Función cuasi-analítica

En matemáticas , una clase cuasi-analítica de funciones es una generalización de la clase de funciones analíticas reales basada en el siguiente hecho: si f es una función analítica en un intervalo [ a , b ] ⊂  R , y en algún punto f y todas sus derivadas son cero, entonces f es idénticamente cero en todos los [ a , b ]. Las clases cuasi-analíticas son clases más amplias de funciones para las cuales esta afirmación todavía es válida.

Definiciones

Sea una secuencia de números reales positivos. Entonces la clase de funciones Denjoy-Carleman C ^M ([ a , b ]) se define como aquellas f  ∈  C ^∞ ([ a , b ]) que satisfacen ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty }}$

${\displaystyle \left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leq A^{k+1}k!M_{k}}$

para todo x  ∈ [ a , b ], alguna constante A y todos los enteros no negativos k . Si M _k  = 1 esta es exactamente la clase de funciones analíticas reales en [ a , b ].

Se dice que la clase C ^M ([ a , b ]) es cuasi-analítica si siempre que f  ∈  C ^M ([ a , b ]) y

${\displaystyle {\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0}$

para algún punto x  ∈ [ a , b ] y todos los k , entonces f es idénticamente igual a cero.

Una función f se denomina función cuasi-analítica si f está en alguna clase cuasi-analítica.

Funciones cuasi-analíticas de varias variables

Para una función y múltiples índices , denotamos , y ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle j=(j_{1},j_{2},\ldots ,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n}}$

${\displaystyle D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \partial x_{n}^{j_{n}}}}}$

${\displaystyle j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!}$

y

${\displaystyle x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.}$

Entonces se llama cuasi-analítico en el conjunto abierto si para cada compacto existe una constante tal que ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subset U}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left|D^{j}f(x)\right|\leq A^{|j|+1}j!M_{|j|}}$

para todos los multiíndices y todos los puntos . ${\displaystyle j\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle x\in K}$

La clase Denjoy-Carleman de funciones de variables con respecto a la secuencia en el conjunto se puede denotar como , aunque abundan otras notaciones. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$

Se dice que la clase Denjoy-Carleman es cuasi-analítica cuando la única función en ella que tiene todas sus derivadas parciales iguales a cero en un punto es la función idénticamente igual a cero. ${\displaystyle C_{n}^{M}(U)}$

Se dice que una función de varias variables es cuasi-analítica cuando pertenece a una clase cuasi-analítica de Denjoy-Carleman.

Clases cuasi-analíticas con respecto a secuencias logarítmicamente convexas

En las definiciones anteriores es posible suponer que y que la secuencia no es decreciente. ${\displaystyle M_{1}=1}$ ${\displaystyle M_{k}}$

Se dice que la secuencia es logarítmicamente convexa si ${\displaystyle M_{k}}$

${\displaystyle M_{k+1}/M_{k}}$está aumentando.

Cuando es logarítmicamente convexo, entonces es creciente y ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle (M_{k})^{1/k}}$

${\displaystyle M_{r}M_{s}\leq M_{r+s}}$Para todos . ${\displaystyle (r,s)\in \mathbb {N} ^{2}}$

La clase cuasi-analítica con respecto a una secuencia logarítmicamente convexa satisface: ${\displaystyle C_{n}^{M}}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$Es un anillo. En particular, es cerrado bajo la multiplicación.
• ${\displaystyle C_{n}^{M}}$está cerrado bajo composición. Específicamente, si y , entonces . ${\displaystyle f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p}}$ ${\displaystyle g\in C_{p}^{M}}$ ${\displaystyle g\circ f\in C_{n}^{M}}$

El teorema de Denjoy-Carleman

El teorema de Denjoy-Carleman, demostrado por Carleman (1926) después de que Denjoy (1921) diera algunos resultados parciales, proporciona criterios sobre la sucesión M bajo la cual C ^M ([ a , b ]) es una clase cuasi-analítica. Afirma que las siguientes condiciones son equivalentes:

• C ^M ([ a , b ]) es cuasi-analítico.
• ${\displaystyle \sum 1/L_{j}=\infty }$dónde . ${\displaystyle L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})}$
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {1}{j}}(M_{j}^{*})^{-1/j}=\infty }$, donde M _j ^* es la secuencia log-convexa más grande limitada arriba por M _j .
• ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .}$

La prueba de que las dos últimas condiciones son equivalentes a la segunda utiliza la desigualdad de Carleman .

Ejemplo: Denjoy (1921) señaló que si M _n está dado por una de las secuencias

${\displaystyle 1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,}$

Entonces la clase correspondiente es cuasi-analítica. La primera secuencia da funciones analíticas.

Propiedades adicionales

Para una secuencia logarítmicamente convexa se cumplen las siguientes propiedades de la clase correspondiente de funciones: ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle C^{M}}$contiene las funciones analíticas, y es igual a ella si y sólo si ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty }$
• Si es otra secuencia logarítmicamente convexa, con para alguna constante , entonces . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{j}\leq C^{j}N_{j}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{M}\subset C^{N}}$
• ${\displaystyle C^{M}}$es estable bajo diferenciación si y sólo si . ${\displaystyle \sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty }$
• Para cualquier función infinitamente diferenciable existen anillos cuasi-analíticos y y elementos , y , tales que . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle C^{N}}$ ${\displaystyle g\in C^{M}}$ ${\displaystyle h\in C^{N}}$ ${\displaystyle f=g+h}$

División Weierstrass

Se dice que una función es regular de orden con respecto a si y . Dado regular de orden con respecto a , se dice que un anillo de funciones reales o complejas de variables satisface la división de Weierstrass con respecto a si para cada hay , y tal que ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d}}$ ${\displaystyle h(0)\neq 0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in A_{n}}$ ${\displaystyle q\in A}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2},\ldots ,h_{d-1}\in A_{n-1}}$

${\displaystyle f=gq+h}$con . ${\displaystyle h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}}$

Si bien el anillo de funciones analíticas y el anillo de series de potencias formales satisfacen la propiedad de división de Weierstrass, lo mismo no es cierto para otras clases cuasi-analíticas.

Si es logarítmicamente convexa y no es igual a la clase de función analítica, entonces no satisface la propiedad de división de Weierstrass con respecto a . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle C^{M}}$ ${\displaystyle g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2}}$

Referencias

• Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars
• Cohen, Paul J. (1968), "Una prueba sencilla del teorema de Denjoy-Carleman", The American Mathematical Monthly , 75 (1), Mathematical Association of America: 26–31, doi :10.2307/2315100, ISSN  0002-9890, JSTOR  2315100, MR  0225957
• Denjoy, A. (1921), "Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle", CR Acad. Ciencia. París , 173 : 1329-1331
• Hörmander, Lars (1990), El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Leont'ev, AF (2001) [1994], "Clase cuasi-analítica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Solomentsev, ED (2001) [1994], "Teorema de Carleman", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press