Series geométricas

Suma de una progresión geométrica (infinita)

La serie geométrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +... se muestra como áreas de cuadrados morados. Cada uno de los cuadrados morados tiene 1/4 del área del siguiente cuadrado más grande (1/2× 1/2 = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados morados es un tercio del área del cuadrado grande.

Otra serie geométrica (coeficiente a = 4/9 y razón común r = 1/9) se muestra como áreas de cuadrados de color violeta. El área violeta total es S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, lo cual se puede confirmar observando que el cuadrado unitario se divide en un infinito número de áreas en forma de L, cada una con cuatro cuadrados morados y cuatro cuadrados amarillos, que es la mitad de color morado.

En matemáticas , una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tienen una relación constante entre términos sucesivos. Por ejemplo, la serie

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

es geométrico, porque cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el término anterior por . En general, una serie geométrica se escribe como , donde es el coeficiente de cada término y es la razón común entre términos adyacentes. La serie geométrica tuvo un papel importante en el desarrollo temprano del cálculo , se utiliza en todas las matemáticas y puede servir como introducción a herramientas matemáticas de uso frecuente como la serie de Taylor , la serie de Fourier y la matriz exponencial . ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+...}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r}$

El nombre serie geométrica indica que cada término es la media geométrica de sus dos términos vecinos, de manera similar a como el nombre serie aritmética indica que cada término es la media aritmética de sus dos términos vecinos.

Componentes

Coeficiente a

Los primeros siete términos de la serie geométrica 1 + r + r ² + r ³ ... dibujados como funciones dentro del rango | r | < 1. La serie geométrica de forma cerrada 1 / (1 - r ) es la línea discontinua negra.

La serie geométrica a + ar + ar ² + ar ³ +... está escrita en forma expandida. ^[1] Todos los coeficientes de la serie geométrica son iguales. Por el contrario, la serie de potencias escrita como a ₀ + a ₁ r + a ₂ r ² + a ₃ r ³ + ... en forma expandida tiene coeficientes a _i que pueden variar de un término a otro. En otras palabras, la serie geométrica es un caso especial de la serie de potencias. El primer término de una serie geométrica en forma expandida es el coeficiente a de esa serie geométrica.

Además de la forma expandida de la serie geométrica, existe una forma generadora ^[1] de la serie geométrica escrita como

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}}$

y una forma cerrada de la serie geométrica escrita como

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}{\text{ for }}|r|<1.}$

La derivación de la forma cerrada a partir de la forma expandida se muestra en la sección § Suma de este artículo. Sin embargo, incluso sin esa derivación, el resultado se puede confirmar con una división larga : a dividido por (1 - r ) da como resultado a + ar + ar ² + ar ³ + ..., que es la forma expandida de la serie geométrica.

A menudo resulta conveniente en notación igualar la serie a la suma s y trabajar con la serie geométrica.

s = a + ar + ar ² + ar ³ + ar ⁴ + ... en su forma normalizada

s / a = 1 + r + r ² + r ³ + r ⁴ + ... o en su forma vectorial normalizada

s / a = [1 1 1 1 1 ...][1 r r ² r ³ r ⁴ ...] ^T o en su forma de serie parcial normalizada

s _n / a = 1 + r + r ² + r ³ + r ⁴ + ... + r ⁿ , donde n es la potencia (o grado) del último término incluido en la suma parcial s _n .

Cambiar incluso uno de los coeficientes a algo distinto del coeficiente a cambiaría la suma resultante de funciones a alguna función distinta a a / (1 − r ) dentro del rango | r | < 1. Además, un cambio particularmente útil en los coeficientes lo define la serie de Taylor , que describe cómo cambiar los coeficientes para que la suma de funciones converja a cualquier función suficientemente suave seleccionada por el usuario dentro de un rango.

proporción común r

La convergencia de la serie geométrica con r =1/2 y a =1/2

La convergencia de la serie geométrica con r =1/2 y a =1

Vista cercana de la suma acumulada de funciones dentro del rango -1 < r < -0,5 a medida que se suman los primeros 11 términos de la serie geométrica 1 + r + r ² + r ³ + .... La serie geométrica 1/(1 - r ) es la línea discontinua roja.

Serie geométrica compleja (coeficiente a = 1 y razón común r = 0,5 e ^{iω ₀ t} ) que converge en un círculo. En la animación, cada término de la serie geométrica se dibuja como un vector dos veces : una en el origen y otra vez dentro de la suma vectorial de cabeza a cola que converge en el círculo. El círculo corta el eje real en 2 (= 1/(1-1/2) cuando θ = 0) y en 2/3 (= 1/(1-(-1/2)) cuando θ = 180 grados).

La serie geométrica a + ar + ar ² + ar ³ +... es una serie infinita definida por sólo dos parámetros : coeficiente a y razón común r . Razón común r es la razón de cualquier término con el término anterior de la serie. O de manera equivalente, la razón común r es el multiplicador de términos utilizado para calcular el siguiente término de la serie. La siguiente tabla muestra varias series geométricas:

La convergencia de la serie geométrica depende del valor de la razón común r :

• Si | r | < 1, los términos de la serie se acercan a cero en el límite (haciéndose cada vez más pequeños en magnitud ), y la serie converge a la suma a /(1 - r ).
• Si | r | = 1, la serie no converge. Cuando r = 1, todos los términos de la serie son iguales y la serie es infinita. Cuando r = −1, los términos toman dos valores alternativamente (por ejemplo, 2, −2, 2, −2, 2,... ). La suma de los términos oscila entre dos valores (por ejemplo, 2, 0, 2, 0, 2,... ). Este es un tipo diferente de divergencia. Véase, por ejemplo, la serie de Grandi : 1 − 1 + 1 − 1 + ···.
• Si | r | > 1, los términos de la serie se hacen cada vez mayores en magnitud. La suma de los términos también aumenta cada vez más y la serie no converge en una suma. (La serie diverge .)

La tasa de convergencia también depende del valor del ratio común r . Específicamente, la tasa de convergencia se vuelve más lenta a medida que r se aproxima a 1 o −1. Por ejemplo, la serie geométrica con a = 1 es 1 + r + r ² + r ³ + ... y converge a 1 / (1 - r ) cuando | r | < 1. Sin embargo, el número de términos necesarios para converger se acerca al infinito cuando r se acerca a 1 porque a / (1 - r ) se acerca al infinito y cada término de la serie es menor o igual a uno. Por el contrario, a medida que r se acerca a −1, la suma de los primeros términos de la serie geométrica comienza a converger a 1/2, pero gira ligeramente hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si el término agregado más recientemente tiene una potencia de r que es par o impar. . Ese comportamiento de inversión cerca de r = −1 se ilustra en la imagen adyacente que muestra los primeros 11 términos de la serie geométrica con a = 1 y | r | < 1.

La razón común r y el coeficiente a también definen la progresión geométrica , que es una lista de los términos de la serie geométrica pero sin las sumas. Por lo tanto, la serie geométrica a + ar + ar ² + ar ³ + ... tiene la progresión geométrica (también llamada secuencia geométrica) a , ar , ar ² , ar ³ , ... La progresión geométrica - tan simple como es - modela una sorprendente cantidad de fenómenos naturales ,

• de algunas de las observaciones más importantes, como la expansión del universo , donde la proporción común r está definida por la constante de Hubble ,
• a algunas de las observaciones más pequeñas, como la desintegración de los átomos radiactivos de carbono-14, donde la proporción común r está definida por la vida media del carbono-14 .

Además, la razón común r puede ser un número complejo como | r |e ^{i θ} donde | r | es la magnitud (o longitud) del vector , θ es el ángulo (u orientación) del vector en el plano complejo e i ² = -1. Con una proporción común | r |e ^{i θ} , la forma expandida de la serie geométrica es a + a | r |e ^{yo θ} + a | r | ² mi ^{i2 θ} + a | r | ³ e ^{i3 θ} + ... Modelando el ángulo θ aumentando linealmente con el tiempo a razón de alguna frecuencia angular ω ₀ (en otras palabras, haciendo la sustitución θ = ω ₀ t ), la forma expandida de la serie geométrica se convierte en una + un | r |e ^{yo ω ₀ t} + a | r | ² mi ^{i2 ω ₀ t} + a | r | ³ e ^{i3 ω ₀ t} + ... , donde el primer término es un vector de longitud a que no gira en absoluto, y todos los demás términos son vectores de diferentes longitudes que giran en armónicos de la frecuencia angular fundamental ω ₀ . La restricción | r |<1 es suficiente para coordinar este número infinito de vectores de diferentes longitudes, todos girando a diferentes velocidades para trazar un círculo, como se muestra en el video adyacente. De manera similar a cómo la serie de Taylor describe cómo cambiar los coeficientes para que la serie converja a una función suficientemente suave seleccionada por el usuario dentro de un rango, la serie de Fourier describe cómo cambiar los coeficientes (que también pueden ser números complejos para especificar los ángulos iniciales). de vectores) para que la serie converja a una función periódica seleccionada por el usuario .

Suma

Como alternativa a la derivación algebraica de la fórmula de forma cerrada de la serie geométrica, también existe la siguiente derivación geométrica. (ARRIBA) Representa los primeros n+1 términos de s / a como áreas de triángulos similares superpuestos. ^[2] Por ejemplo, el área del triángulo superpuesto (rojo) más grande es bh /2 = (2)(1)/2 = 1, que es el valor del primer término de la serie geométrica. El área del segundo triángulo superpuesto (verde) más grande es bh /2 = (2 r ^1/2 )( r ^1/2 )/2 = r , que es el valor del segundo término de la serie geométrica. Cada triángulo progresivamente más pequeño tiene su base y altura reducidas por otro factor de r ^1/2 , lo que da como resultado una secuencia de áreas de triángulo 1, r , r ² , r ³ , ... que es igual a la secuencia de términos en el Serie geométrica normalizada. (CENTRO) En orden de mayor a menor, elimine el área superpuesta de cada triángulo, que siempre es una fracción r de su área, y escale los 1− r restantes del área no superpuesta del triángulo en 1/(1− r ) de modo que el área del triángulo anteriormente superpuesto, ahora el área de un trapezoide no superpuesto, sigue siendo la misma. (ABAJO) Agregue los n+1 trapecios no superpuestos resultantes en un único trapezoide no superpuesto y calcule su área. El área de ese trapecio agregado representa el valor de la serie parcial. Esa área es igual al triángulo más externo menos la punta del triángulo vacío: s _n / a = (1− r ⁿ⁺¹ ) / (1− r ), que se simplifica a s / a = 1/(1− r ) cuando n se acerca al infinito y | r | < 1.

La suma de los primeros n términos de una serie geométrica, hasta el término r ^n-1 inclusive , viene dada por la fórmula de forma cerrada:

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}ar^{k}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}\\&={\begin{cases}a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right)&r\neq 1\\an&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$$

donde r es la razón común. Se puede derivar esa fórmula de forma cerrada para la suma parcial, s _n , restando los muchos términos autosemejantes de la siguiente manera: ^{[3] [4] [5]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}s_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n-1},\\rs_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n},\\s_{n}-rs_{n}&=ar^{0}-ar^{n},\\s_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n}\right),\\s_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n}}{1-r}}\right),{\text{ for }}r\neq 1.\end{aligned}}}$$

Cuando n tiende a infinito, el valor absoluto de r debe ser menor que uno para que la serie converja. La suma entonces se convierte

$${\displaystyle {\begin{aligned}s&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }ar^{k-1}\\&={\frac {a}{1-r}},{\text{ for }}|r|<1.\end{aligned}}}$$

La fórmula también es válida para r complejo , con la correspondiente restricción de que el módulo de r es estrictamente menor que uno.

Además, la cuestión de si una serie infinita converge es fundamentalmente una cuestión sobre la distancia entre dos valores: dados suficientes términos, ¿el valor de la suma parcial se acerca arbitrariamente al valor finito al que se acerca? En la derivación anterior de la forma cerrada de la serie geométrica, la interpretación de la distancia entre dos valores es la distancia entre sus ubicaciones en la recta numérica . Ésa es la interpretación más común de la distancia entre dos valores. Sin embargo, la métrica p-ádica , que se ha convertido en una noción crítica en la teoría de números moderna , ofrece una definición de distancia tal que la serie geométrica 1 + 2 + 4 + 8 +... con a = 1 y r = 2 en realidad no converger a a / (1 - r ) = 1 / (1 - 2) = -1 aunque r esté fuera del rango de convergencia típico | r | < 1.

Prueba de convergencia

Podemos demostrar que la serie geométrica converge usando la fórmula de suma para una progresión geométrica :

$${\displaystyle {\begin{aligned}1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots \ &=\lim _{n\to \infty }\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n}\right)\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle |r|<1,}$ ${\displaystyle r^{n+1}\to 0}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n}\right)(1-r)&=\left((1-r)+(r-r^{2})+(r^{2}-r^{3})+\dots +(r^{n}-r^{n+1})\right)\\&=1+(-r+r)+(-r^{2}+r^{2})+\dots +(-r^{n}+r^{n})-r^{n+1}\\&=1-r^{n+1}.\end{aligned}}}$$

Alternativamente, en el diagrama adyacente se muestra una interpretación geométrica de la convergencia. El área del triángulo blanco es el resto de la serie = s − s _n = ar ^{n +1} / (1 − r ). Cada término adicional en la serie parcial reduce el área del resto del triángulo blanco por el área del trapezoide que representa el término agregado. Las áreas trapezoidales (es decir, los valores de los términos) se vuelven progresivamente más delgadas, más cortas y más cercanas al origen. En el límite, cuando el número de trapecios se acerca al infinito, el resto del triángulo blanco desaparece al llenarse de trapecios y, por lo tanto, s _n converge a s , siempre que | r |<1. Por el contrario, si | r |>1, las áreas trapezoidales que representan los términos de la serie se vuelven progresivamente más anchas, más altas y más alejadas del origen, sin converger al origen y sin converger como una serie.

Tasa de convergencia

Serie geométrica alterna convergente con relación común r = -1/2 y coeficiente a = 1. (ARRIBA) Áreas positivas y negativas alternas. (CENTRO) Huecos causados ​​por la adición de áreas adyacentes. (ABAJO) Huecos llenados ampliando y disminuyendo las alturas de los trapecios separados.

Después de saber que una serie converge, hay algunas aplicaciones en las que también es importante saber con qué rapidez converge la serie. Para la serie geométrica, una medida conveniente de la tasa de convergencia es cuánto disminuye el resto de la serie anterior debido al último término de la serie parcial. Dado que el último término es ar ⁿ y el resto de la serie anterior es s - s _n-1 = ar ⁿ / (1 - r )), esta medida de la tasa de convergencia de la serie geométrica es ar ⁿ / ( ar ⁿ / ( 1 - r )) = 1 - r , si 0 ≤ r < 1.

Si r < 0, los términos adyacentes en la serie geométrica alternan entre positivos y negativos. En el diagrama adyacente se muestra una interpretación geométrica de una serie geométrica alterna convergente en el que las áreas de los términos negativos se muestran debajo del eje x. Emparejar y sumar cada área positiva con su vecina negativa de área más pequeña da como resultado trapecios no superpuestos separados por espacios. Para eliminar los espacios, amplíe cada trapezoide para cubrir el 1 - r ² más a la derecha del área del triángulo original en lugar de solo el 1 - | r |. Sin embargo, para mantener las mismas áreas trapezoidales durante esta transformación de ampliación, se necesita escalar: escala*(1 - r ² ) = (1 - | r |), o escala = (1 - | r |) / (1 - r ² ) = (1 + r ) / (1 - r ² ) = (1 + r ) / ((1 + r )(1 - r )) = 1 / (1 - r ) donde -1 < r ≤ 0. Nota que debido a que r < 0 esta escala disminuye la amplitud de los trapecios separados para llenar los espacios de separación. En contraste, para el caso r > 0 la misma escala 1 / (1 - r ) aumenta la amplitud de los trapecios no superpuestos para tener en cuenta la pérdida de las áreas superpuestas.

Con los espacios eliminados, los pares de términos en una serie geométrica alternante convergente se convierten en una serie geométrica convergente (no alternante) con una razón común r ² para representar el par de términos, coeficiente a = 1 / (1 - r ) para representar el llenado de espacios y el grado (es decir, el término de mayor potencia) de la serie parcial denominada m en lugar de n para enfatizar que los términos se han emparejado. Similar al caso r > 0, la tasa de convergencia r < 0 = ar ^2m / ( s - s _m-1 ) = 1 - r ² , que es la misma que la tasa de convergencia de una serie geométrica no alterna si sus términos estaban emparejados de manera similar. Por lo tanto, la tasa de convergencia no depende de n o my, lo que quizás sea más sorprendente, no depende del signo de la razón común. Una perspectiva que ayuda a explicar la tasa de convergencia variable que es simétrica con respecto a r = 0 es que cada término agregado de la serie parcial hace una contribución finita a la suma infinita en r = 1 y cada término agregado de la serie parcial hace una contribución finita a la pendiente infinita en r = -1.

Derivación

Prueba sin palabras de la fórmula para la suma de una serie geométrica – si | r | < 1 y n → ∞, el término r ⁿ desaparece, dejando S _∞ =a/1- r

series finitas

Para derivar esta fórmula, primero escriba una serie geométrica general como:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.}$$

Podemos encontrar una fórmula más simple para esta suma multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por 1 − r , y veremos que

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)\left(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}\right)\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}}$$

ya que todos los demás términos se cancelan. Si r ≠ 1, podemos reorganizar lo anterior para obtener la fórmula conveniente para una serie geométrica que calcula la suma de n términos:

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.}$$

Fórmulas relacionadas

Si uno comenzara la suma no desde k=1 o 0 sino desde un valor diferente, digamos , entonces ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}ar^{k-1}&={\begin{cases}{\frac {a(r^{m-1}-r^{n})}{1-r}}&{\text{if }}r\neq 1\\a(n-m+1)&{\text{if }}r=1\end{cases}}\\\sum _{k=m}^{n}ar^{k}&={\begin{cases}a(n-m+1)&{\text{if }}r=1\\{\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}&{\text{if }}r\neq 1\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Diferenciar esta fórmula con respecto a nos permite llegar a fórmulas para sumas de la forma ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle G_{s}(n,r):=\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.}$$

Por ejemplo:

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.}$$

Para una serie geométrica que contiene sólo potencias pares de multiplicar por : ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle 1-r^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}&=a-ar^{2n+2}\\\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}&={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}\end{aligned}}}$$

De manera equivalente, tome como proporción común y utilice la formulación estándar. ${\displaystyle r^{2}}$

Para una serie con sólo potencias impares de , ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}&=ar-ar^{2n+3}\\\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}&={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}&={\frac {a(r-r^{2n+3})}{1-r^{2}}}\end{aligned}}}$$

Una fórmula exacta para la suma generalizada cuando se expande mediante los números de Stirling de segunda especie como ^[6] ${\displaystyle G_{s}(n,r)}$ ${\displaystyle s\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle G_{s}(n,r)=\sum _{j=0}^{s}\left\lbrace {s \atop j}\right\rbrace x^{j}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}\left[{\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}\right].}$$

Series infinitas

Una serie geométrica infinita es una serie infinita cuyos términos sucesivos tienen una razón común. Tal serie converge si y sólo si el valor absoluto de la razón común es menor que uno (| r | < 1). Luego su valor se puede calcular a partir de la fórmula de suma finita

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}$$

Animación que muestra la convergencia de sumas parciales de progresión geométrica (línea roja) con su suma (línea azul) para . ${\displaystyle \sum \limits _{k=0}^{n}q^{k}}$ ${\displaystyle {1 \over 1-q}}$ ${\displaystyle |q|<1}$

Diagrama que muestra la serie geométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converge a 2.

Desde:

$${\displaystyle r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.}$$

Entonces:

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}$$

Para una serie que contiene sólo potencias pares de , ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}$$

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}$$

En los casos en que la suma no comienza en k = 0,

$${\displaystyle \sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}}$$

rlas álgebras de Banachrlos números pr_p

$${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}$$

Esta fórmula sólo funciona para | r | <1 también. De esto se deduce que, para | r | < 1,

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}}$$

Además, la serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ es un ejemplo elemental de serie que converge absolutamente .

Es una serie geométrica cuyo primer término es 1/2 y cuya razón común es 1/2, por lo que su suma es

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.}$$

La inversa de la serie anterior es 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ es un ejemplo simple de una serie alterna que converge absolutamente.

Es una serie geométrica cuyo primer término es 1/2 y cuya razón común es −1/2, por lo que su suma es

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.}$$

Serie compleja

La fórmula de sumatoria de series geométricas sigue siendo válida incluso cuando la razón común es un número complejo . En este caso la condición de que el valor absoluto de r sea menor que 1 pasa a ser que el módulo de r sea menor que 1. Es posible calcular las sumas de algunas series geométricas no obvias. Por ejemplo, consideremos la proposición

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}$$

La prueba de esto proviene del hecho de que

$${\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},}$$

fórmula de Euler

$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right].}$$

Ésta es la diferencia de dos series geométricas, por lo que es una aplicación sencilla de la fórmula para series geométricas infinitas la que completa la prueba.

Historia

Zenón de Elea (c.495 - c.430 a. C.)

Hace 2.500 años, los matemáticos griegos tenían un problema al caminar de un lugar a otro: pensaban ^[7] que una lista infinitamente larga de números mayores que cero sumaba infinito. Por lo tanto, fue una paradoja cuando Zenón de Elea señaló que para caminar de un lugar a otro, primero hay que caminar la mitad de la distancia, luego hay que caminar la mitad de la distancia restante, y luego hay que caminar la mitad. de esa distancia restante, y continúas dividiendo a la mitad las distancias restantes un número infinito de veces porque no importa cuán pequeña sea la distancia restante, todavía tienes que caminar la primera mitad. Así, Zenón de Elea transformó una distancia corta en una lista infinitamente larga de distancias restantes divididas por la mitad, todas las cuales son mayores que cero. Y ese era el problema: ¿cómo puede una distancia ser corta cuando se mide directamente y también infinita cuando se suma a su lista infinita de restos divididos por la mitad? La paradoja reveló que algo andaba mal con la suposición de que una lista infinitamente larga de números mayores que cero sumaba infinito.

Euclides de Alejandría (c.300 a.C.)

Elementos de Geometría, Libro IX, Proposición 35. "Si hay alguna multitud de números continuamente proporcionales, y del segundo y del último se resta igual al primero, así como el exceso del segundo al primero, así el exceso del último será para todos los que le precedieron."

Una interpretación geométrica para el mismo caso de razón común r >1. (ARRIBA) Representa los términos de una serie geométrica como las áreas de triángulos similares superpuestos. (CENTRO) Desde el triángulo más grande al más pequeño, elimine la parte del área izquierda superpuesta (1/ r ) de la parte del área derecha no superpuesta (1-1/ r = ( r -1)/ r ) y escale esa parte no superpuesta. trapezoide superpuesto por r /( r -1) de modo que su área sea la misma que el área del triángulo superpuesto original. (ABAJO) Calcule el área del trapezoide agregado como el área del triángulo grande menos el área del triángulo pequeño vacío en la punta izquierda del triángulo grande. El triángulo grande es el triángulo superpuesto más grande escalado por r /( r -1). El pequeño triángulo vacío comenzó como un área , pero esa área se transformó en un trapecio escalado no superpuesto dejando una porción del área izquierda vacía (1/ r ). Sin embargo, ese triángulo vacío de área a / r también debe escalarse mediante r /( r -1) para que su pendiente coincida con la pendiente de todos los trapecios escalados no superpuestos. Por lo tanto, S _n = área del triángulo grande - área del triángulo pequeño vacío = ar ⁿ⁺¹ /( r -1) - a /( r -1) = a ( r ⁿ⁺¹ -1)/( r -1) .

Elementos de geometría de Euclides ^[8] Libro IX, Proposición 35, prueba (de la proposición en el título del diagrama adyacente):

Sean AA', BC, DD', EF cualquier multitud de números continuamente proporcionales, comenzando por el menor AA'. Y restemos BG y FH, cada uno igual a AA', de BC y EF. Digo que así como GC es a AA', así EH es a AA', BC, DD'.

Porque hagamos que FK sea igual a BC y FL a DD'. Y como FK es igual a BC, del cual FH es igual a BG, el resto HK es igual al resto GC. Y como EF es a DD', así DD' a BC, y BC a AA' [Prop. 7.13], y DD' igual a FL, y BC a FK, y AA' a FH, así como EF es a FL, así LF a FK, y FK a FH. Por separación, como EL a LF, LK a FK y KH a FH [Props. 7.11, 7.13]. Y así como uno de los que conducen es a uno de los siguientes, así (la suma de) todos los que conducen a (la suma de) todos los siguientes [Prop. 7.12]. Así, como KH es a FH, así EL, LK, KH es a LF, FK, HF. Y KH igual a CG, y FH a AA', y LF, FK, HF a DD', BC, AA'. Así, como CG es a AA', así EH a DD', BC, AA'. Así, como el exceso del segundo es para el primero, así el exceso del último es para todos los que le preceden. Lo mismo que debía mostrar.

La concisión de las proposiciones y pruebas de Euclides puede haber sido una necesidad. Tal como están, los Elementos de Geometría tienen más de 500 páginas de proposiciones y pruebas. Hacer copias de este popular libro de texto requería mucho trabajo dado que la imprenta no se inventó hasta 1440. Y la popularidad del libro duró mucho tiempo: como se afirma en la introducción citada de una traducción al inglés, Elementos de Geometría "tiene la distinción de ser el "El libro de texto de matemáticas más antiguo del mundo que se utiliza continuamente". Así que ser muy conciso era ser muy práctico. La prueba de la Proposición 35 del Libro IX podría haber sido aún más compacta si Euclides hubiera podido evitar de alguna manera equiparar explícitamente longitudes de segmentos de recta específicos de diferentes términos de la serie. Por ejemplo, la notación contemporánea para series geométricas (es decir, a + ar + ar ² + ar ³ + ... + ar ⁿ ) no etiqueta porciones específicas de términos que son iguales entre sí.

También en la introducción citada el editor comenta:

La mayoría de los teoremas que aparecen en los Elementos no fueron descubiertos por el propio Euclides, sino que fueron obra de matemáticos griegos anteriores como Pitágoras (y su escuela), Hipócrates de Quíos, Teeteto de Atenas y Eudoxo de Cnidos. Sin embargo, generalmente se atribuye a Euclides la organización de estos teoremas de manera lógica, para demostrar (es cierto, no siempre con el rigor que exigen las matemáticas modernas) que necesariamente se derivan de cinco axiomas simples. A Euclides también se le atribuye el mérito de haber ideado una serie de demostraciones particularmente ingeniosas de teoremas previamente descubiertos (por ejemplo, el Teorema 48 del Libro 1).

Para ayudar a traducir la proposición y la prueba a una forma que utilice la notación actual, se incluyen un par de modificaciones en el diagrama. Primero, las cuatro longitudes de líneas horizontales que representan los valores de los primeros cuatro términos de una serie geométrica ahora están etiquetadas como a, ar, ar ² , ar ³ en el margen izquierdo del diagrama. En segundo lugar, las nuevas etiquetas A' y D' ahora están en la primera y tercera línea para que todos los nombres de segmentos de línea del diagrama especifiquen consistentemente el punto inicial y final del segmento.

Aquí hay una interpretación frase por frase de la proposición:

De manera similar, aquí hay una interpretación oración por oración de la prueba:

Arquímedes de Siracusa (c.287 – c.212 a.C.)

Disección de Arquímedes de un segmento parabólico en infinitos triángulos

Arquímedes utilizó la suma de una serie geométrica para calcular el área encerrada por una parábola y una línea recta. Su método consistía en diseccionar el área en un número infinito de triángulos.

El teorema de Arquímedes establece que el área total bajo la parábola es 4/3 del área del triángulo azul.

Arquímedes determinó que cada triángulo verde tiene 1/8 del área del triángulo azul, cada triángulo amarillo tiene 1/8 del área de un triángulo verde, y así sucesivamente.

Suponiendo que el triángulo azul tiene área 1, el área total es una suma infinita:

${\displaystyle 1\,+\,2\left({\frac {1}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}\,+\,8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}\,+\,\cdots .}$

El primer término representa el área del triángulo azul, el segundo término las áreas de los dos triángulos verdes, el tercer término las áreas de los cuatro triángulos amarillos, y así sucesivamente. Simplificando las fracciones se obtiene

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .}$

Esta es una serie geométrica con razón común 1/4 y la parte fraccionaria es igual a

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }4^{-n}=1+4^{-1}+4^{-2}+4^{-3}+\cdots ={4 \over 3}.}$

la suma es

${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\;=\;{\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}\;=\;{\frac {4}{3}}.}$

Este cálculo utiliza el método de agotamiento , una versión temprana de la integración . Usando cálculo , se podría encontrar la misma área mediante una integral definida .

Nicole Oresme (hacia 1323-1382)

Un diagrama de series geométricas bidimensionales que Nicole Oresme utilizó para determinar que la serie infinita 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 +... converge a 2.

Entre sus ideas sobre las series infinitas, además de su elegante y sencilla demostración de la divergencia de las series armónicas, Nicole Oresme ^[9] demostró que la serie 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ... converge a 2. Su diagrama para su prueba geométrica, similar al diagrama adyacente, muestra una serie geométrica bidimensional. La primera dimensión es horizontal, en la fila inferior se muestra la serie geométrica S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +... , que es la serie geométrica con coeficiente a = 1/2 y común relación r = 1/2 que converge a S = a / (1- r ) = (1/2) / (1-1/2) = 1. La segunda dimensión es vertical, donde la fila inferior es un nuevo coeficiente a _T es igual a S y cada fila subsiguiente encima de ella se escala según la misma razón común r = 1/2, formando otra serie geométrica T = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., que es la serie geométrica con coeficiente a _T = S = 1 y razón común r = 1/2 que converge a T = a _T / (1- r ) = S / (1- r ) = a / (1- r ) / (1 - r ) = (1/2) / (1-1/2) / (1-1/2) = 2.

Aunque es difícil visualizar más allá de las tres dimensiones, la visión de Oresme se generaliza a cualquier dimensión d . Usar la suma de la dimensión d −1 de la serie geométrica como el coeficiente a en la dimensión d de la serie geométrica da como resultado una serie geométrica d -dimensional que converge a S ^d / a = 1 / (1- r ) ^d dentro de la gama | r |<1. El triángulo de Pascal y la división larga revelan los coeficientes de estas series geométricas multidimensionales, donde la forma cerrada sólo es válida dentro del rango | r |<1.

${\displaystyle {\begin{matrix}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\end{matrix}}}$

Además, en lugar de utilizar una división larga, también es posible calcular los coeficientes de la serie geométrica d -dimensional integrando los coeficientes de dimensión d −1. Este mapeo desde la división por 1- r en el dominio de la suma de la serie de potencias hasta la integración en el dominio del coeficiente de la serie de potencias es una forma discreta del mapeo realizado por la transformada de Laplace . El profesor del MIT Arthur Mattuck muestra cómo derivar la transformada de Laplace a partir de la serie de potencias en este video de conferencia, ^[10] donde la serie de potencias es una correlación entre coeficientes discretos y una suma y la transformada de Laplace es una correlación entre pesos continuos y una integral.

Aplicaciones

Ciencias económicas

En economía , las series geométricas se utilizan para representar el valor presente de una anualidad (una suma de dinero que debe pagarse en intervalos regulares).

Por ejemplo, supongamos que se realizará un pago de $100 al propietario de la anualidad una vez al año (al final del año) a perpetuidad . Recibir 100 dólares dentro de un año vale menos que 100 dólares inmediatos, porque uno no puede invertir el dinero hasta que lo reciba. En particular, el valor presente de $100 dentro de un año es $100 / (1 +  ), donde es la tasa de interés anual. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

De manera similar, un pago de $100 dos años en el futuro tiene un valor presente de $100 / (1 +  ) ² (al cuadrado porque se pierde el valor de dos años de intereses al no recibir el dinero ahora). Por lo tanto, el valor presente de recibir $100 por año a perpetuidad es ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\$100}{(1+I)^{n}}},}$

cual es la serie infinita:

${\displaystyle {\frac {\$100}{(1+I)}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{2}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{3}}}\,+\,{\frac {\$100}{(1+I)^{4}}}\,+\,\cdots .}$

Esta es una serie geométrica con razón común 1 / (1 +  ). La suma es el primer término dividido por (uno menos la razón común): ${\displaystyle I}$

${\displaystyle {\frac {\$100/(1+I)}{1-1/(1+I)}}\;=\;{\frac {\$100}{I}}.}$

Por ejemplo, si la tasa de interés anual es del 10% (  = 0,10), entonces la anualidad completa tiene un valor presente de $100/0,10 = $1000. ${\displaystyle I}$

Este tipo de cálculo se utiliza para calcular la APR de un préstamo (como un préstamo hipotecario ). También se puede utilizar para estimar el valor presente de los dividendos en acciones esperados , o el valor terminal de un activo financiero suponiendo una tasa de crecimiento estable.

geometría fractal

El área dentro del copo de nieve de Koch puede describirse como la unión de infinitos triángulos equiláteros (ver figura). Cada lado del triángulo verde tiene exactamente 1/3 del tamaño de un lado del triángulo azul grande y, por lo tanto, tiene exactamente 1/9 del área. De manera similar, cada triángulo amarillo tiene 1/9 del área de un triángulo verde, y así sucesivamente. Tomando el triángulo azul como unidad de área, el área total del copo de nieve es

${\displaystyle 1\,+\,3\left({\frac {1}{9}}\right)\,+\,12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}\,+\,48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}\,+\,\cdots .}$

El primer término de esta serie representa el área del triángulo azul, el segundo término el área total de los tres triángulos verdes, el tercer término el área total de los doce triángulos amarillos, y así sucesivamente. Excluyendo el 1 inicial, esta serie es geométrica con relación constante r  = 4/9. El primer término de la serie geométrica es a  = 3(1/9) = 1/3, por lo que la suma es

${\displaystyle 1\,+\,{\frac {a}{1-r}}\;=\;1\,+\,{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}\;=\;{\frac {8}{5}}.}$

Por tanto, el copo de nieve de Koch tiene 8/5 del área del triángulo base.

Integración

La derivada de porque, ^[11] dejando ${\displaystyle f(x)=\arctan(u(x)){\text{ is }}f'(x)=u'(x)/(1+[u(x)]^{2})}$ ${\displaystyle y{\text{ and }}u{\text{ represent }}f(x){\text{ and }}u(x),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=\arctan(u)&&\quad {\text{ implies }}\\u&=\tan(y)&&\quad {\text{ in the range }}-\pi /2<y<\pi /2{\text{ and }}\\u'&=\sec ^{2}y\cdot y'&&\quad {\text{ by applying the quotient rule to }}\tan(y)=\sin(y)/\cos(y),\\y'&=u'/\sec ^{2}y&&\quad {\text{ by dividing both sides by }}\sec ^{2}y,\\&=u'/(1+\tan ^{2}y)&&\quad {\text{ by using the trigonometric identity derived by dividing }}\sin ^{2}y+\cos ^{2}y=1{\text{ by }}\cos ^{2}y,\\&=u'/(1+u^{2})&&\quad {\text{ by recalling }}u=\tan(y).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, dejar es la integral. ${\displaystyle u(x)=x,\arctan(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\arctan(x)&=\int {\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad &&{\text{in the range }}-\pi /2<\arctan(x)<\pi /2,\\&=\int {\frac {dx}{1-(-x^{2})}}\quad &&{\text{by writing integrand as closed form of geometric series with }}r=-x^{2},\\&=\int \left(1+\left(-x^{2}\right)+\left(-x^{2}\right)^{2}+\left(-x^{2}\right)^{3}+\cdots \right)dx\quad &&{\text{by writing geometric series in expanded form}},\\&=\int \left(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots \right)dx\quad &&{\text{by calculating the sign and power of each term in integrand}},\\&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \quad &&{\text{by integrating each term}},\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad &&{\text{by writing series in generator form}},\end{aligned}}}$

que se llama serie de Gregory y comúnmente se atribuye a Madhava de Sangamagrama (c. 1340 - c. 1425).

Instancias

• Serie de Grandi  : la suma infinita de términos alternos 1 y -1: 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯  – Serie infinita
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯  – serie infinitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯  – Serie infinita matemática
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯  – serie matemática infinitaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯  – Suma infinita igual a 1/3 en su límite
• Una serie geométrica es una serie unitaria (la suma de la serie converge a uno) si y sólo si | r | < 1 y a + r = 1 (equivalente a la forma más familiar S = a / (1 - r ) = 1 cuando | r | < 1). Por lo tanto, una serie alterna también es una serie unitaria cuando -1 < r < 0 y a + r = 1 (por ejemplo, coeficiente a = 1,7 y razón común r = -0,7).
• Los términos de una serie geométrica son también los términos de una secuencia de Fibonacci generalizada (F _n = F _n-1 + F _n-2 pero sin requerir F ₀ = 0 y F ₁ = 1) cuando una serie geométrica razón común r satisface la restricción 1 + r = r ² , que según la fórmula cuadrática es cuando la razón común r es igual a la proporción áurea (es decir, la razón común r = (1 ± √5)/2).
• La única serie geométrica que es una serie unitaria y que también tiene términos de una secuencia de Fibonacci generalizada tiene la proporción áurea como coeficiente a y la proporción áurea conjugada como su proporción común r (es decir, a = (1 + √5)/2 y r = (1 - √5)/2). Es una serie unitaria porque a + r = 1 y | r | < 1, es una secuencia de Fibonacci generalizada porque 1 + r = r ² , y es una serie alterna porque r < 0.

Series geométricas

Una ilustración compacta de diferentes perspectivas de la serie geométrica para facilitar el cambio de perspectiva. El cuadrante A1 contiene la perspectiva del porqué que describe brevemente por qué son importantes las series geométricas. El cuadrante A2 contiene la perspectiva cómo que enumera un fragmento de código de Julia que calcula la serie geométrica. El cuadrante A3 contiene la perspectiva qué (álgebra) con la prueba algebraica de la fórmula de forma cerrada de la serie geométrica. El cuadrante A4 contiene la perspectiva qué (geometría) que muestra tres pasos de la prueba geométrica de la fórmula de forma cerrada de la serie geométrica. Y el margen derecho muestra la línea de tiempo de algunas de las ideas históricas sobre las series geométricas.

La serie geométrica tiene dos grados de libertad: uno para su coeficiente a y otro para su razón común r . En el mapa de polinomios, el gran círculo rojo representa el conjunto de todas las series geométricas.

Serie geométrica convergente

Sólo un subconjunto de todas las series geométricas converge. Específicamente, una serie geométrica converge si y sólo si su razón común | r | < 1. En el mapa de polinomios, el triángulo rojo representa el conjunto de series geométricas convergentes y estar dibujado dentro del gran círculo rojo que representa el conjunto de todas las series geométricas indica que la serie geométrica convergente es un subconjunto de la serie geométrica.

decimales repetidos

Sólo un subconjunto de todas las series geométricas convergentes converge en fracciones decimales que tienen patrones repetidos que continúan para siempre (por ejemplo, 0,7777... o 0,9999... o 0,123412341234...). En el mapa de polinomios, el pequeño triángulo amarillo representa el conjunto de series geométricas que convergen en patrones decimales infinitamente repetidos. Está dibujado dentro del triángulo rojo para indicar que es un subconjunto de la serie geométrica convergente, que a su vez está dibujado dentro del gran círculo rojo que indica que tanto la serie geométrica convergente como las series geométricas que convergen en patrones infinitamente repetidos son subconjuntos de la serie geométrica. serie.

Aunque las fracciones con patrones decimales infinitamente repetidos solo se pueden aproximar cuando se codifican como números de coma flotante, siempre se pueden definir exactamente como la proporción de dos números enteros y esos dos números enteros se pueden calcular usando la serie geométrica. Por ejemplo, la fracción decimal repetida 0,7777... se puede escribir como la serie geométrica

${\displaystyle 0.7777\ldots \;=\;{\frac {7}{10}}\,+\,{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10}}\,+\,{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10^{2}}}\,+\,{\frac {7}{10}}{\frac {1}{10^{3}}}\,+\,\cdots }$

donde coeficiente a = 7/10 y relación común r = 1/10. La forma cerrada de la serie geométrica revela los dos números enteros que especifican el patrón repetido:

${\displaystyle 0.7777\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {7/10}{1-1/10}}\;=\;{\frac {7/10}{9/10}}\;=\;{\frac {7}{9}}.}$

Este enfoque se extiende más allá de los números de base diez . De hecho, cualquier fracción que tenga un patrón infinitamente repetido en números de base diez también tiene un patrón infinitamente repetido en números escritos en cualquier otra base. Por ejemplo, mirando la codificación de punto flotante para el número 0,7777...

julia> bitstring(Float32(0.77777777777777777777))
"00111111010001110001110001110010"

revela la fracción binaria 0.110001110001110001... donde el patrón binario 0b110001 se repite indefinidamente y se puede escribir en su mayoría (excepto las potencias) números binarios como

${\displaystyle 0.110001110001110001\ldots \;=\;{\frac {110001}{1000000}}\,+\,{\frac {110001}{1000000}}{\frac {1}{1000000}}\,+\,{\frac {110001}{1000000}}{\frac {1}{1000000^{2}}}\,+\,{\frac {110001}{1000000}}{\frac {1}{1000000^{3}}}\,+\,\cdots }$

donde coeficiente a = 0b110001 / 0b1000000 = 49 / 64 y razón común r = 1 / 0b1000000 = 1 / 64. Usando la forma cerrada de la serie geométrica como antes

${\displaystyle 0.7777\ldots \;=\;0b0.110001110001110001\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {49/64}{1-1/64}}\;=\;{\frac {49/64}{63/64}}\;=\;{\frac {49}{63}}\;=\;{\frac {7}{9}}.}$

Es posible que haya notado que la codificación de punto flotante no captura el patrón de repetición 0b110001 en los últimos dos bits (menos significativos). Esto se debe a que la codificación de punto flotante redondea el resto en lugar de truncarlo. Por lo tanto, si el bit más significativo del resto es 1, el bit menos significativo de la fracción codificada se incrementa y eso provocará un acarreo si el bit menos significativo de la fracción ya es 1, lo que puede provocar otro acarreo si ese bit de la fracción ya es 1, lo que puede causar otro acarreo, etc. Este redondeo de punto flotante y la posterior propagación del acarreo explican por qué la codificación de punto flotante para 0.99999... es exactamente la misma que la codificación de punto flotante para 1.

julia> bitstring(Float32(0.99999999999999999999))
"00111111100000000000000000000000"

julia> bitstring(Float32(1.0))
"00111111100000000000000000000000"

Como ejemplo que tiene cuatro dígitos en el patrón repetido, 0.123412341234... se puede escribir como la serie geométrica

${\displaystyle 0.123412341234\ldots \;=\;{\frac {1234}{10000}}\,+\,{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000}}\,+\,{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000^{2}}}\,+\,{\frac {1234}{10000}}{\frac {1}{10000^{3}}}\,+\,\cdots }$

donde coeficiente a = 1234/10000 y relación común r = 1/10000. La forma cerrada de la serie geométrica revela los dos números enteros que especifican el patrón repetido:

${\displaystyle 0.123412341234\ldots \;=\;{\frac {a}{1-r}}\;=\;{\frac {1234/10000}{1-1/10000}}\;=\;{\frac {1234/10000}{9999/10000}}\;=\;{\frac {1234}{9999}}.}$

Serie de potencia

Al igual que la serie geométrica, la serie de potencias tiene un grado de libertad para su razón común r (a lo largo del eje x) pero tiene n +1 grados de libertad para sus coeficientes (a lo largo del eje y), donde n representa la potencia de el último término de la serie parcial. En el mapa de polinomios, el gran círculo azul representa el conjunto de todas las series de potencias.

serie de taylor

A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor, se acerca a la función correcta. Esta imagen muestra sen x y sus aproximaciones de Taylor mediante polinomios de grado 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 y 13 en x = 0 .

En matemáticas , la serie de Taylor o expansión de Taylor de una función es una suma infinita de términos que se expresan en términos de las derivadas de la función en un solo punto. Para la mayoría de las funciones comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor llevan el nombre de Brook Taylor , quien las introdujo en 1715. Una serie de Taylor también se llama serie de Maclaurin cuando 0 es el punto donde se consideran las derivadas, en honor a Colin Maclaurin , quien hizo un uso extensivo de este caso especial de series de Taylor en el siglo XVIII.

La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina n -ésimo polinomio de Taylor de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que generalmente se vuelven más precisas a medida que n aumenta. El teorema de Taylor proporciona estimaciones cuantitativas del error introducido por el uso de tales aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente , su suma es el límite de la secuencia infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si su serie de Taylor es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de su serie de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo ) que contenga x . Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

Números codificados en binario

La serie geométrica de Zenón de Elea con coeficiente a =1/2 y razón común r =1/2 es la base de las aproximaciones codificadas en binario de fracciones en computadoras digitales. Concretamente, la serie geométrica escrita en su forma vectorial normalizada es s / a = [1 1 1 1 1…][1 r r ² r ³ r ⁴ …  ] ^T. Mantener el vector columna de las funciones base [1 r r ² r ³ r ⁴ …] ^T igual pero generalizar el vector fila [1 1 1 1 1…] de modo que cada entrada pueda ser un 0 o un 1 permite una aproximación codificación de cualquier fracción. Por ejemplo, el valor v = 0,34375 se codifica como  v / a = [0 1 0 1 1 0 …][1 r r ² r ³ r ⁴ …] ^T donde coeficiente a = 1/2 y relación común r = 1/ 2. Normalmente, el vector fila se escribe en la forma binaria más compacta v = 0,010110, que es 0,34375 en decimal.

De manera similar, la serie geométrica con coeficiente a =1 y razón común r =2 es la base de los números enteros codificados en binario en las computadoras digitales. Nuevamente, la serie geométrica escrita en su forma vectorial normalizada es s / a = [1 1 1 1 1…][1 r r ² r ³ r ⁴ … ] ^T. Mantener el vector columna de las funciones base [1 r r ² r ³ r ⁴ …] ^T igual pero generalizar el vector fila [1 1 1 1 1…] para que cada entrada pueda ser un 0 o un 1 permite una codificación de cualquier número entero. Por ejemplo, el valor v = 151 se codifica como  v / a = [1 1 1 0 1 0 0 1 0…][1 r r ² r ³ r ⁴ r ⁵ r ⁶ r ⁷ r ⁸ …] ^T donde el coeficiente a = 1 y relación común r = 2. Normalmente, el vector de fila se escribe en orden inverso (de modo que el bit más significativo sea el primero) en la forma binaria más compacta v =…010010111 = 10010111, que es 151 en decimal.

Campos de bits para codificar un número de coma flotante de 32 bits según el estándar IEEE 754.

Como se muestra en la figura adyacente, la codificación binaria estándar de un número de coma flotante de 32 bits es una combinación de un entero codificado en binario y una fracción codificada en binario, comenzando en el bit más significativo con

• el bit de signo, seguido de
• un campo de exponente entero de 8 bits con un desplazamiento asumido de 127 (por lo que un valor de 127 representa un valor de exponente de 0) y con una base de 2, lo que significa que el valor del exponente especifica un desplazamiento de bits del campo de fracción, seguido de
• un campo de fracción de 23 bits con un 1 asumido pero no codificado que sirve como el bit distinto de cero más significativo de la fracción que estaría en la posición de bit 23 si estuviera codificado.

Partiendo del ejemplo anterior de 0,34375 con codificación binaria de 0,010110, una codificación de punto flotante (según el estándar IEEE 754) de 0,34375 es

• el bit de signo que es 0 porque el número no es negativo,
• un campo exponente entero de 8 bits que debe especificar un desplazamiento que contrarresta el desplazamiento de 2 bits a la izquierda para obtener la codificación binaria original de 0,010110 a 1,0110, y ese desplazamiento de contador para recuperar la codificación binaria original es un desplazamiento a la derecha de 2 bits que se especifica por un valor de exponente de 125 (porque 125 − 127 = -2 que es un desplazamiento a la derecha de 2 bits) que en binario es 0111 1101,
• un campo de fracción de 23 bits: .0110 0000 0000 0000 0000 000.

Aunque es posible codificar números de coma flotante a mano de esta manera, dejar que una computadora lo haga es más fácil y menos propenso a errores. El siguiente código de Julia confirma la codificación de coma flotante calculada manualmente del número 0,34375:

julia> bitstring(Float32(0.34375))
"00111110101100000000000000000000"

serie laurent

Una serie de Laurent se define con respecto a un punto particular y un camino de integración γ. El camino de integración debe discurrir en un anillo, indicado aquí por el color rojo, en cuyo interior hay un holomorfo ( analítico ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(z)}$

En matemáticas , la serie de Laurent de una función compleja es una representación de esa función como una serie de potencias que incluye términos de grado negativo. Puede usarse para expresar funciones complejas en los casos en que no se puede aplicar una expansión en serie de Taylor . La serie Laurent lleva el nombre de Pierre Alphonse Laurent y fue publicada por primera vez en 1843. Es posible que Karl Weierstrass la descubriera por primera vez en un artículo escrito en 1841, pero no se publicó hasta después de su muerte. ^[12] ${\displaystyle f(z)}$

Serie compleja de Fourier

Los planos frontal y posterior muestran la suma de los primeros +/-n términos de la compleja serie de Fourier que tiene coeficientes configurados para converger en un calco de la letra 'e' para exponencial. (El código fuente de Julia que genera los fotogramas y el audio de esta animación se encuentra aquí ^[13] en el Apéndice B.)

Como ejemplo de la capacidad de la serie compleja de Fourier para trazar cualquier figura cerrada en 2D, en la animación adyacente una serie compleja de Fourier traza la letra 'e' (de exponencial). Dada la intrincada coordinación de movimientos que se muestra en la animación, una definición de la compleja serie de Fourier puede ser sorprendentemente compacta en sólo dos ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(t)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{2\pi int}\\c_{n}&=\int _{0}^{1}s(t)e^{-2\pi int}dt\\\end{aligned}}}$

donde la función parametrizada s ( t ) traza alguna figura cerrada 2D en el plano complejo a medida que el parámetro t avanza a través del período de 0 a 1.

Para ayudar a entender estas ecuaciones compactas que definen la serie compleja de Fourier, tenga en cuenta que la suma de la serie compleja de Fourier se parece a la serie geométrica compleja, excepto que la serie compleja de Fourier es básicamente dos series geométricas complejas (un conjunto de términos que giran en dirección positiva y otro conjunto de términos que giran en dirección negativa), y los coeficientes de la serie compleja de Fourier son constantes complejas que pueden variar de un término a otro. Al permitir que los términos giren en cualquier dirección, la serie se vuelve capaz de trazar cualquier figura cerrada en 2D. Por el contrario, la serie geométrica compleja tiene todos los términos girando en la misma dirección y sólo puede trazar círculos. Permitir que los coeficientes de la serie geométrica compleja varíen de un término a otro ampliaría las formas que puede rastrear, pero todas las formas posibles aún estarían limitadas a ser hinchadas y parecidas a nubes, sin poder rastrear la forma de un simple segmento de línea. , por ejemplo, yendo y viniendo entre 1 + i0 y -1 + i0. Sin embargo, la fórmula de Euler muestra que la suma de sólo dos términos que giran en direcciones opuestas puede trazar ese segmento de línea entre 1 + i0 y -1 + i0:

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i\theta }&=\cos \theta +i\sin \theta \\e^{-i\theta }&=\cos \theta -i\sin \theta \\\cos \theta &={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}.\\\end{aligned}}}$

Con respecto a la segunda ecuación compleja de la serie de Fourier que define cómo calcular los coeficientes, el coeficiente del término no rotatorio c ₀ se puede calcular integrando la primera ecuación compleja de la serie de Fourier en el rango de un período de 0 a 1. En ese rango, todos los términos rotativos se integran a cero, dejando solo c ₀ . De manera similar, cualquiera de los términos de la primera ecuación compleja de la serie de Fourier se puede convertir en un término no rotativo multiplicando ambos lados de la ecuación por antes de integrar para calcular c _n , y esa es la segunda ecuación compleja de la serie de Fourier. ${\displaystyle e^{-2\pi int}}$

Polinomio matricial

En matemáticas, un polinomio matricial es un polinomio con matrices cuadradas como variables. Dado un polinomio ordinario de valores escalares

${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

este polinomio evaluado en una matriz es ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$

¿ Dónde está la matriz identidad ? ^[14] ${\displaystyle I}$

Tenga en cuenta que tiene la misma dimensión que . ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A}$

Una ecuación polinomial matricial es una igualdad entre dos polinomios matriciales, que es válida para las matrices específicas en cuestión. Una identidad polinómica matricial es una ecuación polinómica matricial que se cumple para todas las matrices A en un anillo matricial específico M _n ( R ).

Los polinomios matriciales a menudo se demuestran en clases de álgebra lineal de pregrado debido a su relevancia para mostrar las propiedades de transformaciones lineales representadas como matrices, en particular el teorema de Cayley-Hamilton .

Matriz exponencial

En matemáticas , la matriz exponencial es una función matricial sobre matrices cuadradas análoga a la función exponencial ordinaria . Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. En la teoría de grupos de Lie, la matriz exponencial da el mapa exponencial entre una matriz de álgebra de Lie y el grupo de Lie correspondiente .

Sea X una matriz real o compleja de n × n . El exponencial de X , denotado por e ^X o exp( X ) , es la matriz n × n dada por la serie de potencias

$${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}$$

donde se define como la matriz identidad con las mismas dimensiones que . ^[15] La serie siempre converge, por lo que la exponencial de X está bien definida. ${\displaystyle X^{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X}$

De manera equivalente,

$${\displaystyle e^{X}=\lim _{k\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {X}{k}}\right)^{k}}$$

donde I es la matriz identidad n × n . Cuando X es una matriz diagonal de n × n , entonces exp( X ) será una matriz diagonal de n × n con cada elemento diagonal igual al exponencial ordinario aplicado al elemento diagonal correspondiente de X.

Caso análogo para el índice al cuadrado en el exponente.

Definiciones de funciones theta

En la serie geométrica los sumandos siguen el curso exponencial con relación al índice de la suma. El exponente de los sumandos, que depende del índice de la suma, tiene un curso lineal con respecto al índice. Sin embargo, si el exponente en los elementos de la secuencia asume un curso cuadrado con respecto al índice de suma, entonces los propios miembros de la secuencia siguen el curso de una curva de campana gaussiana y entonces los valores de la serie infinita afectada no se pueden mostrar. de manera elemental. Las sumas con un recorrido cuadrado del exponente en los miembros de la secuencia con respecto al índice de la suma asumen valores de función theta elíptica para la representación. Y estos valores se pueden representar tanto con las funciones theta jacobianas como también con las funciones theta de Neville .

Las funciones theta mencionadas están según Edmund Taylor Whittaker y George Neville Watson. Las funciones theta ^{[16] [17] [18]} se definen de la siguiente manera:

${\displaystyle \vartheta _{00}(v;w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})[1+2\cos(2v)w^{2n-1}+w^{4n-2}]}$

${\displaystyle \theta _{d}(y;k)=\prod _{n=1}^{\infty }{\bigl [}1+q(k)^{2n-1}{\bigr ]}^{-2}{\bigl \{}1+2q(k)^{2n-1}\cos {\bigl [}\pi \,y\div K(k){\bigr ]}+q(k)^{4n-2}{\bigr \}}}$

La función se llama Nomo Elíptico y representa la Integral Elíptica completa de primer tipo: ${\displaystyle q(k)}$ ${\displaystyle K(k)}$

${\displaystyle q(k)=\exp {\bigl [}-\pi \,K({\sqrt {1-k^{2}}}\,)\div K(k){\bigr ]}=\exp {\bigl [}-\pi \,K'(k)\div K(k){\bigr ]}}$

${\displaystyle K(\varepsilon )=\int _{0}^{1}{\bigl [}(1-z^{2})(1-\varepsilon ^{2}z^{2}){\bigr ]}^{-1/2}\,\mathrm {d} z}$

${\displaystyle K'(\varepsilon )=K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,)}$

La designación de la letra griega representa la llamada Función Theta Nullwert , mientras que la designación representa la Función Psi elíptica de Hermite: ${\displaystyle \vartheta _{00}}$ ${\displaystyle \psi _{H}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}(w)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-w^{2n})(1+w^{2n-1})^{2}}$

${\displaystyle \psi _{H}(w)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-w^{2n-1}}{1+w^{2n-1}}}}$

Identidades para la serie de suma.

Esta interconexión viene dada:

Las funciones theta de Neville fueron investigadas por el matemático Eric Harold Neville de Inglaterra. En general, al recorrer pasos numerados enteros, el resultado siempre debe tener el mismo valor una y otra vez. Este mismo fenómeno se llama periodicidad de funciones. Y este criterio lo cumplen las fórmulas theta mencionadas anteriormente. Si R se establece en cero, entonces el valor de la función theta estandarizada primaria debe ser el resultado, el valor base debe usarse como la entrada Nome de la función Theta Nullwert. Y si el valor no da como resultado un número entero sino un número fraccionario, entonces el valor resultante de la serie suma debe estar relacionado con el valor de la serie suma igual a cero por el factor que viene dado por la theta incompleta asociada. función del Nomo Complementario , es decir, por el valor exactamente. La fórmula en la línea inferior de la tabla de fórmulas que se muestra se deriva directamente de las leyes descritas en las dos últimas oraciones mencionadas. Y la fórmula con la función theta de Neville resulta directamente de esto. Se debe introducir como módulo el módulo complementario de Pitágoras. Y esto es creado con precisión por el cuarto poder de la Función Psi Elíptica de Hermite . Al utilizar la fórmula empírica de Poisson , se pueden realizar simplificaciones en la fórmula que figura en la línea inferior de la tabla. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}(Q)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \vartheta _{00}(\pi \,R;Q')\div \vartheta _{00}(Q')}$ ${\displaystyle \psi _{H}(Q)^{4}}$

Ejemplos de cálculo con la theta de Jacobi

Esta fórmula sobre la función theta de Jacobi es válida:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{an^{2}+bn+c}=\exp {\biggl [}{\frac {1}{4a}}(4ac-b^{2})\ln(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\pi }{a\ln(1\div x)}}{\biggr ]}^{1/2}\vartheta _{00}{\biggl \{}{\frac {\pi b}{2a}};\exp {\biggl [}{\frac {-\pi ^{2}}{a\ln(1\div x)}}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

Hierfür soll gelten: ${\displaystyle (0<x<1)\,\,\cap \,\,(a\in \mathbb {R} ^{+})}$

Para la serie de suma ahora mencionada se ejecutarán en detalle los siguientes dos ejemplos de cálculo:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{5n^{2}+3n+2}={\bigl (}{\frac {7}{11}}{\bigr )}^{31/20}{\bigl (}{\frac {\pi }{5}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {11}{7}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\biggl \{}{\frac {3\pi }{10}};\exp {\biggl [}-{\frac {\pi ^{2}}{5}}\ln {\bigl (}{\frac {11}{7}}{\bigr )}^{-1}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigl (}{\frac {23}{29}}{\bigr )}^{19n^{2}+17n+13}={\bigl (}{\frac {23}{29}}{\bigr )}^{699/76}{\bigl (}{\frac {\pi }{19}}{\bigr )}^{1/2}\ln {\bigl (}{\frac {29}{23}}{\bigr )}^{-1/2}\vartheta _{00}{\biggl \{}{\frac {17\pi }{38}};\exp {\biggl [}-{\frac {\pi ^{2}}{19}}\ln {\bigl (}{\frac {29}{23}}{\bigr )}^{-1}{\biggr ]}{\biggr \}}}$

Ver también

• 0,999...  – Expansión decimal alternativa de 1
• Asíntota  : Límite de la recta tangente en un punto que tiende al infinito.
• Serie geométrica divergente
• Función hipergeométrica generalizada  - Familia de series de potencias en matemáticas
• Progresión geométrica  – Secuencia matemática de números
• Serie de Neumann  - Serie matemática
• Prueba de razón  : criterio para la convergencia de una serie
• Prueba de raíz  : criterio para la convergencia de una serie infinita
• Serie (matemáticas)  – Suma infinita
• Serie aritmética  – Secuencia de númerosPages displaying short descriptions of redirect targets

Notas

1. Riddle, Douglas F. Cálculo y geometría analítica, segunda edición Belmont, California, Wadsworth Publishing, p. 566, 1970.
2. Peluquero E.; Wanner G. (1996). Análisis por su Historia . Saltador. pag. 188.Sección III.2, Figura 2.1
3. Abramowitz y Stegun (1972, pág.10)
4. Moise (1967, pág.48)
5. Protter y Morrey (1970, págs. 639–640)
6. "Establecer particiones: números de Stirling". Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas . Consultado el 24 de mayo de 2018 .
7. Acertijo, Douglas E (1974). Cálculo y geometría analítica (2ª ed.). Publicación Wadsworth. pag. 556.ISBN​ 053400301-X.
8. Euclides; JL Heiberg (2007). Elementos de geometría de Euclides (PDF) . Traducido por Richard Fitzpatrick. Richard Fitzpatrick. ISBN 978-0615179841. Archivado (PDF) desde el original el 11 de agosto de 2013.
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10. Mattuck, Arturo. "Conferencia 19, MIT 18.03 Ecuaciones diferenciales, primavera de 2006". MIT OpenCourseWare. Archivado desde el original el 11 de noviembre de 2021.
11. Acertijo, Douglas (1974). Cálculo y geometría analítica (segunda ed.). California: Editorial Wadsworth. pag. 310.ISBN​ 0-534--00301-X.
12. Rodríguez, Rubi; Kra, Irwin; Gilman, Jane P. (2012), Análisis complejo: en el espíritu de Lipman Bers, Textos de posgrado en matemáticas, vol. 245, Springer, pág. 12, ISBN 9781441973238.
13. Sepesi, G (13 de febrero de 2022). "El ejemplo duradero de Zenón". Hacia la ciencia de datos. págs. Apéndice B.
14. Horn y Johnson 1990, pág. 36.
15. Salón 2015 Ecuación 2.1
16. Weisstein, Eric W. "Funciones Jacobi Theta". MundoMatemático .
17. http://wayback.cecm.sfu.ca/~pborwein/TEMP_PROTECTED/pi-agm.pdf
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Referencias

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enlaces externos

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