En matemáticas , la media geométrica armónica M( x , y ) de dos números reales positivos x e y se define de la siguiente manera: formamos la media geométrica de g 0 = x y h 0 = y y la llamamos g 1 , es decir, g 1 es la raíz cuadrada de xy . También formamos la media armónica de x e y y la llamamos h 1 , es decir, h 1 es el recíproco de la media aritmética de los recíprocos de x e y . Esto se puede hacer secuencialmente (en cualquier orden) o simultáneamente.
Ahora podemos iterar esta operación con g 1 en lugar de x y h 1 en lugar de y . De esta manera, se definen dos sucesiones interdependientes ( g n ) y ( h n ):
y
Ambas secuencias convergen al mismo número, que llamamos media geométrica armónica M( x , y ) de x e y . La media geométrica armónica también se denomina media geométrica armónica . (cf. Wolfram MathWorld a continuación).
La existencia del límite se puede demostrar mediante el teorema de Bolzano-Weierstrass de una manera casi idéntica a la prueba de la existencia de la media aritmético-geométrica .
M( x , y ) es un número entre la media geométrica y armónica de x e y ; en particular, está entre x e y . M( x , y ) también es homogéneo , es decir, si r > 0, entonces M( rx , ry ) = r M( x , y ).
Si AG( x , y ) es la media aritmético-geométrica , entonces también tenemos
Tenemos la siguiente desigualdad que involucra las medias pitagóricas { H , G , A } y las medias pitagóricas iteradas { HG , HA , GA }:
donde las medias pitagóricas iteradas se han identificado con sus partes { H , G , A } en orden progresivo:
