Lista de temas de análisis reales

Esta es una lista de artículos que se consideran temas de análisis reales .

Ver también: glosario de análisis real y complejo .

Temas generales

Límites

• Límite de una secuencia
  • Límite subsiguiente : el límite de alguna subsecuencia
• Límite de una función ( ver Lista de límites para una lista de límites de funciones comunes )
  • Límite unilateral : cualquiera de los dos límites de funciones de variables reales x, cuando x se acerca a un punto desde arriba o desde abajo.
  • Teorema de compresión : confirma el límite de una función mediante la comparación con otras dos funciones
  • Notación O grande : se utiliza para describir el comportamiento límite de una función cuando el argumento tiende hacia un valor particular o infinito, generalmente en términos de funciones más simples

Secuenciasyserie

( ver también lista de series matemáticas )

• Progresión aritmética : una secuencia de números tal que la diferencia entre los términos consecutivos es constante.
  • Progresión aritmética generalizada : una secuencia de números tal que la diferencia entre términos consecutivos puede ser una de varias constantes posibles
• Progresión geométrica : una secuencia de números tal que cada término consecutivo se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo distinto de cero.
• Progresión armónica : una secuencia formada al tomar los recíprocos de los términos de una progresión aritmética.
• Secuencia finita – ver secuencia
• Secuencia infinita – ver secuencia
• Secuencia divergente : ver límite de una secuencia o serie divergente
• Secuencia convergente : ver límite de una secuencia o serie convergente
  • Secuencia de Cauchy : secuencia cuyos elementos se acercan arbitrariamente entre sí a medida que avanza la secuencia.
• Serie convergente : una serie cuya secuencia de sumas parciales converge
• Serie divergente : una serie cuya secuencia de sumas parciales diverge.
• Serie de potencias : una serie de la forma ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots }$
  • Serie de Taylor : una serie de la forma ${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$
    • Serie de Maclaurin – ver serie de Taylor
      • Serie binomial : la serie de Maclaurin de la función f dada por f ( x )  =  (1 +  x ) ^α 
• Serie telescópica
• Serie alternada
• Serie geométrica
  • Serie geométrica divergente
• Serie armónica
• Serie de Fourier
• Serie Lambert

Sumamétodos

• Resumen de Cesáro
• Suma de Euler
• Suma de Lambert
• Suma de Borel
• Suma por partes : transforma la suma de productos de en otras sumas
• Cesáro significa
• Fórmula de suma de Abel

Temas más avanzados

• Circunvolución
  • Producto de Cauchy : es la convolución discreta de dos secuencias
• Sucesión de Farey : la secuencia de fracciones completamente reducidas entre 0 y 1
• Oscilación : es el comportamiento de una secuencia de números reales o una función de valor real, que no converge, pero tampoco diverge a +∞ o −∞; y también es una medida cuantitativa para ello.
• Formas indeterminadas : expresiones algebraicas obtenidas en el contexto de límites. Las formas indeterminadas incluyen 0 ⁰ , 0/0, 1 ^∞ , ∞ − ∞, ∞/∞, 0 × ∞ y ∞ ⁰ .

Convergencia

• Convergencia puntual , convergencia uniforme
• Convergencia absoluta , convergencia condicional
• Convergencia normal
• Radio de convergencia

Pruebas de convergencia

• Prueba integral de convergencia
• Prueba de convergencia de Cauchy
• Prueba de proporción
• Prueba de comparación directa
• Prueba de comparación de límites
• Prueba de raíz
• Prueba de series alternadas
• Prueba de Dirichlet
• Teorema de Stolz-Cesàro : es un criterio para demostrar la convergencia de una secuencia.

Funciones

• Función de una variable real
• Función multivariable real
• Función continua
  • Función continua en ninguna parte
  • Función de Weierstrass
• Función suave
  • Función analítica
    • Función cuasi-analítica
  • Función suave no analítica
  • Función plana
  • Función de protuberancia
• Función diferenciable
• Función integrable
  • Función integrable al cuadrado , función p-integrable
• Función monótona
  • Teorema de Bernstein sobre funciones monótonas : establece que cualquier función de valor real en la semirrecta [0, ∞) que sea totalmente monótona es una mezcla de funciones exponenciales.
• Función inversa
• Función convexa , Función cóncava
• Función singular
• Función armónica
  • Función débilmente armónica
  • Función convexa propia
• Función racional
• Función ortogonal
• Funciones implícitas y explícitas
  • Teorema de función implícita : permite convertir las relaciones en funciones
• Función medible
• Función de una estrella de Baire
• Función simétrica
• Dominio
• Codominio
  • Imagen
• Apoyo
• Diferencial de una función

Continuidad

• Continuidad uniforme
  • Módulo de continuidad
• Continuidad de Lipschitz
• Semi-continuidad
• Equicontinuo
• Continuidad absoluta
• Condición de Hölder – condición para la continuidad de Hölder

Distribuciones

• Función delta de Dirac
• Función escalonada de Heaviside
• Transformada de Hilbert
• Función de Green

Variación

• Variación limitada
• Variación total

Derivados

• Segunda derivada
  • Punto de inflexión : se encuentra utilizando segundas derivadas
• Derivada direccional , Derivada total , Derivada parcial

Reglas de diferenciación

• Linealidad de la diferenciación
• Regla del producto
• Regla del cociente
• Regla de la cadena
• Teorema de la función inversa : proporciona condiciones suficientes para que una función sea invertible en un entorno de un punto en su dominio, también proporciona una fórmula para la derivada de la función inversa.

Diferenciación en geometría y topología

Véase también Lista de temas de geometría diferencial

• Variedad diferenciable
• Estructura diferenciable
• Sumersión : una función diferenciable entre variedades diferenciables cuya diferencial es sobreyectiva en todas partes.

Integrales

(ver también Listas de integrales )

• Antiderivada
  • Teorema fundamental del cálculo : un teorema de antiderivadas
• Integral múltiple
• Integral iterada
• Integral impropia
  • Valor principal de Cauchy : método para asignar valores a ciertas integrales impropias
• Integral de línea
• Teorema de Anderson – dice que la integral de una función integrable, simétrica, unimodal y no negativa sobre un cuerpo convexo n -dimensional ( K ) no disminuye si K se traslada hacia el origen.

Teoría de la integración y de la medida

Véase también Lista de temas de teoría de la medida e integración

• Integral de Riemann , suma de Riemann
  • Integral de Riemann-Stieltjes
• Integral de Darboux
• Integración de Lebesgue

Teoremas fundamentales

• Teorema de convergencia monótona : relaciona la monotonía con la convergencia
• Teorema del valor intermedio : establece que para cada valor entre el límite superior mínimo y el límite inferior máximo de la imagen de una función continua hay al menos un punto en su dominio que la función asigna a ese valor.
• Teorema de Rolle : establece esencialmente que una función diferenciable que alcanza valores iguales en dos puntos distintos debe tener un punto en algún lugar entre ellos donde la primera derivada sea cero.
• Teorema del valor medio : dado un arco de una curva diferenciable, hay al menos un punto en ese arco en el que la derivada de la curva es igual a la derivada "promedio" del arco.
• Teorema de Taylor : proporciona una aproximación de unafunción diferenciable alrededor de un punto dado mediante unpolinomio de Taylor de orden -ésimo. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• Regla de L'Hôpital : utiliza derivadas para ayudar a evaluar límites que involucran formas indeterminadas
• Teorema de Abel : relaciona el límite de una serie de potencias con la suma de sus coeficientes.
• Teorema de inversión de Lagrange : proporciona la serie de Taylor de la inversa de una función analítica
• Teorema de Darboux : establece que todas las funciones que resultan de la diferenciación de otras funciones tienen la propiedad del valor intermedio: la imagen de un intervalo es también un intervalo.
• Teorema de Heine-Borel : a veces se utiliza como propiedad definitoria de la compacidad.
• Teorema de Bolzano-Weierstrass : establece que cada secuencia acotadatiene una subsecuencia convergente ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Teorema del valor extremo : establece que si una funciónes continua en el intervalo cerrado y acotado, entonces debe alcanzar un máximo y un mínimo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Temas fundamentales

Números

Números reales

• Construcción de los números reales
  • Número natural
  • Entero
  • Número racional
  • Número irracional
• Completitud de los números reales
• Propiedad de límite superior mínimo
• Línea real
  • Recta de números reales extendida
  • Corte de Dedekind

Números específicos

• 1
  • 0,999...
• Infinidad

Conjuntos

• Conjunto abierto
• Vecindario
• Conjunto de cantor
• Conjunto derivado (matemáticas)
• Lo completo
• Límite superior y límite inferior
  • Supremo
  • Ínfimo
• Intervalo
  • Partición de un intervalo

Mapas

• Mapeo de contracción
• Mapa métrico
• Punto fijo : un punto de una función que se asigna a sí mismo.

Herramientas matemáticas aplicadas

Expresiones infinitas

• Fracción continua
• Serie
• Productos infinitos

Desigualdades

Ver lista de desigualdades

• Desigualdad triangular
• Desigualdad de Bernoulli
• Desigualdad de Cauchy-Schwarz
• Desigualdad de Hölder
• Desigualdad de Minkowski
• Desigualdad de Jensen
• Desigualdad de Chebyshev
• Desigualdad de medias aritméticas y geométricas

Medio

• Media generalizada
• Pitagórico significa
  • Media aritmética
  • Media geométrica
  • Media armónica
• Media geométrica armónica
• Media aritmético-geométrica
• Media ponderada
• Media cuasi-aritmética

Polinomios ortogonales

• Polinomios ortogonales clásicos
  • Polinomios de Hermite
  • Polinomios de Laguerre
  • Polinomios de Jacobi
  • Polinomios de Gegenbauer
  • Polinomios de Legendre

Espacios

• Espacio euclidiano
• Espacio métrico
  • Teorema del punto fijo de Banach : garantiza la existencia y unicidad de puntos fijos de ciertas automapas de espacios métricos y proporciona un método para encontrarlos.
  • Espacio métrico completo
• Espacio topológico
  • Espacio funcional
    • Espacio de secuencia
• Espacio compacto

Medidas

• Medida de Lebesgue
• Medida exterior
  • Medida de Hausdorff
• Teorema de convergencia dominada : proporciona condiciones suficientes bajo las cuales dos procesos límite conmutan, a saber, la integración de Lebesgue y la convergencia casi total de una secuencia de funciones.

Campo de conjuntos

• Álgebra sigma

Personajes históricos

• Michel Rolle (1652-1719)
• Brook Taylor (1685-1731)
• Leonhard Euler (1707-1783)
• Joseph Louis Lagrange (1736-1813)
• José Fourier (1768-1830)
• Bernardo Bolzano (1781-1848)
• Augustin Cauchy (1789-1857)
• Niels Henrik Abel (1802–1829)
• Pedro Gustav Lejeune Dirichlet (1805–1859)
• Karl Weierstrass (1815-1897)
• Eduard Heine (1821-1881)
• Pafnuti Chebyshev (1821–1894)
• Leopoldo Kronecker (1823-1891)
• Bernhard Riemann (1826-1866)
• Richard Dedekind (1831-1916)
• Rudolf Lipschitz (1832-1903)
• Camille Jordan (1838-1922)
• Jean-Gaston Darboux (1842-1917)
• Georg Cantor (1845-1918)
• Ernesto Cesaro (1859-1906)
• Otto Hölder (1859-1937)
• Hermann Minkowski (1864-1909)
• Alfred Tauber (1866-1942)
• Félix Hausdorff (1868-1942)
• Émile Borel (1871-1956)
• Henri Lebesgue (1875-1941)
• Wacław Sierpiński (1882-1969)
• Johann Radon (1887-1956)
• Karl Menger (1902-1985)

Campos de análisis relacionados

• Análisis asintótico : estudia un método para describir el comportamiento límite.
• Análisis convexo : estudia las propiedades de las funciones convexas y los conjuntos convexos.
  • Lista de temas sobre convexidad
• Análisis armónico : estudia la representación de funciones o señales como superposiciones de ondas básicas.
  • Lista de temas de análisis armónico
• Análisis de Fourier : estudia las series de Fourier y las transformadas de Fourier
  • Lista de temas de análisis de Fourier
  • Lista de transformadas relacionadas con Fourier
• Análisis complejo : estudia la extensión del análisis real para incluir números complejos.
• Análisis funcional : estudia los espacios vectoriales dotados de estructuras relacionadas con el límite y los operadores lineales que actúan sobre estos espacios.
• Análisis no estándar : estudia el análisis matemático utilizando un tratamiento riguroso de los infinitesimales .

Véase también

• Cálculo , el cálculo clásico de Newton y Leibniz .
• Cálculo no estándar , una aplicación rigurosa de los infinitesimales , en el sentido de análisis no estándar , al cálculo clásico de Newton y Leibniz.