El barón Augustin-Louis Cauchy FRS FRSE ( Reino Unido : / ˈkoʊʃi / KOH -shee , / ˈkaʊʃi / KOW -shee , [1] [ 2] Estados Unidos : / koʊˈʃiː / koh- SHEE ; [2] [ 3 ] Francés : [ oɡystɛ̃lwi koʃi ] ; 21 de agosto de 1789 - 23 de mayo de 1857) fue un matemático , ingeniero y físico francés . Fue uno de los primeros en enunciar y demostrar rigurosamente los teoremas clave del cálculo (creando así el análisis real ), fue pionero en el análisis complejo de campo y en el estudio de los grupos de permutación en álgebra abstracta . Cauchy también contribuyó a varios temas de física matemática, en particular la mecánica del medio continuo .
Cauchy, un matemático profundo, tuvo una gran influencia sobre sus contemporáneos y sucesores; [4] Hans Freudenthal afirmó:
Cauchy fue un trabajador prolífico; escribió aproximadamente ochocientos artículos de investigación y cinco libros de texto completos sobre una variedad de temas en los campos de las matemáticas y la física matemática .
Cauchy era hijo de Louis François Cauchy (1760-1848) y Marie-Madeleine Desestre. Cauchy tenía dos hermanos: Alexandre Laurent Cauchy (1792-1857), que se convirtió en presidente de una división del tribunal de apelación en 1847 y juez del tribunal de casación en 1849, y Eugène François Cauchy (1802-1877), un publicista que también escribió varias obras matemáticas. Desde su infancia fue bueno en matemáticas.
Cauchy se casó en 1818 con Aloise de Bure, pariente cercana del editor que publicó la mayoría de las obras de Cauchy. Tuvieron dos hijas: Marie Françoise Alicia (1819) y Marie Mathilde (1823).
El padre de Cauchy era un oficial de alto rango en la policía parisina del Antiguo Régimen , pero perdió su puesto debido a la Revolución Francesa (14 de julio de 1789), que estalló un mes antes de que naciera Augustin-Louis. [a] La familia Cauchy sobrevivió a la revolución y al siguiente Reinado del Terror durante 1793-94 escapando a Arcueil , donde Cauchy recibió su primera educación de su padre. [6] Después de la ejecución de Robespierre en 1794, la familia pudo regresar a París sin peligro. Allí, Louis-François Cauchy encontró un trabajo burocrático en 1800, [7] y rápidamente avanzó en su carrera. Cuando Napoleón llegó al poder en 1799, Louis-François Cauchy fue promovido aún más y se convirtió en Secretario General del Senado, trabajando directamente bajo Laplace (quien ahora es más conocido por su trabajo en física matemática). El matemático Lagrange también era amigo de la familia Cauchy. [4]
Por consejo de Lagrange, Augustin-Louis se matriculó en la École Centrale du Panthéon , la mejor escuela secundaria de París en aquel momento, en el otoño de 1802. [6] La mayor parte del plan de estudios consistía en lenguas clásicas; el ambicioso Cauchy, siendo un estudiante brillante, ganó muchos premios en latín y humanidades. A pesar de estos éxitos, Cauchy eligió una carrera de ingeniería y se preparó para el examen de ingreso a la École Polytechnique .
En 1805, obtuvo el segundo puesto entre 293 aspirantes en este examen y fue admitido. [6] Uno de los principales objetivos de esta escuela era dar a los futuros ingenieros civiles y militares una educación científica y matemática de alto nivel. La escuela funcionaba bajo la disciplina militar, lo que le causó a Cauchy algunos problemas de adaptación. Sin embargo, completó el curso en 1807, a los 18 años, y pasó a la École des Ponts et Chaussées (Escuela de Puentes y Caminos). Se graduó en ingeniería civil, con los más altos honores.
Tras terminar la escuela en 1810, Cauchy aceptó un trabajo como ingeniero auxiliar en Cherburgo, donde Napoleón pretendía construir una base naval. Allí permaneció durante tres años, y se le asignó el proyecto del canal de Ourcq y el proyecto del puente de Saint-Cloud , y trabajó en el puerto de Cherburgo. [6] Aunque tenía un trabajo de gestión extremadamente ajetreado, aún encontró tiempo para preparar tres manuscritos matemáticos, que presentó a la Première Classe (Primera Clase) del Institut de France . [b] Los dos primeros manuscritos de Cauchy (sobre poliedros ) fueron aceptados; el tercero (sobre directrices de secciones cónicas ) fue rechazado.
En septiembre de 1812, a los 23 años, Cauchy regresó a París después de enfermarse por exceso de trabajo. [6] Otra razón para su regreso a la capital fue que estaba perdiendo interés en su trabajo de ingeniería, atraído cada vez más por la belleza abstracta de las matemáticas; en París, tendría muchas más posibilidades de encontrar un puesto relacionado con las matemáticas. Cuando su salud mejoró en 1813, Cauchy decidió no regresar a Cherburgo. [6] Aunque formalmente mantuvo su puesto de ingeniero, fue transferido de la nómina del Ministerio de Marina al Ministerio del Interior. Los siguientes tres años Cauchy estuvo principalmente de baja por enfermedad sin goce de sueldo; pasó su tiempo fructíferamente, trabajando en matemáticas (en los temas relacionados con las funciones simétricas , el grupo simétrico y la teoría de ecuaciones algebraicas de orden superior). Cauchy intentó ingresar en la primera clase del Instituto de Francia, pero fracasó en tres ocasiones diferentes entre 1813 y 1815. En 1815, Napoleón fue derrotado en Waterloo y el recién instalado rey Luis XVIII tomó la iniciativa de restaurarlo. La Academia de Ciencias se restableció en marzo de 1816; Lazare Carnot y Gaspard Monge fueron expulsados de esta academia por razones políticas y el rey nombró a Cauchy para que ocupara el lugar de uno de ellos. La reacción de los pares de Cauchy fue dura; consideraron que la aceptación de su membresía en la academia era un ultraje y Cauchy se creó muchos enemigos en los círculos científicos.
En noviembre de 1815, Louis Poinsot , que era profesor asociado en la École Polytechnique, pidió ser eximido de sus funciones docentes por razones de salud. Cauchy era por entonces una estrella matemática en ascenso. Uno de sus grandes éxitos en ese momento fue la demostración del teorema del número poligonal de Fermat . Dejó su trabajo de ingeniero y recibió un contrato de un año para enseñar matemáticas a los estudiantes de segundo año de la École Polytechnique. En 1816, esta escuela bonapartista y no religiosa fue reorganizada y varios profesores liberales fueron despedidos; Cauchy fue ascendido a profesor titular.
Cuando Cauchy tenía 28 años, todavía vivía con sus padres. Su padre consideró que era el momento de que su hijo se casara y le encontró una esposa adecuada, Aloïse de Bure, cinco años menor que él. La familia de Bure eran impresores y libreros, y publicaron la mayoría de las obras de Cauchy. [8] Aloïse y Augustin se casaron el 4 de abril de 1818, con una gran ceremonia católica romana, en la iglesia de Saint-Sulpice. En 1819 nació la primera hija de la pareja, Marie Françoise Alicia, y en 1823 la segunda y última hija, Marie Mathilde. [9]
El clima político conservador que duró hasta 1830 le vino muy bien a Cauchy. En 1824 murió Luis XVIII y fue sucedido por su hermano, Carlos X, aún más conservador . Durante estos años Cauchy fue muy productivo y publicó un importante tratado matemático tras otro. Recibió nombramientos cruzados en el Collège de France y en la Facultad de Ciencias de París .
En julio de 1830, se produjo en Francia la Revolución de Julio . Carlos X huyó del país y fue sucedido por Luis Felipe . Cerca de la casa de Cauchy en París se produjeron disturbios en los que participaron activamente estudiantes uniformados de la Escuela Politécnica.
Estos acontecimientos marcaron un punto de inflexión en la vida de Cauchy y una ruptura en su productividad matemática. Conmocionado por la caída del gobierno y movido por un profundo odio hacia los liberales que estaban tomando el poder, Cauchy abandonó Francia para irse al extranjero, dejando atrás a su familia. [10] Pasó un corto tiempo en Friburgo , Suiza, donde tuvo que decidir si haría el juramento de lealtad requerido al nuevo régimen. Se negó a hacerlo y, en consecuencia, perdió todos sus puestos en París, excepto su membresía en la academia, para la cual no se requería juramento. En 1831 Cauchy fue a la ciudad italiana de Turín y, después de un tiempo allí, aceptó una oferta del rey de Cerdeña (que gobernaba Turín y la región circundante del Piamonte) para una cátedra de física teórica, que fue creada especialmente para él. Enseñó en Turín durante 1832-1833. En 1831, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias , y al año siguiente miembro honorario extranjero de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias . [11]
En agosto de 1833 Cauchy abandonó Turín para ir a Praga y convertirse en el tutor de ciencias del duque de Burdeos, Henri d'Artois (1820-1883), de trece años, príncipe heredero exiliado y nieto de Carlos X. [12] Como profesor de la École Polytechnique, Cauchy había sido notoriamente malo dando conferencias, asumiendo niveles de comprensión que solo unos pocos de sus mejores estudiantes podían alcanzar, y atiborrando su tiempo asignado con demasiado material. Henri d'Artois no tenía ni gusto ni talento para las matemáticas ni para la ciencia. Aunque Cauchy se tomó su misión muy en serio, lo hizo con gran torpeza y con una sorprendente falta de autoridad sobre Henri d'Artois. Durante sus días de ingeniero civil, Cauchy una vez había estado a cargo brevemente de la reparación de algunas de las alcantarillas parisinas, y cometió el error de mencionar esto a su alumno; con gran malicia, Henri d'Artois dijo por ahí que Cauchy comenzó su carrera en las alcantarillas de París. El papel de tutor de Cauchy duró hasta que Henri d'Artois cumplió dieciocho años, en septiembre de 1838. [10] Cauchy apenas realizó investigaciones durante esos cinco años, mientras que Henri d'Artois adquirió una aversión permanente por las matemáticas. Cauchy fue nombrado barón , un título al que Cauchy le daba gran importancia.
En 1834, su esposa y sus dos hijas se mudaron a Praga y Cauchy se reunió con su familia después de cuatro años de exilio.
Cauchy regresó a París y a su puesto en la Academia de Ciencias a finales de 1838. [10] No pudo recuperar sus puestos de profesor porque todavía se negaba a prestar juramento de lealtad.
En agosto de 1839 se produjo una vacante en el Bureau des Longitudes . Este Bureau guardaba cierta semejanza con la academia; por ejemplo, tenía derecho a cooptar a sus miembros. Además, se creía que los miembros del Bureau podían "olvidarse" del juramento de lealtad, aunque formalmente, a diferencia de los académicos, estaban obligados a prestarlo. El Bureau des Longitudes era una organización fundada en 1795 para resolver el problema de determinar la posición en el mar, principalmente la coordenada longitudinal , ya que la latitud se determina fácilmente a partir de la posición del sol. Dado que se pensaba que la posición en el mar se determinaba mejor mediante observaciones astronómicas, el Bureau se había convertido en una organización parecida a una academia de ciencias astronómicas.
En noviembre de 1839, Cauchy fue elegido miembro del Bureau y descubrió que no era tan fácil prescindir del asunto del juramento. Sin su juramento, el rey se negó a aprobar su elección. Durante cuatro años, Cauchy estuvo en la posición de ser elegido pero no aprobado; en consecuencia, no era un miembro formal del Bureau, no recibía pago, no podía participar en reuniones y no podía presentar documentos. Aun así, Cauchy se negó a prestar juramento; sin embargo, se sentía lo suficientemente leal como para dirigir su investigación hacia la mecánica celeste . En 1840, presentó una docena de documentos sobre este tema a la academia. Describió e ilustró la representación de números con dígitos con signo , una innovación presentada en Inglaterra en 1727 por John Colson . La confusa membresía del Bureau duró hasta fines de 1843, cuando Cauchy fue reemplazado por Poinsot.
A lo largo del siglo XIX, el sistema educativo francés se vio envuelto en una lucha por la separación de la Iglesia y el Estado. Tras perder el control del sistema de educación pública, la Iglesia católica trató de establecer su propia rama de la educación y encontró en Cauchy un aliado fiel e ilustre. Prestó su prestigio y sus conocimientos a la École Normale Écclésiastique, una escuela de París dirigida por jesuitas, para la formación de profesores para sus colegios. Participó en la fundación del Institut Catholique . El propósito de este instituto era contrarrestar los efectos de la ausencia de educación universitaria católica en Francia. Estas actividades no hicieron que Cauchy fuera popular entre sus colegas, quienes, en general, apoyaban los ideales de la Ilustración de la Revolución Francesa. Cuando una cátedra de matemáticas quedó vacante en el Collège de France en 1843, Cauchy solicitó la plaza, pero recibió solo tres de los 45 votos.
En 1848, el rey Luis Felipe huyó a Inglaterra. El juramento de lealtad fue abolido y el camino hacia un puesto académico quedó libre para Cauchy. El 1 de marzo de 1849, fue reinstalado en la Facultad de Ciencias, como profesor de astronomía matemática. Después de la agitación política que se vivió durante todo 1848, Francia decidió convertirse en una República, bajo la presidencia de Napoleón III de Francia . A principios de 1852, el presidente se autoproclamó Emperador de Francia y adoptó el nombre de Napoleón III .
En los círculos burocráticos surgió la idea de que sería útil volver a exigir un juramento de lealtad a todos los funcionarios estatales, incluidos los profesores universitarios. Esta vez, un ministro del gabinete logró convencer al emperador de que eximiera a Cauchy de dicho juramento. En 1853, Cauchy fue elegido miembro internacional de la Sociedad Filosófica Americana . [13] Cauchy siguió siendo profesor en la universidad hasta su muerte a la edad de 67 años. Recibió los últimos sacramentos y murió de una afección bronquial a las 4 de la mañana del 23 de mayo de 1857. [10]
Su nombre es uno de los 72 nombres inscritos en la Torre Eiffel .
El genio de Cauchy quedó ilustrado en su sencilla solución del problema de Apolonio —que describe un círculo que toca tres círculos dados— que descubrió en 1805, su generalización de la fórmula de Euler sobre poliedros en 1811, y en varios otros problemas elegantes. Más importante es su autobiografía sobre la propagación de ondas , que obtuvo el Gran Premio de la Academia Francesa de Ciencias en 1816. Los escritos de Cauchy cubrieron temas notables. En la teoría de series desarrolló la noción de convergencia y descubrió muchas de las fórmulas básicas para las series q . En la teoría de números y cantidades complejas, fue el primero en definir los números complejos como pares de números reales. También escribió sobre la teoría de grupos y sustituciones, la teoría de funciones, ecuaciones diferenciales y determinantes. [4]
En la teoría de la luz trabajó en la teoría ondulatoria de Fresnel y en la dispersión y polarización de la luz. También contribuyó a la investigación en mecánica , sustituyendo la noción de continuidad de los desplazamientos geométricos por el principio de continuidad de la materia. [14] Escribió sobre el equilibrio de varillas y membranas elásticas y sobre ondas en medios elásticos. Introdujo una matriz simétrica de números 3 × 3 que ahora se conoce como el tensor de tensión de Cauchy . [15] En elasticidad , originó la teoría de la tensión , y sus resultados son casi tan valiosos como los de Siméon Poisson . [4]
Otras contribuciones significativas incluyen ser el primero en demostrar el teorema del número poligonal de Fermat .
Cauchy es más famoso por su desarrollo en solitario de la teoría de funciones complejas . El primer teorema fundamental demostrado por Cauchy, ahora conocido como el teorema integral de Cauchy , fue el siguiente:
donde f ( z ) es una función compleja holomorfa sobre y dentro de la curva cerrada no autointersecante C (contorno) que se encuentra en el plano complejo . La integral de contorno se toma a lo largo del contorno C . Los rudimentos de este teorema ya se pueden encontrar en un artículo que Cauchy, de 24 años, presentó en la Académie des Sciences (entonces todavía llamada "Primera Clase del Instituto") el 11 de agosto de 1814. En su forma completa, el teorema se dio en 1825. [16]
En 1826 Cauchy dio una definición formal de residuo de una función. [17] Este concepto se refiere a funciones que tienen polos —singularidades aisladas, es decir, puntos donde una función tiende al infinito positivo o negativo. Si la función de valor complejo f ( z ) se puede desarrollar en la vecindad de una singularidad a como
donde φ( z ) es analítica (es decir, se comporta bien sin singularidades), entonces se dice que f tiene un polo de orden n en el punto a . Si n = 1, el polo se llama simple. El coeficiente B 1 es llamado por Cauchy el residuo de la función f en a . Si f no es singular en a entonces el residuo de f es cero en a . Claramente, el residuo es en el caso de un polo simple igual a
donde reemplazamos B 1 por la notación moderna del residuo.
En 1831, mientras estaba en Turín, Cauchy presentó dos artículos a la Academia de Ciencias de Turín. En el primero [18] propuso la fórmula que ahora se conoce como fórmula integral de Cauchy ,
donde f ( z ) es analítica en C y dentro de la región limitada por el contorno C y el número complejo a está en algún lugar de esta región. La integral del contorno se toma en sentido antihorario. Claramente, el integrando tiene un polo simple en z = a . En el segundo artículo [19] presentó el teorema del residuo ,
donde la suma es sobre todos los n polos de f ( z ) en y dentro del contorno C . Estos resultados de Cauchy todavía forman el núcleo de la teoría de funciones complejas tal como se enseña hoy en día a los físicos e ingenieros eléctricos. Durante bastante tiempo, los contemporáneos de Cauchy ignoraron su teoría, creyendo que era demasiado complicada. Solo en la década de 1840 la teoría comenzó a obtener respuesta, con Pierre Alphonse Laurent siendo el primer matemático además de Cauchy en hacer una contribución sustancial (su trabajo sobre lo que ahora se conoce como series de Laurent , publicado en 1843).
En su libro Cours d'Analyse Cauchy destacó la importancia del rigor en el análisis. El rigor en este caso significaba el rechazo del principio de generalidad del álgebra (de autores anteriores como Euler y Lagrange) y su reemplazo por la geometría y los infinitesimales . [20] Judith Grabiner escribió que Cauchy fue "el hombre que enseñó el análisis riguroso a toda Europa". [21] El libro se destaca con frecuencia como el primer lugar en el que se introdujeron las desigualdades y los argumentos en el cálculo. Aquí Cauchy definió la continuidad de la siguiente manera: La función f(x) es continua con respecto a x entre los límites dados si, entre estos límites, un incremento infinitamente pequeño en la variable siempre produce un incremento infinitamente pequeño en la función misma.
M. Barany afirma que la École ordenó la inclusión de métodos infinitesimales en contra del mejor criterio de Cauchy. [22] Gilain señala que cuando la parte del plan de estudios dedicada al Análisis Algébrico se redujo en 1825, Cauchy insistió en colocar el tema de las funciones continuas (y por lo tanto también los infinitesimales) al comienzo del Cálculo Diferencial. [23] Laugwitz (1989) y Benis-Sinaceur (1973) señalan que Cauchy continuó utilizando infinitesimales en su propia investigación hasta 1853.
Cauchy dio una definición explícita de un infinitesimal en términos de una secuencia que tiende a cero. Se ha escrito una gran cantidad de literatura sobre la noción de Cauchy de "cantidades infinitesimalmente pequeñas", argumentando que derivan de todo, desde las definiciones "epsilonticas" habituales hasta las nociones de análisis no estándar . El consenso es que Cauchy omitió o dejó implícitas las ideas importantes para aclarar el significado preciso de las cantidades infinitamente pequeñas que utilizó. [24]
Fue el primero en demostrar rigurosamente el teorema de Taylor , estableciendo su conocida forma del resto. [4] Escribió un libro de texto [25] (ver la ilustración) para sus estudiantes de la École Polytechnique en el que desarrolló los teoremas básicos del análisis matemático de la forma más rigurosa posible. En este libro dio la condición necesaria y suficiente para la existencia de un límite en la forma que todavía se enseña. También la conocida prueba de Cauchy para la convergencia absoluta proviene de este libro: Prueba de condensación de Cauchy . En 1829 definió por primera vez una función compleja de una variable compleja en otro libro de texto. [26] A pesar de esto, los propios trabajos de investigación de Cauchy a menudo usaban métodos intuitivos, no rigurosos; [27] así, uno de sus teoremas fue expuesto a un "contraejemplo" por Abel , posteriormente solucionado por la introducción de la noción de continuidad uniforme .
En un artículo publicado en 1855, dos años antes de la muerte de Cauchy, analizó algunos teoremas, uno de los cuales es similar al " Principio del argumento " que aparece en muchos libros de texto modernos sobre análisis complejo. En los libros de texto de teoría de control modernos, el principio del argumento de Cauchy se utiliza con bastante frecuencia para derivar el criterio de estabilidad de Nyquist , que se puede utilizar para predecir la estabilidad de los amplificadores de retroalimentación negativa y los sistemas de control de retroalimentación negativa . Por tanto, el trabajo de Cauchy tiene un fuerte impacto tanto en las matemáticas puras como en la ingeniería práctica.
Cauchy fue muy productivo, sólo superado por Leonhard Euler en número de artículos . Se necesitó casi un siglo para recopilar todos sus escritos en 27 grandes volúmenes:
Sus mayores contribuciones a la ciencia matemática están envueltas en los métodos rigurosos que introdujo; estos se plasman principalmente en sus tres grandes tratados:
Entre sus otras obras se incluyen:
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace ){{cite book}}: Mantenimiento de CS1: ubicación ( enlace )Augustin-Louis Cauchy creció en la casa de un monárquico acérrimo. Esto hizo que su padre huyera con la familia a Arcueil durante la Revolución Francesa . Su vida allí durante esa época fue aparentemente dura; el padre de Augustin-Louis, Louis François, habló de vivir a base de arroz, pan y galletas durante ese período. Un párrafo de una carta sin fecha de Louis François a su madre en Rouen dice: [28]
Nunca tuvimos más de media libra (230 g) de pan, y a veces ni siquiera eso. Esto lo completamos con un poco de galletas duras y arroz que nos dan. Por lo demás, nos las arreglamos bastante bien, que es lo importante y demuestra que los seres humanos pueden arreglárselas con poco. Debo decirles que para la papilla de mis hijos todavía tengo un poco de harina fina, hecha de trigo que cultivé en mi propia tierra. Tenía tres fanegas, y también tengo unas cuantas libras de fécula de patata . Es tan blanca como la nieve y también muy buena, especialmente para niños muy pequeños. También fue cultivada en mi propia tierra. [29]
En cualquier caso, heredó el realismo acérrimo de su padre y por ello se negó a prestar juramento a ningún gobierno tras el derrocamiento de Carlos X.
Era un católico igualmente acérrimo y miembro de la Sociedad de San Vicente de Paúl . [30] También tenía vínculos con la Compañía de Jesús y los defendió en la academia cuando no era políticamente prudente hacerlo. Su celo por su fe puede haberlo llevado a cuidar de Charles Hermite durante su enfermedad y a llevar a Hermite a convertirse en un católico fiel. También inspiró a Cauchy a abogar en nombre de los irlandeses durante la Gran Hambruna de Irlanda .
Su monarquismo y su celo religioso lo hicieron polémico, lo que le causó dificultades con sus colegas. Sentía que lo maltrataban por sus creencias, pero sus oponentes pensaban que provocaba intencionadamente a la gente al reprenderlos por cuestiones religiosas o al defender a los jesuitas después de que habían sido suprimidos. Niels Henrik Abel lo llamó un "católico intolerante" [31] y añadió que estaba "loco y no hay nada que se pueda hacer al respecto", pero al mismo tiempo lo elogió como matemático. Las opiniones de Cauchy eran muy impopulares entre los matemáticos y cuando Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja fue nombrado catedrático de matemáticas antes que él, él y muchos otros sintieron que sus opiniones eran la causa. Cuando Libri fue acusado de robar libros, fue reemplazado por Joseph Liouville en lugar de Cauchy, lo que provocó una ruptura entre Liouville y Cauchy. Otra disputa con matices políticos se refería a Jean-Marie Constant Duhamel y una reclamación sobre los shocks inelásticos. Más tarde Jean-Victor Poncelet demostró que Cauchy estaba equivocado.
