Una función vectorial , también denominada función vectorial , es una función matemática de una o más variables cuyo rango es un conjunto de vectores multidimensionales o vectores de dimensión infinita . La entrada de una función vectorial puede ser un escalar o un vector (es decir, la dimensión del dominio puede ser 1 o mayor que 1); la dimensión del dominio de la función no tiene relación con la dimensión de su rango.
Un ejemplo común de una función con valores vectoriales es una que depende de un único parámetro real t , que a menudo representa el tiempo , produciendo un vector v ( t ) como resultado. En términos de los vectores unitarios estándar i , j , k del 3-espacio cartesiano , estos tipos específicos de funciones con valores vectoriales se dan mediante expresiones como donde f ( t ) , g ( t ) y h ( t ) son las funciones de coordenadas del parámetro t , y el dominio de esta función con valores vectoriales es la intersección de los dominios de las funciones f , g y h . También se puede hacer referencia a ella en una notación diferente: El vector r ( t ) tiene su cola en el origen y su cabeza en las coordenadas evaluadas por la función.
El vector que se muestra en el gráfico de la derecha es la evaluación de la función cerca de t = 19,5 (entre 6π y 6,5π ; es decir, algo más de 3 rotaciones). La hélice es la trayectoria trazada por la punta del vector a medida que t aumenta desde cero hasta 8 π .
En 2D, podemos hablar análogamente de funciones con valores vectoriales como o
En el caso lineal , la función se puede expresar en términos de matrices : donde y es un vector de salida n × 1 , x es un vector k × 1 de entradas y A es una matriz n × k de parámetros . Estrechamente relacionado es el caso afín (lineal hasta una traslación ) donde la función toma la forma donde además b'' es un vector n × 1 de parámetros.
El caso lineal surge a menudo, por ejemplo en regresión múltiple , [ aclaración necesaria ] donde, por ejemplo, el vector n × 1 de valores predichos de una variable dependiente se expresa linealmente en términos de un vector k × 1 ( k < n ) de valores estimados de parámetros del modelo: en donde X (que desempeña el papel de A en la forma genérica anterior) es una matriz n × k de números fijos (basados empíricamente).
Una superficie es un conjunto de puntos bidimensionales insertos en un espacio (más comúnmente) tridimensional. Una forma de representar una superficie es con ecuaciones paramétricas , en las que dos parámetros s y t determinan las tres coordenadas cartesianas de cualquier punto de la superficie: Aquí F es una función con valores vectoriales. Para una superficie inserta en un espacio n -dimensional, se tiene la representación de manera similar
Muchas funciones con valores vectoriales, como las funciones con valores escalares , se pueden diferenciar simplemente diferenciando los componentes en el sistema de coordenadas cartesianas. Por lo tanto, si es una función con valores vectoriales, entonces La derivada vectorial admite la siguiente interpretación física: si r ( t ) representa la posición de una partícula, entonces la derivada es la velocidad de la partícula Asimismo, la derivada de la velocidad es la aceleración
La derivada parcial de una función vectorial a respecto de una variable escalar q se define como [1] donde a i es el componente escalar de a en la dirección de e i . También se denomina coseno director de a y e i o su producto escalar . Los vectores e 1 , e 2 , e 3 forman una base ortonormal fija en el sistema de referencia en el que se toma la derivada.
Si a se considera como una función vectorial de una única variable escalar, como el tiempo t , entonces la ecuación anterior se reduce a la primera derivada temporal ordinaria de a con respecto a t , [1]
Si el vector a es una función de un número n de variables escalares q r ( r = 1, ..., n ) , y cada q r es sólo una función del tiempo t , entonces la derivada ordinaria de a con respecto a t se puede expresar, en una forma conocida como derivada total , como [1]
Algunos autores prefieren utilizar la D mayúscula para indicar el operador de derivada total, como en D / Dt . La derivada total difiere de la derivada temporal parcial en que la derivada total tiene en cuenta los cambios en a debido a la varianza temporal de las variables q r .
Mientras que para las funciones escalares solo hay un único sistema de referencia posible , para obtener la derivada de una función vectorial es necesario elegir un sistema de referencia (al menos cuando no se implica un sistema de coordenadas cartesiano fijo). Una vez elegido el sistema de referencia, la derivada de una función vectorial se puede calcular utilizando técnicas similares a las utilizadas para calcular las derivadas de funciones escalares. Una elección diferente del sistema de referencia producirá, en general, una función derivada diferente. Las funciones derivadas en diferentes sistemas de referencia tienen una relación cinemática específica.
Las fórmulas anteriores para la derivada de una función vectorial se basan en el supuesto de que los vectores base e 1 , e 2 , e 3 son constantes, es decir, fijos en el marco de referencia en el que se toma la derivada de a , y por lo tanto, e 1 , e 2 , e 3 tienen cada uno una derivada idéntica a cero. Esto suele ser cierto para problemas que tratan con campos vectoriales en un sistema de coordenadas fijo, o para problemas simples de física . Sin embargo, muchos problemas complejos implican la derivada de una función vectorial en múltiples marcos de referencia móviles, lo que significa que los vectores base no necesariamente serán constantes. En un caso en el que los vectores base e 1 , e 2 , e 3 están fijos en el marco de referencia E, pero no en el marco de referencia N, la fórmula más general para la derivada temporal ordinaria de un vector en el marco de referencia N es [1] donde el superíndice N a la izquierda del operador de derivada indica el marco de referencia en el que se toma la derivada. Como se mostró anteriormente, el primer término en el lado derecho es igual a la derivada de a en el marco de referencia donde e 1 , e 2 , e 3 son constantes, marco de referencia E. También se puede demostrar que el segundo término en el lado derecho es igual a la velocidad angular relativa de los dos marcos de referencia multiplicada por el propio vector a . [1] Por lo tanto, después de la sustitución, la fórmula que relaciona la derivada de una función vectorial en dos marcos de referencia es [1] donde N ω E es la velocidad angular del marco de referencia E relativa al marco de referencia N.
Un ejemplo común donde se utiliza esta fórmula es para encontrar la velocidad de un objeto espacial, como un cohete , en el marco de referencia inercial usando mediciones de la velocidad del cohete en relación con el suelo. La velocidad N v R en el marco de referencia inercial N de un cohete R ubicado en la posición r R se puede encontrar usando la fórmula donde N ω E es la velocidad angular de la Tierra en relación con el marco inercial N. Dado que la velocidad es la derivada de la posición, N v R y E v R son las derivadas de r R en los marcos de referencia N y E, respectivamente. Por sustitución, donde E v R es el vector de velocidad del cohete medido desde un marco de referencia E que está fijo a la Tierra.
La derivada de un producto de funciones vectoriales se comporta de manera similar a la derivada de un producto de funciones escalares. [a] Específicamente, en el caso de la multiplicación escalar de un vector, si p es una función variable escalar de q , [1]
En el caso de la multiplicación de puntos, para dos vectores a y b que son ambos funciones de q , [1]
De manera similar, la derivada del producto vectorial de dos funciones vectoriales es [1]
Una función f de un número real t con valores en el espacio se puede escribir como . Su derivada es igual a Si f es una función de varias variables, digamos de , entonces las derivadas parciales de los componentes de f forman una matriz llamada matriz jacobiana de f .
Si los valores de una función f se encuentran en un espacio vectorial de dimensión infinita X , como un espacio de Hilbert , entonces f puede denominarse una función vectorial de dimensión infinita .
Si el argumento de f es un número real y X es un espacio de Hilbert, entonces la derivada de f en un punto t se puede definir como en el caso de dimensión finita: La mayoría de los resultados del caso de dimensión finita también se cumplen en el caso de dimensión infinita, mutatis mutandis . La diferenciación también se puede definir para funciones de varias variables (por ejemplo, o incluso , donde Y es un espacio vectorial de dimensión infinita).
NB: Si X es un espacio de Hilbert, entonces se puede demostrar fácilmente que cualquier derivada (y cualquier otro límite ) se puede calcular componente por componente: si (es decir, , donde es una base ortonormal del espacio X ), y existe, entonces Sin embargo, la existencia de una derivada componente por componente no garantiza la existencia de una derivada, ya que la convergencia componente por componente en un espacio de Hilbert no garantiza la convergencia con respecto a la topología real del espacio de Hilbert.
La mayor parte de lo anterior es válido también para otros espacios vectoriales topológicos X. Sin embargo, no se cumplen tantos resultados clásicos en el contexto del espacio de Banach ; por ejemplo, una función absolutamente continua con valores en un espacio de Banach adecuado no necesita tener una derivada en ningún lugar. Además, en la mayoría de los contextos de espacios de Banach no hay bases ortonormales.
En cálculo vectorial y física , un campo vectorial es una asignación de un vector a cada punto en un espacio , más comúnmente el espacio euclidiano . [2] Un campo vectorial en un plano se puede visualizar como una colección de flechas con magnitudes y direcciones dadas, cada una unida a un punto en el plano. Los campos vectoriales se utilizan a menudo para modelar, por ejemplo, la velocidad y la dirección de un fluido en movimiento a lo largo del espacio tridimensional , como el viento , o la intensidad y la dirección de alguna fuerza , como la fuerza magnética o gravitacional , a medida que cambia de un punto a otro.
Los elementos del cálculo diferencial e integral se extienden naturalmente a los campos vectoriales. Cuando un campo vectorial representa una fuerza , la integral de línea de un campo vectorial representa el trabajo realizado por una fuerza que se mueve a lo largo de una trayectoria y, según esta interpretación, la conservación de la energía se presenta como un caso especial del teorema fundamental del cálculo . Los campos vectoriales pueden considerarse útiles como la representación de la velocidad de un flujo en movimiento en el espacio y esta intuición física conduce a nociones como la divergencia (que representa la tasa de cambio del volumen de un flujo) y el rizo (que representa la rotación de un flujo).
Un campo vectorial es un caso especial de una función con valores vectoriales , cuya dimensión del dominio no tiene relación con la dimensión de su rango; por ejemplo, el vector de posición de una curva espacial se define solo para un subconjunto más pequeño del espacio ambiente. Del mismo modo, n coordenadas , un campo vectorial en un dominio en un espacio euclidiano n -dimensional se puede representar como una función con valores vectoriales que asocia una n -tupla de números reales a cada punto del dominio. Esta representación de un campo vectorial depende del sistema de coordenadas, y existe una ley de transformación bien definida ( covarianza y contravarianza de vectores ) al pasar de un sistema de coordenadas a otro.
Los campos vectoriales se discuten a menudo en subconjuntos abiertos del espacio euclidiano, pero también tienen sentido en otros subconjuntos como las superficies , donde asocian una flecha tangente a la superficie en cada punto (un vector tangente ).
En términos más generales, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables , que son espacios que se parecen al espacio euclidiano en escalas pequeñas, pero que pueden tener una estructura más complicada en escalas mayores. En este contexto, un campo vectorial da un vector tangente en cada punto de la variedad (es decir, una sección del fibrado tangente a la variedad). Los campos vectoriales son un tipo de campo tensorial .
