Teorema de Anderson

Sobre cuándo una función en un cuerpo convexo K no decrece si K se traslada hacia adentro

En matemáticas , el teorema de Anderson es un resultado del análisis real y la geometría que dice que la integral de una función integrable, simétrica, unimodal y no negativa f sobre un cuerpo convexo n -dimensional K no decrece si K se traslada hacia adentro, hacia el origen. Esta es una afirmación natural, ya que el gráfico de f puede considerarse como una colina con un solo pico sobre el origen; sin embargo, para n ≥ 2, la prueba no es del todo obvia, ya que puede haber puntos x del cuerpo K donde el valor f ( x ) sea mayor que en la correspondiente traslación de x .

El teorema de Anderson, llamado así en honor a Theodore Wilbur Anderson , también tiene una aplicación interesante en la teoría de la probabilidad .

Enunciado del teorema

Sea K un cuerpo convexo en el espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ que es simétrico con respecto a la reflexión en el origen, es decir K  = − K . Sea f  :  R ⁿ → R una función no negativa , simétrica e integrable globalmente; es decir

• f ( x ) ≥ 0 para todo x  ∈  R ⁿ ;
• f ( x ) = f (− x ) para todo x  ∈  R ⁿ ;
• ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x<+\infty .}$

Supongamos también que los conjuntos de supernivel L ( f ,  t ) de f , definidos por

${\displaystyle L(f,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}|f(x)\geq t\},}$

son subconjuntos convexos de R ⁿ para cada t  ≥ 0. (Esta propiedad a veces se denomina unimodal ). Entonces, para cualquier 0 ≤  c  ≤ 1 e y  ∈  R ⁿ ,

${\displaystyle \int _{K}f(x+cy)\,\mathrm {d} x\geq \int _{K}f(x+y)\,\mathrm {d} x.}$

Aplicación a la teoría de la probabilidad

Dado un espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr), supongamos que X  : Ω →  R ⁿ es una variable aleatoria de valor R ⁿ con función de densidad de probabilidad f  :  R ⁿ  → [0, +∞) y que Y  : Ω →  R ⁿ es una variable aleatoria independiente . Las funciones de densidad de probabilidad de muchas distribuciones de probabilidad conocidas son p - cóncavas para algún p , y por lo tanto unimodales. Si también son simétricas (por ejemplo, las distribuciones de Laplace y normal ), entonces se aplica el teorema de Anderson, en cuyo caso

${\displaystyle \Pr(X\in K)\geq \Pr(X+Y\in K)}$

para cualquier cuerpo convexo simétrico al origen K  ⊆  R ⁿ .

Referencias

• Gardner, Richard J. (2002). "La desigualdad de Brunn-Minkowski". Bull. Amer. Math. Soc. (NS) . 39 (3): 355–405 (electrónico). doi : 10.1090/S0273-0979-02-00941-2 .