número de liouville

Clase de números irracionales

En teoría de números , un número de Liouville es un número real con la propiedad de que, para cada entero positivo , existe un par de enteros tales que ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>1}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$

Los números de Liouville son "casi racionales " y, por tanto, pueden aproximarse "bastante" mediante secuencias de números racionales. Precisamente, estos son números trascendentales a los que los números racionales pueden aproximarse más estrechamente que cualquier número irracional algebraico . En 1844, Joseph Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales, ^[1] estableciendo así por primera vez la existencia de números trascendentales. ^[2] Se sabe que π y e no son números de Liouville. ^[3]

La existencia de los números de Liouville (constante de Liouville)

Se puede demostrar que los números de Liouville existen mediante una construcción explícita.

Para cualquier número entero y cualquier secuencia de números enteros tales que para todos y para un número infinito , defina el número ${\displaystyle b\geq 2}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots )}$ ${\displaystyle a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$

En el caso especial cuando , y para todo , el número resultante se llama constante de Liouville: ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle a_{k}=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle L=0.{\color {red}11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}\ldots }$

De la definición se deduce que su base : la representación es ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle x=(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}\ldots )_{b}}$

donde el décimo término está en el décimo lugar. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n!}$

Dado que esta representación base no se repite, se deduce que no es un número racional. Por lo tanto, para cualquier número racional , . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle |x-p/q|>0}$

Ahora, para cualquier número entero , y se puede definir de la siguiente manera: ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle q_{n}}$

${\displaystyle q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}}$

Entonces,

$${\displaystyle {\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|x-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\left|\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}+\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right)-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cualquiera de estos números es un número de Liouville. ${\displaystyle x}$

Notas sobre la prueba

1. La desigualdad se sigue ya que a _k  ∈ {0, 1, 2, ..., b −1} para todo k , por lo que como máximo a _k  = b −1. La suma más grande posible ocurriría si la secuencia de números enteros ( a ₁ , a ₂ ,...) fuera ( b −1, b −1,...), es decir, a _k  = b −1, para todo k . será por tanto menor o igual a esta suma mayor posible. ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$
2. La fuerte desigualdad se deriva de la motivación para eliminar la serie reduciéndola a una serie para la cual se conoce una fórmula. En la prueba hasta ahora, el propósito de introducir la desigualdad en el punto 1 proviene de la intuición de que (la fórmula de la serie geométrica ); por lo tanto, si se puede encontrar una desigualdad que introduce una serie con ( b −1 ) en el numerador, y si el término del denominador se puede reducir aún más de a , además de desplazar los índices de la serie de 0 a , entonces tanto la serie como ( b −1 ) se eliminarán términos, acercándose a una fracción de la forma , que es el objetivo final de la prueba. Esta motivación se incrementa aquí seleccionando ahora de la suma una suma parcial. Observe que, para cualquier término en , desde b ≥ 2, entonces , para todo k (excepto cuando n =1). Por lo tanto, (ya que, incluso si n =1, todos los términos posteriores son más pequeños). Para manipular los índices de modo que k comience en 0, se seleccionará la suma parcial desde dentro (también menor que el valor total ya que es una suma parcial de una serie cuyos términos son todos positivos). ¡Elija la suma parcial formada comenzando en k = ( n +1)! que se deriva de la motivación para escribir una nueva serie con k = 0, es decir, al notar que . ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}={\frac {b}{b-1}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle b^{k!}}$ ${\displaystyle b^{k}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {b-1}{b^{k!}}}<{\frac {b-1}{b^{k}}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}}$ ${\displaystyle b^{(n+1)!}=b^{(n+1)!}b^{0}}$
3. Para la desigualdad final , se ha elegido esta desigualdad particular (verdadera porque b ≥ 2, donde la igualdad sigue si y sólo si n =1) debido al deseo de manipular algo de la forma . ¡Esta desigualdad particular permite la eliminación de ( n +1)! y el numerador, usando la propiedad que ( n +1)! – norte ! = ( n !) n , poniendo así el denominador en forma ideal para la sustitución . ${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {b}{b^{(n+1)!}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{b^{{\text{exponent}}\times n}}}}$ ${\displaystyle q_{n}=b^{n!}}$

Irracionalidad

Aquí la prueba mostrará que el número donde cyd son números enteros y no puede satisfacer las desigualdades que definen un número de Liouville. Dado que todo número racional puede representarse como tal, la prueba mostrará que ningún número de Liouville puede ser racional . ${\displaystyle ~x=c/d~,}$ ${\displaystyle ~d>0~,}$ ${\displaystyle ~c/d~,}$

Más específicamente, esta prueba muestra que para cualquier entero positivo n lo suficientemente grande como para [equivalentemente, para cualquier entero positivo )], no existe ningún par de enteros que satisfaga simultáneamente el par de desigualdades entre paréntesis. ${\displaystyle ~2^{n-1}>d>0~}$ ${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~}$ ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Si la afirmación es cierta, entonces se llega a la conclusión deseada.

Sean p y q cualquier número entero con Entonces, ${\displaystyle ~q>1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|=\left|{\frac {\,c\,}{d}}-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}}$

si entonces ${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|=0~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}=0~,}$

lo que significa que ese par de números enteros violaría la primera desigualdad en la definición de un número de Liouville, independientemente de cualquier elección de n  . ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

Si, por otro lado, desde entonces, desde es un número entero, podemos afirmar la desigualdad más aguda. De esto se sigue que ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~,}$ ${\displaystyle c\,q-d\,p}$ ${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|\geq 1~.}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}}$

Ahora, para cualquier número entero, la última desigualdad anterior implica ${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~,}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Por lo tanto, en el caso de que dicho par de números enteros violara la segunda desigualdad en la definición de un número de Liouville, para algún número entero positivo n . ${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$ ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$

Por lo tanto, para concluir, no existe ningún par de números enteros que califiquen como un número de Liouville. ${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~,}$ ${\displaystyle ~q>1~,}$ ${\displaystyle ~x=c/d~,}$

Por tanto, un número de Liouville, si existe, no puede ser racional.

(La sección sobre la constante de Liouville demuestra que los números de Liouville existen al exhibir la construcción de uno. La prueba dada en esta sección implica que este número debe ser irracional ).

Incontable

Consideremos, por ejemplo, el número

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 ceros)1(17 ceros)5(95 ceros)9(599 ceros)2(4319 ceros)6...

donde los dígitos son cero excepto en las posiciones n ! donde el dígito es igual al n.ésimo dígito que sigue al punto decimal en la expansión decimal de  π .

Como se muestra en la sección sobre la existencia de números de Liouville, este número, así como cualquier otro decimal no terminado con sus dígitos distintos de cero situados de manera similar, satisface la definición de número de Liouville. Dado que el conjunto de todas las secuencias de dígitos no nulos tiene la cardinalidad del continuo , ocurre lo mismo con el conjunto de todos los números de Liouville.

Además, los números de Liouville forman un subconjunto denso del conjunto de los números reales.

Números y medidas de Liouville.

Desde el punto de vista de la teoría de la medida , el conjunto de todos los números de Liouville es pequeño. Más precisamente, su medida de Lebesgue , , es cero. La prueba dada sigue algunas ideas de John C. Oxtoby . ^{[4] : 8} ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \lambda (L)}$

Para números enteros positivos y establezca: ${\displaystyle n>2}$ ${\displaystyle q\geq 2}$

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

entonces

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Observe que para cada número entero positivo y , entonces ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Desde

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

y luego ${\displaystyle n>2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}}$

Ahora

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

y se deduce que para cada entero positivo , tiene medida de Lebesgue cero. En consecuencia, también lo ha hecho . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L\cap (-m,m)}$ ${\displaystyle L}$

En cambio, la medida de Lebesgue del conjunto de todos los números trascendentales reales es infinita (ya que el conjunto de los números algebraicos es un conjunto nulo ).

Se podría mostrar aún más: el conjunto de números de Liouville tiene dimensión de Hausdorff 0 (una propiedad estrictamente más fuerte que tener una medida de Lebesgue 0).

Estructura del conjunto de números de Liouville.

Para cada entero positivo n , establezca

${\displaystyle ~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left\{x\in \mathbb {R} :0<\left|x-{\frac {p}{\,q\,}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}~,~{\frac {p}{\,q\,}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{\,q\,}}\right\}~}$

Por tanto, el conjunto de todos los números de Liouville se puede escribir como

${\displaystyle ~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.}$

Cada uno es un conjunto abierto ; como su cierre contiene todos los racionales (los de cada intervalo perforado), también es un subconjunto denso de recta real. Dado que es la intersección de muchos conjuntos densos abiertos, L es comeagre , es decir, es un conjunto denso G δ . ${\displaystyle ~U_{n}~}$ ${\displaystyle ~p/q~}$

Medida de irracionalidad

La medida de irracionalidad de Liouville-Roth ( exponente de irracionalidad, exponente de aproximación o constante de Liouville-Roth ) de un número real es una medida de qué tan "cerca" pueden ser aproximados por los racionales. Generalizando la definición de números de Liouville, en lugar de permitir cualquiera en la potencia de , encontramos el mayor valor posible para tales que se satisface con un número infinito de pares de enteros coprimos con . Este valor máximo de se define como la medida de irracionalidad de . ^{[5] : 246} Para cualquier valor menor que este límite superior, el conjunto infinito de todos los racionales que satisfacen la desigualdad anterior produce una aproximación de . Por el contrario, si es mayor que el límite superior, entonces hay, como máximo, un número finito que satisface la desigualdad; por lo tanto, la desigualdad opuesta se cumple para todos los valores mayores de . En otras palabras, dada la medida de irracionalidad de un número real , siempre que una aproximación racional produzca dígitos decimales exactos, entonces ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\approx p/q}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu +\varepsilon }}}}$

para cualquiera , excepto como máximo para un número finito de pares "afortunados" . ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle (p,q)}$

Como consecuencia del teorema de aproximación de Dirichlet, todo número irracional tiene una medida de irracionalidad de al menos 2. Por otro lado, una aplicación del lema de Borel-Cantelli muestra que casi todos los números tienen una medida de irracionalidad igual a 2. ^{[5] : 246}

A continuación se muestra una tabla de límites superiores e inferiores conocidos para las medidas de irracionalidad de ciertos números.

Base de irracionalidad

La base de irracionalidad es una medida de irracionalidad introducida por J. Sondow ^[22] como medida de irracionalidad para los números de Liouville. Se define de la siguiente manera:

Sea un número irracional. Si existe un número real con la propiedad de que para cualquiera , existe un número entero positivo tal que ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta \geq 1}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle q(\varepsilon )}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{(\beta +\varepsilon )^{q}}}{\text{ for all integers }}p,q{\text{ with }}q\geq q(\varepsilon )}$,

entonces se llama base de irracionalidad y se representa como ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta (\alpha )}$

Si no existe ninguno , se denomina número de super Liouville . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Ejemplo : la serie es un número súper de Liouville , mientras que la serie es un número de Liouville con irracionalidad en base 2 ( representa la tetración ). ${\displaystyle \varepsilon _{2e}=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+\ldots }$ ${\displaystyle \tau _{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{^{n}2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{2^{2}}}}+{\frac {1}{2^{2^{2^{2}}}}}+{\frac {1}{2^{2^{2^{2^{2}}}}}}+\ldots }$ ${\displaystyle {^{b}a}}$

Números de Liouville y trascendencia.

Establecer que un número dado es un número de Liouville proporciona una herramienta útil para demostrar que un número dado es trascendental. Sin embargo, no todos los números trascendentales son números de Liouville. Los términos en la expansión fraccionaria continua de cada número de Liouville son ilimitados; Utilizando un argumento de conteo, se puede demostrar que debe haber incontables números trascendentales que no son Liouville. Utilizando la expansión explícita de fracción continua de e , se puede demostrar que e es un ejemplo de un número trascendental que no es Liouville. Mahler demostró en 1953 que π es otro ejemplo de este tipo. ^[23]

La prueba procede estableciendo primero una propiedad de los números algebraicos irracionales . Esta propiedad esencialmente dice que los números algebraicos irracionales no pueden ser bien aproximados por números racionales, donde la condición de "bien aproximado" se vuelve más estricta para denominadores más grandes. Un número de Liouville es irracional pero no tiene esta propiedad, por lo que no puede ser algebraico y debe ser trascendental. El siguiente lema suele conocerse como teorema de Liouville (en aproximación diofántica) , existiendo varios resultados conocidos como teorema de Liouville .

A continuación, la prueba mostrará que ningún número de Liouville puede ser algebraico.

Lema: Si es una raíz irracional de un polinomio irreducible de grado con coeficientes enteros, entonces existe un número real tal que para todos los números enteros con , ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Prueba del lema: Sea un polinomio mínimo con coeficientes enteros, tal que . ${\displaystyle f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}}$ ${\displaystyle f(\alpha )=0}$

Según el teorema fundamental del álgebra , tiene como máximo raíces distintas. Por lo tanto, existe tal que por todo lo que obtenemos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$
${\displaystyle \delta _{1}>0}$ ${\displaystyle 0<|x-\alpha |<\delta _{1}}$ ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

Dado que es un polinomio mínimo de obtenemos , y también es continuo . Por lo tanto, según el teorema del valor extremo existe y tal que para todos obtenemos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f'\!(\alpha )\neq 0}$ ${\displaystyle f'}$
${\displaystyle \delta _{2}>0}$ ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle |x-\alpha |<\delta _{2}}$ ${\displaystyle 0<|f'\!(x)|\leq M}$

Ambas condiciones se cumplen para . ${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$

Ahora sea un número racional. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que . Según el teorema del valor medio , existe tal que ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )}$ ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}<\alpha }$ ${\displaystyle x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)}$

${\displaystyle f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}}$

Desde y , ambos lados de esa igualdad son distintos de cero. En particular y podemos reorganizar: ${\displaystyle f(\alpha )=0}$ ${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {p}{q}}{\bigr )}\neq 0}$ ${\displaystyle |f'\!(x_{0})|>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}}$

Prueba de afirmación: Como consecuencia de este lema, sea x un número de Liouville; como se señala en el texto del artículo, x es entonces irracional. Si x es algebraico, entonces, según el lema, existe algún número entero n y algún real positivo A tal que para todo p , q

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Sea r un entero positivo tal que 1/(2 ^r ) ≤ A . Si m = r + n , y dado que x es un número de Liouville, entonces existen números enteros a , b donde b > 1 tales que

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}}}$

lo que contradice el lema. Por tanto, un número de Liouville no puede ser algebraico y, por tanto, debe ser trascendental.

Ver también

• Número de Brjuno
• constante de markov
• Aproximación diofántica

Referencias

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enlaces externos

• El comienzo de los números trascendentales