La constante de Sierpiński es una constante matemática normalmente denominada K. Una forma de definirlo es como el siguiente límite:
![{\displaystyle K=\lim _{n\to \infty }\left[\sum _{k=1}^{n}{r_{2}(k) \over k}-\pi \ln n\right ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde r 2 ( k ) es un número de representaciones de k como suma de la forma a 2 + b 2 para números enteros a y b .
Se puede dar en forma cerrada como:
![{\displaystyle {\begin{aligned}K&=\pi \left(2\ln 2+3\ln \pi +2\gamma -4\ln \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\ right)\right)\\&=\pi \ln \left({\frac {4\pi ^{3}e^{2\gamma }}{\Gamma \left({\tfrac {1}{4} }\right)^{4}}}\right)\\&=\pi \ln \left({\frac {e^{2\gamma }}{2G^{2}}}\right)\\& =2.584981759579253217065893587383\dots \end{aligned}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde es la constante de Gauss y es la constante de Euler-Mascheroni .![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otra forma de definir/entender la constante de Sierpiński es,
Gráfica de la ecuación dada donde la línea recta representa la constante de SierpińskiSea r(n) [1] el número de representaciones de por cuadrados, entonces la Función Sumatoria [2] de tiene la expansión Asintótica [3]![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r_{2}(k)/k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
¿Dónde está la constante de Sierpinski? El gráfico anterior muestra![{\displaystyle K=2,5849817596}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
con el valor de indicado como la línea horizontal sólida.![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
enlaces externos
- [1]
- http://www.plouffe.fr/simon/constants/sierpinski.txt - Constante de Sierpiński hasta el 2000 dígito decimal.
- Weisstein, Eric W. "Constante de Sierpinski". MundoMatemático .
- Secuencia OEIS A062089 (Expansión decimal de la constante de Sierpiński)
- https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/s/s276.htm
Referencias
- ^ "r(n)". archivo.lib.msu.edu . Consultado el 30 de noviembre de 2021 .
- ^ "Función sumatoria". archivo.lib.msu.edu . Consultado el 30 de noviembre de 2021 .
- ^ "Asintótico". archivo.lib.msu.edu . Consultado el 30 de noviembre de 2021 .