Integral iterada

Tipo de integral de funciones de múltiples variables

En cálculo multivariable , una integral iterada es el resultado de aplicar integrales a una función de más de una variable (por ejemplo o ) de tal forma que cada una de las integrales considere alguna de las variables como constantes dadas . Por ejemplo, la función , si se considera un parámetro dado , se puede integrar con respecto a , . El resultado es una función de y por lo tanto se puede considerar su integral. Si se hace esto, el resultado es la integral iterada ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\textstyle \int f(x,y)\,dx}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \int \left(\int f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

Es clave para la noción de integrales iteradas que ésta es diferente, en principio, de la integral múltiple.

${\displaystyle \iint f(x,y)\,dx\,dy.}$

En general, aunque estos dos pueden ser diferentes, el teorema de Fubini establece que, bajo condiciones específicas, son equivalentes.

La notación alternativa para integrales iteradas

${\displaystyle \int dy\int dx\,f(x,y)}$

También se utiliza.

En la notación que utiliza paréntesis, las integrales iteradas se calculan siguiendo el orden operacional indicado por los paréntesis, comenzando por la integral más interna. En la notación alternativa, al escribir , se calcula primero el integrando más interno. ${\textstyle \int dy\,\int dx\,f(x,y)}$

Ejemplos

Un cálculo simple

Para la integral iterada

${\displaystyle \int \left(\int (x+y)\,dx\right)\,dy}$

La integral

${\displaystyle \int (x+y)\,dx={\frac {x^{2}}{2}}+yx}$

se calcula primero y luego se utiliza el resultado para calcular la integral con respecto a  y .

${\displaystyle \int \left({\frac {x^{2}}{2}}+yx\right)\,dy={\frac {yx^{2}}{2}}+{\frac {xy^{2}}{2}}}$

En este ejemplo se omiten las constantes de integración. Después de la primera integración con respecto a  x , tendríamos que introducir rigurosamente una función "constante" de  y . Es decir, si tuviéramos que derivar esta función con respecto a x , cualquier término que contuviera solo  y desaparecería, dejando el integrando original. De manera similar, para la segunda integral, introduciríamos una función "constante" de  x , porque hemos integrado con respecto a  y . De esta manera, la integración indefinida no tiene mucho sentido para funciones de varias variables.

El orden es importante

El orden en el que se calculan las integrales es importante en las integrales iteradas, en particular cuando el integrando no es continuo en el dominio de integración. Los ejemplos en los que los diferentes órdenes conducen a resultados diferentes suelen darse en funciones complicadas como la que se muestra a continuación.

Definir la sucesión tal que . Sea una sucesión de funciones continuas que no se anulan en el intervalo y son cero en el resto, tal que para cada . Definir ${\displaystyle a_{0}=0<a_{1}<a_{2}<\cdots }$ ${\displaystyle a_{n}\to 1}$ ${\displaystyle g_{n}}$ ${\displaystyle (a_{n},a_{n+1})}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}g_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle f(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(g_{n}(x)-g_{n+1}(x)\right)g_{n}(y).}$

En la suma anterior, en cada caso específico , como máximo un término es distinto de cero. Para esta función sucede que ^[1] ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{0}^{a_{1}}\left(\int _{0}^{a_{1}}g_{0}(x)g_{0}(y)\,dy\right)\,dx=1\neq 0=\int _{0}^{1}0\,dy=\int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\right)\,dy}$

Véase también

• Teorema de Fubini  : condiciones para cambiar el orden de integración en el cálculo

Referencias

1. Rudin, W., Análisis real y complejo , 1970