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Teorema de Anderson

En matemáticas , el teorema de Anderson es un resultado del análisis real y la geometría que dice que la integral de una función integrable, simétrica, unimodal y no negativa f sobre un cuerpo convexo n -dimensional K no decrece si K se traslada hacia adentro, hacia el origen. Esta es una afirmación natural, ya que el gráfico de f puede considerarse como una colina con un solo pico sobre el origen; sin embargo, para n ≥ 2, la prueba no es del todo obvia, ya que puede haber puntos x del cuerpo K donde el valor f ( x ) sea mayor que en la correspondiente traslación de x .

El teorema de Anderson, llamado así en honor a Theodore Wilbur Anderson , también tiene una aplicación interesante en la teoría de la probabilidad .

Enunciado del teorema

Sea K un cuerpo convexo en el espacio euclidiano n - dimensional R n que es simétrico con respecto a la reflexión en el origen, es decir K  = − K . Sea f  :  R nR una función no negativa , simétrica e integrable globalmente; es decir

Supongamos también que los conjuntos de supernivel L ( ft ) de f , definidos por

son subconjuntos convexos de R n para cada t  ≥ 0. (Esta propiedad a veces se denomina unimodal ). Entonces, para cualquier 0 ≤  c  ≤ 1 e y  ∈  R n ,

Aplicación a la teoría de la probabilidad

Dado un espacio de probabilidad (Ω, Σ, Pr), supongamos que X  : Ω →  R n es una variable aleatoria de valor R n con función de densidad de probabilidad f  :  R n  → [0, +∞) y que Y  : Ω →  R n es una variable aleatoria independiente . Las funciones de densidad de probabilidad de muchas distribuciones de probabilidad conocidas son p - cóncavas para algún p , y por lo tanto unimodales. Si también son simétricas (por ejemplo, las distribuciones de Laplace y normal ), entonces se aplica el teorema de Anderson, en cuyo caso

para cualquier cuerpo convexo simétrico al origen K  ⊆  R n .

Referencias