Fórmula de Voronoi

Fórmula matemática en el análisis armónico

En matemáticas, una fórmula de Voronoi es una igualdad que involucra coeficientes de Fourier de formas automórficas , con los coeficientes torcidos por caracteres aditivos en ambos lados. Puede considerarse como una fórmula de suma de Poisson para grupos no abelianos . La fórmula de Voronoi (sumatoria) para GL(2) ha sido durante mucho tiempo una herramienta estándar para estudiar las propiedades analíticas de las formas automórficas y sus funciones L. Han habido numerosos resultados derivados de la fórmula de Voronoi en GL(2). El concepto recibe su nombre de Georgy Voronoy .

Aplicación clásica

Para Voronoy y sus contemporáneos, la fórmula parecía hecha a medida para evaluar ciertas sumas finitas. Esto parecía significativo porque varias cuestiones importantes en la teoría de números involucran sumas finitas de cantidades aritméticas. En este sentido, mencionemos dos ejemplos clásicos, el problema del divisor de Dirichlet y el problema del círculo de Gauss . El primero estima el tamaño de d ( n ), el número de divisores positivos de un entero  n . Dirichlet demostró

${\displaystyle D(X)=\sum _{n=1}^{X}d(n)-X\log X-(2\gamma -1)X=O(X^{1/2})}$

donde la constante de Euler es ≈ 0,57721566. El problema del círculo de Gauss se refiere al tamaño medio de ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle r_{2}(n)=\#\{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=n\},}$

para lo cual Gauss dio la estimación

${\displaystyle \Delta (X)=\sum _{n=1}^{X}r_{2}(n)-\pi X=O(X^{1/2}).}$

Cada problema tiene una interpretación geométrica, con D ( X ) contando los puntos de red en la región y los puntos de red en el disco . Estos dos límites están relacionados, como veremos, y provienen de consideraciones bastante elementales. En la serie de artículos, Voronoy desarrolló métodos geométricos y analíticos para mejorar tanto el límite de Dirichlet como el de Gauss. Lo más importante en retrospectiva es que generalizó la fórmula al permitir sumas ponderadas, a expensas de introducir operaciones integrales más generales en f que la transformada de Fourier . ${\displaystyle \{x,y>0,xy\leq X\}}$ ${\displaystyle \Delta (X)}$ ${\displaystyle \{x^{2}+y^{2}\leq X\}}$

Formulación moderna

Sea ƒ una forma de cúspide de Maass para el grupo modular PSL (2, Z ) y a ( n ) sus coeficientes de Fourier. Sean a , c números enteros con ( a , c ) = 1. Sea ω una función de prueba de buen comportamiento. La fórmula de Voronoi para ƒ establece

${\displaystyle \sum _{n}a(n)e(an/c)\omega (n)=\sum _{n}a(n)e(-{\bar {a}}n/c)\Omega (n),}$

donde es un inverso multiplicativo de a módulo  c y Ω es una cierta transformada integral de Hankel de  ω . (ver Good (1984)) ${\displaystyle {\bar {a}}}$

Referencias

• Good, Anton (1984), "Formas cúspides y funciones propias del laplaciano", Mathematische Annalen , 255 (4): 523–548, doi :10.1007/bf01451932
• Miller, SD y Schmid, W. (2006). Distribuciones automórficas, funciones L y suma de Voronoi para GL(3). Anales de matemáticas, 423–488.
• Voronoï, G. (1904). Sur una función trascendental y sus aplicaciones à la sommation de quelques series. En Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (Vol. 21, págs. 207-267).