Integral múltiple

En matemáticas (específicamente en cálculo multivariable ), una integral múltiple es una integral definida de una función de varias variables reales , por ejemplo, $f (x, y)$ o $f (x, y, z)$ .

Las integrales de una función de dos variables sobre una región en (el plano de números reales ) se denominan integrales dobles , y las integrales de una función de tres variables sobre una región en (el espacio 3D de números reales) se denominan integrales triples . ^[1] Para integrales múltiples de una función de una sola variable, consulte la fórmula de Cauchy para integración repetida . $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Introducción

Así como la integral definida de una función positiva de una variable representa el área de la región entre la gráfica de la función y el eje $x$ , la integral doble de una función positiva de dos variables representa el volumen de la región entre la superficie definida por la función (en el plano cartesiano tridimensional donde $z = f (x, y)$ ) y el plano que contiene su dominio . ^[1] Si hay más variables, una integral múltiple producirá hipervolúmenes de funciones multidimensionales.

La integración múltiple de una función en $n$ variables: $f (x 1, x 2, ..., x n)$ sobre un dominio $D$ se representa más comúnmente por signos integrales anidados en el orden inverso de ejecución (el signo integral más a la izquierda se calcula en último lugar), seguido por los argumentos de la función y del integrando en el orden adecuado (la integral con respecto al argumento más a la derecha se calcula en último lugar). El dominio de integración se representa simbólicamente para cada argumento sobre cada signo integral, o se abrevia por una variable en el signo integral más a la derecha: ^[2]

\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Dado que el concepto de antiderivada sólo se define para funciones de una única variable real, la definición habitual de la integral indefinida no se extiende inmediatamente a la integral múltiple.

Definición matemática

Para $n > 1$ , considérese un dominio hiperrectangular $n$ -dimensional denominado "semiabierto" $T$ , definido como

T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}

Dividir cada intervalo $[a j, b j)$ en una familia finita $I j$ de subintervalos no superpuestos $i j α$ , con cada subintervalo cerrado en el extremo izquierdo y abierto en el extremo derecho.

Entonces la familia finita de subrectángulos $C$ dada por

C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}

es una partición de $T$ ; es decir, los subrectángulos $C k$ no se superponen y su unión es $T$ .

Sea $f : T \to R$ una función definida en $T$ . Considérese una partición $C$ de $T$ como se definió anteriormente, tal que $C$ es una familia de $m$ subrectángulos $C m$ y

T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}

Podemos aproximar el volumen total $(n + 1)$ -dimensional acotado por debajo por el hiperrectángulo $n -dimensional$ $T$ y por encima por el gráfico $n -dimensional de$ $f$ con la siguiente suma de Riemann :

\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

donde $P k$ es un punto en $C k$ y $m(C k)$ es el producto de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es $C k$ , también conocido como la medida de $C k$ .

El diámetro de un subrectángulo $C k$ es la mayor de las longitudes de los intervalos cuyo producto cartesiano es $C k$ . El diámetro de una partición dada de $T$ se define como el mayor de los diámetros de los subrectángulos en la partición. Intuitivamente, a medida que el diámetro de la partición $C$ se hace cada vez más pequeño, el número de subrectángulos $m$ se hace mayor y la medida $m(C k)$ de cada subrectángulo se hace más pequeña. Se dice que la función $f$ es integrable en Riemann si el límite

S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

existe, donde el límite se toma sobre todas las particiones posibles de $T$ de diámetro como máximo $δ$ . ^[3]

Si $f$ es integrable de Riemann, $S$ se denomina integral de Riemann de $f$ sobre $T$ y se denota

\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Con frecuencia esta notación se abrevia como

\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x}

donde $x$ representa la $n$ -tupla $(x 1, ..., x n)$ y $d n x$ es el diferencial de volumen $n$ -dimensional .

La integral de Riemann de una función definida sobre un conjunto $n$ -dimensional acotado arbitrario se puede definir extendiendo esa función a una función definida sobre un rectángulo semiabierto cuyos valores son cero fuera del dominio de la función original. Entonces, la integral de la función original sobre el dominio original se define como la integral de la función extendida sobre su dominio rectangular, si existe.

En lo que sigue la integral de Riemann en $n$ dimensiones se llamará integral múltiple .

Propiedades

Las integrales múltiples tienen muchas propiedades comunes a las de las integrales de funciones de una variable (linealidad, conmutatividad, monotonía, etc.). Una propiedad importante de las integrales múltiples es que el valor de una integral es independiente del orden de los integrandos bajo ciertas condiciones. Esta propiedad se conoce popularmente como el teorema de Fubini . ^[4]

Casos particulares

En el caso de , la integral $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$

l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy

es la integral doble de $f$ en $T$ , y si la integral $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$

l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

es la integral triple de $f$ en $T$ .

Tenga en cuenta que, por convención, la integral doble tiene dos signos integrales y la integral triple tiene tres; esta es una convención de notación que resulta conveniente cuando se calcula una integral múltiple como una integral iterada, como se muestra más adelante en este artículo.

Métodos de integración

La resolución de problemas con integrales múltiples consiste, en la mayoría de los casos, en encontrar una forma de reducir la integral múltiple a una integral iterada , una serie de integrales de una variable, cada una de las cuales es directamente resoluble. Para funciones continuas, esto se justifica por el teorema de Fubini . A veces, es posible obtener el resultado de la integración mediante examen directo sin ningún cálculo.

Los siguientes son algunos métodos simples de integración: ^[1]

Integración de funciones constantes

Cuando el integrando es una función constante $c$ , la integral es igual al producto de $c$ por la medida del dominio de integración. Si $c = 1$ y el dominio es una subregión de $R 2$ , la integral da el área de la región, mientras que si el dominio es una subregión de $R 3$ , la integral da el volumen de la región.

Ejemplo. Sea $f (x, y) = 2$ y
$D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}$ ,
En cuyo caso
$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12$ ,
ya que por definición tenemos:
$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)$ .

Uso de simetría

Cuando el dominio de integración es simétrico respecto del origen con respecto a al menos una de las variables de integración y el integrando es impar con respecto a esta variable, la integral es igual a cero, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio tienen el mismo valor absoluto pero signos opuestos. Cuando el integrando es par con respecto a esta variable, la integral es igual al doble de la integral sobre una mitad del dominio, ya que las integrales sobre las dos mitades del dominio son iguales.

Ejemplo 1. Considere la función $f (x, y) = 2 sin(x) - 3 y 3 + 5$ integrada sobre el dominio
$T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ ,
un disco con radio 1 centrado en el origen con el límite incluido.
Utilizando la propiedad de linealidad, la integral se puede descomponer en tres partes:
$\iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$ .

La función $2 sin(x)$ es una función impar en la variable $x$ y el disco $T$ es simétrico respecto del eje $y$ , por lo que el valor de la primera integral es 0. De manera similar, la función $3 y 3$ es una función impar de $y$ , y $T$ es simétrica respecto del eje $x$ , por lo que la única contribución al resultado final es la de la tercera integral. Por lo tanto, la integral original es igual al área del disco por 5, o 5 $π$ .

Ejemplo 2. Considere la función $f (x, y, z) = x exp(y 2 + z 2)$ y como región de integración la bola con radio 2 centrada en el origen,
$T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}$ .
La "bola" es simétrica respecto de los tres ejes, pero basta integrar con respecto al eje $x$ para demostrar que la integral es 0, porque la función es una función impar de esa variable.

Dominios normales enR2

Este método es aplicable a cualquier dominio $D$ para el cual:

La proyección de $D$ sobre el eje $x o el eje$ $y$ está limitada por los dos valores, $a$ y $b.$
Cualquier línea perpendicular a este eje que pase entre estos dos valores interseca el dominio en un intervalo cuyos puntos finales están dados por las gráficas de dos funciones, $α$ y $β.$

En este caso, un dominio de este tipo se denominará dominio normal . En otros lugares de la literatura, los dominios normales se denominan a veces dominios de tipo I o de tipo II, según el eje sobre el que se desarrolle el dominio. En todos los casos, la función que se va a integrar debe ser integrable según el método de Riemann en el dominio, lo que es cierto (por ejemplo) si la función es continua.

$incógnita$ -eje

Si el dominio $D$ es normal respecto al eje $x$ y $f : D \to R$ es una función continua , entonces $α (x)$ y $β (x)$ (ambas definidas en el intervalo $[a, b]$ ) son las dos funciones que determinan $D$ . Entonces, por el teorema de Fubini: ^[5]

\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy

$y$ -eje

Si $D$ es normal respecto al $eje$ y y $f : D \to R$ es una función continua; entonces $α (y)$ y $β (y)$ (ambas definidas en el intervalo $[a, b]$ ) son las dos funciones que determinan $D$ . Nuevamente, por el teorema de Fubini:

\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx

Dominios normales en $R3 $

Si $T$ es un dominio normal con respecto al plano $xy$ y determinado por las funciones $α (x, y)$ y $β (x, y)$ , entonces

\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy

Esta definición es la misma para los otros cinco casos de normalidad en $R 3$ . Puede generalizarse de manera directa a los dominios en $R n$ .

Cambio de variables

Los límites de integración no suelen ser fácilmente intercambiables (sin normalidad o con fórmulas complejas para integrar). Se hace un cambio de variables para reescribir la integral en una región más "cómoda", que pueda describirse en fórmulas más sencillas. Para ello, es necesario adaptar la función a las nuevas coordenadas.

Ejemplo 1a. La función es $f (x, y) = (x - 1) 2 + \sqrt y$ ; si se adopta la sustitución $u = x - 1$ , $v = y$ por lo tanto $x = u + 1$ , $y = v$ se obtiene la nueva función $f 2 (u, v) = (u) 2 + \sqrt v$ .

Lo mismo ocurre con el dominio, ya que está delimitado por las variables originales que se transformaron antes ( $x$ e $y$ en el ejemplo).
Las diferenciales $dx$ y $dy$ se transforman a través del valor absoluto del determinante de la matriz jacobiana que contiene las derivadas parciales de las transformaciones respecto a la nueva variable (consideremos, como ejemplo, la transformación diferencial en coordenadas polares).

Existen tres "tipos" principales de cambios de variable (uno en $R 2$ , dos en $R 3$ ); sin embargo, se pueden realizar sustituciones más generales utilizando el mismo principio.

Coordenadas polares

En $R 2$ si el dominio tiene simetría circular y la función tiene algunas características particulares se puede aplicar la transformación a coordenadas polares (ver ejemplo en la imagen) lo que significa que los puntos genéricos $P (x, y)$ en coordenadas cartesianas pasan a sus respectivos puntos en coordenadas polares. Eso permite cambiar la forma del dominio y simplificar las operaciones.

La relación fundamental para realizar la transformación es la siguiente:

f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )

Ejemplo 2a. La función es $f (x, y) = x + y$ y aplicando la transformación se obtiene
$f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )$ .

Ejemplo 2b. La función es $f (x, y) = x 2 + y 2$ , en este caso se tiene:
$f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$
utilizando la identidad trigonométrica pitagórica (puede ser útil para simplificar esta operación).

La transformación del dominio se realiza definiendo la longitud de la corona del radio y la amplitud del ángulo descrito para definir los intervalos $ρ, φ$ a partir de $x, y$ .

Ejemplo 2c. El dominio es $D = {x 2 + y 2 \leq 4}$ , es decir una circunferencia de radio 2; es evidente que el ángulo cubierto es el ángulo del círculo, por lo que $φ$ varía de 0 a 2 $π$ , mientras que el radio de la corona varía de 0 a 2 (la corona con el radio interior nulo es simplemente un círculo).

Ejemplo 2d. El dominio es $D = {x 2 + y 2 \leq 9, x 2 + y 2 \geq 4, y \geq 0}$ , es decir la corona circular en el semiplano $y positivo (véase la imagen del ejemplo);$ $φ$ describe un ángulo plano mientras que $ρ$ varía de 2 a 3. Por lo tanto, el dominio transformado será el siguiente rectángulo :
$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}$ .
El determinante jacobiano de esa transformación es el siguiente:
${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$ ,
que se ha obtenido insertando las derivadas parciales de $x = ρ cos(φ)$ , $y = ρ sin(φ)$ en la primera columna respecto de $ρ$ y en la segunda respecto de $φ$ , por lo que las diferenciales $dx dy$ en esta transformación se convierten en $ρ dρ dφ$ .
Una vez transformada la función y evaluado el dominio, es posible definir la fórmula para el cambio de variables en coordenadas polares:
$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi$ .
$φ$ es válido en el intervalo $[0, 2π] mientras que$ $ρ$ , que es una medida de longitud, solo puede tener valores positivos.

Ejemplo 2e. La función es $f (x, y) = x$ y el dominio es el mismo que en el Ejemplo 2d. Del análisis anterior de $D$ conocemos los intervalos de $ρ$ (de 2 a 3) y de $φ$ (de 0 a $π$ ). Ahora cambiamos la función:
$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi$ .
Finalmente apliquemos la fórmula de integración:
$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi$ .
Una vez conocidos los intervalos, tienes
$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0$ .

Coordenadas cilíndricas

En $R 3$ la integración en dominios de base circular se puede realizar mediante el paso a coordenadas cilíndricas ; la transformación de la función se realiza mediante la siguiente relación:

f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)

La transformación del dominio se puede lograr gráficamente, porque solo varía la forma de la base, mientras que la altura sigue la forma de la región inicial.

Ejemplo 3a. La región es $D = {x 2 + y 2 \leq 9, x 2 + y 2 \geq 4, 0 \leq z \leq 5}$ (es decir, el "tubo" cuya base es la corona circular del Ejemplo 2d y cuya altura es 5); si se aplica la transformación, se obtiene esta región:
$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$
(es decir, el paralelepípedo cuya base es semejante al rectángulo del Ejemplo 2d y cuya altura es 5).
Como el componente $z$ no varía durante la transformación, las diferenciales $dx dy dz$ varían como en el paso a coordenadas polares: por lo tanto, se convierten en $ρ dρ dφ dz$ .
Finalmente, es posible aplicar la fórmula final a coordenadas cilíndricas:
$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ .

Este método es conveniente en el caso de dominios cilíndricos o cónicos o en regiones donde es fácil individualizar el intervalo z e incluso transformar la base circular y la función.

Ejemplo 3b. La función es $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z$ y como dominio de integración este cilindro : $D = {x 2 + y 2 \leq 9, -5 \leq z \leq 5}$ . La transformación de $D$ en coordenadas cilíndricas es la siguiente:
$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$ .
mientras que la función se convierte en
$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$ .
Finalmente se puede aplicar la fórmula de integración:
$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ ;
Desarrollando la fórmula que tienes
$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi$ .

Coordenadas esféricas

En $R 3$ algunos dominios tienen simetría esférica, por lo que es posible especificar las coordenadas de cada punto de la región de integración mediante dos ángulos y una distancia. Es posible utilizar, por tanto, el paso a coordenadas esféricas ; la función se transforma mediante esta relación:

f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )

Los puntos en el eje $z$ no tienen una caracterización precisa en coordenadas esféricas, por lo que $θ$ puede variar entre 0 y 2 $π$ .

El mejor dominio de integración para este pasaje es la esfera.

Ejemplo 4a. El dominio es $D = x 2 + y 2 + z 2 \leq 16$ (esfera con radio 4 y centro en el origen); aplicando la transformación se obtiene la región
$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ .
El determinante jacobiano de esta transformación es el siguiente:
${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$ .
Por lo tanto, los diferenciales $dx dy dz$ se transforman en $ρ 2 sin(φ) dρ dθ dφ$ .
Esto produce la fórmula de integración final:
$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ .

Es mejor utilizar este método en el caso de dominios esféricos y en el caso de funciones que pueden simplificarse fácilmente mediante la primera relación fundamental de trigonometría extendida a $R 3$ (ver Ejemplo 4b); en otros casos puede ser mejor utilizar coordenadas cilíndricas (ver Ejemplo 4c).

\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

$El ρ 2$ extra y $el sen φ$ provienen del jacobiano.

En los siguientes ejemplos se han invertido los roles de $φ$ y $θ .$

Ejemplo 4b. $D$ es la misma región que en el Ejemplo 4a y $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2$ es la función a integrar. Su transformación es muy sencilla:
$f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}$ ,
mientras que conocemos los intervalos de la región transformada $T$ a partir de $D$ :
$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ .
Aplicamos entonces la fórmula de integración:
$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ ,
y, desarrollándonos, obtenemos
$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}$ .

Ejemplo 4c. El dominio $D$ es la bola con centro en el origen y radio $3 a$ ,
$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$ ,
y $f (x, y, z) = x 2 + y 2$ es la función a integrar.
Mirando el dominio, parece conveniente adoptar el paso a coordenadas esféricas, de hecho, los intervalos de las variables que delimitan la nueva región $T son:$
$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}$ .
Sin embargo, al aplicar la transformación, obtenemos
$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$ .
Aplicando la fórmula de integración obtenemos:
$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ ,
que se puede resolver convirtiéndolo en una integral iterada . $\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}$
$I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}$ ,
$II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}$ ,
$III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi$ .

Reuniendo todas las partes,
$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}$ .

Alternativamente, este problema se puede resolver utilizando el paso a coordenadas cilíndricas. Los nuevos intervalos $T$ son
$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}$ ;
El intervalo $z$ se ha obtenido dividiendo la pelota en dos hemisferios simplemente resolviendo la desigualdad de la fórmula de $D$ (y luego transformando directamente $x 2 + y 2$ en $ρ 2$ ). La nueva función es simplemente $ρ 2$ . Aplicando la fórmula de integración
$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ .
Entonces obtenemos:
${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}$
Gracias al paso a coordenadas cilíndricas fue posible reducir la integral triple a una integral de una variable más sencilla.

Véase también la entrada de volumen diferencial en nabla en coordenadas cilíndricas y esféricas .

Ejemplos

Integral doble sobre un rectángulo

Supongamos que deseamos integrar una función multivariable $f$ sobre una región $A$ :

A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,

A partir de esto formulamos la integral iterada

\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy

Primero se realiza la integral interna, integrando respecto de $x$ y tomando $y$ como constante, ya que no es la variable de integración . El resultado de esta integral, que es una función que depende únicamente de $y$ , se integra luego respecto de $y$ .

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}

Luego integramos el resultado con respecto a $y$ .

{\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}

En los casos en que la integral doble del valor absoluto de la función es finita, el orden de integración es intercambiable, es decir, integrar primero respecto de x e integrar primero respecto de y da el mismo resultado. Ese es el teorema de Fubini . Por ejemplo, haciendo el cálculo anterior con el orden invertido da el mismo resultado:

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}

Integral doble sobre un dominio normal

Ejemplo: integral doble sobre la región normal D

Considere la región (vea el gráfico en el ejemplo):

D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}

Calcular

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy

Este dominio es normal respecto de los ejes x e y . Para aplicar las fórmulas se requiere encontrar las funciones que determinan D y los intervalos en los que se definen estas funciones. En este caso las dos funciones son:

\alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1

mientras que el intervalo está dado por las intersecciones de las funciones con x = 0, por lo que el intervalo es [ a , b ] = [0, 1] (se ha elegido la normalidad con respecto al eje x para una mejor comprensión visual).

Ahora es posible aplicar la fórmula:

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}

(en primer lugar se calcula la segunda integral considerando x como constante). Las operaciones restantes consisten en aplicar las técnicas básicas de integración:

\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}

Si elegimos la normalidad con respecto al eje y podríamos calcular

\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx

y obtener el mismo valor.

Calcular volumen

Utilizando los métodos descritos anteriormente, es posible calcular los volúmenes de algunos sólidos comunes.

Cilindro : El volumen de un cilindro con altura $h$ y base circular de radio $R$ se puede calcular integrando la función constante $h$ sobre la base circular, utilizando coordenadas polares.

\mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h

Esto está de acuerdo con la fórmula para el volumen de un prisma.

\mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}

Esfera : El volumen de una esfera con radio $R$ se puede calcular integrando la función constante 1 sobre la esfera, utilizando coordenadas esféricas.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}

Tetraedro ( pirámide triangularo 3- símplex ): El volumen de un tetraedro con su vértice en el origen y aristas de longitud $ℓ$ a lo largo de los $ejes x$ , $y$ y $z$ se puede calcular integrando la función constante 1 sobre el tetraedro.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}

Esto está de acuerdo con la fórmula para el volumen de una pirámide .

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}

Integral impropia múltiple

En el caso de dominios no acotados o de funciones no acotadas cerca del límite del dominio, tenemos que introducir la integral impropia doble o la integral triple impropia .

Integrales múltiples e integrales iteradas

El teorema de Fubini establece que si ^[4]

\iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty

es decir, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral múltiple dará el mismo resultado que cualquiera de las dos integrales iteradas:

\iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy

En particular, esto ocurrirá si $| f (x, y) |$ es una función acotada y $A$ y $B$ son conjuntos acotados .

Si la integral no es absolutamente convergente, es necesario tener cuidado de no confundir los conceptos de integral múltiple e integral iterada , especialmente porque a menudo se utiliza la misma notación para ambos conceptos. La notación

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx

significa, en algunos casos, una integral iterada en lugar de una verdadera integral doble. En una integral iterada, la integral externa

\int _{0}^{1}\cdots \,dx

es la integral con respecto a $x$ de la siguiente función de $x$ :

g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy

Por otra parte, una integral doble se define con respecto al área en el plano $xy$ . Si existe la integral doble, entonces es igual a cada una de las dos integrales iteradas (ya sea " $dy dx$ " o " $dx dy$ ") y a menudo se calcula calculando cualquiera de las integrales iteradas. Pero a veces las dos integrales iteradas existen cuando la integral doble no, y en algunos de esos casos las dos integrales iteradas son números diferentes, es decir, se tiene

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy

Este es un ejemplo de reordenamiento de una integral condicionalmente convergente .

Por otra parte, algunas condiciones aseguran que las dos integrales iteradas sean iguales aunque la integral doble no necesariamente exista. Por el teorema de Fichtenholz - Lichtenstein , si $f$ está acotada en $[0, 1] \times [0, 1]$ y ambas integrales iteradas existen, entonces son iguales. Además, la existencia de las integrales internas asegura la existencia de las integrales externas. ^[6]^[7]^[8] La integral doble no necesita existir en este caso incluso como integral de Lebesgue , según Sierpiński . ^[9]

La notación

\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy

se puede utilizar si se desea enfatizar que se pretende una integral doble en lugar de una integral iterada.

Integral triple

La triple integral fue demostrada por el teorema de Fubini. ^[10] Teorema de Drichlet y teorema de extensión de Liouville sobre la triple integral.

Algunas aplicaciones prácticas

En términos generales, al igual que en el caso de una variable, se puede utilizar la integral múltiple para hallar el promedio de una función sobre un conjunto dado. Dado un conjunto $D \subseteq R n$ y una función integrable $f$ sobre $D$ , el valor promedio de $f$ sobre su dominio está dado por

{\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx

donde $m (D)$ es la medida de $D$ .

Además, las integrales múltiples se utilizan en muchas aplicaciones de la física . Los ejemplos siguientes también muestran algunas variaciones en la notación.

En mecánica , el momento de inercia se calcula como la integral de volumen (triple integral) de la densidad ponderada con el cuadrado de la distancia al eje:

I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV

El potencial gravitacional asociado con una distribución de masa dada por una medida de masa $dm en$ el espacio euclidiano tridimensional $R 3$ es ^[11]

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )

Si existe una función continua $ρ (x)$ que representa la densidad de la distribución en $x$ , de modo que $dm (x) = ρ (x) d 3 x$ , donde $d 3 x$ es el elemento de volumen euclidiano , entonces el potencial gravitacional es

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y}

En electromagnetismo , las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir utilizando integrales múltiples para calcular los campos magnéticos y eléctricos totales. ^[12] En el siguiente ejemplo, el campo eléctrico producido por una distribución de cargas dada por la densidad de carga volumétrica $ρ (r \to)$ se obtiene mediante una integral triple de una función vectorial:

{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'

Esto también se puede escribir como una integral con respecto a una medida con signo que representa la distribución de carga.

Véase también

Principales teoremas de análisis que relacionan integrales múltiples:

Referencias

^ abc Stewart, James (2008). Cálculo: trascendentales tempranos (6.ª ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Larson; Edwards (2014). Cálculo multivariable (10.ª edición). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
^ Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3.ª ed.). McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
^ ab Jones, Frank (2001). Integración de Lebesgue en el espacio euclidiano . Jones y Bartlett. págs. 527–529. ISBN 9780763717087.^{[ Falta ISBN ]}
^ Stewart, James (7 de mayo de 2015). Cálculo, octava edición . Cengage Learning. ISBN 978-1285740621.
^ Lewin, Jonathan (2003). Introducción interactiva al análisis matemático . Cambridge. Secc. 16.6. ISBN 978-1107694040.
^ Lewin, Jonathan (1987). "Algunas aplicaciones del teorema de convergencia acotada para un curso introductorio de análisis". The American Mathematical Monthly . 94 (10). AMS: 988–993. doi :10.2307/2322609. JSTOR 2322609.
^ Sinclair, George Edward (1974). "Una generalización finitamente aditiva del teorema de Fichtenholz-Lichtenstein". Transacciones de la American Mathematical Society . 193 . AMS: 359–374. doi : 10.2307/1996919 . JSTOR 1996919.
^ Bogachev, Vladimir I. (2006). Teoría de la medida . Vol. 1. Springer. Artículo 3.10.49.^{[ Falta ISBN ]}
^ "5.4 Integrales triples - Cálculo Volumen 3 | OpenStax". openstax.org . 30 de marzo de 2016 . Consultado el 25 de agosto de 2022 .
^ Kibble, Tom WB; Berkshire, Frank H. (2004). Mecánica clásica (quinta edición). Imperial College Press . ISBN 978-1-86094-424-6.
^ Jackson, John D. (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X.

Lectura adicional

Adams, Robert A. (2003). Cálculo: un curso completo (5.ª ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5.
Jain, RK; Iyengar, SRK (2009). Matemáticas avanzadas para ingeniería (3.ª ed.). Editorial Narosa. ISBN 978-81-7319-730-7.
Herman, Edwin “Jed” y Strang, Gilbert (2016): Cálculo: Volumen 3 : OpenStax, Universidad Rice, Houston, Texas, EE. UU. ISBN 978-1-50669-805-2 . (PDF)

Enlaces externos

Weisstein, Eric W. "Integral múltiple". MathWorld .
LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Integral múltiple", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Asistente Matemático en línea para la evaluación de integrales dobles en coordenadas cartesianas y polares (incluye pasos intermedios en la solución, desarrollado por Maxima (software) )
Calculadora de integral doble en línea de WolframAlpha
Calculadora de integral triple en línea de WolframAlpha