Teorema de la función inversa

Teorema en matemáticas

En matemáticas , específicamente en cálculo diferencial , el teorema de la función inversa proporciona una condición suficiente para que una función sea invertible en un entorno de un punto en su dominio : a saber, que su derivada sea continua y distinta de cero en el punto . El teorema también proporciona una fórmula para la derivada de la función inversa . En cálculo multivariable , este teorema se puede generalizar a cualquier función continuamente diferenciable , con valores vectoriales , cuyo determinante jacobiano sea distinto de cero en un punto de su dominio, lo que proporciona una fórmula para la matriz jacobiana de la inversa. También existen versiones del teorema de la función inversa para funciones holomorfas , para aplicaciones diferenciables entre variedades , para funciones diferenciables entre espacios de Banach , etcétera.

El teorema fue establecido por primera vez por Picard y Goursat utilizando un esquema iterativo: la idea básica es demostrar un teorema de punto fijo utilizando el teorema de aplicación de contracción .

Declaraciones

Para funciones de una sola variable , el teorema establece que si es una función continuamente diferenciable con derivada distinta de cero en el punto ; entonces es inyectiva (o biyectiva sobre la imagen) en un entorno de , la inversa es continuamente diferenciable cerca de , y la derivada de la función inversa en es el recíproco de la derivada de en : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}$$

Puede suceder que una función sea inyectiva cerca de un punto mientras . Un ejemplo es . De hecho, para una función de este tipo, la inversa no puede ser diferenciable en , ya que si fuera diferenciable en , entonces, por la regla de la cadena, , lo que implica . (La situación es diferente para las funciones holomorfas; véase #Teorema de la función inversa holomorfa a continuación). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)=0}$ ${\displaystyle f(x)=(x-a)^{3}}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)f'(a)}$ ${\displaystyle f'(a)\neq 0}$

Para funciones de más de una variable, el teorema establece que si es una función continuamente diferenciable de un subconjunto abierto de en , y la derivada es invertible en un punto a (es decir, el determinante de la matriz jacobiana de f en a no es cero), entonces existen vecindades de en y de tales que y es biyectiva. ^[1] Escribiendo , esto significa que el sistema de n ecuaciones tiene una solución única para en términos de cuando . Nótese que el teorema no dice que es biyectiva sobre la imagen donde es invertible sino que es localmente biyectiva donde es invertible. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f(U)\subset V}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{n})}$ ${\displaystyle y_{i}=f_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x\in U,y\in V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle f'}$

Además, el teorema dice que la función inversa es continuamente diferenciable, y su derivada en es la función inversa de ; es decir, ${\displaystyle f^{-1}:V\to U}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f'(a)}$

${\displaystyle (f^{-1})'(b)=f'(a)^{-1}.}$

En otras palabras, si las matrices jacobianas representan , esto significa: ${\displaystyle Jf^{-1}(b),Jf(a)}$ ${\displaystyle (f^{-1})'(b),f'(a)}$

${\displaystyle Jf^{-1}(b)=Jf(a)^{-1}.}$

La parte difícil del teorema es la existencia y diferenciabilidad de . Suponiendo esto, la fórmula de la derivada inversa se deduce de la regla de la cadena aplicada a . (De hecho, ) Dado que tomar la inversa es infinitamente diferenciable, la fórmula para la derivada de la inversa muestra que si es continuamente veces diferenciable, con derivada invertible en el punto a , entonces la inversa también es continuamente veces diferenciable. Aquí hay un entero positivo o . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f^{-1}\circ f=I}$ ${\displaystyle 1=I'(a)=(f^{-1}\circ f)'(a)=(f^{-1})'(b)\circ f'(a).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \infty }$

Existen dos variantes del teorema de la función inversa. ^[1] Dado un mapa continuamente diferenciable , la primera es ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$

• La derivada es sobreyectiva (es decir, la matriz jacobiana que la representa tiene rango ) si y solo si existe una función continuamente diferenciable en un entorno de tal cerca de , ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle f\circ g=I}$ ${\displaystyle b}$

y el segundo es

• La derivada es inyectiva si y sólo si existe una función continuamente diferenciable en un entorno de tal cerca de . ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle g\circ f=I}$ ${\displaystyle a}$

En el primer caso (cuando es sobreyectiva), el punto se llama valor regular . Como , el primer caso es equivalente a decir que no está en la imagen de los puntos críticos (un punto crítico es un punto tal que el núcleo de es distinto de cero). El enunciado en el primer caso es un caso especial del teorema de inmersión . ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle m=\dim \ker(f'(a))+\dim \operatorname {im} (f'(a))}$ ${\displaystyle b=f(a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f'(a)}$

Estas variantes son reformulaciones del teorema de funciones inversas. De hecho, en el primer caso, cuando es sobreyectiva, podemos encontrar una función lineal (inyectiva) tal que . Definamos de modo que tengamos: ${\displaystyle f'(a)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f'(a)\circ T=I}$ ${\displaystyle h(x)=a+Tx}$

${\displaystyle (f\circ h)'(0)=f'(a)\circ T=I.}$

Por lo tanto, por el teorema de la función inversa, tiene inversa cerca de ; es decir, cerca de . El segundo caso ( es inyectivo) se ve de manera similar. ${\displaystyle f\circ h}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f\circ h\circ (f\circ h)^{-1}=I}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f'(a)}$

Ejemplo

Considere la función vectorial definida por: ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

La matriz jacobiana es:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

con determinante jacobiano:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

El determinante es distinto de cero en todas partes. Por lo tanto, el teorema garantiza que, para cada punto p en , existe un entorno en torno a p en el que F es invertible. Esto no significa que F sea invertible en todo su dominio: en este caso, F ni siquiera es inyectiva, ya que es periódica: . ${\displaystyle e^{2x}\!}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!}$ ${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$

Contraejemplo

La función está limitada dentro de una envolvente cuadrática cerca de la línea , por lo que . Sin embargo, tiene puntos máximos y mínimos locales que se acumulan en , por lo que no es biunívoca en ningún intervalo circundante. ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ ${\displaystyle y=x}$ ${\displaystyle f'(0)=1}$ ${\displaystyle x=0}$

Si se descarta el supuesto de que la derivada es continua, la función ya no necesita ser invertible. Por ejemplo , y tiene derivada discontinua y , que se anula arbitrariamente cerca de . Estos puntos críticos son puntos máximos/mínimos locales de , por lo que no es biunívoca (y no es invertible) en ningún intervalo que contenga a . Intuitivamente, la pendiente no se propaga a puntos cercanos, donde las pendientes están gobernadas por una oscilación débil pero rápida. ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$ ${\displaystyle f'\!(0)=1}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f'\!(0)=1}$

Métodos de prueba

Como resultado importante, el teorema de la función inversa ha recibido numerosas demostraciones. La demostración que se ve con más frecuencia en los libros de texto se basa en el principio de aplicación de la contracción , también conocido como el teorema del punto fijo de Banach (que también puede utilizarse como paso clave en la demostración de la existencia y unicidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias ). ^{[2] [3]}

Dado que el teorema del punto fijo se aplica en entornos de dimensión infinita (espacio de Banach), esta prueba se generaliza inmediatamente a la versión de dimensión infinita del teorema de la función inversa ^[4] (ver Generalizaciones a continuación).

Una prueba alternativa en dimensiones finitas se basa en el teorema del valor extremo para funciones en un conjunto compacto . ^[5] Este enfoque tiene la ventaja de que la prueba se generaliza a una situación donde no hay completitud de Cauchy (véase § Sobre un cuerpo real cerrado).

Otra prueba utiliza el método de Newton , que tiene la ventaja de proporcionar una versión efectiva del teorema: los límites de la derivada de la función implican una estimación del tamaño del entorno en el que la función es invertible. ^[6]

Prueba de funciones de una sola variable

Queremos demostrar lo siguiente: Sea un conjunto abierto con una función continuamente diferenciable definida en , y supongamos que . Entonces existe un intervalo abierto con tal que se aplica biyectivamente al intervalo abierto . Además, la función inversa es continuamente diferenciable, y para cualquier , si es tal que , entonces . ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in D,f:D\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J=f(I)}$ ${\displaystyle f^{-1}:J\to I}$ ${\displaystyle y\in J}$ ${\displaystyle x\in I}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle (f^{-1})'(y)={\dfrac {1}{f'(x)}}}$

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que . Dado que es un conjunto abierto y es continuo en , existe tal que y ${\displaystyle f'(x_{0})>0}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (x_{0}-r,x_{0}+r)\subseteq D}$ $${\displaystyle |f'(x)-f'(x_{0})|<{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}$$

En particular, $${\displaystyle f'(x)>{\dfrac {f'(x_{0})}{2}}>0\qquad {\text{for all }}|x-x_{0}|<r.}$$

Esto demuestra que es estrictamente creciente para todo . Sea tal que . Entonces . Por el teorema del valor intermedio, encontramos que mapea el intervalo biyectivamente sobre . Denotemos por y . Entonces es una biyección y existe la inversa . El hecho de que sea diferenciable se sigue de la diferenciabilidad de . En particular, el resultado se sigue del hecho de que si es una función estrictamente monótona y continua que es diferenciable en con , entonces es diferenciable con , donde (un resultado estándar en análisis). Esto completa la prueba. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |x-x_{0}|<r}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \delta <r}$ ${\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]\subseteq (x_{0}-r,x_{0}+r)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [x-\delta ,x+\delta ]}$ ${\displaystyle [f(x-\delta ),f(x+\delta )]}$ ${\displaystyle I=(x-\delta ,x+\delta )}$ ${\displaystyle J=(f(x-\delta ),f(x+\delta ))}$ ${\displaystyle f:I\to J}$ ${\displaystyle f^{-1}:I\to J}$ ${\displaystyle f^{-1}:I\to J}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in I}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle f^{-1}:f(I)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\dfrac {1}{f'(y_{0})}}}$ ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$

Una prueba que utiliza aproximaciones sucesivas

Para demostrar la existencia, se puede suponer después de una transformación afín que y , de modo que . ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$ ${\displaystyle a=b=0}$

Por el teorema del valor medio para funciones vectoriales , para una función diferenciable , . Fijando , se deduce que ${\displaystyle u:[0,1]\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\textstyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$ ${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x))-I\|.}$

Ahora elijamos de modo que para . Supongamos que y definamos inductivamente por y . Las suposiciones muestran que si entonces ${\displaystyle \delta >0}$ ${\textstyle \|f'(x)-I\|<{1 \over 2}}$ ${\displaystyle \|x\|<\delta }$ ${\displaystyle \|y\|<\delta /2}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$ ${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2}$.

En particular , implica . En el esquema inductivo y . Por lo tanto, es una secuencia de Cauchy que tiende a . Por construcción como se requiere. ${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$ ${\displaystyle x=x^{\prime }}$ ${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$ ${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}$ ${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=y}$

Para comprobar que es C ¹ , escribe de modo que . Por las desigualdades anteriores, de modo que . Por otro lado, si , entonces . Utilizando la serie geométrica para , se deduce que . Pero entonces ${\displaystyle g=f^{-1}}$ ${\displaystyle g(y+k)=x+h}$ ${\displaystyle f(x+h)=f(x)+k}$ ${\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}$ ${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$ ${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$ ${\displaystyle \|A-I\|<1/2}$ ${\displaystyle B=I-A}$ ${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}$

tiende a 0 cuando y tiende a 0, lo que demuestra que es C ¹ con . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$

La prueba anterior se presenta para un espacio de dimensión finita, pero se aplica igualmente bien para espacios de Banach . Si una función invertible es C ^k con , entonces también lo es su inversa. Esto se deduce por inducción usando el hecho de que la función en operadores es C ^k para cualquier (en el caso de dimensión finita este es un hecho elemental porque la inversa de una matriz se da como la matriz adjunta dividida por su determinante ). ^{[1] [7]} El método de prueba aquí se puede encontrar en los libros de Henri Cartan , Jean Dieudonné , Serge Lang , Roger Godement y Lars Hörmander . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k>1}$ ${\displaystyle F(A)=A^{-1}}$ ${\displaystyle k}$

Una prueba que utiliza el principio de mapeo de contracción

A continuación se presenta una demostración basada en el teorema de aplicación de contracción . Específicamente, siguiendo a T. Tao, ^[8] utiliza la siguiente consecuencia del teorema de aplicación de contracción.

Lema  —  Sea una bola abierta de radio r en con centro 0 y una función con una constante tal que ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle g:B(0,r)\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 0<c<1}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq c|y-x|}$

para todos en . Entonces para en , tenemos ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle f=I+g}$ ${\displaystyle B(0,r)}$

${\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|,}$

en particular, f es inyectiva. Si, además, , entonces ${\displaystyle g(0)=0}$

${\displaystyle B(0,(1-c)r)\subset f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}$.

En términos más generales, el enunciado sigue siendo cierto si se lo reemplaza por un espacio de Banach. Además, la primera parte del lema es cierta para cualquier espacio normado. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Básicamente, el lema dice que una pequeña perturbación de la función identidad por una función de contracción es inyectiva y preserva una bola en cierto sentido. Suponiendo el lema por un momento, demostramos primero el teorema. Como en la demostración anterior, es suficiente demostrar el caso especial cuando y . Sea . La desigualdad del valor medio aplicada a dice: ${\displaystyle a=0,b=f(a)=0}$ ${\displaystyle f'(0)=I}$ ${\displaystyle g=f-I}$ ${\displaystyle t\mapsto g(x+t(y-x))}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq |y-x|\sup _{0<t<1}|g'(x+t(y-x))|.}$

Como y es continua, podemos encontrar una tal que ${\displaystyle g'(0)=I-I=0}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle |g(y)-g(x)|\leq 2^{-1}|y-x|}$

para todo en . Entonces el lema temprano dice que es inyectiva en y . Entonces ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle f=g+I}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$

${\displaystyle f:U=B(0,r)\cap f^{-1}(B(0,r/2))\to V=B(0,r/2)}$

es biyectiva y por lo tanto tiene una inversa. A continuación, demostramos que la inversa es continuamente diferenciable (esta parte del argumento es la misma que la de la prueba anterior). Esta vez, denotemos la inversa de y . Para , escribimos o . Ahora, por la estimación inicial, tenemos ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle g=f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A=f'(x)}$ ${\displaystyle x=g(y)}$ ${\displaystyle g(y+k)=x+h}$ ${\displaystyle y+k=f(x+h)}$

${\displaystyle |h-k|=|f(x+h)-f(x)-h|\leq |h|/2}$

y así . Escribiendo para la norma del operador, ${\displaystyle |h|/2\leq |k|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle |g(y+k)-g(y)-A^{-1}k|=|h-A^{-1}(f(x+h)-f(x))|\leq \|A^{-1}\||Ah-f(x+h)+f(x)|.}$

Como , tenemos y está acotado. Por lo tanto, es diferenciable en con la derivada . Además, es lo mismo que la composición donde ; por lo tanto es continua. ${\displaystyle k\to 0}$ ${\displaystyle h\to 0}$ ${\displaystyle |h|/|k|}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g'(y)=f'(g(y))^{-1}}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle \iota \circ f'\circ g}$ ${\displaystyle \iota :T\mapsto T^{-1}}$ ${\displaystyle g'}$

Queda por demostrar el lema. Primero tenemos:

${\displaystyle |x-y|-|f(x)-f(y)|\leq |g(x)-g(y)|\leq c|x-y|,}$

Es decir

${\displaystyle (1-c)|x-y|\leq |f(x)-f(y)|.}$

Esto demuestra la primera parte. A continuación, mostramos . La idea es notar que esto es equivalente a, dado un punto en , encontrar un punto fijo de la función ${\displaystyle f(B(0,r))\supset B(0,(1-c)r)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B(0,(1-c)r)}$

${\displaystyle F:{\overline {B}}(0,r')\to {\overline {B}}(0,r'),\,x\mapsto y-g(x)}$

donde tal que y la barra significa una bola cerrada. Para encontrar un punto fijo, usamos el teorema de aplicación de contracción y comprobar que es una aplicación de contracción estricta bien definida es sencillo. Finalmente, tenemos: ya que ${\displaystyle 0<r'<r}$ ${\displaystyle |y|\leq (1-c)r'}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(B(0,r))\subset B(0,(1+c)r)}$

${\displaystyle |f(x)|=|x+g(x)-g(0)|\leq (1+c)|x|.\square }$

Como puede ser evidente, esta prueba no es sustancialmente diferente de la anterior, ya que la prueba del teorema de aplicación de contracción es por aproximación sucesiva.

Aplicaciones

Teorema de la función implícita

El teorema de la función inversa se puede utilizar para resolver un sistema de ecuaciones.

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x)=y_{1}\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x)=y_{n},\end{aligned}}}$

es decir, expresando como funciones de , siempre que la matriz jacobiana sea invertible. El teorema de la función implícita permite resolver un sistema de ecuaciones más general: ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle x=(x_{1},\dots ,x_{n})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x,y)=0\\&\quad \vdots \\&f_{n}(x,y)=0\end{aligned}}}$

En términos de . Aunque más general, el teorema es en realidad una consecuencia del teorema de la función inversa. En primer lugar, el enunciado preciso del teorema de la función implícita es el siguiente: [ ^9] ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

• dada una función , si , es continuamente diferenciable en un entorno de y la derivada de en es invertible, entonces existe una función diferenciable para algunos entornos de tal que . Además, si , entonces ; es decir, es una solución única. ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f(a,b)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle y\mapsto f(a,y)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g:U\to V}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle f(x,g(x))=0}$ ${\displaystyle f(x,y)=0,x\in U,y\in V}$ ${\displaystyle y=g(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

Para comprobarlo, considere el mapa . Por el teorema de la función inversa, tiene la inversa para algunos vecindarios . Entonces tenemos: ${\displaystyle F(x,y)=(x,f(x,y))}$ ${\displaystyle F:U\times V\to W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U,V,W}$

${\displaystyle (x,y)=F(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y))=(G_{1}(x,y),f(G_{1}(x,y),G_{2}(x,y)),}$

lo que implica y Por lo tanto tiene la propiedad requerida. ${\displaystyle x=G_{1}(x,y)}$ ${\displaystyle y=f(x,G_{2}(x,y)).}$ ${\displaystyle g(x)=G_{2}(x,0)}$ ${\displaystyle \square }$

Dando una estructura múltiple

En geometría diferencial, el teorema de la función inversa se utiliza para mostrar que la preimagen de un valor regular bajo una función suavizada es una variedad. ^[10] De hecho, sea una función suavizada de un subconjunto abierto de (ya que el resultado es local, no hay pérdida de generalidad al considerar una función de este tipo). Fijemos un punto en y luego, permutando las coordenadas en , supongamos que la matriz tiene rango . Entonces la función es tal que tiene rango . Por lo tanto, por el teorema de la función inversa, encontramos la inversa suavizada de definida en un entorno de . Entonces tenemos ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \left[{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}(a)\right]_{1\leq i,j\leq r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F:U\to \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n-r}=\mathbb {R} ^{n},\,x\mapsto (f(x),x_{r+1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle F'(a)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V\times W}$ ${\displaystyle (b,a_{r+1},\dots ,a_{n})}$

${\displaystyle x=(F\circ G)(x)=(f(G(x)),G_{r+1}(x),\dots ,G_{n}(x)),}$

Lo que implica

${\displaystyle (f\circ G)(x_{1},\dots ,x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{r}).}$

Es decir, después del cambio de coordenadas por , es una proyección de coordenadas (este hecho se conoce como el teorema de inmersión ). Además, como es biyectiva, la función ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle G:V\times W\to U'=G(V\times W)}$

${\displaystyle g=G(b,\cdot ):W\to f^{-1}(b)\cap U',\,(x_{r+1},\dots ,x_{n})\mapsto G(b,x_{r+1},\dots ,x_{n})}$

es biyectiva con la inversa suave. Es decir, da una parametrización local de alrededor de . Por lo tanto, es una variedad. (Tenga en cuenta que la prueba es bastante similar a la prueba del teorema de la función implícita y, de hecho, el teorema de la función implícita también se puede utilizar en su lugar). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f^{-1}(b)}$ ${\displaystyle \square }$

De manera más general, el teorema muestra que si una función suave es transversal a una subvariedad , entonces la preimagen es una subvariedad. ^[11] ${\displaystyle f:P\to E}$ ${\displaystyle M\subset E}$ ${\displaystyle f^{-1}(M)\hookrightarrow P}$

Versión global

El teorema de la función inversa es un resultado local; se aplica a cada punto. A priori , el teorema solo muestra que la función es localmente biyectiva (o localmente difeomorfa de alguna clase). El siguiente lema topológico se puede utilizar para mejorar la inyectividad local a una inyectividad que sea global hasta cierto punto. ${\displaystyle f}$

Lema  —  ^{[12] [ cita completa necesaria ] [13]} Si es un subconjunto cerrado de una variedad topológica (o, más generalmente, un espacio topológico que admite un agotamiento por subconjuntos compactos ) y , algún espacio topológico, es un homeomorfismo local que es inyectivo en , entonces es inyectivo en algún vecindario de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$

Demostración: ^[14] Supongamos primero que es compacto . Si la conclusión del teorema es falsa, podemos encontrar dos sucesiones tales que y cada una de ellas converge a algunos puntos en . Como es inyectiva en , . Ahora bien, si es suficientemente grande, están en un entorno de donde es inyectiva; por tanto, , una contradicción. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{i}\neq y_{i}}$ ${\displaystyle f(x_{i})=f(y_{i})}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle x=y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i}}$

En general, considere el conjunto . Es disjunto de para cualquier subconjunto donde es inyectivo. Sea una secuencia creciente de subconjuntos compactos con unión y con contenidos en el interior de . Entonces, por la primera parte de la prueba, para cada , podemos encontrar un entorno de tal que . Entonces tiene la propiedad requerida. (Véase también ^[15] para un enfoque alternativo). ${\displaystyle E=\{(x,y)\in X^{2}\mid x\neq y,f(x)=f(y)\}}$ ${\displaystyle S\times S}$ ${\displaystyle S\subset X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{1}\subset X_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle X_{i+1}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle A\cap X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}^{2}\subset X^{2}-E}$ ${\displaystyle U=\bigcup _{i}U_{i}}$ ${\displaystyle \square }$

El lema implica la siguiente versión (en cierto modo) global del teorema de la función inversa:

Teorema de la función inversa  —  ^[16] Sea una función entre subconjuntos abiertos de o, más generalmente, de variedades. Supóngase que es continuamente diferenciable (o es ). Si es inyectiva en un subconjunto cerrado y si la matriz jacobiana de es invertible en cada punto de , entonces es inyectiva en un entorno de y es continuamente diferenciable (o es ). ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A\subset U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f^{-1}:f(A')\to A'}$ ${\displaystyle C^{k}}$

Tenga en cuenta que si es un punto, entonces lo anterior es el teorema de función inversa habitual. ${\displaystyle A}$

Teorema de la función inversa holomorfa

Existe una versión del teorema de la función inversa para mapas holomorfos .

Teorema  —  ^{[17] [18]} Sea Error al analizar (SVG (MathML se puede habilitar a través del complemento del navegador): Respuesta no válida ("La extensión Math no puede conectarse a Restbase") del servidor "http://localhost:6011/en.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle U, V \subset \mathbb{C}^n} subconjuntos abiertos tales que y una función holomorfa cuya matriz jacobiana en variables es invertible (el determinante no es cero) en . Entonces es inyectiva en algún vecindario de y la inversa es holomorfa. ${\displaystyle 0\in U}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle z_{i},{\overline {z}}_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f^{-1}:f(W)\to W}$

El teorema se deduce del teorema habitual de la función inversa. De hecho, denotemos la matriz jacobiana de en variables y para eso en . Entonces tenemos , que es distinto de cero por suposición. Por lo tanto, por el teorema habitual de la función inversa, es inyectiva cerca con inversa continuamente diferenciable. Por la regla de la cadena, con , ${\displaystyle J_{\mathbb {R} }(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i},y_{i}}$ ${\displaystyle J(f)}$ ${\displaystyle z_{j},{\overline {z}}_{j}}$ ${\displaystyle \det J_{\mathbb {R} }(f)=|\det J(f)|^{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w=f(z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}(f_{j}^{-1}\circ f)(z)=\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial w_{k}}}(w){\frac {\partial f_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)+\sum _{k}{\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w){\frac {\partial {\overline {f}}_{k}}{\partial {\overline {z}}_{j}}}(z)}$

donde el lado izquierdo y el primer término de la derecha se anulan ya que y son holomorfos. Por lo tanto, para cada . ${\displaystyle f_{j}^{-1}\circ f}$ ${\displaystyle f_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}^{-1}}{\partial {\overline {w}}_{k}}}(w)=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \square }$

De manera similar, existe el teorema de función implícita para funciones holomorfas. ^[19]

Como ya se ha señalado anteriormente, puede ocurrir que una función inyectiva suave tenga una inversa que no sea suave (por ejemplo, en una variable real). Este no es el caso de las funciones holomorfas debido a: ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Proposición  —  ^[19] Si es una función holomorfa inyectiva entre subconjuntos abiertos de , entonces es holomorfa. ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle f^{-1}:f(U)\to U}$

Formulaciones para colectores

El teorema de la función inversa se puede reformular en términos de aplicaciones diferenciables entre variedades diferenciables . En este contexto, el teorema establece que para una aplicación diferenciable (de clase ), si la diferencial de , ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

es un isomorfismo lineal en un punto en entonces existe un vecindario abierto de tal que ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$

es un difeomorfismo . Nótese que esto implica que los componentes conectados de M y N que contienen p y F ( p ) tienen la misma dimensión, como ya se deduce directamente del supuesto de que dF _p es un isomorfismo. Si la derivada de F es un isomorfismo en todos los puntos p en M, entonces la función F es un difeomorfismo local .

Generalizaciones

Espacios de Banach

El teorema de la función inversa también se puede generalizar a funciones diferenciables entre espacios de Banach X e Y . ^[20] Sea U un entorno abierto del origen en X y una función continuamente diferenciable, y supongamos que la derivada de Fréchet de F en 0 es un isomorfismo lineal acotado de X sobre Y . Entonces existe un entorno abierto V de en Y y una función continuamente diferenciable tal que para todo y en V . Además, es la única solución suficientemente pequeña x de la ecuación . ${\displaystyle F:U\to Y\!}$ ${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$ ${\displaystyle F(0)\!}$ ${\displaystyle G:V\to X\!}$ ${\displaystyle F(G(y))=y}$ ${\displaystyle G(y)\!}$ ${\displaystyle F(x)=y\!}$

También existe el teorema de la función inversa para las variedades de Banach . ^[21]

Teorema de rango constante

El teorema de la función inversa (y el teorema de la función implícita ) puede verse como un caso especial del teorema de rango constante, que establece que una función suave con rango constante cerca de un punto se puede poner en una forma normal particular cerca de ese punto. ^[22] Específicamente, si tiene rango constante cerca de un punto , entonces hay vecindades abiertas U de p y V de y hay difeomorfismos y tales que y tales que la derivada es igual a . Es decir, F "se parece" a su derivada cerca de p . El conjunto de puntos tales que el rango es constante en una vecindad de es un subconjunto denso abierto de M ; esto es una consecuencia de la semicontinuidad de la función de rango. Por lo tanto, el teorema de rango constante se aplica a un punto genérico del dominio. ${\displaystyle F:M\to N}$ ${\displaystyle p\in M\!}$ ${\displaystyle F(p)\!}$ ${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$ ${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$ ${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$ ${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$ ${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle p}$

Cuando la derivada de F es inyectiva (resp. sobreyectiva) en un punto p , también es inyectiva (resp. sobreyectiva) en un entorno de p , y por lo tanto el rango de F es constante en ese entorno y se aplica el teorema de rango constante.

Funciones polinómicas

Si es verdad, la conjetura jacobiana sería una variante del teorema de la función inversa para polinomios. Establece que si una función polinómica con valores vectoriales tiene un determinante jacobiano que es un polinomio invertible (es decir, una constante distinta de cero), entonces tiene una función inversa que también es una función polinómica. Se desconoce si esto es cierto o falso, incluso en el caso de dos variables. Este es un importante problema abierto en la teoría de polinomios.

Trozos escogidos

Cuando con , es 100 veces continuamente diferenciable , y el jacobiano en un punto es de rango , la inversa de puede no ser única. Sin embargo, existe una función de selección local tal que para todos en un entorno de , , es 100 veces continuamente diferenciable en este entorno, y ( es la pseudoinversa de Moore–Penrose de ). ^[23] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A=\nabla f({\overline {x}})}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(s(y))=y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\overline {y}}=f({\overline {x}})}$ ${\displaystyle s({\overline {y}})={\overline {x}}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})=A^{T}(AA^{T})^{-1}}$ ${\displaystyle \nabla s({\overline {y}})}$ ${\displaystyle A}$

Sobre un campo realmente cerrado

El teorema de la función inversa también se cumple para un cuerpo real cerrado k (o una estructura O-minimal ). ^[24] Precisamente, el teorema se cumple para una función semialgebraica (o definible) entre subconjuntos abiertos de que es continuamente diferenciable. ${\displaystyle k^{n}}$

La prueba habitual del TFI utiliza el teorema del punto fijo de Banach, que se basa en la completitud de Cauchy. Esa parte del argumento se reemplaza por el uso del teorema del valor extremo , que no necesita completitud. Explícitamente, en § Una prueba que utiliza el principio de aplicación de contracción, la completitud de Cauchy se utiliza solo para establecer la inclusión . Aquí, mostraremos directamente en cambio (lo cual es suficiente). Dado un punto en , considere la función definida en un entorno de . Si , entonces y por lo tanto , ya que es invertible. Ahora, por el teorema del valor extremo, admite un mínimo en algún punto en la bola cerrada , que se puede demostrar que se encuentra en utilizando . Dado que , , lo que prueba la inclusión reclamada. ${\displaystyle B(0,r/2)\subset f(B(0,r))}$ ${\displaystyle B(0,r/4)\subset f(B(0,r))}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B(0,r/4)}$ ${\displaystyle P(x)=|f(x)-y|^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(0,r)}$ ${\displaystyle P'(x)=0}$ ${\displaystyle 0=P'(x)=2[f_{1}(x)-y_{1}\cdots f_{n}(x)-y_{n}]f'(x)}$ ${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f'(x)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle {\overline {B}}(0,r)}$ ${\displaystyle B(0,r)}$ ${\displaystyle 2^{-1}|x|\leq |f(x)|}$ ${\displaystyle P'(x_{0})=0}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y}$ ${\displaystyle \square }$

Véase también

• Teorema de Nash-Moser

Notas

1. Teorema 1.1.7 de abc. en Hörmander, Lars (2015). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I: teoría de distribución y análisis de Fourier . Clásicos de las matemáticas (2.ª ed.). Springer. ISBN 978-3-642-61497-2.
2. McOwen, Robert C. (1996). "Cálculo de aplicaciones entre espacios de Banach". Ecuaciones diferenciales parciales: métodos y aplicaciones . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 218–224. ISBN 0-13-121880-8.
3. Tao, Terence (12 de septiembre de 2011). «El teorema de la función inversa para aplicaciones diferenciables en todas partes» . Consultado el 26 de julio de 2019 .
4. Jaffe, Ethan. "Teorema de la función inversa" (PDF) .
5. Spivak 1965, páginas 31–35
6. Hubbard, John H. ; Hubbard, Barbara Burke (2001). Análisis vectorial, álgebra lineal y formas diferenciales: un enfoque unificado (edición Matrix).
7. Cartan, Henri (1971). Calcul Differentiel (en francés). Hermann . págs. 55–61. ISBN 978-0-395-12033-0.
8. Teorema 17.7.2 en Tao, Terence (2014). Análisis. II . Textos y lecturas en matemáticas. Vol. 38 (tercera edición de la edición original de 2006). Nueva Delhi: Hindustan Book Agency. ISBN 978-93-80250-65-6.MR  3310023.Zbl 1300.26003  .​
9. Spivak 1965, Teorema 2-12.
10. Spivak 1965, Teorema 5-1. y Teorema 2-13.
11. "Transversalidad" (PDF) . northwestern.edu .
12. Uno de los libros de Spivak (Nota editorial: dar la ubicación exacta).
13. Hirsch 1976, Cap. 2, § 1., Ejercicio 7. NB: Este es para una inmersión. ${\displaystyle C^{1}}$
14. Lema 13.3.3. de Lecciones sobre topología diferencial utoronto.ca
15. Dan Ramras (https://mathoverflow.net/users/4042/dan-ramras), Sobre una prueba de la existencia de vecindarios tubulares., URL (versión: 2017-04-13): https://mathoverflow.net/q/58124
16. Cap. I., § 3, Ejercicio 10. y § 8, Ejercicio 14. en V. Guillemin, A. Pollack. "Topología diferencial". Prentice-Hall Inc., 1974. ISBN 0-13-212605-2.
17. Griffiths y Harris 1978, pág. 18.
18. Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). De funciones holomorfas a variedades complejas. Saltador. págs. 33–36. ISBN 978-0-387-95395-3.
19. Griffiths y Harris 1978, pág. 19.
20. Luenberger, David G. (1969). Optimización por métodos de espacio vectorial. Nueva York: John Wiley & Sons. pp. 240–242. ISBN 0-471-55359-X.
21. Lang, Serge (1985). Variedades diferenciales . Nueva York: Springer. Págs. 13-19. ISBN. 0-387-96113-5.
22. Boothby, William M. (1986). Introducción a las variedades diferenciables y a la geometría de Riemann (segunda edición). Orlando: Academic Press. pp. 46–50. ISBN 0-12-116052-1.
23. Dontchev, Asen L.; Rockafellar, R. Tyrrell (2014). Funciones implícitas y mapeos de soluciones: una perspectiva desde el análisis variacional (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. p. 54. ISBN 978-1-4939-1036-6.
24. Teorema 2.11. en Dries, LPD van den (1998). Topología domesticada y estructuras O-minimal. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, n.º 248. Cambridge, Nueva York y Oakleigh, Victoria: Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511525919. ISBN 9780521598385.

Referencias

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• Baxandall, Peter ; Liebeck, Hans (1986). "El teorema de la función inversa". Cálculo vectorial . Nueva York: Oxford University Press. pp. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Derivadas fuertes y aplicaciones inversas". Amer. Math. Monthly . 81 (9): 969–980. doi :10.2307/2319298. hdl : 10338.dmlcz/102482 . JSTOR  2319298.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principios de geometría algebraica , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9.
• Hirsch, Morris W. (1976). Topología diferencial. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0.
• Protter, Murray H. ; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Transformaciones y jacobianos". Cálculo intermedio (segunda edición). Nueva York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales . Textos de matemáticas aplicadas 13 (segunda edición). Nueva York: Springer-Verlag. pp. 337–338. ISBN. 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . International Series in Pure and Applied Mathematics (Tercera edición). Nueva York: McGraw-Hill Book. pp. 221–223. ISBN 978-0-07-085613-4.
• Spivak, Michael (1965). Cálculo en variedades: un enfoque moderno de los teoremas clásicos del cálculo avanzado . San Francisco: Benjamin Cummings. ISBN 0-8053-9021-9.