Constante de Champernowne

Número(s) trascendental(es) con todos los enteros positivos en orden

En matemáticas , la constante de Champernowne C ₁₀ es una constante real trascendental cuya expansión decimal tiene propiedades importantes. Recibe su nombre en honor al economista y matemático DG Champernowne , quien la publicó cuando era estudiante en 1933. ^[1] El número se define concatenando las representaciones en base 10 de los números enteros positivos:

C ₁₀ = 0,12345678910111213141516...  (secuencia A033307 en la OEIS ).

Las constantes de Champernowne también se pueden construir en otras bases de manera similar; por ejemplo,

C ₂ = 0,11011100101110111...  ₂

y

C ₃ = 0,12101112202122...  ₃ .

La palabra Champernowne o palabra Barbier es la secuencia de dígitos de C ₁₀ obtenida al escribirla en base 10 y yuxtaponer los dígitos: ^{[2] [3]}

12345678910111213141516...  (secuencia A007376 en la OEIS )

De manera más general, una secuencia de Champernowne (a veces también llamada palabra de Champernowne ) es cualquier secuencia de dígitos obtenida mediante la concatenación de todas las cadenas de dígitos finitos (en cualquier base dada) en algún orden recursivo. ^[4] Por ejemplo, la secuencia binaria de Champernowne en orden shortlex es

0 1 00 01 10 11 000 001 ... (secuencia A076478 en la OEIS )

donde se han insertado espacios (que de otro modo se ignorarían) solo para mostrar las cadenas que se están concatenando.

Propiedades

Se dice que un número real x es normal si sus dígitos en cada base siguen una distribución uniforme: todos los dígitos son igualmente probables, todos los pares de dígitos son igualmente probables, todos los tripletes de dígitos son igualmente probables, etc. Se dice que un número x es normal en base b si sus dígitos en base b siguen una distribución uniforme.

Si denotamos una cadena de dígitos como [ a ₀ , a ₁ , ...], entonces, en base 10, esperaríamos que las cadenas [0], [1], [2], …, [9] aparecieran 1/10 del tiempo, las cadenas [0,0], [0,1], ..., [9,8], [9,9] aparecieran 1/100 del tiempo, y así sucesivamente, en un número normal.

Champernowne demostró que es normal en base 10, ^[1] mientras que Nakai y Shiokawa demostraron un teorema más general, cuyo corolario es que es normal en base para cualquier b . ^[5] Es un problema abierto si es normal en bases . Por ejemplo, no se sabe si es normal en base 9. Por ejemplo, 54 dígitos de es 0,123456789101112131415161718192021222324252627282930313. Cuando expresamos esto en base 9 obtenemos . ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle C_{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle b\neq k}$ ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle {0.10888888853823026326512111305027757201400001517660835887}_{9}}$

Kurt Mahler demostró que la constante es trascendental . ^[6] La medida de irracionalidad de es , y más generalmente para cualquier base . ^[7] ${\displaystyle C_{10}}$ ${\displaystyle \mu (C_{10})=10}$ ${\displaystyle \mu (C_{b})=b}$ ${\displaystyle b\geq 2}$

La palabra Champernowne es una secuencia disyuntiva . Una secuencia disyuntiva es una secuencia infinita (sobre un alfabeto finito de caracteres ) en la que cada cadena finita aparece como una subcadena.

Serie

La definición de la constante de Champernowne da lugar inmediatamente a una representación en serie infinita que implica una suma doble, donde es el número de dígitos entre el punto decimal y la primera contribución de un número de base 10 de  n dígitos; estas expresiones se generalizan a una base arbitraria b reemplazando 10 y 9 por b y b − 1 respectivamente. Las formas alternativas son y donde y denotan las funciones de piso y techo . ^{[8] [9]} $${\displaystyle C_{10}=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-\delta _{10}(n)}\sum _{k=10^{n-1}}^{10^{n}-1}{\frac {k}{10^{n(k-10^{n-1}+1)}}},}$$ ${\displaystyle \delta _{10}(n)=9\sum _{\ell =1}^{n-1}10^{\ell -1}\ell }$ $${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(\sum \limits _{k=1}^{n}\left\lceil \log _{b}(k+1)\right\rceil \right)}}$$ $${\displaystyle C_{b}=\sum _{n=1}^{\infty }n\cdot b^{-\left(n+\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left\lfloor \log _{b}(k+1)\right\rfloor \right)},}$$ ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil x\rceil }$

Volviendo a la primera de estas series, tanto el sumando de la suma externa como la expresión para se pueden simplificar utilizando la forma cerrada para la serie geométrica bidimensional : ${\displaystyle \delta _{b}(n)}$ $${\displaystyle \sum _{k=n}^{\infty }ka^{k}=a^{n}{\frac {n-(n-1)a}{(1-a)^{2}}}.}$$

La expresión resultante para es mientras que el sumando de la suma externa se convierte en Sumando sobre todos los n ≥ 1 da Observe que en el sumando, la expresión entre paréntesis es aproximadamente para n ≥ 2 y se acerca rápidamente a ese valor a medida que n crece, mientras que el exponente crece exponencialmente con n . Como consecuencia, cada término adicional proporciona un número exponencialmente creciente de dígitos correctos aunque el número de dígitos en los numeradores y denominadores de las fracciones que comprenden estos términos crece solo linealmente. Por ejemplo, los primeros términos de C ₁₀ son ${\displaystyle \delta _{b}(n)}$ $${\displaystyle \delta _{b}(n)=(b-1)\sum _{\ell =1}^{n-1}b^{\ell -1}\ell ={\frac {1}{b-1}}\left(1+b^{n-1}((b-1)n-b)\right),}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}b^{-\delta _{b}(n)}\sum _{k=b^{n-1}}^{b^{n}-1}{\frac {k}{b^{n(k-b^{n-1}+1)}}}&=b^{-\delta _{b}(n)}b^{n(b^{n-1}-1)}\left(\sum _{k=b^{n-1}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}-\sum _{k=b^{n}}^{\infty }{\frac {k}{b^{nk}}}\right)\\&={\frac {b^{2n-1}-b^{n-1}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n)}-{\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}b^{-\delta _{b}(n+1)}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle C_{b}={\frac {b}{(b-1)^{2}}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b^{2n}-b^{n}+1}{\left(b^{n}-1\right)^{2}}}-{\frac {b^{2n+1}-b^{n}+1}{\left(b^{n+1}-1\right)^{2}}}\right)b^{-\delta _{b}(n+1)}.}$$ ${\displaystyle {\frac {b-1}{b}}}$ ${\displaystyle \delta _{b}(n+1)}$ $${\displaystyle C_{10}={\frac {10}{81}}-\left[\left({\frac {91}{81}}-{\frac {991}{9801}}\right)\times 10^{-9}+\left({\frac {9901}{9801}}-{\frac {99901}{998001}}\right)\times 10^{-189}+\left({\frac {999001}{998001}}-{\frac {9999001}{99980001}}\right)\times 10^{-2889}+\ldots \right].}$$

Expansión de fracciones continuas

Los primeros 161 cocientes de la fracción continua de la constante de Champernowne. Los números 4, 18, 40 y 101 son mucho mayores que 270, por lo que no aparecen en el gráfico.

Los primeros 161 cocientes de la fracción continua de la constante de Champernowne en escala logarítmica .

La expansión en fracción continua simple de la constante de Champernowne no termina (porque la constante no es racional ) y es aperiódica (porque no es una fracción cuadrática irreducible). Una fracción continua simple es una fracción continua donde el denominador es 1. La expansión en fracción continua simple de la constante de Champernowne exhibe términos extremadamente grandes que aparecen entre muchos términos pequeños. Por ejemplo, en base 10,

C ₁₀ = [0; 8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 555 00 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, ...]. (secuencia A030167 en la OEIS )

El número grande en la posición 18 tiene 166 dígitos, y el siguiente término muy grande en la posición 40 de la fracción continua tiene 2504 dígitos. El hecho de que haya números tan grandes como términos de la expansión de la fracción continua significa que los convergentes obtenidos al detenerse antes de estos números grandes proporcionan una aproximación excepcionalmente buena de la constante de Champernowne. Por ejemplo, truncando justo antes del cuarto cociente parcial, se obtiene que coincide con el primer término en la expansión de la serie de convergencia rápida de la sección anterior y que se aproxima a la constante de Champernowne con un error de aproximadamente 1 × 10 ⁻⁹ . Truncando justo antes del decimoctavo cociente parcial se obtiene una aproximación que coincide con los dos primeros términos de la serie, es decir, los términos hasta el término que contiene 10 ⁻⁹ , que se aproxima a la constante de Champernowne con un error de aproximadamente 9 × 10 ⁻¹⁹⁰ . $${\displaystyle 10/81=\sum _{k=1}^{\infty }k/10^{k}=0.{\overline {123456790}},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {60499999499}{490050000000}}&=0.123456789+10^{-9}\sum _{k=10}^{\infty }k/10^{2(k-9)}=0.123456789+10^{-9}{\frac {991}{9801}}\\&=0.123456789{\overline {10111213141516171819\ldots 90919293949596979900010203040506070809}},\end{aligned}}}$$

Los primeros y segundos términos incrementalmente más grandes ("marcas de agua alta") después del cero inicial son 8 y 9, respectivamente, y aparecen en las posiciones 1 y 2. Sikora (2012) notó que la cantidad de dígitos en las marcas de agua alta a partir de la cuarta muestra un patrón aparente. ^[10] De hecho, las propias marcas de agua alta crecen doblemente exponencialmente, y la cantidad de dígitos en la marca n para son ${\displaystyle d_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$

6, 166, 25 04, 33 102 , 41 1 100 , 49 11 098 , 57 111 096 , 65 1111 094 , 73 11111 092 , ...

cuyo patrón se hace evidente a partir de la sexta marca de agua alta. El número de términos puede darse por $${\displaystyle d_{n}={\frac {13-67\times 10^{n-3}}{45}}+\left(2^{n}5^{n-3}-2\right),n\in \mathbb {Z} \cap \left[3,\infty \right).}$$

Sin embargo, todavía no se sabe si existe una manera de determinar dónde aparecen los términos grandes (con al menos 6 dígitos) o sus valores. Las marcas de nivel máximo se encuentran en posiciones

1, 2, 4, 18, 40, 162, 526, 1708, 4838, 13522, 34062, .... (secuencia A143533 en la OEIS )

Véase también

• Constante de Copeland-Erdős , un número normal similar, definido utilizando los números primos
• Constante de Liouville , otra constante definida por su representación decimal
• Número de Smarandache-Wellin , otro número que se obtiene mediante la concatenación de una representación en una base dada.

Referencias

1. Champernowne 1933
2. Cassaigne y Nicolás (2010) p.165
3. Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Secuencias automáticas: teoría, aplicaciones, generalizaciones . Cambridge University Press . pág. 299. ISBN. 978-0-521-82332-6.Zbl 1086.11015  .
4. Calude, C .; Priese, L.; Staiger, L. (1997), Secuencias disyuntivas: una descripción general , Universidad de Auckland, Nueva Zelanda, págs. 1–35, CiteSeerX 10.1.1.34.1370 
5. Nakai y Shiokawa 1992
6. K. Mahler, Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen , Proc. Konin. Neder. Akád. Húmedo. Ser. R. 40 (1937), pág. 421–428.
7. Masaaki Amou, Aproximación a ciertas fracciones decimales trascendentales mediante números algebraicos , Journal of Number Theory , Volumen 37, Número 2, febrero de 1991, páginas 231–241
8. John K. Sikora: Análisis de los convergentes de la marca de agua alta de la constante de Champernowne en varias bases, en: arXiv:1408.0261, 1 de agosto de 2014, consulte la definición 9
9. Weisstein, Eric W. "Constante de Champernowne". MathWorld .
10. Sikora, JK "Sobre los convergentes de la marca de agua alta de la constante de Champernowne en base diez". 3 de octubre de 2012. http://arxiv.org/abs/1210.1263

• Cassaigne, J.; Nicolas, F. (2010). "Complejidad factorial". En Berthé, Valérie ; Rigo, Michel (eds.). Combinatoria, autómatas y teoría de números . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 135. Cambridge: Cambridge University Press . págs. 163–247. ISBN 978-0-521-51597-9.Zbl1216.68204  .​
• Champernowne, DG (1933), "La construcción de decimales normales en la escala de diez", Journal of the London Mathematical Society , 8 (4): 254–260, doi :10.1112/jlms/s1-8.4.254.
• Nakai, Y.; Shiokawa, I. (1992), "Estimaciones de discrepancia para una clase de números normales", Acta Arithmetica , 62 (3): 271–284, doi : 10.4064/aa-62-3-271-284.