teorema de brun

Teorema de que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge

La convergencia a la constante de Brun.

En teoría de números , el teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los primos gemelos (pares de números primos que difieren en 2) converge a un valor finito conocido como constante de Brun , generalmente denotada por B ₂ (secuencia A065421 en la OEIS ). El teorema de Brun fue demostrado por Viggo Brun en 1919 y tiene importancia histórica en la introducción de los métodos de tamiz .

Límites asintóticos de primos gemelos

La convergencia de la suma de recíprocos de primos gemelos se deriva de los límites de la densidad de la secuencia de primos gemelos. Denotemos el número de primos p ≤ x para los cuales p + 2 también es primo (es decir, es el número de primos gemelos con el menor x como máximo ). Entonces nosotros tenemos ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$ ${\displaystyle \pi _{2}(x)}$

${\displaystyle \pi _{2}(x)=O\!\left({\frac {x(\log \log x)^{2}}{(\log x)^{2}}}\right)\!.}$

Es decir, los números primos gemelos son menos frecuentes que los números primos en casi un factor logarítmico. Esta cota da la intuición de que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, o dicho de otra manera, los primos gemelos forman un conjunto pequeño . En términos explícitos, la suma

${\displaystyle \sum \limits _{p\,:\,p+2\in \mathbb {P} }{\left({{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}}\right)}=\left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots }$

tiene un número finito de términos o tiene un número infinito de términos pero es convergente: su valor se conoce como constante de Brun.

Si fuera el caso de que la suma divergiera, entonces ese hecho implicaría que hay infinitos primos gemelos. Debido a que la suma de los recíprocos de los primos gemelos converge, no es posible concluir de este resultado que hay un número finito o infinito de primos gemelos. La constante de Brun podría ser un número irracional sólo si hay infinitos primos gemelos.

Estimaciones numéricas

La serie converge extremadamente lentamente. Thomas Nicely observa que después de sumar los primeros mil millones (10 ⁹ ) de términos, el error relativo sigue siendo superior al 5%. ^[1]

Al calcular los números primos gemelos hasta 10 ¹⁴ (y descubrir el error del Pentium FDIV en el camino), Nicely estimó heurísticamente que la constante de Brun era 1,902160578. ^[1] Nicely ha ampliado su cálculo a 1,6 × 10¹⁵ al 18 de enero de 2010, pero este no es el cálculo más grande de este tipo.

En 2002, Pascal Sebah y Patrick Demichel utilizaron todos los primos gemelos hasta 10 ¹⁶ para dar la estimación ^[2] de que B ₂  ≈ 1,902160583104. Por eso,

El último se basa en la extrapolación de la suma 1.830484424658... para los primos gemelos inferiores a 10 ¹⁶ . Dominic Klyve demostró condicionalmente (en una tesis inédita) que B ₂  < 2,1754 (asumiendo la hipótesis ampliada de Riemann ). Se ha demostrado incondicionalmente que B ₂  < 2,347. ^[3]

También existe una constante de Brun para los cuatrillizos primos . Un cuatrillizo primo es un par de dos pares de primos gemelos, separados por una distancia de 4 (la distancia más pequeña posible). Los primeros cuatrillizos primos son (5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109). La constante de Brun para los cuatrillizos primos, denotada por B ₄ , es la suma de los recíprocos de todos los cuatrillizos primos:

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$

con valor:

B ₄  = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005, teniendo el rango de error un nivel de confianza del 99% según Nicely. ^[1]

Esta constante no debe confundirse con la constante de Brun para primos primos , como pares de primos de la forma ( p ,  p  + 4), que también se escribe como B ₄ . Wolf derivó una estimación para las sumas de tipo Brun B _n de 4/ n .

Otros resultados

Sea (secuencia A005597 en el OEIS ) la constante prima gemela . Entonces se conjetura que ${\displaystyle C_{2}=0.6601\ldots }$

${\displaystyle \pi _{2}(x)\sim 2C_{2}{\frac {x}{(\log x)^{2}}}.}$

En particular,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<(2C_{2}+\varepsilon ){\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

para todos y cada uno de x suficientemente grande . ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Se han demostrado muchos casos especiales de lo anterior. Más recientemente, Jie Wu demostró que para x suficientemente grande ,

${\displaystyle \pi _{2}(x)<4.5\,{\frac {x}{(\log x)^{2}}}}$

donde 4.5 corresponde a lo anterior. ${\displaystyle \varepsilon \approx 3.18}$

En la cultura popular

Los dígitos de la constante de Brun se utilizaron en una oferta de 1.902.160.540 dólares en la subasta de patentes de Nortel . La oferta fue publicada por Google y fue una de las tres ofertas de Google basadas en constantes matemáticas . ^[4] Además, la investigación académica sobre la constante finalmente resultó en que el error Pentium FDIV se convirtiera en un notable fiasco de relaciones públicas para Intel . ^{[5] [6]}

Ver también

• Divergencia de la suma de los recíprocos de los números primos.
• Constante de Meissel-Mertens

Notas

1. Muy bien, Thomas R. (18 de enero de 2010). "Enumeración hasta 1,6*10^15 de los primos gemelos y la constante de Brun". Algunos resultados de la investigación computacional en números primos (teoría de números computacional) . Archivado desde el original el 8 de diciembre de 2013 . Consultado el 16 de febrero de 2010 .
2. Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introducción a los primos gemelos y el cálculo constante de Brun". CiteSeerX 10.1.1.464.1118 . 
3. Klyve, Domingo. "Límites explícitos de los primos gemelos y la constante de Brun" . Consultado el 24 de mayo de 2021 .
4. Damouni, Nadia (1 de julio de 2011). "Dealtalk: Google ofertó" pi "por las patentes de Nortel y perdió". Reuters . Archivado desde el original el 3 de julio de 2011 . Consultado el 6 de julio de 2011 .
5. "Preguntas frecuentes sobre fallas de Pentium FDIV". www.trnicely.net . Archivado desde el original el 18 de junio de 2019 . Consultado el 22 de febrero de 2022 .
6. Precio, D. (1995). "Lecciones aprendidas sobre fallas de Pentium FDIV". Micro IEEE . 15 (2): 86–88. doi : 10.1109/40.372360.

Referencias

• Brun, Viggo (1915). "Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare". Archivo de Mathematik og Naturvidenskab . B34 (8).
• Brun, Viggo (1919). "La serie 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61 +..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie". Bulletin des Sciences Mathématiques (en francés). 43 : 100–104, 124–128.
• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Una introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres. vol. 66. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 73–74. ISBN 0-521-61275-6.
• Landau, E. (1927). Elementare Zahlentheorie . Leipzig, Alemania: Hirzel.Reimpreso Providence, RI: Amer. Matemáticas. Sociedad, 1990.
• LeVeque, William Judson (1996). Fundamentos de la teoría de números . Ciudad de Nueva York: Dover Publishing. págs. 1–288. ISBN 0-486-68906-9.Contiene una prueba más moderna.
• Wu, J. (2004) [24 de septiembre de 2007]. "El doble tamiz de Chen, la conjetura de Goldbach y el problema de los primos gemelos". Acta Aritmética . 114 (3): 215–273. arXiv : 0705.1652 . Código Bib : 2004AcAri.114..215W. doi :10.4064/aa114-3-2.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La constante de Brun". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Brun". MundoMatemático .
• La constante de Brun en PlanetMath .
• Sebah, Pascal y Xavier Gourdon, Introducción a los primos gemelos y el cálculo constante de Brun, 2002. Un examen detallado moderno.
• Artículo de Wolf sobre sumas tipo Brun