Aritmética

Rama de las matemáticas elementales

Las principales operaciones aritméticas son la suma, la resta, la multiplicación y la división.

La aritmética es una rama elemental de las matemáticas que estudia operaciones numéricas como la suma , la resta , la multiplicación y la división . En un sentido más amplio, también incluye la exponenciación , la extracción de raíces y la obtención de logaritmos .

Los sistemas aritméticos se pueden distinguir según el tipo de números con los que operan. La aritmética de números enteros se ocupa de los cálculos con números enteros positivos y negativos . La aritmética de números racionales implica operaciones con fracciones de números enteros. La aritmética de números reales se ocupa de los cálculos con números reales , que incluyen tanto números racionales como irracionales .

Otra distinción se basa en el sistema numérico empleado para realizar los cálculos. La aritmética decimal es la más común. Utiliza los numerales básicos del 0 al 9 y sus combinaciones para expresar números . La aritmética binaria , por el contrario, es utilizada por la mayoría de las computadoras y representa los números como combinaciones de los numerales básicos 0 y 1. La aritmética informática se ocupa de las particularidades de la implementación de la aritmética binaria en las computadoras . Algunos sistemas aritméticos operan sobre objetos matemáticos distintos de los números, como la aritmética de intervalos y la aritmética matricial .

Las operaciones aritméticas forman la base de muchas ramas de las matemáticas, como el álgebra , el cálculo y la estadística . Desempeñan un papel similar en las ciencias , como la física y la economía . La aritmética está presente en muchos aspectos de la vida diaria , por ejemplo, para calcular el cambio al hacer compras o para administrar las finanzas personales . Es una de las primeras formas de educación matemática con la que se encuentran los estudiantes. Sus fundamentos cognitivos y conceptuales son estudiados por la psicología y la filosofía .

La práctica de la aritmética tiene al menos miles y posiblemente decenas de miles de años de antigüedad. Civilizaciones antiguas como los egipcios y los sumerios inventaron sistemas numéricos para resolver problemas aritméticos prácticos alrededor del año 3000 a. C. A partir de los siglos VII y VI a. C., los antiguos griegos iniciaron un estudio más abstracto de los números e introdujeron el método de pruebas matemáticas rigurosas . Los antiguos indios desarrollaron el concepto de cero y el sistema decimal , que los matemáticos árabes perfeccionaron y difundieron al mundo occidental durante el período medieval. Las primeras calculadoras mecánicas se inventaron en el siglo XVII. Los siglos XVIII y XIX vieron el desarrollo de la teoría de números moderna y la formulación de fundamentos axiomáticos de la aritmética. En el siglo XX, la aparición de calculadoras electrónicas y computadoras revolucionó la precisión y la velocidad con la que se podían realizar los cálculos aritméticos.

Definición, etimología y campos relacionados

La aritmética es la rama fundamental de las matemáticas que estudia los números y sus operaciones. En particular, se ocupa de los cálculos numéricos mediante las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación y división . ^[1] En un sentido más amplio, también incluye la exponenciación , la extracción de raíces y el logaritmo . ^[2] El término "aritmética" tiene su raíz en el término latino " arithmetica " que deriva de las palabras griegas antiguas ἀριθμός (arithmos), que significa "número", y ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), que significa "el arte de contar". ^[3]

Existen desacuerdos sobre su definición precisa. Según una caracterización estrecha, la aritmética se ocupa únicamente de los números naturales . ^[4] Sin embargo, la visión más común es incluir en su ámbito de aplicación las operaciones con números enteros , números racionales , números reales y, a veces, también números complejos . ^[5] Algunas definiciones restringen la aritmética al campo de los cálculos numéricos. ^[6] Cuando se entiende en un sentido más amplio, también incluye el estudio de cómo se desarrolló el concepto de números , el análisis de las propiedades y relaciones entre los números y el examen de la estructura axiomática de las operaciones aritméticas. ^[7]

La aritmética está estrechamente relacionada con la teoría de números y algunos autores utilizan los términos como sinónimos. ^[8] Sin embargo, en un sentido más específico, la teoría de números se restringe al estudio de los números enteros y se centra en sus propiedades y relaciones como la divisibilidad , la factorización y la primalidad . ^[9] Tradicionalmente, se la conoce como aritmética superior. ^[10]

Números

Los números son objetos matemáticos que se utilizan para contar cantidades y medir magnitudes. Son elementos fundamentales de la aritmética, ya que todas las operaciones aritméticas se realizan sobre números. Existen diferentes tipos de números y diferentes sistemas de numeración para representarlos. ^[11]

Tipos

Diferentes tipos de números en una recta numérica . Los números enteros son negros, los números racionales son azules y los números irracionales son verdes.

Los principales tipos de números empleados en aritmética son los números naturales , los números enteros , los números racionales y los números reales . ^[12] Los números naturales son números enteros que comienzan en 1 y van hasta el infinito. Excluyen al 0 y a los números negativos. También se conocen como números de conteo y se pueden expresar como . El símbolo de los números naturales es . ^[a] Los números enteros son idénticos a los números naturales con la única diferencia de que incluyen el 0. Se pueden representar como y tienen el símbolo . ^{[14] [b]} Algunos matemáticos no hacen la distinción entre los números naturales y los enteros al incluir el 0 en el conjunto de números naturales. ^[16] El conjunto de los enteros abarca tanto los números enteros positivos como los negativos. Tiene el símbolo y se puede expresar como . ^[17] ${\displaystyle \{1,2,3,4,...\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,...\}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{...,-2,-1,0,1,2,...\}}$

Según el uso que se le dé a los números naturales y enteros, se pueden distinguir en números cardinales y ordinales . Los números cardinales, como uno, dos y tres, son números que expresan la cantidad de objetos. Responden a la pregunta "¿cuántos?". Los números ordinales, como primero, segundo y tercero, indican orden o ubicación en una serie. Responden a la pregunta "¿en qué posición?". ^[18]

Un número es racional si se puede representar como el cociente de dos números enteros. Por ejemplo, el número racional se forma dividiendo el entero 1, llamado numerador, por el entero 2, llamado denominador. Otros ejemplos son y . El conjunto de números racionales incluye todos los números enteros, que son fracciones con un denominador de 1. El símbolo de los números racionales es . ^[19] Las fracciones decimales como 0,3 y 25,12 son un tipo especial de números racionales, ya que su denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, 0,3 es igual a , y 25,12 es igual a . ^[20] Todo número racional corresponde a un decimal finito o periódico . ^{[21] [c]} ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {281}{3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {2512}{100}}}$

A veces se necesitan números irracionales para describir magnitudes en geometría . Por ejemplo, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es irracional si sus catetos tienen una longitud de 1.

Los números irracionales son números que no se pueden expresar a través de la razón de dos números enteros. A menudo se requieren para describir magnitudes geométricas. Por ejemplo, si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitud 1, entonces la longitud de su hipotenusa está dada por el número irracional . π es otro número irracional y describe la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro . ^[22] La representación decimal de un número irracional es infinita sin decimales periódicos. ^[23] El conjunto de números racionales junto con el conjunto de números irracionales forman el conjunto de números reales. El símbolo de los números reales es . ^[24] Incluso clases más amplias de números incluyen números complejos y cuaterniones . ^[25] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Sistemas de numeración

Un numeral es un símbolo que representa un número y los sistemas de numeración son marcos de representación. ^[26] Por lo general, tienen una cantidad limitada de numerales básicos, que se refieren directamente a ciertos números. El sistema rige cómo se pueden combinar estos numerales básicos para expresar cualquier número. ^[27] Los sistemas de numeración son posicionales o no posicionales. Todos los primeros sistemas de numeración eran no posicionales. ^[28] Para los sistemas de numeración no posicionales, el valor de un dígito no depende de su posición en el numeral. ^[29]

Las marcas de conteo y algunas varas de conteo utilizan el sistema de numeración unario no posicional .

El sistema no posicional más simple es el sistema de numeración unario . Se basa en un símbolo para el número 1. Todos los números superiores se escriben repitiendo este símbolo. Por ejemplo, el número 7 se puede representar repitiendo el símbolo 1 siete veces. Este sistema hace que sea complicado escribir números grandes, por lo que muchos sistemas no posicionales incluyen símbolos adicionales para representar directamente números más grandes. ^[30] Se emplean variaciones de los sistemas de numeración unarios en las reglas de conteo utilizando muescas y en las marcas de conteo . ^[31]

Números jeroglíficos del 1 al 10.000 ^[32]

Los jeroglíficos egipcios tenían un sistema de numeración no posicional más complejo . Tienen símbolos adicionales para números como 10, 100, 1000 y 10 000. Estos símbolos se pueden combinar en una suma para expresar de manera más conveniente números mayores. Por ejemplo, el numeral para 10 405 usa una vez el símbolo para 10 000, cuatro veces el símbolo para 100 y cinco veces el símbolo para 1. Un marco similar bien conocido es el sistema de numeración romana . Tiene los símbolos I, V, X, L, C, D, M como sus numerales básicos para representar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000. ^[33]

Un sistema de numeración es posicional si la posición de un numeral básico en una expresión compuesta determina su valor. Los sistemas de numeración posicional tienen una base que actúa como multiplicando de las diferentes posiciones. Para cada posición posterior, la base se eleva a una potencia superior. En el sistema decimal común, también llamado sistema de numeración hindú-arábigo , la base es 10. Esto significa que el primer dígito se multiplica por , el siguiente dígito se multiplica por , y así sucesivamente. Por ejemplo, el numeral decimal 532 representa . Debido al efecto de las posiciones de los dígitos, el numeral 532 difiere de los numerales 325 y 253 aunque tengan los mismos dígitos. ^[34] ${\displaystyle 10^{0}}$ ${\displaystyle 10^{1}}$ ${\displaystyle 5\cdot 10^{2}+3\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}}$

Otro sistema de numeración posicional que se utiliza ampliamente en la aritmética informática es el sistema binario , que tiene una base de 2. Esto significa que el primer dígito se multiplica por , el siguiente dígito por , y así sucesivamente. Por ejemplo, el número 13 se escribe como 1101 en la notación binaria, que significa . En informática, cada dígito en la notación binaria corresponde a un bit . ^[35] El primer sistema posicional fue desarrollado por los antiguos babilonios y tenía una base de 60. ^[36] ${\displaystyle 2^{0}}$ ${\displaystyle 2^{1}}$ ${\displaystyle 1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}}$

Operaciones

Las operaciones aritméticas son la base de muchos acontecimientos cotidianos, como cuando se juntan cuatro manzanas de una bolsa con tres manzanas de otra (imagen superior) o cuando se distribuyen nueve manzanas equitativamente entre tres niños (imagen inferior).

Las operaciones aritméticas son formas de combinar, transformar o manipular números. Son funciones que tienen números como entrada y salida. ^[37] Las operaciones más importantes en aritmética son la suma , la resta , la multiplicación y la división . ^[38] Otras operaciones incluyen la exponenciación , la extracción de raíces y el logaritmo . ^[39] Si estas operaciones se realizan sobre variables en lugar de números, a veces se las denomina operaciones algebraicas . ^[40]

Dos conceptos importantes en relación con las operaciones aritméticas son los elementos identidad y los elementos inversos . El elemento identidad o elemento neutro de una operación no provoca ningún cambio si se aplica a otro elemento. Por ejemplo, el elemento identidad de la adición es 0, ya que cualquier suma de un número y 0 da como resultado el mismo número. El elemento inverso es el elemento que da como resultado el elemento identidad cuando se combina con otro elemento. Por ejemplo, el inverso aditivo del número 6 es -6, ya que su suma es 0. ^[41]

No sólo existen elementos inversos sino también operaciones inversas . En un sentido informal, una operación es la inversa de otra operación si deshace la primera operación. Por ejemplo, la resta es la inversa de la suma ya que un número vuelve a su valor original si primero se suma y luego se resta un segundo número, como en . Definida de manera más formal, la operación " " es una inversa de la operación " " si cumple la siguiente condición: si y sólo si . ^[42] ${\displaystyle 13+4-4=13}$ ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle t\star s=r}$ ${\displaystyle r\circ s=t}$

La conmutatividad y la asociatividad son leyes que rigen el orden en el que se pueden llevar a cabo algunas operaciones aritméticas. Una operación es conmutativa si se puede cambiar el orden de los argumentos sin afectar a los resultados. Este es el caso de la suma, por ejemplo, ya que es lo mismo que . La asociatividad es una regla que afecta al orden en el que se puede llevar a cabo una serie de operaciones. Una operación es asociativa si, en una serie de dos operaciones, no importa qué operación se lleva a cabo primero. Este es el caso de la multiplicación, por ejemplo, ya que es lo mismo que . ^[43] ${\displaystyle 7+9}$ ${\displaystyle 9+7}$ ${\displaystyle (5\times 4)\times 2}$ ${\displaystyle 5\times (4\times 2)}$

Suma y resta

Suma y resta

La suma es una operación aritmética en la que dos números, llamados sumandos, se combinan en un solo número, llamado suma. El símbolo de la suma es . Algunos ejemplos son y . ^[44] El término suma se utiliza si se realizan varias sumas seguidas. ^[45] El conteo es un tipo de suma repetida en la que se suma continuamente el número 1. ^[46] ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 2+2=4}$ ${\displaystyle 6.3+1.26=7.56}$

La resta es la operación inversa de la suma. En ella, un número, conocido como sustraendo, se resta de otro, conocido como minuendo. El resultado de esta operación se llama diferencia. El símbolo de la resta es . ^[47] Algunos ejemplos son y . La resta se suele considerar un caso especial de la suma: en lugar de restar un número positivo, también es posible sumar un número negativo. Por ejemplo . Esto ayuda a simplificar los cálculos matemáticos al reducir la cantidad de operaciones aritméticas básicas necesarias para realizar cálculos. ^[48] ${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 14-8=6}$ ${\displaystyle 45-1.7=43.3}$ ${\displaystyle 14-8=14+(-8)}$

El elemento de identidad aditivo es 0 y el inverso aditivo de un número es el negativo de ese número. Por ejemplo, y . La suma es tanto conmutativa como asociativa. ^[49] ${\displaystyle 13+0=13}$ ${\displaystyle 13+(-13)=0}$

Multiplicación y división

Multiplicación y división

La multiplicación es una operación aritmética en la que dos números, llamados multiplicador y multiplicando, se combinan en un solo número llamado producto . ^{[50] [d]} Los símbolos de la multiplicación son , , y *. Algunos ejemplos son y . Si el multiplicando es un número natural, entonces la multiplicación es lo mismo que la suma repetida, como en . ^[52] ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle 2\times 3=6}$ ${\displaystyle 0.3\cdot 5=1.5}$ ${\displaystyle 2\times 3=2+2+2}$

La división es la operación inversa de la multiplicación. En ella, un número, conocido como dividendo, se divide en varias partes iguales por otro número, conocido como divisor. El resultado de esta operación se llama cociente . Los símbolos de la división son y . Algunos ejemplos son y . ^[53] La división se considera a menudo un caso especial de multiplicación: en lugar de dividir por un número, también es posible multiplicar por su recíproco . El recíproco de un número es 1 dividido por ese número. Por ejemplo, . ^[54] ${\displaystyle \div }$ ${\displaystyle /}$ ${\displaystyle 48\div 8=6}$ ${\displaystyle 29.4/1.4=21}$ ${\displaystyle 48\div 8=48\times {\tfrac {1}{8}}}$

El elemento de identidad multiplicativo es 1 y el inverso multiplicativo de un número es el recíproco de ese número. Por ejemplo, y . La multiplicación es tanto conmutativa como asociativa. ^[55] ${\displaystyle 13\times 1=13}$ ${\displaystyle 13\times {\tfrac {1}{13}}=1}$

Exponenciación y logaritmo

Exponenciación y logaritmo

La exponenciación es una operación aritmética en la que un número, conocido como base, se eleva a la potencia de otro número, conocido como exponente. El resultado de esta operación se llama potencia. La exponenciación a veces se expresa utilizando el símbolo ^, pero la forma más común es escribir el exponente en superíndice justo después de la base. Algunos ejemplos son y ^ . Si el exponente es un número natural, entonces la exponenciación es lo mismo que la multiplicación repetida, como en . ^{[56] [e]} ${\displaystyle 2^{4}=16}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 3=27}$ ${\displaystyle 2^{4}=2\times 2\times 2\times 2}$

Las raíces son un tipo especial de exponenciación que utiliza un exponente fraccionario. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de y la raíz cúbica de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de . Algunos ejemplos son y . ^[58] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}=2}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=27^{\frac {1}{3}}=3}$

El logaritmo es la inversa de la potenciación. El logaritmo de un número elevado a la base es el exponente al que debe elevarse para obtener . Por ejemplo, dado que , el logaritmo en base 10 de 1000 es 3. El logaritmo de la base se denota como , o sin paréntesis, , o incluso sin la base explícita, , cuando la base se puede entender a partir del contexto. Por lo tanto, el ejemplo anterior se puede escribir como . ^[59] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1000=10^{3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \log _{b}(x)}$ ${\displaystyle \log _{b}x}$ ${\displaystyle \log x}$ ${\displaystyle \log _{10}1000=3}$

La exponenciación y el logaritmo no tienen elementos de identidad general ni elementos inversos como la suma y la multiplicación. El elemento neutro de la exponenciación en relación con el exponente es 1, como en . Sin embargo, la exponenciación no tiene un elemento de identidad general ya que 1 no es el elemento neutro para la base. ^[60] La exponenciación y el logaritmo no son conmutativos ni asociativos. ^[61] ${\displaystyle 14^{1}=14}$

Tipos

En la literatura académica se analizan distintos tipos de sistemas aritméticos. Se diferencian entre sí en función del tipo de número con el que operan, el sistema numérico que utilizan para representarlos y si operan con objetos matemáticos distintos de los números. ^[62]

Aritmética de números enteros

Utilizando el método de la recta numérica, el cálculo se realiza comenzando en el origen de la recta numérica y luego desplazándose cinco unidades hacia la derecha para el primer sumando. El resultado se obtiene desplazándose otras dos unidades hacia la derecha para el segundo sumando. ${\displaystyle 5+2}$

La aritmética de números enteros es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números enteros positivos y negativos. ^[63] Se pueden realizar operaciones simples de un dígito siguiendo o memorizando una tabla que presenta los resultados de todas las combinaciones posibles, como una tabla de suma o una tabla de multiplicación . Otros métodos comunes son el conteo verbal y el conteo con los dedos . ^[64]

Ejemplo de suma con acarreo . Los números negros son los sumandos, el número verde es el acarreo y el número azul es la suma.

Para las operaciones con números de más de un dígito, se pueden emplear diferentes técnicas para calcular el resultado utilizando varias operaciones de un dígito seguidas. Por ejemplo, en el método de suma con acarreos , los dos números se escriben uno encima del otro. Empezando por el dígito más a la derecha, se suman cada par de dígitos. El dígito más a la derecha de la suma se escribe debajo de ellos. Si la suma es un número de dos dígitos, entonces el dígito más a la izquierda, llamado "acarreo", se suma al siguiente par de dígitos a la izquierda. Este proceso se repite hasta que se hayan sumado todos los dígitos. ^[65] Otros métodos utilizados para las sumas de números enteros son el método de la línea numérica , el método de la suma parcial y el método de compensación. ^[66] Una técnica similar se utiliza para la resta: también comienza con el dígito más a la derecha y utiliza un "préstamo" o un acarreo negativo para la columna de la izquierda si el resultado de la resta de un dígito es negativo. ^[67]

Ejemplo de multiplicación larga . Los números negros son el multiplicador y el multiplicando. Los números verdes son productos intermedios obtenidos al multiplicar el multiplicador por un solo dígito del multiplicando. El número azul es el producto total calculado al sumar los productos intermedios.

Una técnica básica de multiplicación de números enteros emplea la adición repetida. Por ejemplo, el producto de se puede calcular como . ^[68] Una técnica común para la multiplicación con números mayores se llama multiplicación larga . Este método comienza escribiendo el multiplicador sobre el multiplicando. El cálculo comienza multiplicando el multiplicador solo con el dígito más a la derecha del multiplicando y escribiendo el resultado debajo, comenzando en la columna más a la derecha. Se hace lo mismo para cada dígito del multiplicando y el resultado en cada caso se desplaza una posición a la izquierda. Como paso final, se suman todos los productos individuales para llegar al producto total de los dos números de varios dígitos. ^[69] Otras técnicas utilizadas para la multiplicación son el método de cuadrícula y el método de celosía . ^[70] La informática está interesada en algoritmos de multiplicación con una baja complejidad computacional para poder multiplicar eficientemente números enteros muy grandes, como el algoritmo Karatsuba , el algoritmo Schönhage-Strassen y el algoritmo Toom-Cook . ^[71] Una técnica común utilizada para la división se denomina división larga . Otros métodos incluyen la división corta y la fragmentación . ^[72] ${\displaystyle 3\times 4}$ ${\displaystyle 3+3+3+3}$

La aritmética de números enteros no está cerrada bajo la división. Esto significa que al dividir un número entero por otro entero, el resultado no siempre es un número entero. Por ejemplo, 7 dividido por 2 no es un número entero sino 3,5. ^[73] Una forma de garantizar que el resultado sea un número entero es redondearlo a un número entero. Sin embargo, este método conduce a imprecisiones ya que se altera el valor original. ^[74] Otro método es realizar la división solo parcialmente y conservar el resto . Por ejemplo, 7 dividido por 2 es 3 con un resto de 1. Estas dificultades se evitan mediante la aritmética de números racionales, que permite la representación exacta de fracciones. ^[75]

Un método simple para calcular la exponenciación es mediante la multiplicación repetida. Por ejemplo, la exponenciación de se puede calcular como . ^[76] Una técnica más eficiente utilizada para exponentes grandes es la exponenciación mediante el cuadrado de . Descompone el cálculo en una serie de operaciones de elevación al cuadrado. Por ejemplo, la exponenciación se puede escribir como . Al aprovechar las operaciones de elevación al cuadrado repetidas, solo se necesitan 7 operaciones individuales en lugar de las 64 operaciones requeridas para la multiplicación repetida regular. ^[77] Los métodos para calcular logaritmos incluyen la serie de Taylor y las fracciones continuas . ^[78] La aritmética de números enteros no está cerrada bajo el logaritmo y bajo la exponenciación con exponentes negativos, lo que significa que el resultado de estas operaciones no siempre es un número entero. ^[79] ${\displaystyle 3^{4}}$ ${\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3}$ ${\displaystyle 3^{65}}$ ${\displaystyle (((((3^{2})^{2})^{2})^{2})^{2})^{2}\times 3}$

Teoría de números

La teoría de números estudia la estructura y las propiedades de los números enteros, así como las relaciones y leyes entre ellos. ^[80] Algunas de las principales ramas de la teoría de números moderna incluyen la teoría de números elementales , la teoría analítica de números , la teoría algebraica de números y la teoría geométrica de números . ^[81] La teoría elemental de números estudia aspectos de los números enteros que se pueden investigar utilizando métodos elementales. Sus temas incluyen divisibilidad , factorización y primalidad . ^[82] La teoría analítica de números, por el contrario, se basa en técnicas de análisis y cálculo. Examina problemas como la distribución de los números primos y la afirmación de que todo número par es una suma de dos números primos . ^[83] La teoría algebraica de números emplea estructuras algebraicas para analizar las propiedades y las relaciones entre los números. Algunos ejemplos son el uso de campos y anillos , como en los campos de números algebraicos como el anillo de números enteros . La teoría geométrica de números utiliza conceptos de la geometría para estudiar los números. Por ejemplo, investiga cómo se comportan los puntos reticulares con coordenadas enteras en un plano. ^[84] Otras ramas de la teoría de números son la teoría de números probabilística , que emplea métodos de la teoría de la probabilidad , ^[85] la teoría de números combinatoria , que se basa en el campo de la combinatoria , ^[86] la teoría de números computacional , que aborda problemas de teoría de números con métodos computacionales, ^[87] y la teoría de números aplicada, que examina la aplicación de la teoría de números a campos como la física , la biología y la criptografía . ^[88]

Los teoremas influyentes en la teoría de números incluyen el teorema fundamental de la aritmética , el teorema de Euclides y el último teorema de Fermat . ^[89] Según el teorema fundamental de la aritmética, todo entero mayor que 1 es un número primo o puede representarse como un producto único de números primos. Por ejemplo, el número 18 no es un número primo y puede representarse como , todos los cuales son números primos. El número 19 , por el contrario, es un número primo que no tiene otra factorización prima. ^[90] El teorema de Euclides establece que hay infinitos números primos. ^[91] El último teorema de Fermat es la afirmación de que no se pueden encontrar valores enteros positivos para , , y , para resolver la ecuación si es mayor que . ^[92] ${\displaystyle 2\times 3\times 3}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2}$

Aritmética de números racionales

La aritmética de números racionales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números que pueden expresarse como una relación de dos números enteros. ^[93] La mayoría de las operaciones aritméticas sobre números racionales se pueden calcular realizando una serie de operaciones aritméticas de números enteros sobre los numeradores y los denominadores de los números involucrados. Si dos números racionales tienen el mismo denominador, se pueden sumar sumando sus numeradores y manteniendo el denominador común. Por ejemplo, . Se utiliza un procedimiento similar para la resta. Si los dos números no tienen el mismo denominador, se deben transformar para encontrar un denominador común. Esto se puede lograr escalando el primer número con el denominador del segundo número mientras se escala el segundo número con el denominador del primer número. Por ejemplo, . ^[94] ${\displaystyle {\tfrac {2}{7}}+{\tfrac {3}{7}}={\tfrac {5}{7}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1\cdot 2}{3\cdot 2}}+{\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{6}}+{\tfrac {3}{6}}={\tfrac {5}{6}}}$

Dos números racionales se multiplican multiplicando sus numeradores y denominadores respectivamente, como en . La división de un número racional por otro se puede lograr multiplicando el primer número por el recíproco del segundo número. Esto significa que el numerador y el denominador del segundo número cambian de posición. Por ejemplo, . ^[95] A diferencia de la aritmética de números enteros, la aritmética de números racionales está cerrada bajo la división siempre que el divisor no sea 0. ^[96] ${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {2}{5}}={\tfrac {2\cdot 2}{3\cdot 5}}={\tfrac {4}{15}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}:{\tfrac {2}{7}}={\tfrac {3}{5}}\cdot {\tfrac {7}{2}}={\tfrac {21}{10}}}$

Tanto la aritmética de números enteros como la aritmética de números racionales no están cerradas bajo la exponenciación y el logaritmo. ^[97] Una forma de calcular la exponenciación con un exponente fraccionario es realizar dos cálculos separados: una exponenciación usando el numerador del exponente seguida de dibujar la raíz n-ésima del resultado con base en el denominador del exponente. Por ejemplo, . La primera operación se puede completar usando métodos como la multiplicación repetida o la exponenciación por cuadrado. Una forma de obtener un resultado aproximado para la segunda operación es emplear el método de Newton , que utiliza una serie de pasos para refinar gradualmente una suposición inicial hasta que alcanza el nivel deseado de precisión. ^[98] La serie de Taylor o el método de fracción continua se pueden utilizar para calcular logaritmos. ^[99] ${\displaystyle 5^{\frac {2}{3}}={\sqrt[{3}]{5^{2}}}}$

La notación de fracción decimal es una forma especial de representar números racionales cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, los números racionales , , y se escriben como 0,1, 3,71 y 0,0044 en la notación de fracción decimal. ^[100] Se pueden aplicar versiones modificadas de métodos de cálculo de números enteros como la suma con acarreo y la multiplicación larga a los cálculos con fracciones decimales. ^[101] No todos los números racionales tienen una representación finita en la notación decimal. Por ejemplo, el número racional corresponde a 0,333... con un número infinito de 3. La notación abreviada para este tipo de decimal periódico es 0, 3. ^[102] Cada decimal periódico expresa un número racional. ^[103] ${\displaystyle {\tfrac {1}{10}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {371}{100}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {44}{10000}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$

Aritmética de números reales

La aritmética de números reales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números racionales e irracionales. Los números irracionales son números que no se pueden expresar mediante fracciones o decimales repetidas, como la raíz de 2 y π . ^[104] A diferencia de la aritmética de números racionales, la aritmética de números reales está cerrada bajo exponenciación siempre que utilice un número positivo como base. Lo mismo es cierto para el logaritmo de números reales positivos siempre que la base del logaritmo sea positiva y no 1. ^[105]

Los números irracionales implican una serie infinita de dígitos decimales no repetitivos. Debido a esto, a menudo no hay una manera simple y precisa de expresar los resultados de operaciones aritméticas como o . ^[106] En los casos en que no se requiere precisión absoluta, el problema de calcular operaciones aritméticas en números reales generalmente se aborda mediante truncamiento o redondeo . Para el truncamiento, se conserva un cierto número de dígitos más a la izquierda y los dígitos restantes se descartan o reemplazan por ceros. Por ejemplo, el número π tiene un número infinito de dígitos que comienzan con 3.14159.... Si este número se trunca a 4 decimales, el resultado es 3.141. El redondeo es un proceso similar en el que el último dígito preservado se incrementa en uno si el siguiente dígito es 5 o mayor, pero permanece igual si el siguiente dígito es menor que 5, de modo que el número redondeado es la mejor aproximación de una precisión dada para el número original. Por ejemplo, si el número π se redondea a 4 decimales, el resultado es 3,142 porque el dígito siguiente es un 5, por lo que 3,142 está más cerca de π que 3,141. ^[107] Estos métodos permiten a las computadoras realizar cálculos aproximados de manera eficiente en números reales. ^[108] ${\displaystyle {\sqrt {2}}+\pi }$ ${\displaystyle e\cdot {\sqrt {3}}}$

Aproximaciones y errores

En ciencia e ingeniería, los números representan estimaciones de cantidades físicas derivadas de mediciones o modelos. A diferencia de los números matemáticamente exactos como π o ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ , los datos numéricos científicamente relevantes son inherentemente inexactos, lo que implica cierta incertidumbre de medición . ^[109] Una forma básica de expresar el grado de certeza sobre el valor de cada número y evitar una precisión falsa es redondear cada medición a una cierta cantidad de dígitos, llamados dígitos significativos , que se supone que son precisos. Por ejemplo, la altura de una persona medida con una cinta métrica podría solo conocerse con precisión al centímetro más cercano, por lo que debería presentarse como 1,62 metros en lugar de 1,6217 metros. Si se convierte a unidades imperiales, esta cantidad debe redondearse a 64 pulgadas o 63,8 pulgadas en lugar de 63,7795 pulgadas, para transmitir claramente la precisión de la medición. Cuando un número se escribe utilizando la notación decimal ordinaria, los ceros iniciales no son significativos, y los ceros finales de los números que no se escriben con un punto decimal se consideran implícitamente no significativos. ^[110] Por ejemplo, los números 0,056 y 1200 tienen cada uno solo 2 dígitos significativos, pero el número 40,00 tiene 4 dígitos significativos. Representar la incertidumbre utilizando solo dígitos significativos es un método relativamente rudimentario, con algunas sutilezas poco intuitivas; llevar un registro explícito de una estimación o límite superior del error de aproximación es un enfoque más sofisticado. ^[111] En el ejemplo, la altura de la persona podría representarse como 1,62 ± 0,005 metros o 63,8 ± 0,2 pulgadas . ^[112]

Al realizar cálculos con cantidades inciertas, la incertidumbre debe propagarse a las cantidades calculadas. Al sumar o restar dos o más cantidades, sume las incertidumbres absolutas de cada sumando para obtener la incertidumbre absoluta de la suma. Al multiplicar o dividir dos o más cantidades, sume las incertidumbres relativas de cada factor para obtener la incertidumbre relativa del producto. ^[113] Al representar la incertidumbre mediante dígitos significativos, la incertidumbre se puede propagar de forma aproximada redondeando el resultado de sumar o restar dos o más cantidades al último decimal significativo más a la izquierda entre los sumandos, y redondeando el resultado de multiplicar o dividir dos o más cantidades al menor número de dígitos significativos entre los factores. ^[114] (Véase Cifras significativas § Aritmética .)

Los métodos más sofisticados para tratar con valores inciertos incluyen la aritmética de intervalos y la aritmética afín . La aritmética de intervalos describe operaciones en intervalos . Los intervalos se pueden utilizar para representar un rango de valores si uno no conoce la magnitud precisa, por ejemplo, debido a errores de medición . La aritmética de intervalos incluye operaciones como la suma y la multiplicación en intervalos, como en y . ^[115] Está estrechamente relacionada con la aritmética afín, que tiene como objetivo dar resultados más precisos realizando cálculos en formas afines en lugar de intervalos. Una forma afín es un número junto con términos de error que describen cómo el número puede desviarse de la magnitud real. ^[116] ${\displaystyle [1,2]+[3,4]=[4,6]}$ ${\displaystyle [1,2]\times [3,4]=[3,8]}$

La precisión de las cantidades numéricas se puede expresar de manera uniforme utilizando la notación científica normalizada , que también es conveniente para representar de manera concisa números que son mucho mayores o menores que 1. Utilizando la notación científica, un número se descompone en el producto de un número entre 1 y 10, llamado mantisa , y 10 elevado a alguna potencia entera, llamado exponente . La mantisa consiste en los dígitos significativos del número y se escribe como un dígito inicial del 1 al 9 seguido de un punto decimal y una secuencia de dígitos del 0 al 9. Por ejemplo, la notación científica normalizada del número 8276000 es con mantisa 8,276 y exponente 6, y la notación científica normalizada del número 0,00735 es con mantisa 7,35 y exponente −3. ^[117] A diferencia de la notación decimal ordinaria, donde los ceros finales de los números grandes se consideran implícitamente no significativos, en la notación científica cada dígito en la mantisa se considera significativo, y agregar ceros finales indica una mayor precisión. Por ejemplo, mientras que el número 1200 implícitamente tiene solo 2 dígitos significativos, el número ⁠ ⁠ explícitamente tiene 3. ^[118] ${\displaystyle 8.276\times 10^{6}}$ ${\displaystyle 7.35\times 10^{-3}}$ ${\displaystyle 1.20\times 10^{3}}$

Un método común empleado por las computadoras para aproximarse a la aritmética de números reales se llama aritmética de punto flotante . Representa números reales similares a la notación científica a través de tres números: un mantisa, una base y un exponente. ^[119] La precisión del mantisa está limitada por el número de bits asignados para representarlo. Si una operación aritmética da como resultado un número que requiere más bits de los que están disponibles, la computadora redondea el resultado al número representable más cercano. Esto conduce a errores de redondeo . ^[120] Una consecuencia de este comportamiento es que ciertas leyes de la aritmética son violadas por la aritmética de punto flotante. Por ejemplo, la suma de punto flotante no es asociativa ya que los errores de redondeo introducidos pueden depender del orden de las sumas. Esto significa que el resultado de a veces es diferente del resultado de . ^[121] El estándar técnico más común utilizado para la aritmética de punto flotante se llama IEEE 754 . Entre otras cosas, determina cómo se representan los números, cómo se realizan las operaciones aritméticas y el redondeo, y cómo se manejan los errores y las excepciones. ^[122] En los casos en que la velocidad de cálculo no es un factor limitante, es posible utilizar aritmética de precisión arbitraria , para la cual la precisión de los cálculos solo está restringida por la memoria de la computadora. ^[123] ${\displaystyle (a+b)+c}$ ${\displaystyle a+(b+c)}$

Uso de herramientas

Los cálculos en aritmética mental se realizan exclusivamente en la mente sin depender de ayudas externas.

Las formas de aritmética también se pueden distinguir por las herramientas empleadas para realizar los cálculos e incluyen muchos enfoques además del uso habitual de lápiz y papel. La aritmética mental se basa exclusivamente en la mente sin herramientas externas. En cambio, utiliza la visualización, la memorización y ciertas técnicas de cálculo para resolver problemas aritméticos. ^[124] Una de estas técnicas es el método de compensación, que consiste en alterar los números para facilitar el cálculo y luego ajustar el resultado después. Por ejemplo, en lugar de calcular , se calcula cuál es más fácil porque utiliza un número redondo. En el siguiente paso, se suma al resultado para compensar el ajuste anterior. ^[125] La aritmética mental a menudo se enseña en la educación primaria para entrenar las habilidades numéricas de los estudiantes. ^[126] ${\displaystyle 85-47}$ ${\displaystyle 85-50}$ ${\displaystyle 3}$

El cuerpo humano también puede utilizarse como herramienta aritmética. El uso de las manos para contar con los dedos se suele introducir en los niños pequeños para enseñarles números y cálculos sencillos. En su forma más básica, el número de dedos extendidos corresponde a la cantidad representada y las operaciones aritméticas como la suma y la resta se realizan extendiendo o retrayendo los dedos. Este sistema se limita a números pequeños, mientras que los sistemas más avanzados emplean también diferentes enfoques para representar cantidades mayores. ^[127] La ​​voz humana se utiliza como ayuda aritmética en el conteo verbal. ^[128]

Los ábacos son herramientas para realizar operaciones aritméticas moviendo cuentas.

Las marcas de conteo son un sistema simple basado en herramientas externas distintas del cuerpo. Se basa en trazos dibujados en una superficie o muescas en un palo de madera para llevar un registro de las cantidades. Algunas formas de marcas de conteo organizan los trazos en grupos de cinco para que sean más fáciles de leer. ^[129] El ábaco es una herramienta más avanzada para representar números y realizar cálculos. Un ábaco generalmente consta de una serie de varillas, cada una de las cuales sostiene varias cuentas . Cada cuenta representa una cantidad, que se cuenta si la cuenta se mueve de un extremo de una varilla al otro. Los cálculos se realizan manipulando las posiciones de las cuentas hasta que el patrón de cuentas final revela el resultado. ^[130] Las ayudas relacionadas incluyen tableros de conteo , que utilizan fichas cuyo valor depende del área del tablero en el que se colocan, ^[131] y varillas de conteo , que están dispuestas en patrones horizontales y verticales para representar diferentes números. ^{[132] [f]} Los sectores y las reglas de cálculo son instrumentos de cálculo más refinados que se basan en relaciones geométricas entre diferentes escalas para realizar operaciones aritméticas tanto básicas como avanzadas. ^{[134] [g]} Las tablas impresas eran particularmente relevantes como ayuda para buscar los resultados de operaciones como logaritmos y funciones trigonométricas . ^[136]

Las calculadoras mecánicas automatizan los procesos de cálculo manual. Presentan al usuario algún tipo de dispositivo de entrada para introducir números girando diales o pulsando teclas. Incluyen un mecanismo interno que suele constar de engranajes , palancas y ruedas para realizar cálculos y mostrar los resultados. ^[137] En el caso de las calculadoras electrónicas y las computadoras , este procedimiento se perfecciona aún más sustituyendo los componentes mecánicos por circuitos electrónicos como microprocesadores que combinan y transforman señales eléctricas para realizar cálculos. ^[138]

Otros

Ejemplo de aritmética modular utilizando un reloj: después de sumar 4 horas a las 9, la manecilla comienza nuevamente desde el principio y apunta a la 1.

Existen muchos otros tipos de aritmética. La aritmética modular opera sobre un conjunto finito de números. Si una operación diera como resultado un número que se encuentra fuera de este conjunto finito, entonces el número se ajusta nuevamente dentro del conjunto, de manera similar a cómo las manecillas de los relojes comienzan nuevamente desde el principio después de haber completado un ciclo. El número en el que se produce este ajuste se denomina módulo. Por ejemplo, un reloj normal tiene un módulo de 12. En el caso de sumar 4 a 9, esto significa que el resultado no es 13 sino 1. El mismo principio se aplica también a otras operaciones, como la resta, la multiplicación y la división. ^[139]

Algunas formas de aritmética se ocupan de operaciones realizadas sobre objetos matemáticos distintos de los números. La aritmética de intervalos describe operaciones sobre intervalos. ^[140] La aritmética vectorial y la aritmética matricial describen operaciones aritméticas sobre vectores y matrices , como la suma de vectores y la multiplicación de matrices . ^[141]

Los sistemas aritméticos se pueden clasificar según el sistema numérico en el que se basan. Por ejemplo, la aritmética decimal describe las operaciones aritméticas en el sistema decimal. Otros ejemplos son la aritmética binaria , la aritmética octal y la aritmética hexadecimal . ^[142]

La aritmética de unidades compuestas describe las operaciones aritméticas realizadas sobre magnitudes con unidades compuestas. Implica operaciones adicionales para regular la transformación entre magnitudes de unidades simples y de unidades compuestas. Por ejemplo, la operación de reducción se utiliza para transformar la cantidad compuesta 1 h 90 min en la cantidad de unidades simples 150 min. ^[143]

Las aritméticas no diofánticas son sistemas aritméticos que violan las intuiciones aritméticas tradicionales e incluyen ecuaciones como y . ^[144] Se pueden emplear para representar algunas situaciones del mundo real en la física moderna y la vida cotidiana. Por ejemplo, la ecuación se puede utilizar para describir la observación de que si se agrega una gota de lluvia a otra, no siguen siendo dos entidades separadas, sino que se convierten en una. ^[145] ${\displaystyle 1+1=1}$ ${\displaystyle 2+2=5}$ ${\displaystyle 1+1=1}$

Fundamentos axiomáticos

Los fundamentos axiomáticos de la aritmética intentan proporcionar un pequeño conjunto de leyes, llamadas axiomas , de las cuales se pueden derivar todas las propiedades y operaciones fundamentales de los números. Constituyen marcos lógicamente consistentes y sistemáticos que se pueden utilizar para formular pruebas matemáticas de manera rigurosa. Dos enfoques bien conocidos son los axiomas de Dedekind-Peano y las construcciones de teoría de conjuntos . ^[146]

Los axiomas de Dedekind-Peano proporcionan una axiomatización de la aritmética de los números naturales. Sus principios básicos fueron formulados por primera vez por Richard Dedekind y luego refinados por Giuseppe Peano . Se basan únicamente en un pequeño número de conceptos matemáticos primitivos, como 0, número natural y sucesor . ^[h] Los axiomas de Peano determinan cómo se relacionan estos conceptos entre sí. Todos los demás conceptos aritméticos pueden definirse en términos de estos conceptos primitivos. ^[147]

1. 0 es un número natural.
2. Para cada número natural, existe un sucesor, que también es un número natural.
3. Los sucesores de dos números naturales diferentes nunca son idénticos.
4. 0 no es el sucesor de un número natural.
5. Si un conjunto contiene 0 y todos los sucesores, entonces contiene todos los números naturales. ^{[148] [i]}

Los números mayores que 0 se expresan mediante la aplicación repetida de la función sucesora . Por ejemplo, es y es . Las operaciones aritméticas se pueden definir como mecanismos que afectan la forma en que se aplica la función sucesora. Por ejemplo, sumar a cualquier número es lo mismo que aplicar la función sucesora dos veces a ese número. ^[150] ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle s(0)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle s(s(s(0)))}$ ${\displaystyle 2}$

Varias axiomatizaciones de la aritmética se basan en la teoría de conjuntos. Abarcan los números naturales, pero también se pueden extender a los números enteros, racionales y reales. Cada número natural está representado por un conjunto único. El 0 se define habitualmente como el conjunto vacío . Cada número posterior se puede definir como la unión del número anterior con el conjunto que contiene el número anterior. Por ejemplo, , , y . ^[151] Los números enteros se pueden definir como pares ordenados de números naturales donde el segundo número se resta del primero. Por ejemplo, el par (9, 0) representa el número 9 mientras que el par (0, 9) representa el número -9. ^[152] Los números racionales se definen como pares de números enteros donde el primer número representa el numerador y el segundo número representa el denominador. Por ejemplo, el par (3, 7) representa el número racional . ^[153] Una forma de construir los números reales se basa en el concepto de cortes de Dedekind . Según este enfoque, cada número real se representa mediante una partición de todos los números racionales en dos conjuntos, uno para todos los números inferiores al número real representado y el otro para el resto. ^[154] Las operaciones aritméticas se definen como funciones que realizan varias transformaciones de teoría de conjuntos en los conjuntos que representan los números de entrada para llegar al conjunto que representa el resultado. ^[155] ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{0\}}$ ${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{0,1\}}$ ${\displaystyle 3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$

Historia

Algunos historiadores interpretan el hueso de Ishango como uno de los primeros artefactos aritméticos.

Las primeras formas de aritmética se remontan a veces a las marcas de conteo utilizadas para llevar un registro de las cantidades. Algunos historiadores sugieren que el hueso de Lebombo (que data de hace unos 43.000 años) y el hueso de Ishango (que data de hace unos 22.000 a 30.000 años) son los artefactos aritméticos más antiguos, pero esta interpretación es discutida. ^{[156] Sin embargo, es posible que un} sentido básico de los números sea anterior a estos hallazgos e incluso podría haber existido antes del desarrollo del lenguaje. ^[157]

No fue hasta el surgimiento de las civilizaciones antiguas que comenzó a desarrollarse un enfoque más complejo y estructurado de la aritmética, a partir de alrededor del 3000 a. C. Esto se hizo necesario debido a la creciente necesidad de realizar un seguimiento de los artículos almacenados, administrar la propiedad de la tierra y organizar los intercambios. ^[158] Todas las principales civilizaciones antiguas desarrollaron sistemas numéricos no posicionales para facilitar la representación de números. También tenían símbolos para operaciones como la suma y la resta y conocían las fracciones. Algunos ejemplos son los jeroglíficos egipcios , así como los sistemas numéricos inventados en Sumeria , China e India . ^[159] El primer sistema numérico posicional fue desarrollado por los babilonios a partir de alrededor de 1800 a. C. Esta fue una mejora significativa con respecto a los sistemas numéricos anteriores, ya que hizo que la representación de números grandes y los cálculos sobre ellos fueran más eficientes. ^[160] Los ábacos se han utilizado como herramientas de cálculo operadas manualmente desde la antigüedad como un medio eficiente para realizar cálculos complejos. ^[161]

Las civilizaciones tempranas usaban principalmente números para propósitos prácticos concretos, como actividades comerciales y registros de impuestos, pero carecían de un concepto abstracto del número en sí. ^[162] Esto cambió con los antiguos matemáticos griegos , quienes comenzaron a explorar la naturaleza abstracta de los números en lugar de estudiar cómo se aplican a problemas específicos. ^[163] Otra característica novedosa fue su uso de pruebas para establecer verdades matemáticas y validar teorías. ^[164] Otra contribución fue su distinción de varias clases de números, como números pares , números impares y números primos . ^[165] Esto incluyó el descubrimiento de que los números para ciertas longitudes geométricas son irracionales y, por lo tanto, no se pueden expresar como una fracción. ^[166] Las obras de Tales de Mileto y Pitágoras en los siglos VII y VI a. C. a menudo se consideran el inicio de las matemáticas griegas. ^[167] Diofanto fue una figura influyente en la aritmética griega en el siglo III a. C. debido a sus numerosas contribuciones a la teoría de números y su exploración de la aplicación de operaciones aritméticas a ecuaciones algebraicas . ^[168]

Los antiguos indios fueron los primeros en desarrollar el concepto de cero como número para ser utilizado en cálculos. Las reglas exactas de su funcionamiento fueron escritas por Brahmagupta alrededor del año 628 d. C. ^[169] El concepto de cero o ninguno existía mucho antes, pero no se consideraba un objeto de operaciones aritméticas. ^[170] Brahmagupta proporcionó además una discusión detallada de los cálculos con números negativos y su aplicación a problemas como el crédito y la deuda. ^[171] El concepto de números negativos en sí es significativamente más antiguo y fue explorado por primera vez en las matemáticas chinas en el primer milenio a. C. ^[172]

Los matemáticos indios también desarrollaron el sistema decimal posicional que se utiliza hoy en día, en particular el concepto de un dígito cero en lugar de posiciones vacías o faltantes. ^[173] Por ejemplo, Aryabhata proporcionó un tratamiento detallado de sus operaciones alrededor del cambio del siglo VI d. C. ^[174] El sistema decimal indio se perfeccionó y amplió aún más a los no enteros durante la Edad de Oro islámica por matemáticos árabes como Al-Khwarizmi . Su trabajo fue influyente en la introducción del sistema de numeración decimal en el mundo occidental, que en ese momento dependía del sistema de numeración romana . ^[175] Allí, fue popularizado por matemáticos como Leonardo Fibonacci , que vivió en los siglos XII y XIII y también desarrolló la secuencia de Fibonacci . ^[176] Durante la Edad Media y el Renacimiento , se publicaron muchos libros de texto populares para cubrir los cálculos prácticos para el comercio. El uso de ábacos también se generalizó en este período. ^[177] En el siglo XVI, el matemático Gerolamo Cardano concibió el concepto de números complejos como una forma de resolver ecuaciones cúbicas . ^[178]

El calculador escalonado de Leibniz fue la primera calculadora que podía realizar las cuatro operaciones aritméticas. ^[179]

Las primeras calculadoras mecánicas se desarrollaron en el siglo XVII y facilitaron enormemente los cálculos matemáticos complejos, como la calculadora de Blaise Pascal y el computador escalonado de Gottfried Wilhelm Leibniz . ^[180] El siglo XVII también vio el descubrimiento del logaritmo por John Napier . ^[181]

En los siglos XVIII y XIX, matemáticos como Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss sentaron las bases de la teoría de números moderna. ^[182] Otro desarrollo en este período se relacionó con el trabajo sobre la formalización y los fundamentos de la aritmética, como la teoría de conjuntos de Georg Cantor y los axiomas de Dedekind-Peano utilizados como una axiomatización de la aritmética de números naturales. ^[183] ​​Las computadoras y las calculadoras electrónicas se desarrollaron por primera vez en el siglo XX. Su uso generalizado revolucionó tanto la precisión como la velocidad con la que se pueden calcular incluso cálculos aritméticos complejos. ^[184]

En diversos campos

Educación

La educación aritmética forma parte de la educación primaria . Es una de las primeras formas de educación matemática que los niños encuentran. La aritmética elemental tiene como objetivo dar a los estudiantes un sentido básico de los números y familiarizarlos con operaciones numéricas fundamentales como la suma, la resta, la multiplicación y la división. ^[185] Por lo general, se introduce en relación con escenarios concretos, como contar cuentas , dividir la clase en grupos de niños del mismo tamaño y calcular el cambio al comprar artículos. Las herramientas comunes en la educación aritmética temprana son las líneas numéricas , las tablas de suma y multiplicación, los bloques de conteo y los ábacos. ^[186]

Las etapas posteriores se centran en una comprensión más abstracta e introducen a los estudiantes a diferentes tipos de números, como números negativos, fracciones, números reales y números complejos. También cubren operaciones numéricas más avanzadas, como la exponenciación, la extracción de raíces y el logaritmo. ^[187] También muestran cómo se emplean las operaciones aritméticas en otras ramas de las matemáticas, como su aplicación para describir formas geométricas y el uso de variables en álgebra. Otro aspecto es enseñar a los estudiantes el uso de algoritmos y calculadoras para resolver problemas aritméticos complejos. ^[188]

Psicología

La psicología de la aritmética se interesa por la forma en que los seres humanos y los animales aprenden sobre los números, los representan y los utilizan para realizar cálculos. Examina cómo se entienden y resuelven los problemas matemáticos y cómo se relacionan las habilidades aritméticas con la percepción , la memoria , el juicio y la toma de decisiones . ^[189] Por ejemplo, investiga cómo se encuentran por primera vez colecciones de elementos concretos en la percepción y, posteriormente, se asocian con números. ^[190] Otro campo de investigación se refiere a la relación entre los cálculos numéricos y el uso del lenguaje para formar representaciones. ^[191] La psicología también explora el origen biológico de la aritmética como una habilidad innata. Esto se refiere a los procesos cognitivos preverbales y presimbólicos que implementan operaciones similares a la aritmética necesarias para representar con éxito el mundo y realizar tareas como la navegación espacial. ^[192]

Uno de los conceptos estudiados por la psicología es la aritmética , que es la capacidad de comprender conceptos numéricos, aplicarlos a situaciones concretas y razonar con ellos. Incluye un sentido numérico fundamental, así como la capacidad de estimar y comparar cantidades. Además, abarca las habilidades para representar simbólicamente números en sistemas numéricos, interpretar datos numéricos y evaluar cálculos aritméticos. ^[193] La aritmética es una habilidad clave en muchos campos académicos. La falta de aritmética puede inhibir el éxito académico y conducir a malas decisiones económicas en la vida cotidiana, por ejemplo, al malinterpretar los planes hipotecarios y las pólizas de seguro . ^[194]

Filosofía

La filosofía de la aritmética estudia los conceptos y principios fundamentales que subyacen a los números y las operaciones aritméticas. Explora la naturaleza y el estatus ontológico de los números, la relación de la aritmética con el lenguaje y la lógica , y cómo es posible adquirir conocimientos aritméticos . ^[195]

Según el platonismo , los números tienen una existencia independiente de la mente: existen como objetos abstractos fuera del espacio-tiempo y sin poderes causales. ^{[196] [j]} Esta visión es rechazada por los intuicionistas , quienes afirman que los objetos matemáticos son construcciones mentales. ^[198] Otras teorías son el logicismo , que sostiene que las verdades matemáticas son reducibles a verdades lógicas , ^[199] y el formalismo , que afirma que los principios matemáticos son reglas de cómo se manipulan los símbolos sin afirmar que corresponden a entidades fuera de la actividad gobernada por reglas. ^[200]

La visión tradicionalmente dominante en la epistemología de la aritmética es que las verdades aritméticas son cognoscibles a priori . Esto significa que pueden conocerse mediante el pensamiento únicamente sin la necesidad de depender de la experiencia sensorial . ^[201] Algunos defensores de esta visión afirman que el conocimiento aritmético es innato, mientras que otros afirman que existe alguna forma de intuición racional a través de la cual se pueden aprehender las verdades matemáticas. ^[202] Una visión alternativa más reciente fue sugerida por filósofos naturalistas como Willard Van Orman Quine , quienes sostienen que los principios matemáticos son generalizaciones de alto nivel que en última instancia se basan en el mundo sensorial tal como lo describen las ciencias empíricas. ^[203]

Otros

La aritmética es relevante en muchos campos. En la vida diaria , se requiere calcular el cambio al hacer compras, administrar las finanzas personales y ajustar una receta de cocina para una cantidad diferente de porciones. Las empresas usan la aritmética para calcular ganancias y pérdidas y analizar las tendencias del mercado . En el campo de la ingeniería , se utiliza para medir cantidades, calcular cargas y fuerzas y diseñar estructuras. ^[204] La criptografía se basa en operaciones aritméticas para proteger la información confidencial mediante el cifrado de datos y mensajes. ^[205]

La aritmética está íntimamente relacionada con muchas ramas de las matemáticas que dependen de operaciones numéricas. El álgebra se basa en principios aritméticos para resolver ecuaciones utilizando variables. Estos principios también juegan un papel clave en el cálculo en su intento de determinar tasas de cambio y áreas bajo curvas . La geometría utiliza operaciones aritméticas para medir las propiedades de las formas, mientras que la estadística las utiliza para analizar datos numéricos. ^[206] Debido a la relevancia de las operaciones aritméticas en las matemáticas, la influencia de la aritmética se extiende a la mayoría de las ciencias, como la física , la informática y la economía . Estas operaciones se utilizan en cálculos, resolución de problemas , análisis de datos y algoritmos, lo que las convierte en parte integral de la investigación científica, el desarrollo tecnológico y el modelado económico. ^[207]

Véase también

• Portal de aritmética
• Portal de matemáticas

• Algorismo
• Expresión (matemáticas)
• Aritmética de campos finitos
• Esquema de aritmética
• Aritmética de plantas

Referencias

Notas

1. Otros símbolos para los números naturales incluyen , , , y . ^[13] ${\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$
2. Otros símbolos para números enteros incluyen , , y . ^[15] ${\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle W}$
3. Un decimal periódico es un decimal con un número infinito de dígitos repetidos, como 0,111..., que expresa el número racional . ${\displaystyle {\tfrac {1}{9}}}$
4. Algunos autores utilizan una terminología diferente y se refieren al primer número como multiplicando y al segundo número como multiplicador. ^[51]
5. Si el exponente es 0, entonces el resultado es 1, como en . La única excepción es , que no está definido. ^[57] ${\displaystyle 7^{0}=1}$ ${\displaystyle 0^{0}}$
6. Algunos sistemas de varillas de conteo incluyen diferentes colores para representar números tanto positivos como negativos. ^[133]
7. Algunos científicos informáticos consideran que las reglas de cálculo fueron el primer tipo de computadora analógica . ^[135]
8. El sucesor de un número natural es el número que le sigue. Por ejemplo, el 4 es el sucesor del 3.
9. Existen distintas versiones de la formulación exacta y del número de axiomas. Por ejemplo, algunas formulaciones comienzan con 1 en lugar de 0 en el primer axioma. ^[149]
10. Un argumento influyente a favor del platonismo, formulado por primera vez por Willard Van Orman Quine y Hilary Putnam , afirma que los números existen porque son indispensables para las mejores teorías científicas. ^[197]

Citas

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