Constante de foiás

Evolución de la secuencia para varios valores de , en torno a la constante de Foias . La evolución de está en verde. Otros valores iniciales conducen a dos puntos de acumulación, 1 y . Se utiliza una escala logarítmica . ${\displaystyle x_{n+1}=(1+1/x_{n})^{n}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle x_{1}=\alpha }$ ${\displaystyle \infty }$

En análisis matemático , la constante de Foias es un número real que lleva el nombre de Ciprian Foias .

Se define de la siguiente manera: para cada número real x ₁  > 0, existe una secuencia definida por la relación de recurrencia

${\displaystyle x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}}$

para n = 1, 2, 3, .... La constante de Foias es la única elección α tal que si x ₁  =  α entonces la secuencia diverge hasta el infinito. Para todos los demás valores de x ₁ , la secuencia también es divergente, pero tiene dos puntos de acumulación : 1 e infinito. ^[1] Numéricamente, es

${\displaystyle \alpha =1.187452351126501\ldots }$. ^[2]

No se conoce ninguna forma cerrada para la constante.

Cuando x ₁  =  α entonces la tasa de crecimiento de la secuencia ( x _n ) viene dada por el límite

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}{\frac {\log n}{n}}=1,}$

donde "log" denota el logaritmo natural . ^[1]

Los mismos métodos utilizados en la prueba de la unicidad de la constante de Foias también pueden aplicarse a otras secuencias recursivas similares. ^[3]

Ver también

• Constante matemática

notas y referencias

1. Ewing, J. y Foias, C. "Un número real interesante y fortuito". En Finito versus infinito: contribuciones a un dilema eterno (Ed. C. Caluse y G. Păun). Londres: Springer-Verlag, págs. 119-126, 2000.
2. Sloane, Nueva Jersey (ed.). "Secuencia A085848 (Expansión decimal de la constante de Foias)". La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.
3. Anghel, Nicolae (2018), "Números de Foias" (PDF) , An. Ştiinţ. Univ. "Ovidio" Constanţa Ser. Estera. , 26 (3): 21–28, doi :10.2478/auom-2018-0030, S2CID  195842026

• SR Pinzón (2003). Constantes matemáticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 430.ISBN​ 0-521-818-052. Constante de foiás.