Función cóncava

Negativo de una función convexa

En matemáticas , una función cóncava es aquella cuyo valor en cualquier combinación convexa de elementos del dominio es mayor o igual que la combinación convexa de esos elementos del dominio. De manera equivalente, una función cóncava es cualquier función cuyo hipógrafo es convexo. La clase de funciones cóncavas es, en cierto sentido, la opuesta a la clase de funciones convexas . Una función cóncava también se denomina , como sinónimos , cóncava hacia abajo , cóncava hacia abajo , convexa hacia arriba , convexa superior o convexa superior .

Definición

Se dice que una función de valor real en un intervalo (o, más generalmente, un conjunto convexo en el espacio vectorial ) es cóncava si, para cualquier y en el intervalo y para cualquier , ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}$

Una función se llama estrictamente cóncava si

${\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,}$

para cualquier y . ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle x\neq y}$

Para una función , esta segunda definición simplemente establece que para cada estrictamente entre y , el punto en el gráfico de está por encima de la línea recta que une los puntos y . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (z,f(z))}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (y,f(y))}$

Una función es cuasiconcava si los conjuntos de contorno superiores de la función son conjuntos convexos. ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}$

Propiedades

Una función cúbica es cóncava (mitad izquierda) cuando su primera derivada (roja) es monótonamente decreciente, es decir, su segunda derivada (naranja) es negativa, y convexa (mitad derecha) cuando su primera derivada es monótonamente creciente, es decir, su segunda derivada es positiva.

Funciones de una sola variable

1. Una función diferenciable f es (estrictamente) cóncava en un intervalo si y solo si su función derivada f ′ es (estrictamente) monótonamente decreciente en ese intervalo, es decir, una función cóncava tiene una pendiente no creciente (decreciente) . ^{[3] [4]}
2. Los puntos donde cambia la concavidad (entre cóncava y convexa ) son puntos de inflexión . ^[5]
3. Si f es dos veces diferenciable , entonces f es cóncava si y solo si f ′′ no es positiva (o, informalmente, si la " aceleración " no es positiva). Si f ′′ es negativa , entonces f es estrictamente cóncava, pero lo inverso no es cierto, como lo demuestra f ( x ) = − x ⁴ .
4. Si f es cóncava y diferenciable, entonces está acotada superiormente por su aproximación de Taylor de primer orden : ^[2] $${\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]}$$
5. Una función medible de Lebesgue en un intervalo C es cóncava si y solo si es cóncava en el punto medio, es decir, para cualquier x e y en C $${\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}$$
6. Si una función f es cóncava y f (0) ≥ 0 , entonces f es subaditiva en . Demostración: ${\displaystyle [0,\infty )}$
   • Como f es cóncava y 1 ≥ t ≥ 0 , dejando y = 0 tenemos $${\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}$$
   • Para : ${\displaystyle a,b\in [0,\infty )}$ $${\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}$$

Funciones denortevariables

1. Una función f es cóncava sobre un conjunto convexo si y solo si la función −f es una función convexa sobre el conjunto.
2. La suma de dos funciones cóncavas es en sí misma cóncava y también lo es el mínimo puntual de dos funciones cóncavas, es decir, el conjunto de funciones cóncavas en un dominio dado forman un semicuerpo .
3. Cerca de un máximo local estricto en el interior del dominio de una función, la función debe ser cóncava; como recíproco parcial, si la derivada de una función estrictamente cóncava es cero en algún punto, entonces ese punto es un máximo local.
4. Cualquier máximo local de una función cóncava es también un máximo global . Una función estrictamente cóncava tendrá como máximo un máximo global.

Ejemplos

• Las funciones y son cóncavas en sus dominios, al igual que sus segundas derivadas y son siempre negativas. ${\displaystyle f(x)=-x^{2}}$ ${\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle f''(x)=-2}$ ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$
• La función logaritmo es cóncava en su dominio , ya que su derivada es una función estrictamente decreciente. ${\displaystyle f(x)=\log {x}}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$
• Cualquier función afín es a la vez cóncava y convexa, pero ni estrictamente cóncava ni estrictamente convexa. ${\displaystyle f(x)=ax+b}$
• La función seno es cóncava en el intervalo . ${\displaystyle [0,\pi ]}$
• La función , donde es el determinante de una matriz no negativa definida B , es cóncava. ^[6] ${\displaystyle f(B)=\log |B|}$ ${\displaystyle |B|}$

Aplicaciones

• La curvatura de los rayos en el cálculo de la atenuación de las ondas de radio en la atmósfera implica funciones cóncavas.
• En la teoría de utilidad esperada para la elección en condiciones de incertidumbre , las funciones de utilidad cardinal de los tomadores de decisiones reacios al riesgo son cóncavas.
• En la teoría microeconómica , generalmente se supone que las funciones de producción son cóncavas en algunos o todos sus dominios, lo que resulta en rendimientos decrecientes de los factores de entrada. ^[7]
• En termodinámica y teoría de la información , la entropía es una función cóncava. En el caso de la entropía termodinámica, sin transición de fase, la entropía como función de variables extensivas es estrictamente cóncava. Si el sistema puede experimentar una transición de fase, y si se le permite dividirse en dos subsistemas de diferente fase ( separación de fases , p. ej. ebullición), los parámetros de entropía máxima de los subsistemas darán como resultado una entropía combinada precisamente en la línea recta entre las dos fases. Esto significa que la "entropía efectiva" de un sistema con transición de fase es la envolvente convexa de la entropía sin separación de fases; por lo tanto, la entropía de un sistema que incluya separación de fases no será estrictamente cóncava. ^[8]

Véase también

• Polígono cóncavo
• Desigualdad de Jensen
• Función logarítmicamente cóncava
• Función cuasiconcava
• Concavificación

Referencias

1. Lenhart, S.; Workman, JT (2007). Control óptimo aplicado a modelos biológicos . Serie de biología matemática y computacional. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
2. Varian, Hal R. (1992). Análisis microeconómico (3.ª ed.). Nueva York: Norton. pág. 489. ISBN 0-393-95735-7.OCLC 24847759  .
3. Rudin, Walter (1976). Análisis . pág. 101.
4. Gradshteyn, IS; Ryzhik, IM; Hays, DF (1 de julio de 1976). "Tabla de integrales, series y productos". Revista de tecnología de lubricación . 98 (3): 479. doi : 10.1115/1.3452897 . ISSN  0022-2305.
5. Hass, Joel (13 de marzo de 2017). Cálculo de Thomas. Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D., Thomas, George B. Jr. (George Brinton), 1914-2006. (Decimocuarta edición). [Estados Unidos]. pág. 203. ISBN 978-0-13-443898-6.OCLC 965446428  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
6. Portada, Thomas M. ; Thomas, JA (1988). "Desigualdades determinantes a través de la teoría de la información". Revista SIAM sobre análisis de matrices y aplicaciones . 9 (3): 384–392. doi :10.1137/0609033. S2CID  5491763.
7. Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2015). Matemáticas para economistas: un libro de texto introductorio. Oxford University Press. pp. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.
8. Callen, Herbert B.; Callen, Herbert B. (1985). "8.1: Estabilidad intrínseca de los sistemas termodinámicos". Termodinámica e introducción a la termostatística (2.ª ed.). Nueva York: Wiley. págs. 203–206. ISBN 978-0-471-86256-7.

Referencias adicionales

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Cuasi-concavidad". En Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Segunda ed.). Palgrave Macmillan. págs. 815–816. doi :10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Rao, Singiresu S. (2009). Optimización de ingeniería: teoría y práctica . John Wiley and Sons. pág. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.