Función inyectiva

Función que preserva la distinción

En matemáticas , una función inyectiva (también conocida como inyección o función biyectiva ^[1] ) es una función f que asigna elementos distintos de su dominio a elementos distintos; es decir, x ₁ ≠ x ₂ implica f ( x ₁ ) ≠ f ( x ₂ ) . (De manera equivalente, f ( x ₁ ) = f ( x ₂ ) implica x ₁ = x ₂ en el enunciado contrapositivo equivalente ). En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de como máximo un elemento de su dominio . ^[2] El término función biyectiva no debe confundirse con la correspondencia biyectiva que se refiere a las funciones biyectivas , que son funciones tales que cada elemento del codominio es una imagen de exactamente un elemento del dominio.

Un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que es compatible con las operaciones de las estructuras. Para todas las estructuras algebraicas comunes, y, en particular para los espacios vectoriales , un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo . Sin embargo, en el contexto más general de la teoría de categorías , la definición de un monomorfismo difiere de la de un homomorfismo inyectivo. ^[3] Por lo tanto, se trata de un teorema que establece que son equivalentes para las estructuras algebraicas; véase Homomorfismo § Monomorfismo para obtener más detalles.

A una función que no es inyectiva a veces se la denomina función de muchos a uno. ^[2] ${\displaystyle f}$

Definición

Una función inyectiva, que no es también sobreyectiva .

Sea una función cuyo dominio es un conjunto. Se dice que la función es inyectiva siempre que para todo y en si entonces ; es decir, implica Equivalentemente, si entonces en el enunciado contrapositivo . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(a)=f(b),}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle f(a)=f(b)}$ ${\displaystyle a=b.}$ ${\displaystyle a\neq b,}$ ${\displaystyle f(a)\neq f(b)}$

Simbólicamente, lo que es lógicamente equivalente al contrapositivo , ^[4] $${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b,}$$ $${\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b).}$$

Ejemplos

Para obtener ejemplos visuales, los lectores pueden consultar la sección de galería.

• Para cualquier conjunto y cualquier subconjunto, la función de inclusión (que envía cualquier elemento a sí misma) es inyectiva. En particular, la función identidad es siempre inyectiva (y, de hecho, biyectiva). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle S\to X}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle X\to X}$
• Si el dominio de una función es el conjunto vacío , entonces la función es la función vacía , que es inyectiva.
• Si el dominio de una función tiene un elemento (es decir, es un conjunto singleton ), entonces la función siempre es inyectiva.
• La función definida por es inyectiva. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=2x+1}$
• La función definida por no es inyectiva, porque (por ejemplo) Sin embargo, si se redefine para que su dominio sean los números reales no negativos [0,+∞), entonces es inyectiva. ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle g(1)=1=g(-1).}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$
• La función exponencial definida por es inyectiva (pero no sobreyectiva, ya que ningún valor real corresponde a un número negativo). ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$
• La función logaritmo natural definida por es inyectiva. ${\displaystyle \ln :(0,\infty )\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \ln x}$
• La función definida por no es inyectiva, ya que, por ejemplo, ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{n}-x}$ ${\displaystyle g(0)=g(1)=0.}$

En términos más generales, cuando y son ambas rectas reales , entonces una función inyectiva es aquella cuyo gráfico nunca es intersectado por ninguna recta horizontal más de una vez. Este principio se conoce como la prueba de la recta horizontal . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Las inyecciones se pueden deshacer

Las funciones con inversas izquierdas son siempre inyecciones. Es decir, dado que si existe una función tal que para cada , , entonces es inyectiva. En este caso, se llama retracción de . A la inversa, se llama sección de ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle g:Y\to X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

Por el contrario, cada inyección con un dominio no vacío tiene una inversa izquierda . Puede definirse eligiendo un elemento en el dominio de y estableciendo en el elemento único de la preimagen (si no está vacío) o en (en caso contrario). ^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(y)}$ ${\displaystyle f^{-1}[y]}$ ${\displaystyle a}$

La inversa izquierda no es necesariamente una inversa de porque la composición en el otro orden, puede diferir de la identidad en En otras palabras, una función inyectiva puede ser "invertida" por una inversa izquierda, pero no es necesariamente invertible , lo que requiere que la función sea biyectiva. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle f\circ g,}$ ${\displaystyle Y.}$

Las inyecciones pueden hacerse reversibles.

De hecho, para convertir una función inyectiva en una función biyectiva (y por lo tanto invertible), basta con sustituir su codominio por su imagen actual. Es decir, sea tal que para todo ; entonces es biyectiva. De hecho, se puede factorizar como donde es la función de inclusión de en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J=f(X).}$ ${\displaystyle g:X\to J}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}\circ g,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{J,Y}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y.}$

De manera más general, las funciones parciales inyectivas se denominan biyecciones parciales .

Otras propiedades

La composición de dos funciones inyectivas es inyectiva.

• Si y son ambos inyectivos entonces es inyectivo. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circ g}$
• Si es inyectiva, entonces es inyectiva (pero no necesariamente debe serlo). ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$
• ${\displaystyle f:X\to Y}$es inyectiva si y sólo si, dadas funciones cualesquiera siempre que entonces En otras palabras, las funciones inyectivas son precisamente los monomorfismos en la categoría Conjunto de conjuntos. ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle h:W\to X}$ ${\displaystyle f\circ g=f\circ h,}$ ${\displaystyle g=h.}$
• Si es inyectiva y es un subconjunto de entonces Por lo tanto, se puede recuperar de su imagen ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f(A).}$
• Si es inyectivo y y son ambos subconjuntos de entonces ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).}$
• Cada función se puede descomponer como para una inyección y sobreyección adecuadas. Esta descomposición es única hasta el isomorfismo y puede considerarse como la función de inclusión del rango de como un subconjunto del codominio de ${\displaystyle h:W\to Y}$ ${\displaystyle h=f\circ g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h(W)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h.}$
• Si es una función inyectiva, entonces tiene al menos tantos elementos como en el sentido de los números cardinales . En particular, si, además, hay una inyección de a entonces y tienen el mismo número cardinal. (Esto se conoce como el teorema de Cantor-Bernstein-Schröder .) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$
• Si ambos son finitos con el mismo número de elementos, entonces es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva (en cuyo caso es biyectiva). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• Una función inyectiva que es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas es una incrustación .
• A diferencia de la sobreyectividad, que es una relación entre el gráfico de una función y su codominio, la inyectividad es una propiedad únicamente del gráfico de la función; es decir, si una función es inyectiva se puede decidir considerando únicamente el gráfico (y no el codominio) de la función. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f.}$

Demostrando que las funciones son inyectivas

La prueba de que una función es inyectiva depende de cómo se presenta la función y de qué propiedades posee. Para las funciones que se dan mediante alguna fórmula existe una idea básica. Utilizamos la definición de inyectividad, a saber: si entonces ^[6] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=f(y),}$ ${\displaystyle x=y.}$

He aquí un ejemplo: $${\displaystyle f(x)=2x+3}$$

Prueba: Supongamos que Así que implica lo cual implica Por lo tanto, se sigue de la definición que es inyectiva. ${\displaystyle f:X\to Y.}$ ${\displaystyle f(x)=f(y).}$ ${\displaystyle 2x+3=2y+3}$ ${\displaystyle 2x=2y,}$ ${\displaystyle x=y.}$ ${\displaystyle f}$

Existen otros métodos para demostrar que una función es inyectiva. Por ejemplo, en cálculo, si es una función diferenciable definida en algún intervalo, entonces es suficiente demostrar que la derivada es siempre positiva o siempre negativa en ese intervalo. En álgebra lineal, si es una transformación lineal, es suficiente demostrar que el núcleo de contiene solo el vector cero. Si es una función con dominio finito, es suficiente examinar la lista de imágenes de cada elemento del dominio y verificar que ninguna imagen aparezca dos veces en la lista. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Un enfoque gráfico para una función de valor real de una variable real es la prueba de la línea horizontal . Si cada línea horizontal interseca la curva de en como máximo un punto, entonces es inyectiva o biunívoca. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$

Galería

• 
  Una función inyectiva no sobreyectiva (inyección, no biyección)
• 
  Una función sobreyectiva inyectiva (biyección)
• 
  Una función sobreyectiva no inyectiva (sobreyección, no biyección)
• 
  Una función no inyectiva y no sobreyectiva (tampoco una biyección)

• 
  No es una función inyectiva. Aquí y son subconjuntos de y son subconjuntos de : para dos regiones donde la función no es inyectiva porque más de un elemento de dominio puede mapearse a un solo elemento de rango. Es decir, es posible que más de un en mapee al mismo in ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Hacer que las funciones sean inyectivas. La función anterior se puede reducir a una o más funciones inyectivas (por ejemplo) y se puede mostrar mediante curvas sólidas (las partes de trazo largo de la curva inicial ya no se asignan). Observe cómo la regla no ha cambiado, solo el dominio y el rango. y son subconjuntos de y son subconjuntos de : para dos regiones donde la función inicial se puede hacer inyectiva de modo que un elemento del dominio pueda asignarse a un solo elemento del rango. Es decir, solo uno en se asigna a uno en ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X_{1}\to Y_{1}}$ ${\displaystyle f:X_{2}\to Y_{2},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle X,Y_{1}}$ ${\displaystyle Y_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$
• 
  Funciones inyectivas. Interpretación diagramática en el plano cartesiano , definida por la aplicación donde dominio de la función , rango de la función y denota la imagen de Cada uno en se asigna a exactamente uno único en Las partes en círculo de los ejes representan conjuntos de dominio y rango, de acuerdo con los diagramas estándar anteriores. ${\displaystyle f:X\to Y,}$ ${\displaystyle y=f(x),}$ ${\displaystyle X=}$ ${\displaystyle Y=}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (f)}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y.}$

Véase también

• Biyección, inyección y sobreyección  – Propiedades de las funciones matemáticas
• Espacio métrico inyectivo  – Tipo de espacio métrico
• Función monótona  : función matemática que preserva el orden
• Función univalente  – Concepto matemático

Notas

1. Función unívoca a veces , en la educación matemática india. "Capítulo 1: Relaciones y funciones" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 26 de diciembre de 2023 – vía NCERT.
2. "Inyectiva, sobreyectiva y biyectiva". Math is Fun . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
3. "Sección 7.3 (00V5): Mapas inyectivos y sobreyectivos de prehaces". El proyecto Stacks . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
4. Farlow, SJ "Sección 4.2 Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . Matemáticas y estadísticas - Universidad de Maine . Archivado desde el original (PDF) el 7 de diciembre de 2019 . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
5. A diferencia de la afirmación correspondiente de que toda función sobreyectiva tiene una inversa derecha, esto no requiere el axioma de elección , ya que la existencia de está implícita por el no vacío del dominio. Sin embargo, esta afirmación puede fallar en matemáticas menos convencionales, como las matemáticas constructivas . En matemáticas constructivas, la inclusión del conjunto de dos elementos en los números reales no puede tener una inversa izquierda, ya que violaría la indecomponibilidad , al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1}. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \{0,1\}\to \mathbb {R} }$
6. Williams, Peter (21 de agosto de 1996). "Demostración de funciones uno a uno". Página de notas de referencia del Departamento de Matemáticas de la CSU San Bernardino . Archivado desde el original el 4 de junio de 2017.

Referencias

• Bartle, Robert G. (1976), Los elementos del análisis real (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, pág. 17 y sigs .
• Halmos, Paul R. (1974), Teoría ingenua de conjuntos , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, pág. 38 y sigs .

Enlaces externos

• Usos más tempranos de algunas palabras de las matemáticas: la entrada sobre inyección, sobreyección y biyección tiene la historia de la inyección y términos relacionados.
• Khan Academy – Funciones sobreyectivas (onto) e inyectivas (uno a uno): Introducción a las funciones sobreyectivas e inyectivas