Rombo dorado

Rombo con diagonales en proporción áurea

El rombo dorado.

En geometría , un rombo áureo es un rombo cuyas diagonales están en proporción áurea : ^[1]

${\displaystyle {D \over d}=\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}\approx 1.618~034}$

De manera equivalente, es el paralelogramo de Varignon formado a partir de los puntos medios de las aristas de un rectángulo áureo . ^[1] Los rombos con esta forma forman las caras de varios poliedros notables. El rombo áureo debe distinguirse de los dos rombos del mosaico de Penrose , que están relacionados de otras maneras con la proporción áurea pero tienen formas diferentes a las del rombo áureo. ^[2]

Anglos

(Véase las caracterizaciones y propiedades básicas del rombo general para las propiedades de los ángulos).

Los ángulos suplementarios internos del rombo áureo son: ^[3]

• Ángulo agudo:  ; ${\displaystyle \alpha =2\arctan {1 \over \varphi }}$

utilizando la fórmula de adición del arcotangente (ver funciones trigonométricas inversas ):

${\displaystyle \alpha =\arctan {{2 \over \varphi } \over {1-({1 \over \varphi })^{2}}}=\arctan {{2 \over \varphi } \over {1 \over \varphi }}=\arctan 2\approx 63.43495^{\circ }.}$

• Ángulo obtuso: ${\displaystyle \beta =2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2\approx 116.56505^{\circ },}$

que es también el ángulo diedro del dodecaedro . ^[4]

Nota: una igualdad "anecdótica": ${\displaystyle \pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3~.}$

Borde y diagonales

Utilizando la ley del paralelogramo (ver las propiedades básicas del rombo general ): ^[5]

La longitud del borde del rombo áureo en términos de la longitud de la diagonal es: ${\displaystyle d}$

• ${\displaystyle a={1 \over 2}{\sqrt {d^{2}+(\varphi d)^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}~d={{\sqrt {2+\varphi }} \over 2}~d={1 \over 4}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}~d\approx 0.95106~d~.~}$Por eso:

Las longitudes diagonales del rombo áureo en términos de la longitud del borde son: ^[3] ${\displaystyle a}$

• ${\displaystyle d={2a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{3-\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2-{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.05146~a~.}$

• ${\displaystyle D={2\varphi a \over {\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {{2+\varphi } \over 5}}~a={\sqrt {2+{2 \over {\sqrt {5}}}}}~a\approx 1.70130~a~.}$

Área

• Utilizando la fórmula del área del rombo general en términos de sus longitudes diagonales y  : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d}$

El área del rombo áureo en términos de su longitud diagonal es: ^[6] ${\displaystyle d}$

${\displaystyle A={{(\varphi d)\cdot d} \over 2}={{\varphi } \over 2}~d^{2}={{1+{\sqrt {5}}} \over 4}~d^{2}\approx 0.80902~d^{2}~.}$

• Utilizando la fórmula del área del rombo general en términos de la longitud de su arista  : ${\displaystyle a}$

El área del rombo áureo en términos de la longitud de su arista es: ^{[3] [6]} ${\displaystyle a}$

${\displaystyle A=(\sin(\arctan 2))~a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443~a^{2}~.}$

Nota:, por lo tanto: ${\displaystyle \alpha +\beta =\pi }$ ${\displaystyle \sin \alpha =\sin \beta ~.}$

Como las caras de los poliedros

Varios poliedros notables tienen rombos áureos como caras. Entre ellos se incluyen los dos romboedros áureos (con seis caras cada uno), el dodecaedro de Bilinski (con 12 caras), el icosaedro rómbico (con 20 caras), el triacontaedro rómbico (con 30 caras) y el hexecontaedro rómbico no convexo (con 60 caras). Los primeros cinco de estos son los únicos poliedros convexos con caras de rombos áureos, pero existen infinitos poliedros no convexos que tienen esta forma en todas sus caras. ^[7]

• 
  Romboedro dorado agudo
• 
  Romboedro áureo obtuso
• 
  Dodecaedro de Bilinski
• 
  icosaedro rómbico
• 
  triacontaedro rómbico
• 
  hexecontaedro rómbico

Véase también

• Triángulo dorado

Referencias

1. Senechal, Marjorie (2006), "Donald y los romboedros dorados", en Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (eds.), The Coxeter Legacy , American Mathematical Society, Providence, RI, págs. 159-177, ISBN 0-8218-3722-2, Sr.  2209027
2. Por ejemplo, una identificación incorrecta entre el rombo áureo y uno de los rombos de Penrose se puede encontrar en Livio, Mario (2002), The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number , Nueva York: Broadway Books, pág. 206.
3. Ogawa, Tohru (enero de 1987), "Simetría de cuasicristales tridimensionales", Materials Science Forum , 22-24: 187-200, doi :10.4028/www.scientific.net/msf.22-24.187, S2CID  137677876. Véase en particular el cuadro 1, pág. 188.
4. Gevay, G. (junio de 1993), "Cuasicristales no metálicos: ¿hipótesis o realidad?", Phase Transitions , 44 (1–3): 47–50, Bibcode :1993PhaTr..44...47G, doi :10.1080/01411599308210255
5. Weisstein, Eric W. "Rombo". MathWorld .
6. Weisstein, Eric W. "Rombo dorado". MundoMatemático .
7. Grünbaum, Branko (2010), "El dodecaedro de Bilinski y otros paralelohedros, zonoedros, monoedros, isozonoedros y otros" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 32 (4): 5–15, doi :10.1007/s00283-010-9138-7, hdl : 1773/15593 , MR  2747698, S2CID  120403108, archivado desde el original (PDF) el 2 de abril de 2015.