Oscilación (matemáticas)

Cantidad de variación entre extremos

La oscilación de una secuencia (mostrada en azul) es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la secuencia.

En matemáticas , la oscilación de una función o una secuencia es un número que cuantifica cuánto varía esa secuencia o función entre sus valores extremos a medida que se acerca al infinito o a un punto. Como sucede con los límites , existen varias definiciones que dan al concepto intuitivo una forma adecuada para un tratamiento matemático: oscilación de una secuencia de números reales , oscilación de una función de valor real en un punto y oscilación de una función en un intervalo (o conjunto abierto ).

Definiciones

Oscilación de una secuencia

Sea una sucesión de números reales. La oscilación de dicha sucesión se define como la diferencia (posiblemente infinita) entre el límite superior y el límite inferior de : ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle \omega (a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{n})}$

${\displaystyle \omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}}$.

La oscilación es cero si y solo si la secuencia converge. No está definida si y son ambos iguales a +∞ o ambos iguales a −∞, es decir, si la secuencia tiende a +∞ o −∞. ${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }}$ ${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }}$

Oscilación de una función en un conjunto abierto

Sea una función de valor real de una variable real. La oscilación de en un intervalo de su dominio es la diferencia entre el supremo y el ínfimo de : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).}$

De manera más general, si es una función en un espacio topológico (como un espacio métrico ), entonces la oscilación de en un conjunto abierto es ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}$

Oscilación de una función en un punto

La oscilación de una función de una variable real en un punto se define como el límite de la oscilación de en un entorno de : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).}$

Esto es lo mismo que la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de la función en , siempre que el punto no esté excluido de los límites. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

De manera más general, si es una función de valor real en un espacio métrico , entonces la oscilación es ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).}$

Ejemplos

sin (1/ x ) (la curva sinusoidal del topólogo ) tiene una oscilación 2 en x = 0 y 0 en el resto del tiempo.

• ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$tiene oscilación ∞ en = 0, y oscilación 0 en otros finitos y en −∞ y +∞. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \sin {\frac {1}{x}}}$(la curva sinusoidal del topólogo ) tiene una oscilación 2 en = 0, y 0 en el resto del tiempo. ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle \sin x}$tiene oscilación 0 en cada finito , y 2 en −∞ y +∞. ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle (-1)^{x}}$o 1, −1, 1, −1, 1, −1... tiene oscilación 2.

En el último ejemplo, la secuencia es periódica y cualquier secuencia que sea periódica sin ser constante tendrá una oscilación distinta de cero. Sin embargo, la oscilación distinta de cero no suele indicar periodicidad.

Geométricamente, la gráfica de una función oscilante en los números reales sigue una trayectoria en el plano xy , sin detenerse en regiones cada vez más pequeñas. En casos en los que el comportamiento es correcto, la trayectoria puede parecer un bucle que vuelve sobre sí mismo, es decir, un comportamiento periódico; en los peores casos, un movimiento bastante irregular que cubre toda una región.

Continuidad

La oscilación se puede utilizar para definir la continuidad de una función , y es fácilmente equivalente a la definición habitual ε - δ (en el caso de funciones definidas en todas partes de la línea real): una función ƒ es continua en un punto x ₀ si y solo si la oscilación es cero; ^[1] en símbolos, Un beneficio de esta definición es que cuantifica la discontinuidad: la oscilación da cuánto es discontinua la función en un punto. ${\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$

Por ejemplo, en la clasificación de discontinuidades :

• En una discontinuidad removible , la distancia en la que se desvía el valor de la función es la oscilación;
• En una discontinuidad de salto , el tamaño del salto es la oscilación (asumiendo que el valor en el punto se encuentra entre estos límites de los dos lados);
• En una discontinuidad esencial , la oscilación mide la falta de existencia de un límite.

Esta definición es útil en la teoría de conjuntos descriptivos para estudiar el conjunto de discontinuidades y puntos continuos – los puntos continuos son la intersección de los conjuntos donde la oscilación es menor que ε (por lo tanto, un conjunto G δ ) – y proporciona una prueba muy rápida de una dirección de la condición de integrabilidad de Lebesgue . ^[2]

La oscilación es equivalente a la definición de ε - δ mediante un simple reordenamiento y utilizando un límite ( lim sup , lim inf ) para definir la oscilación: si (en un punto dado) para un ε ₀ dado no hay ningún δ que satisfaga la definición de ε - δ , entonces la oscilación es al menos ε ₀ y, a la inversa, si para cada ε hay un δ deseado, la oscilación es 0. La definición de oscilación se puede generalizar naturalmente a mapas de un espacio topológico a un espacio métrico.

Generalizaciones

De manera más general, si f  : X → Y es una función de un espacio topológico X en un espacio métrico Y , entonces la oscilación de f se define en cada x ∈ X por

${\displaystyle \omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ is\ a\ neighborhood\ of\ } x\right\}}$

Véase también

• Ecuación de onda
• Envolvente de onda
• La serie de Grandi
• Oscilación media acotada

Referencias

1. Introducción al análisis real, actualizado en abril de 2010, William F. Trench, Teorema 3.5.2, pág. 172
2. Introducción al análisis real, actualizado en abril de 2010, William F. Trench, 3.5 "Una mirada más avanzada a la existencia de la integral de Riemann adecuada", págs. 171-177

Lectura adicional

• Hewitt y Stromberg (1965). Análisis real y abstracto . Springer-Verlag. pág. 78. ISBN 9780387901381.
• Oxtoby, J (1996). Medida y categoría (4.ª ed.). Springer-Verlag. pp. 31–35. ISBN 978-0-387-90508-2.
• Pugh, CC (2002). Análisis matemático real . Nueva York: Springer. pp. 164–165. ISBN 0-387-95297-7.