forall y(y\in B\iff \exists x(x\in A\wedge \varphi (x,y,p_{1},\ldots ,p_{n})))\end{aligned}}}$. ^[9]

Para derivar el esquema axiomático de especificación, sea una fórmula y un conjunto, y definamos la función tal que si es verdadera y si es falsa, donde tal que es verdadera. Entonces el conjunto garantizado por el esquema axiomático de reemplazo es precisamente el conjunto requerido en el esquema axiomático de especificación. Si no existe, entonces en el esquema axiomático de especificación está el conjunto vacío, cuya existencia (es decir, el axioma de conjunto vacío) es entonces necesaria. ^[9] ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle f(x)=u}$ ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle u\in z}$ ${\displaystyle \varphi (u,p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle f(x)}$

Por esta razón, el esquema axiomático de especificación se deja fuera de algunas axiomatizaciones de la teoría de conjuntos ZF (Zermelo-Frankel) , ^[10] aunque algunos autores, a pesar de la redundancia, incluyen ambos. ^[11] De todos modos, el esquema axiomático de especificación es notable porque estaba en la lista original de axiomas de Zermelo de 1908, antes de que Fraenkel inventara el axioma de reemplazo en 1922. ^[10] Además, si uno toma la teoría de conjuntos ZFC (es decir, ZF con el axioma de elección), elimina el axioma de reemplazo y el axioma de colección , pero mantiene el esquema axiomático de especificación, se obtiene el sistema más débil de axiomas llamado ZC (es decir, los axiomas de Zermelo, más el axioma de elección). ^[12]

Comprensión sin restricciones

El esquema axiomático de la comprensión irrestricta dice:

$${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\exists B\,\forall x\,(x\in B\Leftrightarrow \varphi (x,w_{1},\ldots ,w_{n}))}$$

eso es:

Existe un conjunto B cuyos miembros son precisamente aquellos objetos que satisfacen el predicado φ .

Este conjunto B es nuevamente único, y usualmente se denota como { x  : φ ( x , w ₁ , ..., w _b )}.

Este esquema axiomático se utilizó tácitamente en los primeros días de la teoría de conjuntos ingenua , antes de que se adoptara una axiomatización estricta. Sin embargo, más tarde se descubrió que conducía directamente a la paradoja de Russell , al tomar φ ( x ) como ¬( x  ∈  x ) (es decir, la propiedad de que el conjunto x no es un miembro de sí mismo). Por lo tanto, ninguna axiomatización útil de la teoría de conjuntos puede utilizar la comprensión sin restricciones. Pasar de la lógica clásica a la lógica intuicionista no ayuda, ya que la prueba de la paradoja de Russell es válida desde el punto de vista intuicionista.

La aceptación exclusiva del esquema axiomático de especificación fue el comienzo de la teoría axiomática de conjuntos. La mayoría de los demás axiomas de Zermelo-Fraenkel (pero no el axioma de extensionalidad , el axioma de regularidad o el axioma de elección ) se hicieron necesarios para compensar algo de lo que se perdió al cambiar el esquema axiomático de comprensión por el esquema axiomático de especificación: cada uno de estos axiomas establece que existe un determinado conjunto y define ese conjunto dando un predicado que sus miembros deben satisfacer, es decir, es un caso especial del esquema axiomático de comprensión.

También es posible evitar que el esquema sea inconsistente restringiendo las fórmulas a las que se puede aplicar, como solo fórmulas estratificadas en New Foundations (ver más abajo) o solo fórmulas positivas (fórmulas con solo conjunción, disyunción, cuantificación y fórmulas atómicas) en la teoría de conjuntos positiva . Sin embargo, las fórmulas positivas generalmente no pueden expresar ciertas cosas que la mayoría de las teorías sí pueden; por ejemplo, no hay complemento ni complemento relativo en la teoría de conjuntos positiva.

En la teoría de clases de NBG

En la teoría de conjuntos de von Neumann–Bernays–Gödel se hace una distinción entre conjuntos y clases . Una clase C es un conjunto si y solo si pertenece a alguna clase E. En esta teoría, hay un esquema de teorema que dice $${\displaystyle \exists D\forall C\,([C\in D]\iff [P(C)\land \exists E\,(C\in E)])\,,}$$

eso es,

Existe una clase D tal que cualquier clase C es miembro de D si y sólo si C es un conjunto que satisface P.

siempre que los cuantificadores en el predicado P estén restringidos a conjuntos.

Este esquema de teorema es en sí mismo una forma restringida de comprensión, que evita la paradoja de Russell debido al requisito de que C sea un conjunto. Entonces, la especificación de los conjuntos mismos puede escribirse como un único axioma. $${\displaystyle \forall D\forall A\,(\exists E\,[A\in E]\implies \exists B\,[\exists E\,(B\in E)\land \forall C\,(C\in B\iff [C\in A\land C\in D])])\,,}$$

eso es,

Dada cualquier clase D y cualquier conjunto A , existe un conjunto B cuyos miembros son precisamente aquellas clases que son miembros tanto de A como de D.

o incluso más simplemente

La intersección de una clase D y un conjunto A es en sí misma un conjunto B.

En este axioma, el predicado P se reemplaza por la clase D , que puede cuantificarse. Otro axioma más simple que logra el mismo efecto es $${\displaystyle \forall A\forall B\,([\exists E\,(A\in E)\land \forall C\,(C\in B\implies C\in A)]\implies \exists E\,[B\in E])\,,}$$

eso es,

Una subclase de un conjunto es un conjunto.

En configuraciones de orden superior

En un lenguaje tipado en el que podemos cuantificar sobre predicados, el esquema axiomático de especificación se convierte en un axioma simple. Este es un truco muy similar al que se utilizó en los axiomas de NBG de la sección anterior, donde el predicado se reemplazó por una clase sobre la que luego se cuantificó.

En la lógica de segundo orden y en la lógica de orden superior con semántica de orden superior, el axioma de especificación es una validez lógica y no necesita incluirse explícitamente en una teoría.

En Los nuevos fundamentos de Quine

En el enfoque de los Nuevos Fundamentos para la teoría de conjuntos iniciado por WVO Quine , el axioma de comprensión para un predicado dado toma la forma irrestricta, pero los predicados que pueden usarse en el esquema están restringidos. El predicado ( C no está en C ) está prohibido, porque el mismo símbolo C aparece en ambos lados del símbolo de pertenencia (y por lo tanto en diferentes "tipos relativos"); por lo tanto, se evita la paradoja de Russell. Sin embargo, al tomar P ( C ) como ( C = C ) , lo cual está permitido, podemos formar un conjunto de todos los conjuntos. Para más detalles, consulte estratificación .

Referencias

1. "AxiomaticSetTheory". www.cs.yale.edu . Esquema de especificación de axiomas . Consultado el 8 de junio de 2024 .
2. Suppes, Patrick (1 de enero de 1972). Teoría de conjuntos axiomáticos. Courier Corporation. págs. 6, 19, 21, 237. ISBN 978-0-486-61630-8.
3. Cunningham, Daniel W. (2016). Teoría de conjuntos: un primer curso . Cambridge mathematics textbooks. Nueva York, NY: Cambridge University Press. págs. 22, 24–25, 29. ISBN 978-1-107-12032-7.
4. Pinter, Charles C. (1 de junio de 2014). Un libro de teoría de conjuntos. Courier Corporation. pág. 27. ISBN 978-0-486-79549-2.
5. Heinz-Dieter Ebbinghaus (2007). Ernst Zermelo: Una aproximación a su vida y obra . Springer Science & Business Media. pág. 88. ISBN 978-3-540-49553-6.
6. DeVidi, David; Hallett, Michael; Clark, Peter (23 de marzo de 2011). Lógica, matemáticas, filosofía, entusiasmos antiguos: ensayos en honor a John L. Bell. Springer Science & Business Media. pág. 206. ISBN 978-94-007-0214-1.
7. FR Drake, Teoría de conjuntos: una introducción a los grandes cardinales (1974), págs. 12-13. ISBN 0 444 10535 2.
8. WVO Quine, Lógica matemática (1981), pág. 164. Harvard University Press, 0-674-55451-5
9. Toth, Gabor (23 de septiembre de 2021). Elementos de matemáticas: un enfoque centrado en problemas para la historia y los fundamentos. Springer Nature. pág. 32. ISBN 978-3-030-75051-0.
10. Bajnok, Béla (27 de octubre de 2020). Una invitación a las matemáticas abstractas. Springer Nature. pág. 138. ISBN 978-3-030-56174-1.
11. Vaught, Robert L. (28 de agosto de 2001). Teoría de conjuntos: una introducción. Springer Science & Business Media. pág. 67. ISBN 978-0-8176-4256-3.
12. Kanovei, Vladimir; Reeken, Michael (9 de marzo de 2013). Análisis no estándar, axiomático. Springer Science & Business Media. pág. 21. ISBN 978-3-662-08998-9.

Lectura adicional

• Crossley, J.b.N.; Ash, C.J.; Brickhill, C.J.; Stillwell, J.C.; Williams, N.H. (1972). ¿Qué es la lógica matemática? . Londres-Oxford-Nueva York: Oxford University Press . ISBN 0-19-888087-1.Zbl 0251.02001  .
• Halmos, Paul , Naive Set Theory . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (edición de Springer-Verlag). 
• Jech, Thomas, 2003. Teoría de conjuntos: edición del tercer milenio, revisada y ampliada . Springer. ISBN 3-540-44085-2 . 
• Kunen, Kenneth, 1980. Teoría de conjuntos: Introducción a las pruebas de independencia . Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 . 

Notas

1. Suppes, ^[2] citado anteriormente, lo derivó únicamente del esquema axiomático de reemplazo (p. 237), pero eso se debe a que comenzó su formulación de la teoría de conjuntos incluyendo el conjunto vacío como parte de la definición de un conjunto: su Definición 1, en la página 19, establece que . ${\displaystyle y{\text{ is a set}}\iff (\exists x)\ (x\in y\lor y=\emptyset )}$