Mapeo de contracción

Función que reduce la distancia entre todos los puntos

En matemáticas , una aplicación de contracción , o contracción o contractiva , en un espacio métrico ( M ,  d ) es una función f de M sobre sí misma, con la propiedad de que existe algún número real tal que para todo x e y en M , ${\displaystyle 0\leq k<1}$

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$

El valor más pequeño de k se denomina constante de Lipschitz de f . Las funciones contractivas se denominan a veces funciones Lipschitzianas . Si, en cambio, se cumple la condición anterior para k  ≤ 1, se dice que la función es una función no expansiva .

De manera más general, la idea de una aplicación contractiva se puede definir para aplicaciones entre espacios métricos. Así, si ( M ,  d ) y ( N ,  d' ) son dos espacios métricos, entonces es una aplicación contractiva si existe una constante tal que ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle 0\leq k<1}$

${\displaystyle d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$

para todos los x e y en M .

Toda función de contracción es Lipschitz continua y, por lo tanto, uniformemente continua (para una función Lipschitz continua, la constante k ya no es necesariamente menor que 1).

Una aplicación de contracción tiene como máximo un punto fijo . Además, el teorema del punto fijo de Banach establece que toda aplicación de contracción en un espacio métrico completo no vacío tiene un único punto fijo, y que para cualquier x en M la secuencia de funciones iteradas x , f  ( x ), f  ( f  ( x )), f  ( f  ( f  ( x ))), ... converge al punto fijo. Este concepto es muy útil para sistemas de funciones iteradas donde a menudo se utilizan aplicaciones de contracción . El teorema del punto fijo de Banach también se aplica para demostrar la existencia de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias , y se utiliza en una prueba del teorema de la función inversa . ^[1]

Las asignaciones de contracción juegan un papel importante en los problemas de programación dinámica . ^{[2] [3]}

Mapeo firmemente no expansivo

Una aplicación no expansiva con se puede generalizar a una aplicación firmemente no expansiva en un espacio de Hilbert si se cumple lo siguiente para todos los x e y en : ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle \|f(x)-f(y)\|^{2}\leq \,\langle x-y,f(x)-f(y)\rangle .}$

dónde

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$.

Este es un caso especial de operadores no expansivos promediados con . ^[4] Una aplicación firmemente no expansiva siempre es no expansiva, a través de la desigualdad de Cauchy-Schwarz . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha =1/2}$

La clase de aplicaciones firmemente no expansivas está cerrada bajo combinaciones convexas , pero no composiciones. ^[5] Esta clase incluye aplicaciones proximales de funciones propias, convexas, semicontinuas inferiores, por lo tanto también incluye proyecciones ortogonales sobre conjuntos convexos cerrados no vacíos . La clase de operadores firmemente no expansivos es igual al conjunto de resolventes de operadores máximamente monótonos . ^[6] Sorprendentemente, mientras que iterar aplicaciones no expansivas no tiene garantía de encontrar un punto fijo (por ejemplo, multiplicación por -1), la no expansividad firme es suficiente para garantizar la convergencia global a un punto fijo, siempre que exista un punto fijo. Más precisamente, si , entonces para cualquier punto inicial , iterar ${\displaystyle {\text{Fix}}f:=\{x\in {\mathcal {H}}\ |\ f(x)=x\}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle x_{0}\in {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )\quad x_{n+1}=f(x_{n})}$

produce convergencia a un punto fijo . Esta convergencia podría ser débil en un entorno de dimensión infinita. ^[5] ${\displaystyle x_{n}\to z\in {\text{Fix}}f}$

Mapa de subcontracción

Una función de subcontracción o subcontratista es una función f en un espacio métrico ( M ,  d ) tal que

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq d(x,y);}$

${\displaystyle d(f(f(x)),f(x))<d(f(x),x)\quad {\text{unless}}\quad x=f(x).}$

Si la imagen de un subcontratista f es compacta , entonces f tiene un punto fijo. ^[7]

Espacios localmente convexos

En un espacio localmente convexo ( E ,  P ) con topología dada por un conjunto P de seminormas , se puede definir para cualquier p  ∈  P una p -contracción como una función f tal que existe algún k _p < 1 tal que p ( f ( x ) − f ( y )) ≤ k _p p ( x − y ) . Si f es una p -contracción para todo p  ∈  P y ( E ,  P ) es secuencialmente completo, entonces f tiene un punto fijo, dado como límite de cualquier secuencia x _{n +1} = f ( x _n ), y si ( E ,  P ) es Hausdorff , entonces el punto fijo es único. ^[8]

Véase también

• Mapa corto
• Contracción (teoría de operadores)
• Transformación
• Ecuación comparamétrica
• Teorema de mapeo de contracción de Blackwell
• Propiedad CLRg

Referencias

1. Shifrin, Theodore (2005). Matemáticas multivariables . Wiley. págs. 244-260. ISBN. 978-0-471-52638-4.
2. Denardo, Eric V. (1967). "Aplicaciones de contracción en la teoría subyacente a la programación dinámica". SIAM Review . 9 (2): 165–177. Bibcode :1967SIAMR...9..165D. doi :10.1137/1009030.
3. Stokey, Nancy L. ; Lucas, Robert E. (1989). Métodos recursivos en dinámica económica. Cambridge: Harvard University Press. pp. 49–55. ISBN 978-0-674-75096-8.
4. Combettes, Patrick L. (2004). "Resolución de inclusiones monótonas mediante composiciones de operadores promediados no expansivos". Optimización . 53 (5–6): 475–504. doi :10.1080/02331930412331327157. S2CID  219698493.
5. Bauschke, Heinz H. (2017). Análisis convexo y teoría de operadores monótonos en espacios de Hilbert . Nueva York: Springer.
6. Combettes, Patrick L. (julio de 2018). "Teoría del operador monótono en optimización convexa". Programación matemática . B170 : 177–206. arXiv : 1802.02694 . Código Bibliográfico :2018arXiv180202694C. doi :10.1007/s10107-018-1303-3. S2CID  49409638.
7. Goldstein, AA (1967). Análisis real constructivo . Harper's Series in Modern Mathematics. Nueva York-Evanston-Londres: Harper and Row. pág. 17. Zbl  0189.49703.
8. Cain, GL Jr.; Nashed, MZ (1971). "Puntos fijos y estabilidad para una suma de dos operadores en espacios localmente convexos". Revista del Pacífico de Matemáticas . 39 (3): 581–592. doi : 10.2140/pjm.1971.39.581 .

Lectura adicional

• Istratescu, Vasile I. (1981). Teoría del punto fijo: una introducción . Holanda: D. Reidel. ISBN 978-90-277-1224-0.Proporciona una introducción a nivel de pregrado.
• Granas, Andrzej; Dugundji, James (2003). Teoría del punto fijo . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9.
• Kirk, William A.; Sims, Brailey (2001). Manual de teoría del punto fijo métrico . Londres: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4.
• Naylor, Arch W.; Sell, George R. (1982). Teoría de operadores lineales en ingeniería y ciencia. Applied Mathematical Sciences. Vol. 40 (segunda edición). Nueva York: Springer. Págs. 125–134. ISBN. 978-0-387-90748-2.

• Bullo, Francesco (2022). Teoría de la contracción para sistemas dinámicos . Kindle Direct Publishing. ISBN 979-8-8366-4680-6.