Rectángulo dorado

Rectángulo con longitudes de lados en proporción áurea

Un rectángulo áureo con lados a × b colocado adyacente a un cuadrado con lados de longitud a produce un rectángulo áureo similar .

En geometría , un rectángulo áureo es un rectángulo cuyos lados tienen una longitud en proporción áurea o aproximadamente igual a 1,618 o 89/55. ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1,}$ ${\displaystyle \varphi :1,}$ ${\displaystyle \varphi }$

Los rectángulos áureos exhiben una forma especial de autosimilitud : si se agrega un cuadrado al lado largo, o se quita del lado corto, el resultado también es un rectángulo áureo.

Construcción

Construcción de un rectángulo áureo. Según el teorema de Pitágoras , ^[a] la diagonal que divide la mitad de un cuadrado es igual al radio de un círculo cuyo punto más externo es el vértice de un rectángulo áureo sumado al cuadrado. ^[1]

Un rectángulo áureo se puede construir únicamente con una regla y un compás en cuatro pasos:

1. Dibuja un cuadrado
2. Dibuja una línea desde el punto medio de un lado del cuadrado hasta una esquina opuesta.
3. Utilice esa línea como radio para dibujar un arco que defina la altura del rectángulo.
4. Completa el rectángulo dorado

Una característica distintiva de esta forma es que cuando se añade o se quita una sección cuadrada , el producto es otro rectángulo áureo, que tiene la misma relación de aspecto que el primero. La adición o eliminación de cuadrados se puede repetir infinitamente, en cuyo caso las esquinas correspondientes de los cuadrados forman una secuencia infinita de puntos en la espiral áurea , la única espiral logarítmica con esta propiedad. Las líneas diagonales dibujadas entre los dos primeros órdenes de rectángulos áureos incrustados definirán el punto de intersección de las diagonales de todos los rectángulos áureos incrustados; Clifford A. Pickover se refirió a este punto como "el Ojo de Dios". ^[2]

Historia

Las proporciones del rectángulo áureo se han observado ya en la Tabla babilónica de Shamash (c. 888–855 a. C.) , ^[3] aunque Mario Livio considera "dudoso" cualquier conocimiento de la proporción áurea anterior a los antiguos griegos . ^[4]

Según Livio, desde la publicación de la Divina proporción de Luca Pacioli en 1509, "la proporción áurea empezó a estar disponible para los artistas en tratados teóricos que no eran excesivamente matemáticos y que podían realmente utilizar". ^[5]

La Villa Stein de 1927 diseñada por Le Corbusier , parte de cuya arquitectura utiliza la proporción áurea , presenta dimensiones que se aproximan mucho a los rectángulos áureos. ^[6]

Relación con polígonos regulares y poliedros

Euclides ofrece una construcción alternativa del rectángulo áureo utilizando tres polígonos circunscritos por círculos congruentes: un decágono regular , un hexágono y un pentágono . Las longitudes respectivas a , b y c de los lados de estos tres polígonos satisfacen la ecuación a ²  +  b ²  =  c ² , por lo que los segmentos de línea con estas longitudes forman un triángulo rectángulo (por el inverso del teorema de Pitágoras ). La razón entre la longitud del lado del hexágono y el decágono es la razón áurea, por lo que este triángulo forma la mitad de un rectángulo áureo. ^[7]

La envoltura convexa de dos aristas opuestas de un icosaedro regular forma un rectángulo áureo. Los doce vértices del icosaedro pueden descomponerse de esta manera en tres rectángulos áureos mutuamente perpendiculares, cuyos límites están vinculados en el patrón de los anillos borromeos . ^[8]

Relación con los ángulos del triángulo áureo

Potencias de φ dentro de un rectángulo áureo.

Supongamos que se ha construido un rectángulo áureo como se indica arriba, con altura 1 , longitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi }$ y longitud diagonal . Los triángulos en la diagonal tienen alturas cada pie perpendicular divide la diagonal en razón ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {\varphi ^{2}+1}}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}\,;}$ ${\displaystyle \varphi ^{2}.}$

Si se dibuja una línea horizontal a través del punto de intersección de la diagonal y el borde interno del cuadrado, el rectángulo áureo original y las dos copias escaladas a lo largo de la diagonal tienen tamaños lineales en las proporciones en que el cuadrado y el rectángulo opuestos a la diagonal tienen áreas iguales a ⁠ ⁠ ^[9] ${\displaystyle \varphi ^{2}:\varphi :1\,,}$ ${\displaystyle \varphi ^{-2}.}$

En relación con el vértice A , las coordenadas de los pies de las altitudes U y V son y ; la longitud del segmento de línea ⁠ ⁠ es igual a la altitud ⁠ ⁠ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{\sqrt {5}}},{\tfrac {1}{\varphi {\sqrt {5}}}}\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {\varphi ^{2}}{\sqrt {5}}},{\tfrac {\varphi }{\sqrt {5}}}\right)}$ ${\displaystyle {\overline {UV}}}$ ${\displaystyle h.}$

Si el diagrama se subdivide aún más mediante líneas perpendiculares a través de U y V , las longitudes de la diagonal y sus subsecciones se pueden expresar como funciones trigonométricas de argumentos 72 y 36 grados, los ángulos del triángulo áureo :

Los segmentos diagonales del rectángulo áureo miden pentágonos anidados. La relación AU:SV es φ ² .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {AB}}+{\overline {AS}}&=\tan(72)\\{\overline {AB}}={\sqrt {\varphi ^{2}+1}}&=2\sin(72)\\{\overline {AV}}=\varphi /{\overline {AS}}&=\cot(36)\\{\overline {AS}}={\sqrt {1+\varphi ^{-2}}}&=2\sin(36)\\{\overline {UV}}=1/{\overline {AS}}&=\cot(36)/\varphi \\{\overline {SB}}={\overline {AS}}/\varphi &=\tan(36)\\{\overline {US}}=2/(\varphi {\overline {AB}})&=2\cot(72)\\{\overline {AU}}=1/{\overline {AB}}&=\varphi \cot(72)\\{\overline {UV}}-{\overline {AU}}&=\cot(72)\\{\overline {SV}}=(2-\varphi )/{\overline {AB}}&=\cot(72)/\varphi ,\end{aligned}}}$

con ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi =2\cos(36).}$

Tanto las longitudes de las secciones diagonales como los valores trigonométricos son elementos del campo de números cuárticos. ${\displaystyle K=\mathbb {Q} \left({\sqrt {(5+{\sqrt {5}})/2}}\right).}$

El rombo áureo con arista ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ tiene longitudes diagonales iguales a ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {UV}}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\overline {AU}}.}$ El pentágono regular con longitud de lado tiene área ⁠ ⁠ Sus cinco diagonales dividen el pentágono en triángulos áureos y gnomones, y una copia escalada invertida en el centro. Dado que el pentágono regular se define por la longitud de su lado y los ángulos del triángulo áureo, se deduce que todas las medidas se pueden expresar en potencias de ⁠ ⁠ y los segmentos diagonales del rectángulo áureo, como se ilustra arriba. ^[10] ${\displaystyle {\tfrac {2}{\varphi }}=\sec(36)}$ ${\displaystyle 5{\overline {AU}}.}$ ${\displaystyle \varphi }$

Intervalos en la diagonal del rectángulo áureo.

La interpretación de las secciones diagonales como longitudes de cuerdas musicales da como resultado un conjunto de diez tonos correspondientes , uno de los cuales se duplica en la octava . La representación gráfica de los intervalos en escala logarítmica (con la "octava áurea" igual a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi ^{4}}$ ) muestra semitonos igualmente temperados , terceras menores y una segunda mayor en el lapso de una undécima . Un análisis en términos musicales se sustenta en el único tono excepcional proporcional a ⁠ ⁠ , que se aproxima a la séptima armónica con una notable precisión de un centésimo . ^[b] ${\displaystyle {\overline {US}}}$

Este conjunto de diez tonos se puede dividir en dos modos de la escala pentatónica : el modo palindrómico "egipcio" (puntos rojos, afinación china rui bin diao ^ⓘ guqin ) y el majestuoso modo "blues menor" (puntos azules, afinación china man gong diao ^ⓘ ).

Véase también

• Triángulo áureo : Triángulo con lados en proporción áurea
• Triángulo de Kepler  : Triángulo rectángulo relacionado con la proporción áurea
• Rombo áureo  – Rombo con diagonales en proporción áurea
• Raíz cuadrada de 5 – Relación algebraica entre √5 y φ
• Rabatment del rectángulo  – Recortar un cuadrado de un rectángulo

Notas

1. ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}})^{2}+1^{2}={\tfrac {5}{2^{2}}}}$
2. los 12 acordes modernos , se reproduce con precisión en el temperamento de media voz de negra . En relación con la nota base D, las dos sextas aumentadas E♭ - do♯ y B♭ - sol♯ con una relación de frecuencia de 5 ^5/2 /2 ⁵ están a solo 3 centésimas de la relación 7/4.

Referencias

1. Posamentier, Alfred S. ; Lehmann, Ingmar (2011). La gloriosa proporción áurea. Nueva York: Prometheus Books . p. 11. ISBN 9-781-61614-424-1.
2. Pickover, Clifford A. (1997). El telar de Dios: tapices matemáticos al borde del tiempo . Nueva York: Plenum Press. pp. 167–175. ISBN 0-3064-5411-4.
3. Olsen, Scott (2006). La sección áurea: el mayor secreto de la naturaleza. Glastonbury: Wooden Books. pág. 3. ISBN 978-1-904263-47-0.
4. Livio, Mario (2014). "La proporción áurea en el arte: una fuerte influencia de la proporción áurea" (PDF) . p. 6 . Consultado el 11 de septiembre de 2019 .
5. Livio, Mario (2002). La proporción áurea: la historia de Phi, el número más asombroso del mundo. Nueva York: Broadway Books . pág. 136. ISBN 0-7679-0816-3.
6. Le Corbusier, El Modulor , pág. 35, citado en: Padovan, Richard (1999). Proporción: ciencia, filosofía, arquitectura . Londres: Taylor & Francis. pág. 320. ISBN. 0-419-22780-6."Tanto las pinturas como los diseños arquitectónicos hacen uso de la sección áurea".
7. Joyce, David E. (2014). "Elementos de Euclides, Libro XIII, Proposición 10". Departamento de Matemáticas, Universidad Clark . Consultado el 13 de septiembre de 2024 .
8. Burger, Edward B. ; Starbird, Michael P. (2005). El corazón de las matemáticas: una invitación al pensamiento eficaz. Nueva York: Springer. p. 382. ISBN 978-1931914413.
9. Análogo a la construcción en: Crilly, Tony (1994). "Un rectángulo superáureo". The Mathematical Gazette . 78 (483): 320–325. doi :10.2307/3620208.
10. Weisstein, Eric W. "Pentagrama". MathWorld .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Rectángulo áureo". MathWorld .
• La media áurea y la física de la estética
• Del rectángulo áureo a los cuadriláteros áureos
• Escala de 833 centavos φ de Heinz Bohlen
• Las escalas de secuencia recurrente de Ervin Wilson