La serie de Grandi

Serie infinita que suma términos alternados 1 y -1

En matemáticas , la serie infinita 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , también escrita

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

A veces se la denomina serie de Grandi , en honor al matemático , filósofo y sacerdote italiano Guido Grandi , que dio un tratamiento memorable de la serie en 1703. Es una serie divergente , lo que significa que la secuencia de sumas parciales de la serie no converge.

Sin embargo, aunque es divergente, se puede manipular para obtener una serie de resultados matemáticamente interesantes. Por ejemplo, en matemáticas se utilizan muchos métodos de suma para asignar valores numéricos incluso a una serie divergente. Por ejemplo, la suma de Cesáro y la suma de Ramanujan de esta serie son ambas 1/2.

Métodos no rigurosos

Un método obvio para encontrar la suma de la serie

${\displaystyle 1-1+1-1+1-1+1-1+\ldots }$

Sería tratarlo como una serie telescópica y realizar las restas en su lugar:

${\displaystyle (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+\ldots =0+0+0+0+\ldots =0.}$

Por otra parte, un procedimiento de horquillado similar conduce al resultado aparentemente contradictorio

${\displaystyle 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\ldots =1+0+0+0+\ldots =1.}$

Por lo tanto, al aplicar paréntesis a la serie de Grandi de diferentes maneras, se puede obtener 0 o 1 como "valor". Esto es muy similar al problema general de la convergencia condicional , y las variaciones de esta idea, llamadas la estafa de Eilenberg-Mazur , a veces se utilizan en la teoría de nudos y el álgebra . Al tomar el promedio de estos dos "valores", se puede justificar que la serie converge a 1/2.

Tratando la serie de Grandi como una serie geométrica divergente y utilizando los mismos métodos algebraicos que evalúan las series geométricas convergentes para obtener un tercer valor:

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=1-1+1-1+\ldots ,{\text{ so}}\\1-S&=1-(1-1+1-1+\ldots )=1-1+1-1+\ldots =S\\1-S&=S\\1&=2S,\end{aligned}}}$$

resultando en . La misma conclusión resulta de calcular (de ( ), restar el resultado de , y resolver . ^[1] ${\displaystyle S=1/2}$ ${\textstyle -S}$ ${\textstyle -S=(1-S)-1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 2S=1}$

Las manipulaciones anteriores no consideran lo que significa rigurosamente la suma de una serie y cómo se pueden aplicar dichos métodos algebraicos a las series geométricas divergentes . Aún así, en la medida en que es importante poder poner series entre paréntesis a voluntad, y que es más importante poder realizar operaciones aritméticas con ellas, se puede llegar a dos conclusiones:

• La serie 1 − 1 + 1 − 1 + ... no tiene suma. ^{[1] [2]}
• ... pero su suma debería ser 1/2. ^[2]

De hecho, ambas afirmaciones pueden precisarse y demostrarse formalmente, pero sólo utilizando conceptos matemáticos bien definidos que surgieron en el siglo XIX. Después de la introducción del cálculo en Europa a fines del siglo XVII , pero antes de la llegada del rigor moderno , la tensión entre estas respuestas alimentó lo que se ha caracterizado como una disputa "interminable" y "violenta" entre matemáticos . ^[3]

Relación con la serie geométrica

Para cualquier número en el intervalo ⁠ ⁠ , la suma hasta el infinito de una serie geométrica se puede evaluar mediante ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}r^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}.}$

Para cualquier , se encuentra así ${\displaystyle \varepsilon \in (0,2)}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{1-(-1+\varepsilon )}}={\frac {1}{2-\varepsilon }},}$

y entonces el límite de evaluaciones de series es ${\displaystyle \varepsilon \to 0}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\lim _{N\to \infty }\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}={\frac {1}{2}}.}$

Sin embargo, como se mencionó, la serie obtenida al cambiar los límites,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}\sum _{n=0}^{N}(-1+\varepsilon )^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}}$

es divergente

En términos de análisis complejo , ⁠1/2Se ve entonces que ⁠ es el valor en z = −1 de la continuación analítica de la serie ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}z^{n}}$ , que sólo está definida en el disco unitario complejo, | z | < 1 .

Ideas tempranas

Divergencia

En matemáticas modernas, la suma de una serie infinita se define como el límite de la sucesión de sus sumas parciales , si existe. La sucesión de sumas parciales de la serie de Grandi es 1, 0, 1, 0, ..., que claramente no se acerca a ningún número (aunque sí tiene dos puntos de acumulación en 0 y 1). Por lo tanto, la serie de Grandi es divergente .

Se puede demostrar que no es válido realizar muchas operaciones aparentemente inocuas en una serie, como reordenar términos individuales, a menos que la serie sea absolutamente convergente . De lo contrario, estas operaciones pueden alterar el resultado de la suma. ^[4] Además, los términos de la serie de Grandi se pueden reordenar para tener sus puntos de acumulación en cualquier intervalo de dos o más números enteros consecutivos, no solo 0 o 1. Por ejemplo, la serie

${\displaystyle 1+1+1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-1-1+1+1-\cdots }$

(en la que, después de cinco términos iniciales +1, los términos se alternan en pares de términos +1 y −1 – la infinitud tanto de +1 como de −1 permite que se anteponga cualquier número finito de 1 o −1, mediante la paradoja de Hilbert del Grand Hotel ) es una permutación de la serie de Grandi en la que cada valor en la serie reordenada corresponde a un valor que está como máximo a cuatro posiciones de él en la serie original; sus puntos de acumulación son 3, 4 y 5.

Educación

Impacto cognitivo

Alrededor de 1987, Anna Sierpińska presentó la serie de Grandi a un grupo de estudiantes de pre-cálculo de 17 años en un liceo de Varsovia . Se centró en los estudiantes de humanidades con la expectativa de que su experiencia matemática sería menos significativa que la de sus compañeros que estudiaban matemáticas y física, por lo que los obstáculos epistemológicos que exhibían serían más representativos de los obstáculos que aún pueden estar presentes en los estudiantes del liceo.

Al principio, Sierpińska esperaba que los estudiantes se resistieran a asignar un valor a la serie de Grandi, pero en ese momento pudo sorprenderlos al afirmar que 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ como resultado de la fórmula de la serie geométrica. Idealmente, al buscar el error en el razonamiento e investigar la fórmula para varias razones comunes, los estudiantes "notarían que hay dos tipos de series y nacería una concepción implícita de convergencia". ^[5] Sin embargo, los estudiantes no mostraron sorpresa cuando se les dijo que 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠1/2⁠ o incluso que 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1 . Sierpińska señala que a priori , la reacción de los estudiantes no debería ser demasiado sorprendente dado que Leibniz y Grandi pensaban ⁠1/2⁠ ser un resultado plausible;

"A posteriori, sin embargo, la explicación de esta falta de conmoción por parte de los estudiantes puede ser algo diferente. Aceptaron con calma el absurdo porque, después de todo, 'las matemáticas son completamente abstractas y están alejadas de la realidad', y 'con esas transformaciones matemáticas se pueden demostrar todo tipo de tonterías', como dijo más tarde uno de los chicos." ^[5]

Los estudiantes no se libraron de la cuestión de la convergencia; Sierpińska logró que se interesaran en ella al día siguiente relacionándola con las expansiones decimales. En cuanto 0,999... = 1 sorprendió a los estudiantes, el resto de su material "se les escapó de las manos". ^[5]

Preconcepciones

En otro estudio realizado en Treviso , Italia alrededor del año 2000, a alumnos de tercero y cuarto año del Liceo Scientifico (entre 16 y 18 años) se les dieron tarjetas con las siguientes preguntas:

"En 1703, el matemático Guido Grandi estudió la suma: 1 − 1 + 1 − 1 + ... (los sumandos, infinitos, son siempre +1 y –1). ¿Qué opinas al respecto?"

A los estudiantes se les había presentado la idea de un conjunto infinito, pero no tenían experiencia previa con series infinitas. Se les dio diez minutos sin libros ni calculadoras. Las 88 respuestas se clasificaron de la siguiente manera:

(26) el resultado es 0

(18) el resultado puede ser 0 o 1

(5) el resultado no existe

(4) el resultado es ⁠1/2⁠

(3) el resultado es 1

(2) el resultado es infinito

(30) no hay respuesta

El investigador Giorgio Bagni entrevistó a varios de los estudiantes para determinar su razonamiento. Unos 16 de ellos justificaron una respuesta de 0 utilizando una lógica similar a la de Grandi y Riccati. Otros justificaron ⁠1/2⁠ como el promedio de 0 y 1. Bagni señala que su razonamiento, aunque similar al de Leibniz, carece de la base probabilística que fue tan importante para las matemáticas del siglo XVIII. Concluye que las respuestas son consistentes con un vínculo entre el desarrollo histórico y el desarrollo individual, aunque el contexto cultural sea diferente. ^[6]

Perspectivas

Joel Lehmann describe el proceso de distinguir entre diferentes conceptos de suma como la construcción de un puente sobre una grieta conceptual: la confusión sobre la divergencia que persiguió a las matemáticas del siglo XVIII.

"Dado que las series generalmente se presentan sin historia y separadas de las aplicaciones, el estudiante debe preguntarse no sólo "¿Qué son estas cosas?" sino también "¿Por qué estamos haciendo esto?" La preocupación por determinar la convergencia pero no la suma hace que todo el proceso parezca artificial y sin sentido para muchos estudiantes -y también para los instructores". ^[7]

Como resultado, muchos estudiantes desarrollan una actitud similar a la de Euler:

"... los problemas que surgen de manera natural (es decir, de la naturaleza) tienen soluciones, por lo que la suposición de que las cosas se resolverán eventualmente se justifica experimentalmente sin necesidad de pruebas de existencia. Supongamos que todo está bien, y si la solución a la que llegamos funciona, probablemente teníamos razón, o al menos suficiente razón... ¿por qué molestarnos con los detalles que solo aparecen en los problemas de tarea?" ^[8]

Lehmann recomienda responder a esta objeción con el mismo ejemplo que Jean-Charles Callet presentó contra el tratamiento que Euler le dio a la serie de Grandi. Euler había considerado la suma como la evaluación en x = 1 de la serie geométrica ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =1/(1+x)}$ , dando como resultado la suma ⁠1/2⁠ . Sin embargo, Callet señaló que uno podría ver la serie de Grandi como la evaluación en x = 1 de una serie diferente, ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1-x^{2}+x^{3}-x^{5}+x^{6}-\cdots ={\tfrac {1+x}{1+x+x^{2}}}}$ , dando la suma ⁠2/3Lehman sostiene que ver un resultado tan conflictivo en evaluaciones intuitivas puede motivar la necesidad de definiciones rigurosas y atención a los detalles. [ ^8]

Sumabilidad

Problemas relacionados

La serie 1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ... ( hasta el infinito) también es divergente, pero se pueden usar algunos métodos para sumarla .1/4⁠ . Este es el cuadrado del valor que la mayoría de los métodos de suma asignan a la serie de Grandi, lo cual es razonable ya que puede verse como el producto de Cauchy de dos copias de la serie de Grandi.

Véase también

• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
• Resumen de Ramanujan
• Resumen de Cesáro
• La lámpara de Thomson

Notas

1. Devlin 1994, pág. 77
2. Davis 1989, pág. 152
3. Kline 1983, pág. 307; Knopp 1990, pág. 457
4. Protter y Morrey 1991
5. Sierpińska 1987, págs. 371–378
6. Bagni 2005, págs. 6-8
7. Lehmann 1995, pág. 165
8. Lehmann 1995, pág. 176

Referencias

• Bagni, Giorgio T. (junio de 2005). "Series infinitas desde la historia hasta la educación matemática" (PDF) . Revista internacional de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas . Archivado desde el original (PDF) el 29 de diciembre de 2006.
• Davis, Harry F. (mayo de 1989). Series de Fourier y funciones ortogonales . Dover. ISBN 978-0-486-65973-2.
• Devlin, Keith (1994). Matemáticas, la ciencia de los patrones: la búsqueda del orden en la vida, la mente y el universo . Biblioteca Scientific American. ISBN 978-0-7167-6022-1.
• Kline, Morris (noviembre de 1983). "Euler y las series infinitas". Revista de matemáticas . 56 (5): 307–314. CiteSeerX  10.1.1.639.6923 . doi :10.2307/2690371. JSTOR  2690371.
• Knopp, Konrad (1990) [1922]. Teoría y aplicación de series infinitas . Dover. ISBN 978-0-486-66165-0.
• Hobson, EW (1907). La teoría de funciones de una variable real y la teoría de las series de Fourier. Cambridge University Press . Sección 331. ISBN 978-1-4181-8651-7.
• Lehmann, Joel (1995). "Conceptos convergentes de series: aprendizaje a partir de la historia". En Swetz, Frank; Fauvel, John; Bekken, Otto; Johansson, Bengt; Katz, Victor (eds.). ¡Aprenda de los maestros! (PDF) . Asociación Matemática de Estados Unidos. págs. 161–180.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1991). Un primer curso de análisis real. Textos de pregrado en matemáticas . Springer. pág. 249. ISBN. 978-0-387-97437-8.
• Sierpińska, Anna (noviembre de 1987). "Estudiantes de humanidades y obstáculos epistemológicos relacionados con los límites". Educational Studies in Mathematics . 18 (4): 371–396. doi :10.1007/BF00240986. JSTOR  3482354. S2CID  144880659.
• Whittaker, ET ; Watson, GN (1962). Un curso de análisis moderno (4.ª edición reimpresa). Cambridge University Press . § 2.1.

Enlaces externos

• Uno menos uno más uno menos uno – Numberphile, la serie de Grandi