Teorema de Picard-Lindelöf

Existencia y unicidad de soluciones a problemas de valor inicial

En matemáticas , específicamente en el estudio de ecuaciones diferenciales , el teorema de Picard-Lindelöf establece un conjunto de condiciones bajo las cuales un problema de valor inicial tiene una solución única . También se lo conoce como teorema de existencia de Picard , teorema de Cauchy-Lipschitz o teorema de existencia y unicidad .

El teorema lleva el nombre de Émile Picard , Ernst Lindelöf , Rudolf Lipschitz y Augustin-Louis Cauchy .

Teorema

Sea un rectángulo cerrado con , el interior de . Sea una función que es continua en y Lipschitz continua en (con constante de Lipschitz independiente de ). Entonces existe alguna tal que el problema del valor inicial ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \operatorname {int} D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f:D\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t)),\qquad y(t_{0})=y_{0}.}$

tiene una solución única en el intervalo . ^{[1] [2]} ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$

Boceto de prueba

Una prueba estándar se basa en transformar la ecuación diferencial en una ecuación integral, luego aplicar el teorema de punto fijo de Banach para demostrar la existencia de una solución y luego aplicar el lema de Grönwall para demostrar la unicidad de la solución.

La integración de ambos lados de la ecuación diferencial muestra que cualquier solución de la ecuación diferencial también debe satisfacer la ecuación integral. ${\textstyle y'(t)=f(t,y(t))}$

${\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))\,ds.}$

Dadas las hipótesis de que es continua en y Lipschitz continua en , este operador integral es una contracción y, por lo tanto, el teorema de punto fijo de Banach demuestra que se puede obtener una solución mediante iteración de punto fijo de aproximaciones sucesivas. En este contexto, este método de iteración de punto fijo se conoce como iteración de Picard . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle y}$

Colocar

${\displaystyle \varphi _{0}(t)=y_{0}}$

y

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi _{k}(s))\,ds.}$

Del teorema de punto fijo de Banach se desprende que la secuencia de "iteraciones de Picard" es convergente y que su límite es una solución al problema de valor inicial original. A continuación, aplicando el lema de Grönwall a , donde y son dos soluciones cualesquiera, se demuestra que para dos soluciones cualesquiera, lo que demuestra que deben ser la misma solución y, por lo tanto, la unicidad global de la solución en el dominio donde se cumplen las hipótesis del teorema. ${\textstyle \varphi _{k}}$ ${\textstyle |\varphi (t)-\psi (t)|}$ ${\textstyle \varphi }$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \varphi (t)=\psi (t)}$ ${\displaystyle D}$

Ejemplo de iteración de Picard

Cuatro pasos de iteración de Picard y su límite

Sea la solución de la ecuación con condición inicial Comenzando con iteramos ${\displaystyle y(t)=\tan(t),}$ ${\displaystyle y'(t)=1+y(t)^{2}}$ ${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}=0,t_{0}=0.}$ ${\displaystyle \varphi _{0}(t)=0,}$

${\displaystyle \varphi _{k+1}(t)=\int _{0}^{t}(1+(\varphi _{k}(s))^{2})\,ds}$

de modo que : ${\displaystyle \varphi _{n}(t)\to y(t)}$

${\displaystyle \varphi _{1}(t)=\int _{0}^{t}(1+0^{2})\,ds=t}$

${\displaystyle \varphi _{2}(t)=\int _{0}^{t}(1+s^{2})\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}}$

${\displaystyle \varphi _{3}(t)=\int _{0}^{t}\left(1+\left(s+{\frac {s^{3}}{3}}\right)^{2}\right)\,ds=t+{\frac {t^{3}}{3}}+{\frac {2t^{5}}{15}}+{\frac {t^{7}}{63}}}$

y así sucesivamente. Evidentemente, las funciones están calculando la expansión en serie de Taylor de nuestra solución conocida. Dado que tiene polos en no es Lipschitz continua en la vecindad de esos puntos, y la iteración converge hacia una solución local para solo que no es válida sobre todo . ${\displaystyle y=\tan(t).}$ ${\displaystyle \tan }$ ${\displaystyle \pm {\tfrac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle |t|<{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ejemplo de no unicidad

Para comprender la unicidad de las soluciones, compare los siguientes dos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para y ( t ) . ^[3] Ambas ecuaciones diferenciales poseerán un único punto estacionario y = 0.

Primero, la ecuación lineal homogénea ⁠morir/es⁠ = ay (), una solución estacionaria es y ( t ) = 0 , que se obtiene para la condición inicial y (0) = 0 . A partir de cualquier otra condición inicial y (0) = y ₀ ≠ 0 , la solucióntiende hacia el punto estacionario y = 0 , pero solo se aproxima a él en el límite del tiempo infinito, por lo que la unicidad de las soluciones en todos los tiempos finitos está garantizada. ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle y(t)=y_{0}e^{at}}$

Por el contrario, en el caso de una ecuación en la que el punto estacionario se puede alcanzar después de un tiempo finito , la unicidad de las soluciones no se cumple. Consideremos la ecuación homogénea no lineal ⁠morir/es⁠ = sí ^⁠ 2/3⁠ , que tiene al menos estas dos soluciones correspondientes a la condición inicial y (0) = 0: y ( t ) = 0y

${\displaystyle y(t)={\begin{cases}\left({\tfrac {at}{3}}\right)^{3}&t<0\\\ \ \ \ 0&t\geq 0,\end{cases}}}$

Por lo tanto, el estado previo del sistema no está determinado únicamente por su estado en o después de t = 0. El teorema de unicidad no se aplica porque la derivada de la función f  ( y ) = y ^{⁠  2/3⁠} no está acotado en el entorno de y = 0y por lo tanto no es Lipschitz continua, violando la hipótesis del teorema.

Prueba detallada

Dejar

${\displaystyle C_{a,b}={\overline {I_{a}(t_{0})}}\times {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$

dónde:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I_{a}(t_{0})}}&=[t_{0}-a,t_{0}+a]\\{\overline {B_{b}(y_{0})}}&=[y_{0}-b,y_{0}+b].\end{aligned}}}$

Este es el cilindro compacto donde     se define f .

Sea L la constante de Lipschitz de f con respecto a la segunda variable.  

Dejar

${\displaystyle M=\sup _{C_{a,b}}\|f\|,}$

esto es, el supremo de (los valores absolutos de) las pendientes de la función.

Este máximo existe ya que las condiciones implican que es función continua de dos variables, ya que como es función continua de , para cualquier punto y existen tales que cuando . Tenemos ${\displaystyle f(t,y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle |f(t,y_{0})-f(t_{0},y_{0})|<{\frac {\epsilon }{2}}}$ ${\displaystyle |t-t_{0}|<\delta }$

${\displaystyle |f(t,y)-f(t_{0},y_{0})|\leq |f(t,y)-f(t,y_{0})|+|f(t,y_{0})-f(t_{0},y_{0})|<\epsilon }$

siempre y , lo que demuestra que es continua en . ${\displaystyle |t-t_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle |y-y_{0}|<{\frac {\epsilon }{2L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t_{0},y_{0})}$

Procederemos a aplicar el teorema de punto fijo de Banach utilizando la métrica inducida por la norma uniforme. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

${\displaystyle \|\varphi \|_{\infty }=\sup _{t\in I_{a}}|\varphi (t)|.}$

Definimos un operador entre dos espacios funcionales de funciones continuas, el operador de Picard, de la siguiente manera:

${\displaystyle \Gamma :{\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))\longrightarrow {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

definido por:

${\displaystyle \Gamma \varphi (t)=y_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds.}$

Debemos demostrar que este operador mapea un espacio métrico completo no vacío X en sí mismo y también es un mapeo de contracción .

Primero demostramos que, dadas ciertas restricciones sobre , toma en sí misma en el espacio de funciones continuas con la norma uniforme. Aquí, es una bola cerrada en el espacio de funciones continuas (y acotadas ) "centrada" en la función constante . Por lo tanto, necesitamos demostrar que ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$ ${\displaystyle {\overline {B_{b}(y_{0})}}}$ ${\displaystyle y_{0}}$

${\displaystyle \|\varphi -y_{0}\|_{\infty }\leq b}$

implica

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi (t)-y_{0}\right\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,\varphi (s))\,ds\right\|\leq \int _{t_{0}}^{t'}\left\|f(s,\varphi (s))\right\|ds\leq \int _{t_{0}}^{t'}M\,ds=M\left|t'-t_{0}\right|\leq Ma\leq b}$

donde es un número en el que se alcanza el máximo. La última desigualdad de la cadena es verdadera si imponemos el requisito . ${\displaystyle t'}$ ${\displaystyle [t_{0}-a,t_{0}+a]}$ ${\displaystyle a<{\frac {b}{M}}}$

Ahora demostremos que este operador es una función de contracción.

Dadas dos funciones , para aplicar el teorema de punto fijo de Banach requerimos ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}\in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

${\displaystyle \left\|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right\|_{\infty }\leq q\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty },}$

para algunos . Entonces sea tal que ${\displaystyle 0\leq q<1}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \|\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\|_{\infty }=\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|.}$

Luego, utilizando la definición de , ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\left(\Gamma \varphi _{1}-\Gamma \varphi _{2}\right)(t)\right\|&=\left\|\int _{t_{0}}^{t}\left(f(s,\varphi _{1}(s))-f(s,\varphi _{2}(s))\right)ds\right\|\\&\leq \int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}(s)-\varphi _{2}(s)\right\|ds&&{\text{since }}f{\text{ is Lipschitz-continuous}}\\&\leq L\int _{t_{0}}^{t}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\,ds\\&\leq La\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|_{\infty }\end{aligned}}}$

Esta es una contracción si ${\displaystyle a<{\tfrac {1}{L}}.}$

Hemos establecido que el operador de Picard es una contracción en los espacios de Banach con la métrica inducida por la norma uniforme. Esto nos permite aplicar el teorema del punto fijo de Banach para concluir que el operador tiene un único punto fijo. En particular, existe una función única

${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {C}}(I_{a}(t_{0}),B_{b}(y_{0}))}$

tal que Γ φ = φ . Esta función es la única solución del problema del valor inicial, válida en el intervalo I _a donde a satisface la condición

${\displaystyle a<\min \left\{{\tfrac {b}{M}},{\tfrac {1}{L}}\right\}.}$

Optimización del intervalo de la solución

Queremos eliminar la dependencia del intervalo I _a de L . Para ello, existe un corolario del teorema del punto fijo de Banach: si un operador T ⁿ es una contracción para algún n en N , entonces T tiene un único punto fijo. Antes de aplicar este teorema al operador de Picard, recordemos lo siguiente:

Lema  —  para todos ${\displaystyle \left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|}$ ${\displaystyle t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]}$

Demostración. Inducción sobre m . Para la base de la inducción ( m = 1 ) ya hemos visto esto, así que supongamos que la desigualdad se cumple para m − 1 , entonces tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}(t)-\Gamma ^{m}\varphi _{2}(t)\right\|&=\left\|\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(t)-\Gamma \Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(t)\right\|\\&\leq \left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)\right)-f\left(s,\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}\left\|\Gamma ^{m-1}\varphi _{1}(s)-\Gamma ^{m-1}\varphi _{2}(s)\right\|ds\right|\\&\leq L\left|\int _{t_{0}}^{t}{\frac {L^{m-1}|s-t_{0}|^{m-1}}{(m-1)!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|ds\right|\\&\leq {\frac {L^{m}|t-t_{0}|^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|.\end{aligned}}}$$

Al tomar un supremo sobre vemos que . ${\displaystyle t\in [t_{0}-\alpha ,t_{0}+\alpha ]}$ ${\displaystyle \left\|\Gamma ^{m}\varphi _{1}-\Gamma ^{m}\varphi _{2}\right\|\leq {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}\left\|\varphi _{1}-\varphi _{2}\right\|}$

Esta desigualdad asegura que para algún valor grande de m , y por lo tanto Γ ^m será una contracción. Por lo tanto, por el corolario anterior Γ tendrá un único punto fijo. Finalmente, hemos podido optimizar el intervalo de la solución tomando α = min{ a , ⁠ $${\displaystyle {\frac {L^{m}\alpha ^{m}}{m!}}<1,}$$b/METRO⁠ } .

Al final, este resultado muestra que el intervalo de definición de la solución no depende de la constante de Lipschitz del campo, sino únicamente del intervalo de definición del campo y de su valor absoluto máximo.

Otros teoremas de existencia

El teorema de Picard-Lindelöf muestra que la solución existe y que es única. El teorema de existencia de Peano muestra solo existencia, no unicidad, pero supone solo que f es continua en y , en lugar de Lipschitz continua . Por ejemplo, el lado derecho de la ecuación ⁠  morir/es⁠ = y ^⁠ 1/3⁠ con la condición inicial y (0) = 0es continua pero no Lipschitz-continua. De hecho, en lugar de ser única, esta ecuación tiene al menos tres soluciones:^[4]

${\displaystyle y(t)=0,\qquad y(t)=\pm \left({\tfrac {2}{3}}t\right)^{\frac {3}{2}}}$.

Aún más general es el teorema de existencia de Carathéodory , que prueba la existencia (en un sentido más general) bajo condiciones más débiles en f . Aunque estas condiciones son sólo suficientes, también existen condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de valor inicial sea única, como el teorema de Okamura . ^[5]  

Existencia global de la solución

El teorema de Picard-Lindelöf asegura que las soluciones a los problemas con valores iniciales existen de manera única dentro de un intervalo local , posiblemente dependiente de cada solución. El comportamiento de las soluciones más allá de este intervalo local puede variar dependiendo de las propiedades de f y del dominio sobre el cual se define f . Por ejemplo, si f es globalmente Lipschitz, entonces el intervalo local de existencia de cada solución puede extenderse a toda la línea real y todas las soluciones se definen sobre todo R . ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$      

Si f es solo localmente Lipschitz, algunas soluciones pueden no estar definidas para ciertos valores de t , incluso si f es suave. Por ejemplo, la ecuación diferencial ⁠    morir/es⁠ = y ² con condición inicial y (0) = 1 tiene la solución y ( t ) = 1/(1- t ), que no está definida en t = 1. Sin embargo, si f es una función diferenciable definida sobre un subconjunto compacto de R ⁿ , entonces el problema de valor inicial tiene una solución única definida sobre todo R . ^[6] Un resultado similar existe en geometría diferencial : si f es un campo vectorial diferenciabledefinido sobre un dominio que es una variedad compacta y suave , entonces todas sus trayectorias ( curvas integrales ) existen para todo el tiempo. ^{[6] [7]}    

Véase también

• Portal de matemáticas

• Teorema de Cauchy-Kovalevskaya
• Campos vectoriales completos
• Teorema de Frobenius (topología diferencial)
• Condiciones de integrabilidad para sistemas diferenciales
• El método de Newton
• Método de Euler
• Regla trapezoidal

Notas

1. Coddington y Levinson (1955), Teorema I.3.1
2. Murray, Francis; Miller, Kenneth. Teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales ordinarias . pág. 50.
3. Arnold, VI (1978). Ecuaciones diferenciales ordinarias . The MIT Press. ISBN 0-262-51018-9.
4. Coddington y Levinson (1955), pág. 7
5. Agarwal, Ravi P.; Lakshmikantham, V. (1993). Criterios de unicidad y no unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias. World Scientific. pág. 159. ISBN 981-02-1357-3.
6. Perko, Lawrence Marion (2001). Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos . Textos de matemáticas aplicadas (3.ª ed.). Nueva York: Springer. pág. 189. ISBN 978-1-4613-0003-8.
7. Lee, John M. (2003), "Variedades suaves", Introducción a las variedades suaves , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 218, Nueva York, NY: Springer New York, págs. 1–29, doi :10.1007/978-0-387-21752-9_1, ISBN 978-0-387-95448-6

Referencias

• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . McGraw-Hill . ISBN. 9780070992566.
• Lindelöf, E. (1894). "Sobre la aplicación del método de aproximaciones sucesivas aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences . 118 : 454–7.(En ese artículo, Lindelöf analiza una generalización de un enfoque anterior de Picard.)
• Teschl, Gerald (2012). "2.2. El resultado básico de existencia y unicidad" (PDF) . Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos. Estudios de posgrado en matemáticas . Providence, Rhode Island : American Mathematical Society . pág. 38. eISSN  2376-9203. ISBN 978-0-8218-8328-0. ISSN  1065-7339. Zbl  1263.34002.

Enlaces externos

• "Teorema de Cauchy-Lipschitz". Enciclopedia de Matemáticas .
• Puntos fijos y el algoritmo Picard, recuperado de http://www.krellinst.org/UCES/archive/classes/CNA/dir2.6/uces2.6.html.
• Grant, Christopher (1999). "Conferencia 4: Teorema de Picard-Lindelöf" (PDF) . Matemáticas 634: Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Departamento de Matemáticas, Universidad Brigham Young.