Fórmula de suma de Poisson

Ecuación en el análisis de Fourier

En matemáticas , la fórmula de la sumatoria de Poisson es una ecuación que relaciona los coeficientes de la serie de Fourier de la sumatoria periódica de una función con los valores de la transformada de Fourier continua de la función . En consecuencia, la sumatoria periódica de una función está completamente definida por muestras discretas de la transformada de Fourier de la función original. Y a la inversa, la sumatoria periódica de la transformada de Fourier de una función está completamente definida por muestras discretas de la función original. La fórmula de la sumatoria de Poisson fue descubierta por Siméon Denis Poisson y a veces se la llama sumatoria de Poisson .

Formas de la ecuación

Considérese una función aperiódica con transformada de Fourier designada alternativamente por y ${\displaystyle s(x)}$ ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$ ${\displaystyle {\hat {s}}(f)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(f).}$

La fórmula básica de suma de Poisson es : ^[1]

Considere también funciones periódicas, donde los parámetros y están en las mismas unidades que : ${\displaystyle T>0}$ ${\displaystyle P>0}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f\pm k/T).}$$

Entonces la ecuación 1 es un caso especial (P=1, x=0) de esta generalización: ^{[2] [3]}

que es una expansión de la serie de Fourier con coeficientes que son muestras de la función . De manera similar: ${\displaystyle S(f).}$

También conocida como la importante transformada de Fourier de tiempo discreto .

Derivaciones

Se puede encontrar una prueba en Pinsky ^{[2] o Zygmund [3]} . Por ejemplo, la ecuación 2 se cumple en el sentido de que si , entonces el lado derecho es la serie de Fourier (posiblemente divergente) del lado izquierdo. Se deduce del teorema de convergencia dominada que existe y es finito para casi todo . Además, se deduce que es integrable en cualquier intervalo de longitud Por lo tanto, es suficiente mostrar que los coeficientes de la serie de Fourier de son Partiendo de la definición de los coeficientes de Fourier tenemos: ${\displaystyle s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x+nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}}$$

donde el intercambio de la sumatoria con la integración se justifica nuevamente por la convergencia dominada. Con un cambio de variables ( ) esto se convierte en: ${\displaystyle \tau =x+nP}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}}$$

Formulación distributiva

Estas ecuaciones pueden interpretarse en el lenguaje de las distribuciones ^{[4] [5] : §7.2} para una función cuyas derivadas son todas rápidamente decrecientes (véase la función de Schwartz ). La fórmula de suma de Poisson surge como un caso particular del Teorema de Convolución sobre distribuciones templadas , utilizando la distribución de peine de Dirac y su serie de Fourier : ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T).}$$

En otras palabras, la periodización de un delta de Dirac que da como resultado un peine de Dirac corresponde a la discretización de su espectro, que es constantemente uno. Por lo tanto, se trata nuevamente de un peine de Dirac, pero con incrementos recíprocos. ${\displaystyle \delta ,}$

Para el caso de la ecuación 1 se deduce fácilmente: ${\displaystyle T=1,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}}$$

Similarmente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}}$$

O: ^{[6] : 143}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}}$$

La fórmula de suma de Poisson también se puede demostrar de manera bastante conceptual utilizando la compatibilidad de la dualidad de Pontryagin con secuencias exactas cortas como ^[7] $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.}$$

Aplicabilidad

La ecuación 2 se cumple siempre que sea una función integrable continua que satisfaga para algunos y cada ^{[8] [9]} Nótese que tal es uniformemente continua , esto junto con el supuesto de decaimiento en , muestra que la serie que define converge uniformemente a una función continua.   La ecuación 2 se cumple en el sentido fuerte de que ambos lados convergen uniformemente y absolutamente al mismo límite. ^[9] ${\displaystyle s(x)}$ $${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }}$$ ${\displaystyle C>0,\delta >0}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{_{P}}}$

La ecuación 2 se cumple en un sentido puntual bajo el supuesto estrictamente más débil de que tiene variación acotada y ^[3] La serie de Fourier en el lado derecho de la ecuación 2 se entiende entonces como un límite (condicionalmente convergente) de sumas parciales simétricas. ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle 2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).}$$

Como se muestra arriba, la ecuación 2 se cumple bajo el supuesto mucho menos restrictivo de que está en , pero entonces es necesario interpretarla en el sentido de que el lado derecho es la serie de Fourier (posiblemente divergente) de ^[3] En este caso, se puede extender la región donde se cumple la igualdad considerando métodos de sumabilidad como la sumabilidad de Cesàro . Al interpretar la convergencia de esta manera, la ecuación 2 , caso se cumple bajo las condiciones menos restrictivas de que es integrable y 0 es un punto de continuidad de . Sin embargo, la ecuación 2 puede no cumplirse incluso cuando tanto y son integrables y continuos, y las sumas convergen absolutamente. ^[10] ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x).}$ ${\displaystyle x=0,}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle s_{_{P}}(x)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$

Aplicaciones

Método de imágenes

En ecuaciones diferenciales parciales , la fórmula de suma de Poisson proporciona una justificación rigurosa para la solución fundamental de la ecuación de calor con borde rectangular absorbente por el método de imágenes . Aquí se conoce el núcleo de calor en , y el de un rectángulo se determina tomando la periodización. La fórmula de suma de Poisson proporciona de manera similar una conexión entre el análisis de Fourier en espacios euclidianos y en los toros de las dimensiones correspondientes. ^[8] En una dimensión, la solución resultante se llama función theta . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

En electrodinámica , el método también se utiliza para acelerar el cálculo de funciones periódicas de Green . ^[11]

Muestreo

En el estudio estadístico de series temporales, si es una función del tiempo, entonces observar solo sus valores en puntos de tiempo igualmente espaciados se llama "muestreo". En las aplicaciones, normalmente la función está limitada por banda , lo que significa que hay una frecuencia de corte tal que es cero para las frecuencias que exceden el corte: para Para funciones limitadas por banda, la elección de la frecuencia de muestreo garantiza que no se pierda información: ya que se puede reconstruir a partir de estos valores muestreados. Luego, por inversión de Fourier, también se puede Esto conduce al teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f_{o}}$ ${\displaystyle S(f)}$ ${\displaystyle S(f)=0}$ ${\displaystyle |f|>f_{o}.}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{T}}>2f_{o}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s.}$

Suma de Ewald

Computacionalmente, la fórmula de suma de Poisson es útil ya que se garantiza que una suma que converge lentamente en el espacio real se convertirá en una suma equivalente que converge rápidamente en el espacio de Fourier. ^[12] (Una función amplia en el espacio real se convierte en una función estrecha en el espacio de Fourier y viceversa). Esta es la idea esencial detrás de la suma de Ewald .

Aproximaciones de integrales

La fórmula de suma de Poisson también es útil para limitar los errores obtenidos cuando una integral se aproxima mediante una suma (de Riemann). Considere una aproximación de como , donde es el tamaño del bin. Entonces, de acuerdo con la ecuación 2, esta aproximación coincide con . El error en la aproximación puede entonces limitarse como . Esto es particularmente útil cuando la transformada de Fourier de decae rápidamente si . ${\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}$ ${\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}$ ${\displaystyle \delta \ll 1}$ ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$ ${\textstyle \left|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle 1/\delta \gg 1}$

Puntos reticulares dentro de una esfera

La fórmula de suma de Poisson se puede utilizar para derivar la fórmula asintótica de Landau para el número de puntos de red dentro de una esfera euclidiana grande. También se puede utilizar para demostrar que si una función es integrable y ambas tienen soporte compacto , entonces ^[2] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s=0.}$

Teoría de números

En teoría de números , la suma de Poisson también se puede utilizar para derivar una variedad de ecuaciones funcionales, incluida la ecuación funcional para la función zeta de Riemann . ^[13]

Un uso importante de la suma de Poisson se refiere a las funciones theta : sumas periódicas de gaussianas. Supongamos , para un número complejo en el semiplano superior, y definamos la función theta: ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$ ${\displaystyle \tau }$

$${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.}$$

La relación entre y resulta importante para la teoría de números, ya que este tipo de relación es una de las propiedades definitorias de una forma modular . Al elegir y utilizar el hecho de que se puede concluir: ${\displaystyle \theta (-1/\tau )}$ ${\displaystyle \theta (\tau )}$ ${\displaystyle s(x)=e^{-\pi x^{2}}}$ ${\displaystyle S(f)=e^{-\pi f^{2}},}$

$${\displaystyle \theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),}$$poniendo ${\displaystyle {1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.}$

De esto se deduce que tiene una propiedad de transformación simple y esto se puede usar para demostrar la fórmula de Jacobi para el número de formas diferentes de expresar un número entero como la suma de ocho cuadrados perfectos. ${\displaystyle \theta ^{8}}$ ${\displaystyle \tau \mapsto {-1/\tau }}$

Empaquetaduras de esferas

Cohn y Elkies ^[14] demostraron un límite superior para la densidad de empaquetamientos de esferas utilizando la fórmula de suma de Poisson, lo que posteriormente condujo a una prueba de empaquetamientos de esferas óptimos en dimensión 8 y 24.

Otro

• Dejar para y para conseguir ${\displaystyle s(x)=e^{-ax}}$ ${\displaystyle 0\leq x}$ ${\displaystyle s(x)=0}$ ${\displaystyle x<0}$ $${\displaystyle \coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.}$$
• Se puede utilizar para demostrar la ecuación funcional de la función theta.
• La fórmula de suma de Poisson aparece en los cuadernos de Ramanujan y se puede utilizar para demostrar algunas de sus fórmulas; en particular, se puede utilizar para demostrar una de las fórmulas de la primera carta de Ramanujan a Hardy. ^{[ aclaración necesaria ]}
• Se puede utilizar para calcular la suma de Gauss cuadrática.

Generalizaciones

La fórmula de suma de Poisson se cumple en el espacio euclidiano de dimensión arbitraria. Sea la red en que consta de puntos con coordenadas enteras. Para una función en , considere la serie dada por la suma de las traslaciones de por elementos de : ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Lambda }$

$${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).}$$

Teorema Para en , la serie anterior converge puntualmente casi en todas partes y define una función -periódica en , por lo tanto, una función en el toro ae  se encuentra en con Además, para todo en ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d})}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s({\bar {x}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda .}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}$ ${\displaystyle \|\mathbb {P} s\|_{L_{1}(\mathbb {R} ^{d}/\Lambda )}\leq \|s\|_{L_{1}(\mathbb {R} )}.}$
${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Lambda ,}$ 

${\displaystyle \mathbb {P} S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \nu \cdot {\bar {x}}}d{\bar {x}}}$

(la transformada de Fourier de en el toro ) es igual a ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}/\Lambda }$

${\displaystyle S(\nu )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}s(x)e^{-i2\pi \nu \cdot x}\,dx}$

(la transformada de Fourier de en ). ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Cuando además es continua y ambas decaen lo suficientemente rápido en el infinito, entonces se puede "invertir" la serie de Fourier de vuelta a su dominio y hacer una afirmación más sólida. Más precisamente, si ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

$${\displaystyle |s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }}$$

para algún C , δ > 0, entonces ^{[9] : VII §2} donde ambas series convergen de manera absoluta y uniforme en Λ. Cuando d = 1 y x = 0, esto da la ecuación 1 anterior. $${\displaystyle \sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi \nu \cdot x},}$$

De manera más general, una versión de la afirmación se cumple si Λ se reemplaza por una red más general en un espacio vectorial de dimensión finita . Elija una medida invariante de la traslación en . Es única hasta un escalar positivo. Nuevamente, para una función, definimos la periodización ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle s\in L_{1}(V,m)}$

${\displaystyle \mathbb {P} s(x)=\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )}$

Como arriba.

La red dual se define como un subconjunto del espacio vectorial dual que evalúa a números enteros en la red o, alternativamente, por la dualidad de Pontryagin , como los caracteres de que contienen en el núcleo. Entonces, la afirmación es que para todos, la transformada de Fourier de la periodización como función de y la transformada de Fourier de en sí misma están relacionadas por una normalización adecuada. ${\displaystyle \Lambda '}$ ${\displaystyle V'}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \nu \in \Lambda '}$ ${\displaystyle \mathbb {P} S}$ ${\displaystyle \mathbb {P} s}$ ${\displaystyle V/\Lambda }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} S(\nu )&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V/\Lambda }\mathbb {P} s({\bar {x}})e^{-i2\pi \langle \nu ,{\bar {x}}\rangle }m(d{\bar {x}})\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\int _{V}s(x)e^{-i2\pi \langle \nu ,x\rangle }m(dx)\\&={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}S(\nu )\end{aligned}}}$

Nótese que el lado derecho es independiente de la elección de la medida invariante . Si y son continuas y tienden a cero más rápido que entonces ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 1/r^{\dim(V)+\delta }}$

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda +x)=\sum _{\nu \in \Lambda '}\mathbb {P} S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )e^{i2\pi \langle \nu ,x\rangle }}$

En particular

${\displaystyle \sum _{\lambda \in \Lambda }s(\lambda )={\frac {1}{m(V/\Lambda )}}\sum _{\nu \in \Lambda '}S(\nu )}$

Esto se aplica en la teoría de funciones theta y es un método posible en la geometría de números . De hecho, en trabajos más recientes sobre el recuento de puntos reticulares en regiones, se utiliza de forma rutinaria: la suma de la función indicadora de una región D sobre los puntos reticulares es exactamente la cuestión, de modo que el lado izquierdo de la fórmula de suma es lo que se busca y el lado derecho algo que se puede atacar mediante análisis matemático .

Fórmula de trazas de Selberg

En teoría de números , se requiere una mayor generalización a grupos abelianos localmente compactos . En el análisis armónico no conmutativo , la idea se lleva aún más lejos en la fórmula de traza de Selberg, pero adquiere un carácter mucho más profundo.

Una serie de matemáticos que aplicaron el análisis armónico a la teoría de números, en particular Martin Eichler, Atle Selberg , Robert Langlands y James Arthur, han generalizado la fórmula de la suma de Poisson a la transformada de Fourier en grupos algebraicos reductivos localmente compactos no conmutativos con un subgrupo discreto tal que tiene volumen finito. Por ejemplo, pueden ser los puntos reales de y pueden ser los puntos integrales de . En este contexto, desempeña el papel de la línea de números reales en la versión clásica de la suma de Poisson, y desempeña el papel de los números enteros que aparecen en la suma. La versión generalizada de la suma de Poisson se llama fórmula de la traza de Selberg, y ha desempeñado un papel en la demostración de muchos casos de la conjetura de Artin y en la prueba de Wiles del último teorema de Fermat. El lado izquierdo de la ecuación 1 se convierte en una suma sobre representaciones unitarias irreducibles de , y se denomina "el lado espectral", mientras que el lado derecho se convierte en una suma sobre clases de conjugación de , y se denomina "el lado geométrico". ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G/\Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle SL_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$

La fórmula de suma de Poisson es el arquetipo de grandes avances en el análisis armónico y la teoría de números.

Teorema de convolución

La fórmula de suma de Poisson es un caso particular del teorema de convolución en distribuciones templadas . Si uno de los dos factores es el peine de Dirac , se obtiene la suma periódica en un lado y el muestreo en el otro lado de la ecuación. Aplicada a la función delta de Dirac y su transformada de Fourier , la función que es constantemente 1, esto produce la identidad del peine de Dirac .

Véase también

• Análisis de Fourier § Resumen
• Fórmula de inversión de Post
• Fórmula de Voronoi
• Transformada de Fourier de tiempo discreto
• Fórmulas explícitas para funciones L

Referencias

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2. Pinsky, M. (2002), Introducción al análisis de Fourier y wavelets. , Brooks Cole, ISBN 978-0-534-37660-4
3. Zygmund, Antoni (1968), Series trigonométricas (2.ª ed.), Cambridge University Press (publicado en 1988), ISBN 978-0-521-35885-9
4. Córdoba, A., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376
5. Hörmander, L. (1983), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Grundl. Matemáticas. Wissenschaft., vol. 256, Springer, doi :10.1007/978-3-642-96750-4, ISBN 3-540-12104-8, Sr.  0717035
6. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2Las muestras de la transformada de Fourier de una secuencia aperiódica x[n] pueden considerarse como coeficientes DFS de una secuencia periódica obtenida mediante la suma de réplicas periódicas de x[n] .
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8. Grafakos, Loukas (2004), Análisis de Fourier clásico y moderno , Pearson Education, Inc., págs. 253–257, ISBN 0-13-035399-X
9. Stein, Elias; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9
10. Katznelson, Yitzhak (1976), Una introducción al análisis armónico (segunda edición corregida), Nueva York: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
11. Kinayman, Noyan; Aksun, MI (1995). "Estudio comparativo de técnicas de aceleración para integrales y series en problemas electromagnéticos". Radio Science . 30 (6): 1713–1722. Bibcode :1995RaSc...30.1713K. doi :10.1029/95RS02060. hdl : 11693/48408 .
12. Woodward, Philipp M. (1953). Probabilidad y teoría de la información, con aplicaciones al radar . Academic Press, pág. 36.
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Lectura adicional

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• Gasquet, Claude; Witomski, Patrick (1999), Análisis de Fourier y aplicaciones , Springer, págs. 344–352, ISBN 0-387-98485-2
• Higgins, JR (1985), "Cinco historias breves sobre la serie cardinal", Bull. Amer. Math. Soc. , 12 (1): 45–89, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15293-0