Agotamiento por conjuntos compactos

En matemáticas , especialmente en topología general y análisis , un agotamiento por conjuntos compactos ^[1] de un espacio topológico es una secuencia anidada de subconjuntos compactos de (es decir, ), tal que está contenida en el interior de , es decir para cada y . Un espacio que admite un agotamiento por conjuntos compactos se denomina agotable por conjuntos compactos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq K_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$ ${\displaystyle K_{i}\subseteq {\text{int}}(K_{i+1})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X=\bigcup _{i=1}^{\infty }K_{i}}$

Por ejemplo, considere la secuencia de bolas cerradas ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K_{i}=\{x:|x|\leq i\}.}$

Ocasionalmente, algunos autores abandonan el requisito de que esté en el interior de , pero entonces la propiedad se vuelve la misma que la de que el espacio sea σ-compacto , es decir, una unión contable de subconjuntos compactos. ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle K_{i+1}}$

Propiedades

Los siguientes son equivalentes para un espacio topológico : ^[2] ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$es agotable mediante conjuntos compactos.
2. ${\displaystyle X}$es σ-compacto y débilmente localmente compacto .
3. ${\displaystyle X}$Es de tipo lindelöf y débilmente localmente compacto.

(donde débilmente localmente compacto significa localmente compacto en el sentido débil de que cada punto tiene un vecindario compacto ).

La propiedad hemicompacta es intermedia entre agotable por conjuntos compactos y σ-compacto. Todo espacio agotable por conjuntos compactos es hemicompacto ^[3] y todo espacio hemicompacto es σ-compacto, pero las implicaciones inversas no se cumplen. Por ejemplo, el espacio de Arens-Fort y el espacio de Appert son hemicompactos, pero no agotables por conjuntos compactos (porque no son débilmente localmente compactos), ^[4] y el conjunto de números racionales con la topología usual es σ-compacto, pero no hemicompacto. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Todo espacio regular agotable por conjuntos compactos es paracompacto . ^[6]

Notas

1. Lee 2011, pág. 110.
2. "Una pregunta sobre compacidad local y $\sigma$-compacidad". Mathematics Stack Exchange .
3. "¿Un espacio no Hausdorff localmente compacto y $\sigma$-compacto implica un espacio hemicompacto?". Mathematics Stack Exchange .
4. "¿Puede un espacio hemicompacto dejar de ser débilmente localmente compacto?". Mathematics Stack Exchange .
5. "¿Un espacio $\sigma$-compacto pero no hemicompacto?". Mathematics Stack Exchange .
6. "Los espacios localmente compactos y sigma-compactos son paracompactos en nLab". ncatlab.org .

Referencias

• Leon Ehrenpreis , Teoría de distribuciones para espacios localmente compactos , American Mathematical Society , 1982. ISBN 0-8218-1221-1 . 
• Hans Grauert y Reinhold Remmert , Teoría de los espacios de Stein , Springer Verlag (Clásicos de matemáticas), 2004. ISBN 978-3540003731 . 
• Lee, John M. (2011). Introducción a las variedades topológicas (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-1-4419-7939-1.

Enlaces externos

• "Agotamiento por conjuntos compactos". PlanetMath .
• "Existencia de agotamiento por conjuntos compactos". Mathematics Stack Exchange .