Teorema de la función implícita

Sobre la conversión de relaciones a funciones de varias variables reales

En cálculo multivariable , el teorema de la función implícita ^[a] es una herramienta que permite convertir relaciones en funciones de varias variables reales . Lo hace representando la relación como el gráfico de una función . Puede que no exista una única función cuyo gráfico pueda representar la relación entera, pero puede existir dicha función en una restricción del dominio de la relación. El teorema de la función implícita proporciona una condición suficiente para asegurar que exista dicha función.

Más precisamente, dado un sistema de m ecuaciones f _i  ( x ₁ , ..., x _n , y ₁ , ..., y _m ) = 0, i = 1, ..., m (a menudo abreviado como F ( x , y ) = 0 ), el teorema establece que, bajo una condición suave en las derivadas parciales (con respecto a cada y _i ) en un punto, las m variables y _i son funciones diferenciables de x _j en algún entorno del punto. Como estas funciones generalmente no se pueden expresar en forma cerrada , están definidas implícitamente por las ecuaciones, y esto motivó el nombre del teorema. ^[1]

En otras palabras, bajo una condición suave en las derivadas parciales, el conjunto de ceros de un sistema de ecuaciones es localmente el gráfico de una función .

Historia

A Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) se le atribuye la primera forma rigurosa del teorema de la función implícita. Ulisse Dini (1845-1918) generalizó la versión de variable real del teorema de la función implícita al contexto de funciones de cualquier número de variables reales. ^[2]

Primer ejemplo

El círculo unitario se puede especificar como la curva de nivel f ( x , y ) = 1 de la función f ( x , y ) = x ² + y ² . Alrededor del punto A, y se puede expresar como una función y ( x ) . En este ejemplo, esta función se puede escribir explícitamente ya que en muchos casos no existe tal expresión explícita, pero aún se puede hacer referencia a la función implícita y ( x ) . No existe tal función alrededor del punto B. Sin embargo, en B es posible escribir una función x ( y ) que describa el conjunto solución localmente. ${\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}};}$

Si definimos la función f ( x , y ) = x ² + y ² , entonces la ecuación f ( x , y ) = 1 elimina el círculo unitario como el conjunto de niveles {( x , y ) | f ( x , y ) = 1} . No hay forma de representar el círculo unitario como el gráfico de una función de una variable y = g ( x ) porque para cada elección de x ∈ (−1, 1) , hay dos opciones de y , a saber . ${\displaystyle \pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$

Sin embargo, es posible representar parte del círculo como el gráfico de una función de una variable. Si hacemos que −1 ≤ x ≤ 1 , entonces el gráfico de y = g ₁ ( x ) proporciona la mitad superior del círculo. De manera similar, si , entonces el gráfico de y = g ₂ ( x ) proporciona la mitad inferior del círculo. ${\displaystyle g_{1}(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$ ${\displaystyle g_{2}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}}$

El propósito del teorema de la función implícita es decirnos que funciones como g ₁ ( x ) y g ₂ ( x ) casi siempre existen, incluso en situaciones en las que no podemos escribir fórmulas explícitas. Garantiza que g ₁ ( x ) y g ₂ ( x ) son diferenciables, y funciona incluso en situaciones en las que no tenemos una fórmula para f ( x , y ) .

Definiciones

Sea una función continuamente diferenciable . Pensamos en como el producto cartesiano y escribimos un punto de este producto como Partiendo de la función dada , nuestro objetivo es construir una función cuyo gráfico sea precisamente el conjunto de todas las funciones tales que . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots y_{m}).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle ({\textbf {x}},g({\textbf {x}}))}$ ${\displaystyle ({\textbf {x}},{\textbf {y}})}$ ${\displaystyle f({\textbf {x}},{\textbf {y}})={\textbf {0}}}$

Como se señaló anteriormente, esto no siempre es posible. Por lo tanto, fijaremos un punto que satisfaga , y solicitaremos un que funcione cerca del punto . En otras palabras, queremos un conjunto abierto que contenga , un conjunto abierto que contenga , y una función tal que el gráfico de satisfaga la relación en , y que ningún otro punto dentro de ella lo haga. En símbolos, ${\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})}$ ${\displaystyle f({\textbf {a}},{\textbf {b}})={\textbf {0}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})}$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ ${\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle {\textbf {b}}}$ ${\displaystyle g:U\to V}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f={\textbf {0}}}$ ${\displaystyle U\times V}$ ${\displaystyle U\times V}$

$${\displaystyle \{(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\mid \mathbf {x} \in U\}=\{(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\in U\times V\mid f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\mathbf {0} \}.}$$

Para enunciar el teorema de la función implícita, necesitamos la matriz jacobiana de , que es la matriz de las derivadas parciales de . Abreviada como , la matriz jacobiana es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})}$ ${\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})}$

$${\displaystyle (Df)(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\begin{array}{ccc|ccc}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{1}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )&\cdots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial y_{m}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c|c}X&Y\end{array}}\right]}$$

donde es la matriz de derivadas parciales en las variables y es la matriz de derivadas parciales en las variables . El teorema de la función implícita dice que si es una matriz invertible, entonces hay , y como se desee. Al escribir todas las hipótesis juntas se obtiene la siguiente afirmación. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g}$

Enunciado del teorema

Sea una función continuamente diferenciable , y tenga coordenadas . Fijemos un punto con , donde es el vector cero. Si la matriz jacobiana (este es el panel de la derecha de la matriz jacobiana mostrada en la sección anterior): es invertible , entonces existe un conjunto abierto que contiene tales que existe una función única tal que , y . Además, es continuamente diferenciable y , denotando el panel de la izquierda de la matriz jacobiana mostrada en la sección anterior como: la matriz jacobiana de derivadas parciales de en está dada por el producto matricial : ^[3] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m}}$ ${\displaystyle ({\textbf {x}},{\textbf {y}})}$ ${\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})=(a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{m})}$ ${\displaystyle f({\textbf {a}},{\textbf {b}})=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} \in \mathbb {R} ^{m}}$ $${\displaystyle J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial y_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right]}$$ ${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ ${\displaystyle g:U\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle g(\mathbf {a} )=\mathbf {b} }$ ${\displaystyle f(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))=\mathbf {0} ~{\text{for all}}~\mathbf {x} \in U}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=\left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\right],}$$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \left[{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {x} )\right]_{m\times n}=-\left[J_{f,\mathbf {y} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times m}^{-1}\,\left[J_{f,\mathbf {x} }(\mathbf {x} ,g(\mathbf {x} ))\right]_{m\times n}}$$

Derivadas superiores

Si, además, es analítico o continuamente diferenciable veces en un entorno de , entonces se puede elegir para que lo mismo sea cierto para dentro de . ^[4] En el caso analítico, esto se llama teorema de función implícita analítica . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ({\textbf {a}},{\textbf {b}})}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$

Prueba para el caso 2D

Supongamos que es una función continuamente diferenciable que define una curva . Sea un punto en la curva. El enunciado del teorema anterior puede reescribirse para este caso simple de la siguiente manera: ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle F(\mathbf {r} )=F(x,y)=0}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Teorema  —  Si entonces en un entorno del punto podemos escribir , donde es una función real. $${\displaystyle \left.{\frac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0}$$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle f}$

Demostración. Como es diferenciable escribimos la diferencial de mediante derivadas parciales: ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \mathrm {d} F=\operatorname {grad} F\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} ={\frac {\partial F}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial F}{\partial y}}\mathrm {d} y.}$$

Dado que estamos restringidos al movimiento en la curva y por suposición alrededor del punto (ya que es continua en y ), tenemos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden : ${\displaystyle F=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial F}{\partial y}}\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial F}{\partial y}}}$ ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle \left.{\tfrac {\partial F}{\partial y}}\right|_{(x_{0},y_{0})}\neq 0}$ $${\displaystyle \partial _{x}F\mathrm {d} x+\partial _{y}F\mathrm {d} y=0,\quad y(x_{0})=y_{0}}$$

Ahora estamos buscando una solución para esta EDO en un intervalo abierto alrededor del punto para el cual, en cada punto de él, . Dado que es continuamente diferenciable y a partir del supuesto tenemos ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle \partial _{y}F\neq 0}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle |\partial _{x}F|<\infty ,|\partial _{y}F|<\infty ,\partial _{y}F\neq 0.}$$

De esto sabemos que es continua y acotada en ambos extremos. De aquí sabemos que es Lipschitz continua tanto en como en . Por lo tanto, por el teorema de Cauchy-Lipschitz , existe una única que es la solución de la EDO dada con las condiciones iniciales. QED ${\displaystyle {\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\partial _{x}F}{\partial _{y}F}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y(x)}$

El ejemplo del círculo

Volvamos al ejemplo del círculo unitario . En este caso n = m = 1 y . La matriz de derivadas parciales es simplemente una matriz 1 × 2, dada por ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1}$ $${\displaystyle (Df)(a,b)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)&{\dfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2a&2b\end{bmatrix}}}$$

Así, aquí, la Y en el enunciado del teorema es simplemente el número 2 b ; la función lineal definida por él es invertible si y sólo si b ≠ 0 . Por el teorema de la función implícita vemos que podemos escribir localmente el círculo en la forma y = g ( x ) para todos los puntos donde y ≠ 0 . Para (±1, 0) nos encontramos con problemas, como se señaló antes. El teorema de la función implícita todavía puede aplicarse a estos dos puntos, escribiendo x como una función de y , es decir, ; ahora el gráfico de la función será , ya que donde b = 0 tenemos a = 1 , y se satisfacen las condiciones para expresar localmente la función en esta forma. ${\displaystyle x=h(y)}$ ${\displaystyle \left(h(y),y\right)}$

La derivada implícita de y con respecto a x , y la de x con respecto a y , se pueden encontrar diferenciando totalmente la función implícita e igualándola a 0: dando y ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1}$ $${\displaystyle 2x\,dx+2y\,dy=0,}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x}{y}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {y}{x}}.}$$

Aplicación: cambio de coordenadas

Supongamos que tenemos un espacio m -dimensional, parametrizado por un conjunto de coordenadas . Podemos introducir un nuevo sistema de coordenadas proporcionando m funciones, cada una de ellas continuamente diferenciable. Estas funciones nos permiten calcular las nuevas coordenadas de un punto, dadas las antiguas coordenadas del punto utilizando . Uno podría querer verificar si lo opuesto es posible: dadas las coordenadas , ¿podemos 'regresar' y calcular las coordenadas originales del mismo punto ? El teorema de la función implícita proporcionará una respuesta a esta pregunta. Las coordenadas (nuevas y antiguas) están relacionadas por f = 0, con Ahora la matriz jacobiana de f en un cierto punto ( a , b ) [ donde ] está dada por donde I _m denota la matriz identidad m × m , y J es la matriz m × m de derivadas parciales, evaluada en ( a , b ). (En lo anterior, estos bloques se denotaron por X e Y. Como sucede, en esta aplicación particular del teorema, ninguna matriz depende de a .) El teorema de la función implícita ahora establece que podemos expresar localmente como una función de si J es invertible. Exigir que J sea invertible es equivalente a det J ≠ 0, por lo tanto, vemos que podemos volver de las coordenadas primas a las no primas si el determinante del jacobiano J no es cero. Esta afirmación también se conoce como el teorema de la función inversa . ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ ${\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}$ ${\displaystyle h_{1}\ldots h_{m}}$ ${\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ ${\displaystyle x'_{1}=h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,x'_{m}=h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ ${\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ ${\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})}$ $${\displaystyle f(x'_{1},\ldots ,x'_{m},x_{1},\ldots ,x_{m})=(h_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{1},\ldots ,h_{m}(x_{1},\ldots ,x_{m})-x'_{m}).}$$ ${\displaystyle a=(x'_{1},\ldots ,x'_{m}),b=(x_{1},\ldots ,x_{m})}$ $${\displaystyle (Df)(a,b)=\left[{\begin{matrix}-1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &-1\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{1}}{\partial x_{m}}}(b)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{1}}}(b)&\cdots &{\frac {\partial h_{m}}{\partial x_{m}}}(b)\\\end{matrix}}\right.\right]=[-I_{m}|J].}$$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ ${\displaystyle (x'_{1},\ldots ,x'_{m})}$

Ejemplo: coordenadas polares

Como una aplicación simple de lo anterior, considere el plano, parametrizado por coordenadas polares ( R , θ ) . Podemos ir a un nuevo sistema de coordenadas ( coordenadas cartesianas ) definiendo las funciones x ( R , θ ) = R cos( θ ) e y ( R , θ ) = R sin( θ ) . Esto hace posible dado cualquier punto ( R , θ ) encontrar las coordenadas cartesianas correspondientes ( x , y ) . ¿Cuándo podemos volver atrás y convertir las coordenadas cartesianas en coordenadas polares? Por el ejemplo anterior, es suficiente tener det J ≠ 0 , con Dado que det J = R , la conversión de vuelta a coordenadas polares es posible si R ≠ 0 . Así que queda comprobar el caso R = 0 . Es fácil ver que en el caso R = 0 , nuestra transformación de coordenadas no es invertible: en el origen, el valor de θ no está bien definido. $${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial x(R,\theta )}{\partial \theta }}\\{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial R}}&{\frac {\partial y(R,\theta )}{\partial \theta }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-R\sin \theta \\\sin \theta &R\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

Generalizaciones

Versión espacial de Banach

Basado en el teorema de función inversa en espacios de Banach , es posible extender el teorema de función implícita a las asignaciones con valores en espacios de Banach. ^{[5] [6]}

Sean X , Y , Z espacios de Banach . Sea la función f  : X × Y → Z continuamente diferenciable de Fréchet . Si , , y es un isomorfismo de espacio de Banach de Y sobre Z , entonces existen vecindades U de x ₀ y V de y ₀ y una función diferenciable de Fréchet g  : U → V tal que f ( x , g ( x )) = 0 y f ( x , y ) = 0 si y solo si y = g ( x ), para todo . ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in X\times Y}$ ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ ${\displaystyle y\mapsto Df(x_{0},y_{0})(0,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\in U\times V}$

Funciones implícitas a partir de funciones no diferenciables

Existen varias formas del teorema de la función implícita para el caso en que la función f no es diferenciable. Es habitual que la monotonía estricta local sea suficiente en una dimensión. ^[7] La ​​siguiente forma más general fue demostrada por Kumagai basándose en una observación de Jittorntrum. ^{[8] [9]}

Considérese una función continua tal que . Si existen entornos abiertos y de x ₀ e y ₀ , respectivamente, tales que, para todo y en B , es localmente biyáctico, entonces existen entornos abiertos y de x ₀ e y ₀ , tales que, para todo , la ecuación f ( x , y ) = 0 tiene una solución única donde g es una función continua de B ₀ en A ₀ . ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=0}$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(\cdot ,y):A\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{0}\subset \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle y\in B_{0}}$ $${\displaystyle x=g(y)\in A_{0},}$$

Colectores colapsantes

El teorema de colapso de Perelman para 3-variedades , la piedra angular de su prueba de la conjetura de geometrización de Thurston , puede entenderse como una extensión del teorema de la función implícita. ^[10]

Véase también

• Teorema de la función inversa
• Teorema de rango constante : tanto el teorema de la función implícita como el teorema de la función inversa pueden considerarse casos especiales del teorema de rango constante.

Notas

1. También llamado teorema de Dini por la escuela pisana en Italia. En la literatura en lengua inglesa, el teorema de Dini es un teorema diferente en el análisis matemático.

Referencias

1. Chiang, Alpha C. (1984). Métodos fundamentales de economía matemática (3.ª ed.). McGraw-Hill. pp. 204–206. ISBN 0-07-010813-7.
2. Krantz, Steven; Parks, Harold (2003). El teorema de la función implícita . Clásicos modernos de Birkhauser. Birkhauser. ISBN 0-8176-4285-4.
3. de Oliveira, Oswaldo (2013). "Los teoremas de la función implícita y de la función inversa: demostraciones sencillas". Real Anal. Exchange . 39 (1): 214–216. arXiv : 1212.2066 . doi :10.14321/realanalexch.39.1.0207. S2CID  118792515.
4. Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). De funciones holomorfas a variedades complejas. Saltador. pag. 34.ISBN​ 9780387953953.
5. Lang, Serge (1999). Fundamentos de geometría diferencial . Textos de posgrado en matemáticas. Nueva York: Springer. pp. 15-21. ISBN 0-387-98593-X.
6. Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Cálculo avanzado de varias variables . Mineola, Nueva York: Dover Publications. pp. 417–418. ISBN 0-486-68336-2.
7. Kudryavtsev, Lev Dmitrievich (2001) [1994], "Función implícita", Enciclopedia de matemáticas , EMS Press
8. Jittorntrum, K. (1978). "Un teorema de función implícita". Revista de teoría y aplicaciones de optimización . 25 (4): 575–577. doi :10.1007/BF00933522. S2CID  121647783.
9. Kumagai, S. (1980). "Un teorema de función implícita: comentario". Revista de teoría y aplicaciones de optimización . 31 (2): 285–288. doi :10.1007/BF00934117. S2CID  119867925.
10. Cao, Jianguo; Ge, Jian (2011). "Una prueba simple del teorema de colapso de Perelman para 3 variedades". J. Geom. Anal . 21 (4): 807–869. arXiv : 1003.2215 . doi :10.1007/s12220-010-9169-5. S2CID  514106.

Lectura adicional

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Teoremas sobre funciones diferenciables". Cálculo de varias variables y variedades diferenciables . Nueva York: Macmillan. pp. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Binmore, KG (1983). "Funciones implícitas". Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Loomis, Lynn H. ; Sternberg, Shlomo (1990). Cálculo avanzado (edición revisada). Boston: Jones y Bartlett. págs. 164-171. ISBN 0-86720-122-3.
• Protter, Murray H. ; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Teoremas de funciones implícitas. Jacobianos". Cálculo intermedio (2.ª ed.). Nueva York: Springer. págs. 390–420. ISBN 0-387-96058-9.