Constante de Champernowne

Número(s) trascendental(es) con todos los números enteros positivos en orden

En matemáticas , la constante de Champernowne C ₁₀ es una constante real trascendental cuya expansión decimal tiene propiedades importantes. Lleva el nombre del economista y matemático DG Champernowne , quien lo publicó cuando era estudiante en 1933. ^[1] El número se define concatenando las representaciones en base 10 de los números enteros positivos:

C ₁₀ = 0,12345678910111213141516...  (secuencia A033307 en la OEIS ).

Las constantes de Champernowne también se pueden construir en otras bases de manera similar; Por ejemplo,

C ₂ = 0,11011100101110111...  ₂

y

C ₃ = 0,12101112202122...  ₃ .

La palabra Champernowne o palabra Barbier es la secuencia de dígitos de C ₁₀ que se obtiene escribiéndola en base 10 y yuxtaponiendo los dígitos: ^{[2] [3]}

12345678910111213141516...  (secuencia A007376 en el OEIS )

De manera más general, una secuencia de Champernowne (a veces también llamada palabra de Champernowne ) es cualquier secuencia de dígitos obtenida al concatenar todas las cadenas de dígitos finitas (en cualquier base determinada) en algún orden recursivo. ^[4] Por ejemplo, la secuencia binaria de Champernowne en orden shortlex es

0 1 00 01 10 11 000 001... (secuencia A076478 en el OEIS )

donde se han insertado espacios (de lo contrario se ignorarán) solo para mostrar las cadenas que se están concatenando.

Propiedades

Se dice que un número real x es normal si sus dígitos en cada base siguen una distribución uniforme: todos los dígitos son igualmente probables, todos los pares de dígitos igualmente probables, todos los tripletes de dígitos igualmente probables, etc. Se dice que un número x es normal en base b si sus dígitos en base b siguen una distribución uniforme.

Si denotamos una cadena de dígitos como [ a ₀ , a ₁ , ...], entonces, en base 10, esperaríamos que aparezcan las cadenas [0], [1], [2], …, [9] 1/ 10 de las veces, las cadenas [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] ocurren 1/100 de las veces, y así sucesivamente, en un número normal .

Champernowne demostró que es normal en base 10, ^[1] mientras que Nakai y Shiokawa demostraron un teorema más general, cuyo corolario es que es normal en base para cualquier b . ^[5] Es un problema abierto si es normal en las bases . Por ejemplo, no se sabe si es normal en base 9. Por ejemplo, 54 dígitos de es 0.123456789101112131415161718192021222324252627282930313. Cuando expresamos esto en base 9 obtenemos . ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle C_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle b\neq k}$ ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle {0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}}$

Kurt Mahler demostró que la constante es trascendental . ^[6] La medida de irracionalidad de es , y más generalmente para cualquier base . ^[7] ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle \mu (C_{10})=10}$ ${\displaystyle \mu (C_{b})=b}$ ${\displaystyle b\geq 2}$

La palabra Champernowne es una secuencia disyuntiva . Una secuencia disyuntiva es una secuencia infinita (sobre un alfabeto finito de caracteres ) en la que cada cadena finita aparece como una subcadena.

Serie

La definición de la constante de Champernowne da lugar inmediatamente a una representación en serie infinita que implica una suma doble,

$${\displaystyle C_{10}=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-\delta _{10}(n)}\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)}}},}$$

nbbb − 1 ${\displaystyle \delta _{10}(n)=9\sum _{\ell =1}^{n-1}10^{\ell -1}\ell }$

$${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(\sum \limits _{k=1}^{n}\left\lceil \log _{b}(k+1)\right\rceil \right)}}$$

$${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(n+\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left\lfloor \log _{b}(k+1)\right\rfloor \right)},}$$

funciones de piso y techo^{[8] [9]} ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

Volviendo a la primera de estas series, tanto la suma de la suma exterior como la expresión para se pueden simplificar usando la forma cerrada para la serie geométrica bidimensional : ${\displaystyle \delta _{b}(n)}$

$${\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }ka^{k}=a^{n}{\frac {n-(n-1)a}{(1-a)^{2}}}.}$$

La expresión resultante para es ${\displaystyle \delta _{b}(n)}$

$${\displaystyle \delta _{b}(n)=(b-1)\sum _{\ell =1}^{n-1}b^{\ell -1}\ell ={\frac {1}{b-1}}\left(1+b^{n-1}((b-1)n-b)\right),}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}b^{-\delta _{b}(n)}\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{n(k-b^{n-1}+1)}}}&=b^{-\delta _{b}(n)}b^{n(b^{n-1}-1)}\left(\sum _{k=b^{n-1}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}-\sum _{k=b^{n}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}\right)\\&={\frac {b^{2n-1}-b^{n-1}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n)}-{\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n+1)}.\end{aligned}}}$$

n ≥ 1

$${\displaystyle C_{b}={\frac {b}{(b-1)^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}-{\frac {b^{2n+1}-b^{n}+1}{\left(b^{n+1}-1\right)^{2}}}\right)b^{-\delta _{b}(n+1)}.}$$

n ≥ 2nnC ₁₀ ${\displaystyle {\frac {b-1}{b}}}$ ${\displaystyle \delta _{b}(n+1)}$

$${\displaystyle C_{10}={\frac {10}{81}}-\left[\left({\frac {91}{81}}-{\frac {991}{9801}}\right)\times 10^{-9}+\left({\frac {9901}{9801}}-{\frac {99901}{998001}}\right)\times 10^{-189}+\left({\frac {999001}{998001}}-{\frac {9999001}{99980001}}\right)\times 10^{-2889}+\ldots \right].}$$

Expansión de fracción continua

Los primeros 161 cocientes de la fracción continua de la constante de Champernowne. Los números 4, 18, 40 y 101 son mucho más grandes que 270, por lo que no aparecen en el gráfico.

Los primeros 161 cocientes de la fracción continua de la constante de Champernowne en escala logarítmica .

La expansión en fracción continua simple de la constante de Champernowne no termina (porque la constante no es racional ) y es aperiódica (porque no es una cuadrática irreducible). Una fracción continua simple es una fracción continua donde el denominador es 1. La expansión de fracción continua simple de la constante de Champernowne exhibe términos extremadamente grandes que aparecen entre muchos pequeños. Por ejemplo, en base 10,

C10 ₌ [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 5550 0 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ...]. (secuencia A030167 en la OEIS )

El número grande en la posición 18 tiene 166 dígitos y el siguiente término muy grande en la posición 40 de la fracción continua tiene 2504 dígitos. El hecho de que haya números tan grandes como términos de la expansión de fracciones continuas significa que los convergentes obtenidos al detenerse ante estos números grandes proporcionan una aproximación excepcionalmente buena de la constante de Champernowne. Por ejemplo, truncando justo antes del cuarto cociente parcial, se obtiene

$${\displaystyle 10/81=\sum _{k=1}^{\infty }k/10^{k}=0.{\overline {123456790}},}$$

1 × 10 ⁻⁹10 ⁻⁹

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60499999499}{490050000000}}&=0.123456789+10^{-9}\sum _{k=10}^{\infty }k/10^{2(k-9)}=0.123456789+10^{-9}{\frac {991}{9801}}\\&=0.123456789{\overline {10111213141516171819\ldots 90919293949596979900010203040506070809}},\end{aligned}}}$$

9 × 10 ⁻¹⁹⁰

El primer y segundo términos incrementales más grandes ("marcas máximas") después del cero inicial son 8 y 9, respectivamente, y ocurren en las posiciones 1 y 2. Sikora (2012) notó que el número de dígitos en las marcas máximas comenzando con el cuarto muestra un patrón aparente. ^[10] De hecho, las propias marcas máximas crecen doblemente exponencialmente, y el número de dígitos en la enésima marca son ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$

6, 166, 25 04, 33 102 , 41 1 100 , 49 11 098 , 57 111 096 , 65 1111 094 , 73 11111 092 , ...

cuyo patrón se vuelve obvio a partir de la sexta marca de marea alta. El número de términos puede estar dado por

$${\displaystyle d_{n}={\frac {13-67\times 10^{n-3}}{45}}+\left(2^{n}5^{n-3}-2\right),n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right).}$$

Sin embargo, aún se desconoce si existe o no una manera de determinar dónde aparecen los términos grandes (con al menos 6 dígitos) o sus valores. Las propias marcas de agua máxima están ubicadas en posiciones

1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062, .... (secuencia A143533 en el OEIS )

Ver también

• Constante de Copeland-Erdős , un número normal similar, definido utilizando los números primos
• La constante de Liouville , otra constante definida por su representación decimal
• Número de Smarandache-Wellin , otro número obtenido mediante concatenación de una representación en una base determinada.

Referencias

1. Champernowne 1933
2. Cassaigne y Nicolás (2010) p.165
3. Allouche, Jean-Paul; Shalit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 299.ISBN​ 978-0-521-82332-6. Zbl  1086.11015.
4. Calude, C .; Priese, L.; Staiger, L. (1997), Secuencias disyuntivas: descripción general , Universidad de Auckland, Nueva Zelanda, págs. 1–35, CiteSeerX 10.1.1.34.1370 
5. Nakai y Shiokawa 1992
6. K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen , Proc. Konin. Neder. Akád. Húmedo. Ser. R. 40 (1937), pág. 421–428.
7. Masaaki Amou, Aproximación a ciertas fracciones decimales trascendentales mediante números algebraicos , Journal of Number Theory , volumen 37, número 2, febrero de 1991, páginas 231–241
8. John K. Sikora: Análisis de los convergentes de la marca de límite superior de la constante de Champernowne en varias bases, en: arXiv:1408.0261, 1 de agosto de 2014, consulte la Definición 9
9. Weisstein, Eric W. "Constante de Champernowne". MundoMatemático .
10. Sikora, JK "Sobre los convergentes de la marca máxima de la constante de Champernowne en base diez". 3 de octubre de 2012. http://arxiv.org/abs/1210.1263

• Cassaigne, J.; Nicolás, F. (2010). "Complejidad de los factores". En Berthé, Valérie ; Rigo, Michel (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 135. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9. Zbl  1216.68204.
• Champernowne, DG (1933), "La construcción de decimales normales en la escala de diez", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , 8 (4): 254–260, doi :10.1112/jlms/s1-8.4.254.
• Nakai, Y.; Shiokawa, I. (1992), "Estimaciones de discrepancia para una clase de números normales", Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064/aa-62-3-271-284.