Serie geométrica divergente

En matemáticas , una serie geométrica infinita de la forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots }$

es divergente si y solo si Los métodos para la suma de series divergentes a veces son útiles y generalmente evalúan las series geométricas divergentes como una suma que concuerda con la fórmula para el caso convergente. ${\displaystyle |r|>1.}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}={\frac {a}{1-r}}.}$

Esto es cierto para cualquier método de suma que posea las propiedades de regularidad, linealidad y estabilidad .

Ejemplos

En orden creciente de dificultad para sumar:

• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , cuya razón común es −1
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ , cuya razón común es −2
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ , cuya razón común es 2
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ , cuya razón común es 1.

Motivación para el estudio

Resulta útil determinar qué métodos de suma producen la fórmula de la serie geométrica para qué razones comunes. Una aplicación de esta información es el llamado principio de Borel-Okada : si un método de suma regular asigna a para todo en un subconjunto del plano complejo , dadas ciertas restricciones sobre , entonces el método también proporciona la continuación analítica de cualquier otra función en la intersección de con la estrella de Mittag-Leffler para . ^[1] ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ ${\displaystyle 1/(1-z)}$ ${\textstyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(z)}$

Sumabilidad por región

Abrir disco de unidad

La suma ordinaria sólo tiene éxito para razones comunes ${\displaystyle |r|<1.}$

Disco de unidad cerrada

• Resumen de Cesáro
• Suma de Abel

Discos más grandes

• Suma de Euler

Semiplano

La serie es sumable según Borel para cada z con parte real < 1.

Plano sombreado

Ciertos métodos de constante de momento además de la suma de Borel pueden sumar la serie geométrica en toda la estrella de Mittag-Leffler de la función 1/(1 − z ), es decir, para todos los z excepto el rayo z ≥ 1. ^[2]

En todos lados

Notas

1. Korevaar pág. 288
2. Moroz pág. 21

Referencias

• Korevaar, Jacob (2004). La teoría de Tauber: un siglo de desarrollos. Springer. ISBN 3-540-21058-X.
• Moroz, Alexander (1991). "Teoría cuántica de campos como un problema de resumen". arXiv : hep-th/9206074 .