Constante parabólica universal

Constante matemática en secciones cónicas.

La constante parabólica universal es la longitud roja dividida por la longitud verde.

La constante parabólica universal es una constante matemática .

Se define como la relación, para cualquier parábola , entre la longitud del arco del segmento parabólico formado por el latus recto y el parámetro focal. El parámetro focal es el doble de la distancia focal . La relación se denota  P . ^{[1] [2] [3]} En el diagrama, el lado recto se muestra en azul, el segmento parabólico que forma en rojo y el parámetro focal en verde. (El foco de la parábola es el punto F y la directriz es la recta L. )

El valor de P es ^[4]

${\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}=2.29558714939\dots }$

(secuencia A103710 en la OEIS ). El círculo y la parábola son únicos entre las secciones cónicas porque tienen una constante universal. Las proporciones análogas para elipses e hipérbolas dependen de sus excentricidades . Esto significa que todos los círculos son similares y todas las parábolas son similares, mientras que las elipses y las hipérbolas no lo son.

Derivación

Tómese como ecuación de la parábola. El parámetro focal es y el recto semilato es . ${\textstyle y={\frac {x^{2}}{4f}}}$ ${\displaystyle p=2f}$ ${\displaystyle \ell =2f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P&:={\frac {1}{p}}\int _{-\ell }^{\ell }{\sqrt {1+\left(y'(x)\right)^{2}}}\,dx\\&={\frac {1}{2f}}\int _{-2f}^{2f}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{4f^{2}}}}}\,dx\\&=\int _{-1}^{1}{\sqrt {1+t^{2}}}\,dt&(x=2ft)\\&=\operatorname {arsinh} (1)+{\sqrt {2}}\\&=\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}}.\end{aligned}}}$$

Propiedades

P es un número trascendental .

Prueba . Supongamos que P es algebraico . Entonces también debe ser algebraico. Sin embargo, según el teorema de Lindemann-Weierstrass , sería trascendental, lo cual no es el caso. Por tanto, P es trascendental. ${\displaystyle \!\ P-{\sqrt {2}}=\ln(1+{\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \!\ e^{\ln(1+{\sqrt {2}})}=1+{\sqrt {2}}}$

Como P es trascendental, también es irracional .

Aplicaciones

La distancia promedio desde un punto seleccionado al azar en el cuadrado unitario hasta su centro es ^[5]

${\displaystyle d_{\text{avg}}={P \over 6}.}$

Prueba .

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{\text{avg}}&:=8\int _{0}^{1 \over 2}\int _{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \over 2}x^{2}(\ln(1+{\sqrt {2}})+{\sqrt {2}})\,dx\\&=4P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}\end{aligned}}}$

También hay una razón geométrica interesante por la que esta constante aparece en cuadrados unitarios. La distancia promedio entre el centro de un cuadrado unitario y un punto en el límite del cuadrado es . Si tomamos muestras uniformemente de cada punto en el perímetro del cuadrado, tomamos segmentos de línea (trazados desde el centro) correspondientes a cada punto, los sumamos uniendo cada segmento de línea al lado del otro, reduciéndolos, la curva obtenida es una parábola. . ^[6] ${\displaystyle {P \over 4}}$

Referencias y notas a pie de página

1. Sylvester Reese y Jonathan Sondow. "Constante parabólica universal". MundoMatemático ., un recurso de Wolfram Web.
2. Reese, Silvestre. "Videoconferencia del Coloquio Pohle: La constante parabólica universal" . Consultado el 2 de febrero de 2005 .
3. Sondow, Jonathan (2013). "Los parbelos, un análogo parabólico de los arbelos". América. Matemáticas. Mensual . 120 (10): 929–935. arXiv : 1210.2279 . doi : 10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID  33402874. Mensual Matemática Estadounidense , 120 (2013), 929-935.
4. Ver Parábola # Longitud del arco . Utilice , la longitud del recto semilato, así y . Calcule en términos de , luego divida por , que es el parámetro focal. ${\displaystyle p=2f}$ ${\displaystyle h=f}$ ${\displaystyle q=f{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2f}$
5. Weisstein, Eric W. "Selección de puntos cuadrados". MundoMatemático ., un recurso de Wolfram Web.
6. Manás Shetty; Sparsha Kumari; Vintón Adrián Rebello; Prajwal DSouza. "Misterio constante parabólico universal". prajwalsouza.github.io . Consultado el 1 de octubre de 2023 .